Название книги в оригинале: Беллюстин Всеволод Константинович. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]

A- A A+ White background Book background Black background

На главную » Беллюстин Всеволод Константинович » Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц].



убрать рекламу



Читать онлайн Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц]. Беллюстин Всеволод Константинович.

Начало ариметики

 Сделать закладку на этом месте книги

Кто положилъ начало ариметик, и кто первый изъ людей «изобрлъ» счетъ, на это отвтить нельзя. Мы можемъ назвать лицо, которое изобрло компасъ или книгопечатаніе, порохъ и паровую машину; насъ можетъ интереcовать, кто открылъ магнитъ, или кто приготовилъ писчую бумагу; но никакъ нельзя ршать вопроса, кто положилъ начало счету. Умнье считать, по крайней мр, въ небольшихъ предлахъ, а также и потребность считать присущи всякому мыслящему существу. Подобно тому, какъ живой человкъ непремнно дышитъ и питается, такъ точно и человкъ, живущій сознательной жизнью, мыслитъ, говоритъ и, между прочимъ, считаетъ.

Итакъ, не можетъ быть и рчи о какомъ-то особомъ изобртател счета, такъ какъ эта потребность свойственна всмъ людямъ. Поэтому начало ариметики тонетъ въ тхъ же безпредльныхъ глубинахъ отдаленныхъ вковъ, какъ и начало человчества. Между тмъ наивные авторы старинныхъ учебниковъ искали, во что бы то ни стало, указать лицо или народъ, которымъ счетъ обязанъ своимъ началомъ. Такъ, напр., въ славянскихъ рукописяхъ временъ царя Алекся Михайловича эта честь приписывается «древле зллинскому мудрецу Пиагору, сыну Аггинанорову» или же «Сиру, сыну Асинорову», написавшему «численную сію философію (т.-е. ариметику) финическими письменами». Византійскіе историки среднихъ вковъ шли еще далыие и не стснялись признавать прямо чудесное происхожденіе ариметики: ее — де обнародовалъ на земл нкто Фениксъ, внукъ бога Нептуна.

Все это, конечно, фантазія; но на чемъ-нибудь должна же она быть основана. Такое основаніе можно видть въ общепризнанной слав, которою пользовался знаменитый греческій математикъ Пиагоръ, равно какъ и финикійцы, развитые, образованные и промышленные представители древняго міра, отважные мореплаватели, объзжавшіе на своихъ корабляхъ берега Средиземнаго моря. Финикійцамъ приписывается также изобртеніе буквъ алфавита.

Первыя ступени счисленія

 Сделать закладку на этом месте книги

Какъ считали наши предки, жившіе въ отдаленныя времена, задолго до Рождества Христова, — объ этомъ прямо и достоврно судить нельзя: письменныхъ свидтельствъ не сохранилось, да ихъ и не могло быть, потому что развитіе письменнаго счета зависитъ отъ общаго развитія образованія, а наши древнйшіе родичи находились, очевидно, на низшихъ ступеняхъ образованности. Судить о первыхъ шагахъ ариметики мы можемъ только по догадкамъ, сравнительно; средствомъ же для сравненія являются т дикіе и малообразовашше народы, затерявшіеся въ укромныхъ уголкахъ внутренней Африки, Америки и т. д., которые въ настоящее время едва выходятъ изъ первобытнаго состоянія.

Займемся американскими индйцами и африканскими неграми.

Индйцы Таманаки пользуются при счет пальцами рукъ и ногъ. Вмсто «одинъ» они говорятъ «палецъ» и при этомъ обязательно протягиваюгь палецъ; вмсто «два» — «два пальца», «три» — «три пальца». Пять у нихъ зовется «рука», 6 — «палецъ на другой рук», 7 — «два пальца на другой рук», 10 — «дв руки». Покончивши съ руками, они перебираются къ ніогамъ, и такъ какъ обувь не закрываетъ ихъ ногъ, то продолжаютъ считать наглядно: 11 — «палецъ на ног», 12 — «два пальца на ног», 15 — «нога и дв руки», 16 — «палецъ на другой ног». Но вотъ подходитъ дло къ 20-ти, использованы, слдовательно, и руки и ноги, тогда является на помощь «человкъ». 20 называется «человкъ», такъ какъ у него 20 пальцевъ; какъ же выразить, напр., 27? Это будетъ «2 пальца на другой рук другого человка». Сотня замняется у нихъ пятью человками, а выше сотни бдные индйцы едва ли и порываютея считать, потому что у нихъ нтъ для этого ни потребностей, ни развитія. Кстати сказать, и эскимосы, обитатели холодныхъ странъ Сверной Америки, вмсто «20» говорятъ «человкъ» и вмсто «100» пять человкъ.

Караибы на Антильскихъ островахъ и по рк Ориноко даютъ первымъ четыремъ числамъ особыя имена, но 5 у иихъ замняется словами «четыре и одинъ», 6 — «рука и одинъ», 7 — «рука и два», 20 — «столько, сколько руки и ноги», 30 —«столько, сколько руки и ноги, и еще 2 руки лишнихъ».

Удивительна склонность индйцевъ и негровъ не довольствоваться однимъ словеснымъ счетомъ, а всячески дополнять его выразительными жестами. Говоря «шесть», они протягиваютъ 6 пальцевъ. Дойдя до 20, они разставляютъ ноги, вытягиваютъ руки и растопыриваютъ пальцы.

Зулусы въ Южной Африк пользуются очень похожимъ обычаемъ. Они обходятся безъ ногъ и ведутъ разсчеты на однхъ рукахъ. Они начинаютъ счетъ съ мизинца лвой руки. Когда окончатъ первый десятокъ, то второй десятокъ ведутъ уже съ мизинца правой руки. Если, напримръ, на правой рук протянуты мизинецъ и безыменный палецъ, то это означаетъ 12. Посл каждаго десятка они хлопаютъ рукой объ руку. Чтобы выразить, наприм., число 35, имъ надо трижды хлопнуть рукой объ руку и протянуть 5 пальцевъ правой руки.

Такимъ образомъ, пальцы для того человка, который едва уметъ считать, являются неоцненнымъ и удобнйшимъ пособіемъ. Это мы можемъ прослдить во всхъ странахъ земного шара и у всхъ людей. Для счета имъ нужно наглядное пособіе, а какое же пособіе ближе къ человку, какъ не его собственные пальцы? Особенно ихъ любятъ дикари и малыя дти.

Теперь является вопросъ: какъ быть съ числами, которыя включаютъ въ себ десятки и сотни? Какъ ихъ выразить при помощи пальцевъ? Отвтить на это могутъ нкоторыя племена Южной Африки, которыя для единицъ берутъ одного счетчика, для десятковъ другого, а для сотенъ третьяго. Какъ только первый счетчикъ насчитаетъ по пальцамъ десять, второй сейчасъ же замчаетъ это у себя на пальцахъ, т.-е. протягиваетъ мизинецъ. Когда второму придется протянуть вс 10 своихъ пальцевъ, то третій замча&тъ получившуюся сотню однимъ пальцемъ своей руки.

Дикари, подобно малымъ дтямъ, не нуждаются въ болыпихъ числахъ. Толчокъ къ развитію счета дается обыкновенно лишь возникновеніемъ торговли и промышленности. Самая нехитрая торговля — мновая, когда покупщикъ даетъ одинъ товаръ, а продавецъ взамнъ того другой. Мновая торговля сама уже приводитъ къ мысли, что счетъ можно вести на какихъ угодно предметахъ. И какихъ только предметовъ при первоначальной мновой торговл не берется простодушными торговцами въ пособіе для счета! Напр., негритянскіе купцы постоянно носятъ съ собой мшочекъ съ маисовыми зернами, иногда и съ камешками. Какъ только дло подходитъ къ разсчету, они сейчасъ же высыпаютъ зерна и пользуются ими, какъ очень удобнымъ пособіемъ. И съ какимъ искусствомъ, съ какою ловкостью безграмотный негръ подводитъ итоги, высчитываетъ прибыль и убытокъ при помощи своихъ зернышекъ! Онъ не станетъ втупикъ даже и при составныхъ именованныхъ числахъ, такъ какъ для каждой мры у него въ запас есть особый сортъ зернышекъ. Конечно, вс ихъ хитросплетенія покажутся намъ, знающимъ ариметику, наивными и незамысловатыми. Такъ, напр., сторговавши нсколько кусковъ матеріи, негры кладутъ противъ каждаго куска столько камешковъ, сколько монетъ надо отдать за кусокъ, и потомъ все это сосчитывають. Трудно даются первые шаги счета мало образованнымъ народамъ.

Также и дтямъ нашимъ нелегко приходится, когда они начинаютъ счисленіе. Необходимо нужны наглядныя пособія. Всякій человкъ и вс народы прибгали къ нимъ и прибгаютъ, потому что потребность въ наглядности лежитъ въ природ человка. Кром камешковъ, зернышекъ и т. д., можно пользоваться зарубками, чертами, крестиками. Такъ, индецъ длаетъ зарубку на дерев всякій разъ, какъ онъ добываетъ скальпъ. И у насъ въ Россіи въ простомъ народ, среди неграмотныхъ крестьянъ, черточки и зарубки въ большомъ употребленіи: сельскій cтароста отмчаетъ ими поступленіе податей, плотникъ порядокъ бревенъ, молочница выданное молоко. Ацтеки, старинные обитатели Мексики, предпочитали обозначать числа точками, при чемъ они располагали точки не какъ придется, а въ вид правильныхъ фигуръ, въ род тхъ, какія теперь у насъ рисуются на игральныхъ картахъ. Когда у счетчиковъ накапливалось много камешковъ, шариковъ или косточекъ, то чтобы ихъ не растерять, они нанизывали ихъ на шнурочки или прутья. Этимъ былъ данъ толчокъ къ изобртенію счетныхъ приборовъ, изъ которыхъ прежде всего пужно упомянуть русскіе торговые счеты и китайскій инструментъ «сванъ-панъ», очень похожій на наши счеты.

Начальныя числительныя имена

 Сделать закладку на этом месте книги

Рука объ руку съ развитіемъ счисленія идетъ и образованіе числительныхъ именъ. Числа — это идеи; они требуютъ словеснаго выраженія.

Филологи, знатоки языковъ, не мало и съ большимъ успхомъ потрудились надъ вопросомъ: какъ образовались слова, выражающія числа: «одинъ», «два» и т. д.? Они признали, что, вроятно, первыя числителышя имена взяты отъ тхъ вещей, которыя встрчаются всёгда въ опредленномъ количеств, и именно въ такомъ, каково cамо число. Такъ, у индусовъ слово «два» созвучно со словомъ «глазъ»; у малаqцевъ (на остров Яв) слово пять обозначаетъ въ тоже время руку. И это понятно: глаза обыкновенно встрчаются въ количеств двухъ, а пальцы въ количеств пяти. И у насъ въ славянскомъ язык «пять» созвучно съ «пядь»: подъ пядью разумется длина, которая равна разстоянію между растопыренными крайними палъцами руки.

Но само собой разумется, что отъ сходства словъ можетъ произойти смшеніе и сбивчивость понятій. Поэтому у образованныхъ націй давно, съ незапамятныхъ временъ, выработались особенныя числительныя имена, которыя не сходны съ именами какихъ бы то ни было предметовъ. Что это случилось очень давно, мы можемъ видть на примр индо-европейской семьи народовъ, и доказывается это такимъ соображеніемъ. Мы, славяне, а также нмцы, французы, индусы и греки должны считаться отдльными отпрысками общаго корня, обитавшаго въ глубокой древности въ Индостан. Легко прослдить, что первыя числительныя имена очень сходны и созвучны во всхъ индо-европейскихъ языкахъ, а изъ этого мы вправ вывести, что эти числительныя имена выработались еще въ ту отдаленную эпоху, когда не было великаго разселенія народовъ, и когда вся индо-европейекая семья жила вмст и пользовалась общимъ языкомъ.

Вотъ таблица, въ которой представлены латинскими буквами числительныя имена изъ 5 иностранныхъ языковъ и изъ 6-го нашего русскаго цыфрами.[1]



Различныя системы счисленія

 Сделать закладку на этом месте книги

Почти вс цивилизованные народы древняго и новаго міра ввели у себя десятичную систему счета. Именно они считаютъ единицами до десяти, десятками — до сотни, сотнями — до тысячи и т. д. Иначе сказать: десять единицъ составляютъ десятокъ, десять десятковъ — сотню, десять сотенъ тысячу и т. д. Откуда же произошло такое удивительное согласіе всхъ людей? Почему у всхъ одна система счета? Немыслимо вдь допустить, что обитатели различныхъ точекъ земного шара устроили нчто въ род совщанія, на которомъ и поставовили принять одну общую систему. Разгадка, очевидно, заключается въ слдующсмъ. Отвлеченный счетъ начался у всхъ народовъ съ предметнаго, нагляднаго, а лучшимъ пособіемъ для счета, какъ наиболе доступнымъ и удобнымъ, являются для человка его пальцы. Что ближе пальцевъ, проще и дешевле? Смютоя надъ неграмотными, надъ малыми дтьми и надъ старухами, когда они безъ пальцевъ не могутъ счесть и малыхъ чиселъ: это напрасно, потому что потребность въ наглядномъ представленіи идей при помощи предметовъ присуща человчегкой природ, и всякій человкъ, который мало развитъ, ищетъ нагляднаго пособія, стремится выбрать наиболе удобное и невольно наталкивается въ нашемъ случа на пальцы.

Впрочемъ, прибгая къ пальцамъ, мы могли бы выработать не только десятичную систему, но и пятеричную, двадцатеричную. Если пользоваться одной рукой, то будетъ пятеричная система, двумя — десятичная, руками и ногами — двадцатеричная. Въ такомъ случа мы стали бы считать пятками, 5 пятковъ соединять въ новую группу, 5 такихъ группъ въ еще болыиую новую и т. д. Это мы и видимъ у нкоторыхъ африканскихъ народовъ, которые любятъ считать пятками и вмсто «шесть» говорятъ «пять одинъ», вмсто «семь» — «пять два» и т. д. По примру многихъ народовъ, — напр., феллаховъ, индйцевъ, можно судить, что пятеричная система является очень древней и, можетъ-быть, даже боле древней, чмъ десятичная, такъ что отсюда можно предположить, что люди считали нкогда пятками и ужъ поздне перешли къ счету десятками.

Что касается двадцатеричной системы, то во всей чистот она, правда, не встрчается, но въ смшеніи съ десятичной ее можно прослдить во многихъ случаяхъ. Такъ, индйцы Майя въ Юкатан пользуются особыми словами для чиселъ 20, 400 (20 разъ по 20), 8000 (20 разъ по 400) и 160000 (20 разъ по 8000). У ацтековъ въ Мексик были особыя слова для чиселъ 20, 400, 8000. Остатки двадцатеричной системы замтны и во французскомъ язык: quattre

vingt = 80, т. е. четырежды 20; sixvingt, quinze vingt. Также и въ датскомъ язык слово шестьдеcятъ (tresindistive) выражаетъ трижды двадцать, а слово восемьдесятъ (firsditive) — четырежды двадцать.

Пальцевыя системы — самыя старинныя и древнія, и самыя распространенныя. Но, кром нихъ, есть и другія, йзъ которыхъ прежде всего мы назовемъ счетъ дюжинами, или двнадцатеричную систему. Это очень распространенный счетъ. Мы тоже нердко считаемъ дюжинами, напр., посуду, перья, карандаши, блье. Откуда взялось такое обыкновеніе? На это прямо отвтить нельзя, потому что мы не знаемъ; знаемъ только, что оно въ особенномъ ходу было у римлянъ и у нихъ иметъ корень, повидимому, въ томъ, что въ году 12 мсяцевъ. При счет дюжинами мы идемъ до 12 дюжинъ, такъ что 12 дюжинъ составляютъ новую единицу «гроссъ»; въ каждой коробк перьевъ, обыкновенно, бываетъ ровно «гроссъ»; также и карандаши связываются въ большія пачки по гроссамъ; счетъ гроссами идетъ до 12-ти, а 12 гроссовъ даютъ уже новую единицу — «массу». Счетъ дюжинами, гроссами и массами очень удобенъ и даже могъ бы быть удобне счета десятками и сотнями, но онъ привился слабо, и вс наши числительныя имена примнены къ десятичному счету, а не къ дюжинному; языкъ, конечно, передлать нельзя, и это очень жаль, потому что при дюжинномъ счет много облегчилось бы вычисленіе, сравнительно съ десятичнымъ; напр., самое трудное изъ четырехъ дйствій, дленіе, не такъ бы часто приводило къ остаткамъ и къ дробямъ, какъ сейчасъ, потому что 12 длится на 2, на 3, 4, 6, между тмъ 10 разлагается только на 2 и на 5; и поэтому при дленіи приходитея очень часто получать остатки и дроби. Особенно любили римляне число 12 въ дробяхъ. Двнадцатыя доли назывались у нихъ унціями. Это были двнадцатыя части какой угодно величины, такъ, напр., 1/12 хлба называлась унціей хлба, 5/12 капитала составляли 5 унцій капитала. Въ настоящее время унціи остались только въ «латинской кухн», т. е. въ аптекарскомъ вс, именно, унція составляетъ 1/12 аптекарскаго, иначе сказать, римскаго фунта (римскій фунтъ на меньше нашего); въ древности эти доли были въ повсемстномъ употребленіи до того, что, напр., вмсто писали 11/2 унціи, для 1/12, 2/12, 3/12 до 11/12 [писа]лись особые значки, въ род цифръ, и особыя названія; вообще двнадцатыя доли напоминали собою скоре именованныя числа, чмъ дйствителышя дроби.

Мы разсмотрли счетъ дюжинами. Теперь займемся счетомъ группами по 60; такъ считали халдеи. Халдеи были волхвами, звздочетами и астрономами древности; имъ мы обязаны тмъ, что въ час 60 минутъ и въ минут 60 секундъ, также и въ угловомъ градус 60 минутъ; у нихъ, между прочимъ, и день длился на 60 часовъ. Число выше 60 халдеи разлагали на 60 и на остатокъ; напр., чтобы выразить 87, они говорили 60 и 27. Число 60 имло у халдеевъ свое особое названіе «soss», также и 3600, равное 6060, спеціально называлось словомъ «sar». Работы халдеевъ въ астрономіи были выдающимися въ древнемъ мір. Неудивительно поэтому, что ихъ вліяніе чувствуется и въ позднйшей наук; отсюда про-истекаетъ то предпочтеніе, которое дается числу 60 въ астрономіи. Халдеи считали въ году 360 дней, т.-е. 606, и окружность длили на 360 равныхъ частей или градусовъ; слдовательно, градусомъ экватора они считали путь, который пробгаетъ солнце въ одн сутки.

Вотъ мы поименовали cамыя употребительныя системы счета; изъ нихъ самая распространенная и развитая — десятичная: счетъ десятками можно прослдить у всхъ народовъ, не исключая даже и тхъ, которые предпочитали пользоваться пятками и дюжинами или же группами по 20 и по 60.

Изъ другихъ системъ, не приведенныхъ нами, мы можемъ указать лишь слабые намеки; такъ, напр., новозеландцы считаютъ группами въ 11, и у нихъ есть особыя коренныя слова для 11, 121 (=1111), 1331 (=111111); на ихъ язык 12 замняется одиннадиатью однимъ, 13 — одиннадцатью двумя, 22 — дважды одиннадцать, 33 трижды 11 и т. д.

Вспомнимъ, кстати, что наши предки тоже считали иногда при помощи особыхъ своеобразныхъ единицъ — сороковъ: сорокъ сороковъ церквей, пять сороковъ соболей, слдовательно, у нихъ единицей счета служила группа въ сорокъ.

Итакъ, у всхъ народовъ идетъ счетъ десятками, сотнями, тысячами и т. д. Какъ же изъ этихъ группъ или изъ этихъ сложныхъ единицъ образуются многозначныя числа? Въ нашемъ русскомъ язык для этого обыкновенно существуетъ одинъ путь: сложеніе и повтореніе. Что значитъ, напр., тринадцать? три-на-десять, т.-е. 10+3, здсь мы видимъ сложеніе; что значитъ тридцать? тридцать — трижды десять: здсь встрчаемъ мы повтореніе, иначе сказать умноженіе 10 на 3; въ выраженіи «триста двадцать» содержится два повторенія «три-ста», «два-десять» — и одно сложеніе — «триста двадцать». Но не такъ просто ршается этотъ вопросъ въ другихъ языкахъ. Въ нихъ для образованія сложныхъ чиселъ берутся и другія два дйствія, — вычитаніе и дленіе; напр., по-латыни восемнадцать будетъ duodeviginti, это значитъ двадцать безъ двухъ, девятнадцать — undeviginti, это значатъ двадцать безъ одного. По-санскритски 95 выражается черезъ pantchonangsatam, что значитъ сто безъ пяти. Что касается дленія, то имъ иногда образуются числа и у насъ, напр., вмсто «пятьдесятъ» говорятъ часто полсотни. Въ датскомъ язык 60 выражается черезъ трижды двадцать (tresindstyve) — объ этомъ мы говорили выше, а 50 черезъ 2 раза по 20—halvtresindsryve, здсь уже дленіе. Но вообще говоря, чмъ система счета развите, тмъ боле приближаетея она къ десятичиой и тмъ ясне проявляется образованіе чиселъ при помощи сложенія и умноженія. У насъ, напр., въ русскомъ язык числа отъ 11 до 20 словесно выражены не очень ясно, напр., «пятнадцать» вмсто «десять и пять», но, начиная съ 21, составъ чиселъ уже гораздо ясне, и мы встрчаемъ такія выраженія: «двадцать пять», «тридцать шесть» и т. п., въ которыхъ десятки ясно разграничены съ единицами; подобно этому полные десятки въ предл ста выражены не совсмъ ясно. «тридцать» вмсто «три десятка», а сотни выражены уже ясне: «триста» вмсто «три сотни», а тысячи совершенно ясно: «три тысячи». Нашимъ дтямъ, которыя начинаютъ учиться ариметик, легче въ этомъ случа, чмъ, напр., нмецкимъ; тамъ для чиселъ 11 и 12 употребляются такія слова, изъ которыхъ не видно разложенія ихъ на десятокъ и единицы; кром того, въ двузначныхъ числахъ въ нмецкомъ язык выговариваются сперва единицы, а потомъ уже десятки, т.-е. какъ разъ обратно тому, какъ числа обозначаются письменно.

Предлъ чиселъ

 Сделать закладку на этом месте книги

Каковъ предлъ чиселъ, иначе сказать: до какого самого большого числа доходитъ тотъ или другой народъ при счет и вычисленіи?

Живетъ въ настоящее время два дикихъ племени, Жури и Каирири, которыя считаютъ только по одной рук и такимъ образомъ доходятъ только до пяти. Есть еще хуже. Низшія племена Бразиліи считаютъ обыкновенно по суставамъ пальцевъ и добираются этимъ путемъ только до трехъ. Все, что выше 2-хъ, они выражаютъ общимъ словомъ «много». Цивилизованные народы древнйшихъ временъ, какъ то: халдеи, евреи и китайцы, не заходили въ счет слишкомъ далеко. Въ халдейскихъ надписяхъ и памятникахъ нигд не встрчается упомипанія о милліон. Въ Библіи есть, правда, выражепія «тысяча тысячъ» и «тысяча разъ по десяти тысячъ», однако подъ ними никакъ нельзя разумть опредленныхъ чиселъ, скорй же это картинное обозначеніе какихъ-то громадныхъ, неизмримыхъ количествъ. Не даромъ наши предки славяне принимали десять тысячъ за «тьму», какъ за что-то туманное и неясное, до чего нельзя и досчитаться. Еще сильне употреблявшееся у нихъ выраженіе «невдіе», въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ оно обозначало сотню тысячъ. Древнйшій культурный народъ Азіи, китайцы, слабые, впрочемъ, математики, считали тысячу и десять тысячъ внцомъ всхъ чисел: друзьямъ они желаютъ жить тысячу лтъ, а императору десятокъ тысячъ. Изъ всего этого видно, что большинство народовъ древности, даже и очень образованныхъ, довольствовались въ ариметик первыми 4 разрядами и дальше тысячъ при счет не шли.

Но кто особенно любилъ большія числа, такъ это индусы, горячіе поклонники арииетики и ея творцы. Умнье обращаться съ громаднйшими числами считалось у нихъ признакомъ чрезвычайной смышлености и ставилось въ высокую заслугу. Даровитый математикъ такъ же былъ славенъ въ Индіи и достигалъ такой же популярности, какая у насъ выпадаетъ на долю только побдителя или поэта. Интересна легенда о нкоемъ индус Bodisattva какъ онъ сталъ свататься за одну двушку, и какъ отецъ невсты соглашался отдать ее только въ томъ случа, если юноша докажетъ свое особое искусство въ письм, въ единоборств, въ бг и въ ариметик. По требованію отца, Bodisattva даетъ названія громаднымъ числамъ, кончая единицей 54-го разряца, т.-е. онъ оказывается въ состояніи прочесть число, выраженное длинной строкой въ 54 цифры, и что всего поразительне, такъ это то, что онъ выговариваетъ числа не по одному способу, а по нсколькимъ, по 6 или 7. Въ заключеніе ему даютъ задачу: пусть бы онъ указалъ самую наименьшую долю длины, какую только можетъ онъ придумать. Онъ назвалъ и указалъ 1/108 470 495 616 000 индусской мры длины. Онъ началъ такъ: эта доля, которую я указываю, составляетъ седьмую часть тончайшей пылинки; 7 тончайшихъ пылинокъ составляютъ одну небольшую пылинку; изъ 7 небольшихъ выходитъ такая, которую кружитъ втеръ; ихъ 7 даютъ одну, пристающую къ ног зайца; 7 подобныхъ послдней даютъ одну, пристающую къ ног барана; 7 пристающихъ къ ног барана образуютъ одну, пристающую къ ног буйвола; 7 пылинокъ буйвола составляютъ маковое зерпышко; 7 маковыхъ зернышекъ даютъ горчичное зерно, 7 горчичныхъ—ячменное, 7 ячменныхъ даютъ длину сустава пальца, изъ 12 суставовъ получаемъ пядь, изъ двухъ пядей — локоть, 4 локтя составляютъ лукъ и, наконецъ, 4000 луковъ даютъ индусскую мру длины, такъ наз. «yana». Таковъ переходъ отъ этой мры къ самой малой дол и такова дробь, выраженная, по нашему, въ трилліонныхъ частяхъ.

Знаменитые математики древней Греціи, Пиагоръ и Архимедъ, не такъ интересовались ариметикой, какъ геометріей. Ариметика у нихъ была не своя, а заимствованная главнымъ образомъ у индусовъ. Неудивительно поэтому, что великій математикъ Пиагоръ ограничивался въ своихъ вычисленіяхъ только 16-ю разрядами счетныхъ единицъ и заканчивалъ, если перевести числа на нашу систему, квадрилліонами (единица съ 15 нулями). Но Архимедъ пошелъ въ этомъ случа довольно далеко. Подражая индусамъ, онъ поставилъ себ такую задачу: высчитать число песчинокъ во всей вселенной, даже и въ томъ предположеніи, что весь міръ состоитъ изъ песчинокъ. Архимедъ ршилъ задачу такъ. Пусть, говоритъ онъ, вся вселенная образуетъ шаръ съ центромъ на солнц и съ радіусомъ, равнымъ разстоянію отъ солнца до земли. Пусть вся вселенная состоитъ изъ песчинокъ и притомъ изъ такихъ мелкихъ, что тысяча песчинокъ равна маковому зерну. Предположимъ, что 40 маковыхъ зеренъ, уложенныя въ рядъ, образуютъ дюймъ длины. При всхъ этихъ условіяхъ, по вычисленію Архимеда, песчинокъ во всей вселенной мене, чмъ сколько выражаетъ число, обозначенное единицей съ 64 нулями. Интересно, какъ же выговорить такое громадное число или какъ его представить въ наглядномъ и доступномъ вид? Архимедъ идетъ такимъ путемъ: 10000 простыхъ единицъ онъ называетъ миріадой. Миріада миріадъ=100 000 000, это будетъ единица 9-го разряда. Назовемъ ее хоть группой. Группа группъ будетъ единицей 17-го разряда=100 000 000 000 000 000. Назовемъ эту группу группъ хоть массой. Тогда масса массъ составитъ единицу 33-го разряда. Назовемъ ее, пожалуй, хоть громадой. Тогда громада громадъ будетъ составлять единицу 65-го разряда и явится отвтомъ на задачу Архимеда.

Подобную систему, позволяющую выражать громадныя количества, встрчаемъ мы въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ ариметикахъ (XVI—ХVІІ в. по Р. X.). Она носитъ названіе «числа великаго словенскаго» и представляетъ изъ себя нумерацію, развитую подробно, остроумно и своеобразно. Не безъ вліянія на эту нумерацію осталась польская ученость, которая во времена, предшествовавшія Петру Великому, питала и растила зачатки русской образованности, въ особенности же въ свтской ея части; польская наука заимствовала, въ свою очередь, все содержаніе и силу изъ Западной Европы, Европа у арабовъ, арабы многому научились у индусовъ. Вотъ какая длинная цпь переходовъ и ступеней нужна была для того, чтобы ариметическія знанія индусовъ сдлались собственностью русскихъ. И времени для этого потребовалось не мало, — цлыя столтія: что въ Индіи извстно было вскор по Р. X., то къ намъ въ Россію прибыло едва въ 17 столтіи. Вотъ таблица «числа великаго словенскаго», употреблявшаяся въ томъ случа, «коли прилучался великій счетъ и перечень», и содержавшая въ себ 50 счетныхъ единицъ: 1) единъ, 2) десять, 3) сто, 4) едина тысяча, 5) десять тысячъ, 6) сто тысячъ, 7) едина тьма, 8) десять темъ, 9) сто темъ, 10) тысяча темъ, 11) десять тысячъ темъ, 12) сто тысячъ темъ, 13) единъ легіонъ, 14) десять легіоновъ, 15) сто легіоновъ, 16) тысяча легiоновъ, 17) десять тысячъ легіоновъ, 18) сто тысячъ легіоновъ, 19) тьма легіоновъ, 20) десять темъ легіоновъ, 21) сто темъ легіоновъ, 22) тысяча темъ легіоновъ, 23) десять тысячъ темъ легіоновъ, 24) сто тысячъ темъ легіоновъ, 25) единъ леодръ, 26) десять леодровъ, 27) сто леодровъ, 28) тысяча леодровъ, 29) десять тысячъ леодровъ, 30) сто тысячъ леодровъ, 31) тьма леодровъ, 32) десять темъ леодровъ, 33) сто темъ леодровъ, 34) тысяча темъ леодровъ, 35) десять тысячъ темъ леодровъ, 36) сто тысячъ темъ леодровъ, 37) единъ легіонъ леодровъ, 38) десять легіоновъ леодровъ, 39) сто легіоновъ леодровъ, 40) тысяча легіоновъ леодровъ, 41) десять тысячъ легіоновъ леодровъ, 42) сто тысячъ легіоновъ леодровъ, 43) тьма легіоновъ леодровъ, 44) десять темъ легіоновъ леодровъ, 45) сто темъ легіоновъ леодровъ, 46) тысяча темъ легіоновъ леодровъ, 47) десять тысячъ темъ легіоновъ леодровъ, 48) сто тысячъ темъ легіоновъ леодровъ. 49) вранъ, 50) колода. «Сего числа нсть больши», прибавляютъ рукописи въ заключеніе.

Кром того, у русскихъ ХVІ—ХVІІ вка по Р. X. была еще другая система счета, такъ сказать, обиходная, будничиая. Это — «малое число». По этой систем единицами счета являются: единица простая, десятокъ, сотня, тысяча, тьма=10 000, легіонъ=100 000 и леодръ =100 000.[2]

Замчательно, что и средневковые китайскіе ученые доводятъ нумерацію до 53-го разряда. И совпаденіе предла, и нкоторые другіе историческіе факты приводятъ къ вроятному предположенію, что не всегда Китай былъ такь уединенно замкнутъ, какъ въ наши времена, и что индусская ученость, въ пору расцвта своей силы, т.-е. лтъ тысячу тому назадъ, проникла и къ китайцамъ и проявила свое дйствіе тамъ.

Чтобы закончить выясненіе предла чиселъ, мы остановимся еще немного на преданіи о той наград, которую изобртатель шахматной игры пожелалъ получить отъ шаха Шерама. Это преданіе свидтельствуетъ опять таки о склонности индусовъ къ громаднымъ вычисленіямъ. Гласитъ оно слдующее. Шахъ Шерамъ такъ былъ восхищенъ только что изобртенной шахматной игрой, что предложилъ изобртателю назначить самому себ награду. Тотъ и назначилъ:

«положи», говоритъ, «шахъ, мн на первую клтку доски 1 пшеничное зернышко, на 2-ю два, на 3-ю 4, на 4-ю 8 и т. д., на каждую послдующую вдвое больше, чмъ на предыдущую».

Клтокъ въ доск 64. Шахъ поспшилъ согласиться, но когда стали высчитывать количество зеренъ, то оказалось, что получается нчто необъятное, и что столько зеренъ нечего и думать набрать, хотя бы начать собирать ихъ со всей земли. Отвтъ такой: 18 446 744 073 709 551 615.

Счетные приборы

 Сделать закладку на этом месте книги

Всякій отдльный человкъ и всякій отдльный народъ на первыхъ ступеняхъ своего развитія бываетъ склоненъ къ предметному счету. Какъ дтямъ, такъ и дика


убрать рекламу




убрать рекламу



рямъ свойственно начинать счетъ съ пальцевъ. Отъ пальцевъ они переходятъ робкими попытками и съ большой нершительностью къ счету на другихъ предметахъ, обыкновенно на близкихъ имъ и обиходиыхъ, напр., на черточкахъ, зарубкахъ, крестикахъ, костяшкахъ в т. п. Они еще очень далеки въ этомъ случа отъ устнаго счета и отъ письменныхъ вычисленій. Продолжая развивать свою привычку къ наглядному счету, человкъ доходитъ до сложныхъ системъ, которыя онъ проявляетъ въ особенныхъ счетныхъ приборахъ и аппаратахъ. Одни только индусы, у которыхъ наука восходитъ къ такой же сдой древности и къ такимъ же необъятнымъ глубинамъ прошедшихъ вковъ, какъ у египтянъ и китайцевъ, и у которыхъ образованіе начало развиваться за тысячи лтъ до Р. X., — одни они успли освободиться отъ помощи предметовъ во время счета и занялись чисто умственнымъ, преимущественно устнымъ, счетомъ. У остальныхъ же народовъ, какъ образованныхъ, такъ и мало развитыхъ, мы встрчаемъ множество наглядныхъ пособій.

Укажемъ прежде всего на счетъ по пальцамъ и притомъ не на простой способъ постепеннаго загибанія пальцевъ, а на оригинальные пріемы, изобртенные по большей части римлянами.

Римляне были большіе любители всевозможныхъ вычисленій на пальцахъ. Между прочимъ, путемъ разгибанія и загибанія пальцевъ, а также путемъ вытягиванія и складыванія рукъ, они умли выражать числа отъ 1 до милліона. При этомъ 3 пальца лвой руки, начиная съ мизинца, служили у нихъ въ различныхъ комбинаціяхъ для простыхъ единицъ, остальные пальцы лвой руки—для десятковъ, большой и указательный пальцы правой руки для сотенъ, а остальные для тысячъ. Чтобы выразить, напр., простую единицу, они загибали мизинецъ, чтобы выразить 2, пригибали 4-й и 5-й палецъ къ ладони, для 3-хъ—3-й палецъ: число 90, напр., обозначалось указательнымъ пальцемъ, пригнутымъ къ ладони; для обозначенія десятковъ тысячъ они клали лвую руку на грудь, бедро, для сотенъ тысячъ пользовались такимъ же образомъ правой рукой; складываніеі рукъ крестъ-накрестъ соотвтствовало милліону.

Римляне не только могли замчать на пальцахъ большія числа, но они умли производить при помощи пальцевъ нкоторыя дйствія. И сейчасъ еще потомки римлянъ, румыны и южные французы, въ состояніи быстро и искусно продлывать на пальцахъ таблицу умноженія.

Положимъ, дано умножить 6 на 8; тогда протягиваемъ на одной рук 1 палецъ, т. е. ровно столько, насколько первый множитель больше пяти, а на второй рук протягиваемъ 3 пальца, потому что, согласно такому же разсчету, 8 больше 5-ти на три; количество протянутыхъ пальцевъ складываемъ, и это будетъ число десятковъ—4; количества же пригнутыхъ пальцевъ перемножаемъ: 42=8, тогда получимъ единицы произведенія, 4 дес.+8=48.

Еще примръ: 8X9; такъ какъ 8 больше 5-ти на 3, а 9 на 4, то надо протянуть на первой рук 3 пальца, а на второй—4, тогда останется согнутыхъ пальцевъ на первой рук 2, на второй—1; теперь мы складываемъ количество протянутыхъ: 3+4=7, и перемножаемъ количества согнутыхъ: 12=2, отвтъ 72.

На чемъ же основанъ этотъ остроумный и быстрый пріемъ? Имъ такъ любили пользоваться школьники, особенно среднихъ вковъ. когда имъ не давалась многотрудная таблица умноженія. Основаніе его лучше всего можно выяснить алгебраической формулой, и для тхъ, кто владетъ алгеброй, мы ее сообщаемъ. Она иметъ видъ тождества: х. у==(х—5+у—5). 10+[5—(х—5)]. [5—(у—5)]. Изъ формулы можно видть, что она примнима только для тхъ случаевъ, когда множители больше 5-ти.

Пальцевымъ счетомъ можно воспользоваться также и при умноженіи двузначныхъ чиселъ, но только такихъ, чтобы они были не выше 20-ти. Чтобы показать это на примр, умножимъ этимъ способомъ 13 на 14; для зтого 3 да 4 складываемъ; будетъ 7, столько десятковъ; эти же числа, т.-е. 3 и 4, перемножаемъ, будетъ 12, столько единицъ; а за то, что множители принадлежатъ ко 2-му десятку, надо къ полученнымъ отвтамъ добавить еще сотню; тогда всего получится: 100+70+12=182—отвтъ совершенно врный. Кто знаетъ алгебру, тотъ безъ труда составитъ формулу для объясненія этого пріема: (10+a). (10+b)=100+ab+10. (a+b).

Покончивши съ вопросомъ о самомъ главномъ, близкомъ и употребительномъ пособіи, о пальцахъ, мы переходимъ къ тому разряду пособій, который нашелъ себ представителя въ русскихъ торговыхъ счетахъ. Русскіе счеты! Какъ они распространены въ народ, среди лавочниковъ, мелкихъ служащихъ, въ конторахъ! Ихъ издавна любитъ русское торговое сословіе. Это дало поводъ думать нкоторымъ, что счеты изобртеніе исключительно русское. Ничуть: приборы, похожіе на счеты, мы встрчаемъ у многихъ народовъ, въ особенности у народовъ древняго міра, напр., у римлянъ, грековъ, китайцевъ, халдеевъ и у всхъ народовъ, которые приходили съ ними въ соприкосновеніе. Да и какъ не быть счетамъ, когда происхожденіе ихъ такъ просто, ясно и всеобще. На счетахъ имются шарики: естественно и удобно для всякаго народа, потому что потребность наглядности есть у всхъ, а что-нибудь лучше шариковъ трудно и придумать, по крайней мр, заостренные, неотшлифованные предметы не такъ удобны для рукъ, какъ круглые; дале, шарики надваются на проволоки, но они могли бы надваться на стержни и шнуры или могли-бы класться въ желобки: цль, очевидно, та, чтобы они не разсыпались; это мы наблюдаемъ также у многихъ народовъ. Наконецъ, этотъ счетный приборъ содержитъ не одинъ рядъ костяшекъ, а нсколько; это уже боле высокая ступень счета, когда народъ иметъ нсколько разрядовъ единицъ, какъ простыхъ, такъ и сложныхъ; проволоки, шнуры и колонны для различныхъ разрядовъ могли бы располагаться какъ горизонтально, такъ и вертикально; у насъ въ русскихъ счетахъ проволоки расположены горизонтально, у римлянъ же колонны для шариковъ располагались вертикальными рядами.

Русскимъ торговымъ счетамъ можно указать иараллель и предшественника въ китайскомъ сванъ — пан. Изобртеніе его относится къ вкамъ глубокой древности, откуда, впрочемъ, восходитъ и вся китайская наука и искусство. Надо полагать, что сванъ-панъ получилъ свое начало не сразу, а преобразовался изъ зачаточнаго, грубаго прибора постепенно, многими поправками и улучшеніями, пока не дошелъ до своего настоящаго вида. Признакомъ его древности служитъ то, что онъ содержитъ въ себ смсь пятеричной системы съ десятичной, слдовательно, онъ изобртенъ тогда, когда народъ еще пользовался пятеричной системой и не перешелъ къ чистой десятичной.

Объяснимъ устройство сванъ-пана. Представьте себ деревянную раму, въ род той, какая имется въ русскихъ торговыхъ счетахъ; поперекъ этой рамы горизонтальными рядами натянуты шнуры, вмсто нашихъ мдныхъ проволокъ. На каждомъ шнур только 7 шариковъ, а не 10. Какъ же управляться съ 7-ю шариками и почему именно 7, а не другое число? А вотъ какъ: вдоль всхъ счетовъ, вертикально сверху внизъ, переская шнуры, идетъ перегородка, сквозь которую шнуры и продъаются. При этомъ по одну сторону перегородки остается шариковъ пятокъ, а по другую пара. Пятокъ назначается для отдльныхъ единицъ и съ нимъ ведется дло такъ же, какъ у насъ съ косточками на торговыхъ счетахъ. Что же касается пары, то назначеніе ея сложне: каждая изъ составляющцхъ ее косточекъ равна по значенію 5 единицамъ соотвтствующаго разряда. Поэтому, какъ только мы наберемъ 5 косточекъ на нижней проволок, то мы этотъ пятокъ должны сбросить и замнить одной изъ тхъ косточекъ, которыя входятъ въ составъ пары. Въ свою очередь, какъ только наберется этихъ пятерныхъ косточекъ дв, такъ он сбрасываются и замняются одной простой косточкой на слдующей высшей проволок. Изъ этого мы видимъ, что на нижней линіи кладутся единицы и пятки, на 2-й десятки и полсотни, на 3-ей сотни и полутысячи и т. д. Всего въ сванъ пан 10 линій, т.-е. шнуровъ. Отдльныхъ линій для долей въ немъ вовсе нтъ, не такъ, какъ въ русскихъ счетахъ. Въ греческомъ и римскомъ мір былъ свой замститель сванъ-пана и русскихъ счетовъ. Онъ назывался абакомъ. Слово «абакъ» происхожденія еврейскаго и значитъ пыль . И это потому, что римляне и греки пользовались досками, на которыхъ былъ насыпанъ мелкій песокъ; на нихъ расчерчивался рядъ вертикальныхъ параллельныхъ линій; между начерченными линіями въ промежуткахъ само сабой являлся рядъ колоннъ или гладкихъ пространствъ, изъ которыхъ крайнее назначено было для простыхъ единицъ, второе (обыкновенно слва) для десятковъ, третье для сотенъ и т. д. Какъ же обозначить на такомъ абак число единицъ, десятковъ, сотенъ и т. д.? Для этого былъ не одинъ способъ, а нсколько, при чемъ въ разныя времена и подъ вліяніемъ тхъ или другихъ математиковъ поперемнно выдвигалея на первый планъ то тотъ способъ, то другой: во-первыхъ, на колонны клали нужное количество костяшекъ или камешковъ, или же на нихъ чертили столько черточекъ, крестиковъ или кружковъ, сколько хотли обозначить единицъ; это самый немудрый, примитивный способъ. Поздне, съ Пиагора (въ VI вк до Р. Хр.) начали пользоваться вторымъ пріемомъ, именно въ колоннахъ на песк стали писать не крестики и черточки, а прямо цифры, и, наконецъ, въ замну этого пріема явился третій: стали употреблять костяшки или «марки», съ награвированными цифрами, такъ что вмсто письма въ колоннахъ на песк начали класть костяшки съ цифрами; кром того, вмсто доски съ насыпаннымъ пескомъ употребляли иногда поверхность гладкую изъ камня, дерева или металла, на ней графили рядъ колоннъ, въ которыя и клали марки. Чисто-римскій абакъ, въ отличіе отъ абака греческаго и отъ позднйшихъ видовъ этого же инструмента, былъ съ такими двумя подробностями. Во-первыхъ, сбоку у него имлись небольшія колонки для долей: половинъ, третей и четвертей или же унцій, т.-е. двнадцатыхъ долей: потребностъ въ вычисленіяхъ съ дробями давала себя чувствовать въ обширной и практически-разносторонней дятельности римлянъ; во-вторыхъ, такъ какъ римляне дольше всхъ народовъ примшивали къ десятичной систем пятеричную, то ихъ абакъ, подобно своему родоначальнику сванъ-пану, былъ примненъ къ счету пятками; надо замтить, что гордый Римъ, весь міръ приведшій подъ свое владычество и давшій образцы устройства государства, былъ не силенъ по части истинной науки и больше занимался вопросами житейской практики; плохіе математики и только свдущіе землемры, римляне не могли представкть себ ясно всхъ преимуществъ точнаго счета десятками безъ всякой примси пятковъ, и лишь ученый представитель позднйшей римской образованности Боэцій, жившій въ VI столтіи по Р. Хр., отбросилъ, наконецъ, добавочныя грани для пятковъ, и у него мы видимъ чистый счетъ десятками. Абакъ Боэція содержитъ въ правой колонн единицы, въ сосдней съ ней десятки, въ слдующей сотни и т. д.; если какой-нибудь разрядъ отсутствуетъ, то та колонна остается незаполненной. Какъ близко отъ такого способа обозначенія до нашего порядка записыванія чиселъ! Стоитъ стереть черты колоннъ и обозначить какъ-нибудь мста пропущенныхъ разрядовъ, вотъ и наша система. Весьма возможно, что въ историческомъ развитіи такъ именно и совершалось дло, т.-е. когда въ данномъ числ какой-нибудь разрядъ отсутствовалъ, и та колонна, слдовательно, являлась незаполненной, то стирали вс колонны, кром нея, ее же выражали въ вид квадрата, незаполненнаго цифрой; отсюда одинъ шагъ къ тому, чтобъ вмсто неудобнаго квадрата ввести кружокъ, который чертится гораздо легче: кружокъ этотъ и есть нашъ нуль. Но все-таки введеніе нуля никоимъ образомъ не можетъ считаться заслугой римлянъ: оно принадлежитъ индусамъ.

Въ XV столтіи по Р. Хр. абакъ, почти забытый со временъ Боэція и замненный письменными вычисленіями, вновь выступаетъ на первый планъ. Его выводитъ изъ забвенія кипучая, горячая пора открытій, изобртеній, развитія торговли и мореплаванія. Въ XV–XVI столтіи торговля западной Европы сильно оживилась, явилась потребность въ конторахъ, банкахъ и т. д., и вотъ купцы и вс коммерческіе люди стали усиленно примнять абакъ, какъ инструментъ сравнительно простой и легкій. При этомъ для удобства доску абака они клали на спеціальную подставку или скамейку и въ этомъ вид называли абакъ счетной скамьей, а такъ какъ по-нмецки скамья называется «bank» («банкъ»), то намъ легко понять, что значитъ «банкъ», «банкиръ».

Отголоски абака проникли въ русскую ариметическую литературу XVII вка, подъ именемъ счета «костьми» или «пнязи». Цль этого пособія была та, чтобы «великій счетъ считати». Нашъ абакъ отличался только одной особенностью, именно, онъ разлиневывался поперекъ на нсколько частей, и въ немъ отводились спеціальныя мста для слагаемыхъ и суммъ. Счетъ «костьми» употреблялся, когда нужно было «класть костьми сошную кладь», т.-е. высчитывать земельные налоги, «а вытная и хлбная потому жъ», т.-е. боле мелкія подати. Кром единицъ, десятковъ и т. д. при счет костьми употреблялись доли: трети, полутрети, половино — полутрети, малыя трети (24-я), чети, т.-е. четверти, получети, половино-получети, малыя чети (32-я доли). Для всхъ этихъ дробей были внизу доски особыя мста. Что счетъ костьми происхожденія иноземнаго, на это, между прочимъ, указываетъ и присутствіе пятковъ, полсотенъ и т. д., какъ въ сванъ-пан и старинномъ римскомъ абак.

Скажемъ еще нсколько словъ о русскихъ торговыхъ счетахъ. Первоначальная ихъ форма на Руси такъ назыв., «дощаный счетъ», т.-е. доска или рама съ «четками» (шариками), надтыми на шнуры или веревки. Дощаный счетъ, подобно ныншнимъ торговымъ счетамъ, употреблялся въ народ часто: «имъ всякій торговый счетъ сочтетъ и сошной и помрной и всчеи и денежной всякой счетъ по всякимъ статьямъ и въ доляхъ». Русскіе торговые счеты, или, какъ называютъ ихъ нмцы, «русская счетная машина», сдлались извстными за границей очень недавно и по такому случаю. Французскій офицеръ Понселе въ 1812 году былъ взятъ въ плнъ и поселенъ въ Саратов; посл кампаніи онъ вернулся на родину въ Мецъ и ознакомилъ тамъ соотечественниковъ съ оригинальнымъ и удобнымъ приборомъ, который онъ захватилъ съ собой изъ Саратова. Съ тхъ поръ счеты распространились въ иностранныхъ школахъ въ вид нагляднаго пособія, но далеко не такъ повсемстно, какъ въ нашихъ.

Цифры различныхъ народовъ

 Сделать закладку на этом месте книги

Немного есть наукъ, которыя свое начало вели бы съ такихъ древнихъ временъ, какъ ариметика. И среди этихъ немногихъ своихъ спутницъ ариметика является наукой самой отвлеченной. Но если ужъ теперь, несмотря на то, что цивилизація и общее развитіе значительно проникли въ массу народа, всякое отвлеченное мышленіе все же очитается чмъ-то сухимъ и труднымъ, то тмъ боле во времена давно прошедшія отвлеченное знаніе нуждалось обязательно во вншнемъ проявленіи. Цифры и служатъ такимъ проявленіемъ. Он всеобщи и такъ же древни, какъ древни крайніе зачатки ариметики. Такъ, цифры у египтянъ мы видимъ за 2200 лтъ до Р. Хр. въ папирус Ринда, у халдеевъ за 2300 лтъ до Р. X. въ табличкахъ Сенкере и у китайцевъ за 2637 лтъ до Р. X. въ «Кіу-чанг», составленномъ ученымъ авторомъ Тзинъ-кіу-чау. Много есть разныхъ сортовъ цифръ; они отличаются другъ отъ друга и происхожденіемъ, и начертаніемъ, въ зависимости отъ того, когда они получили начало и у какого именно народа.

Наврное, читатель, вамъ приходилось не разъ замчать, что малые ребята съ особенной охотою рисуютъ дома, людей, животныхъ, т.-е. все то, что прямо предъ глазами, и лишь потомъ, впослдствіи они берутся за условные рисунки, т.-е. значки, планы и чертежи. Такъ точно и народы древности предпочитали имть цифры въ вид рисунковъ тхъ предметовъ, которые у нихъ передъ глазами. Особенно замтна эта оклонность у древнихъ египтянъ, хотя и у другихъ народовъ мы можемъ указать подобные слды. Это письмо носитъ названіе гіероглифичеекаго; напр., чертежъ шеста или кола обозначалъ собою единицу; десятокъ означался фигурою 2-хъ соединенныхъ рукъ, такъ какъ на 2 рукахъ бываетъ 10 пальцевъ; символомъ сотни считался свернутый пальмовый листъ, такъ какъ съ его развитіемъ выходитъ изъ него много листовъ, можетъ быть до 100; тысяча рисовалась въ вид цвтка лотоса, который знаменовалъ собой обиліе; цифрой, которая обозначала 10000, было изображеніе лягушки, такъ какъ лягушки при разливахъ Нила являлись въ неисчислимомъ количеетв, многими тысячами. Картиной милліона была фигура изумленнаго человка.

Такими гіероглифами пользовался Египетъ для выраженія всхъ чиселъ. Подобная система была и у халдеевъ. У римлянъ цифра V напоминаетъ своей формой кисть руки. Но, очевидно, писать при помощи рисунковъ крайне медлительно и неудобно, въ особенности же потому, что каждый изъ рисунковъ необходимо было повторять по многу разъ. Такъ, чтобы выразить число хоть 30270, египтянинъ 3 раза рисовалъ лягушку, 2 раза листъ и 7 разъ сложенныя руки. Гіероглифы надо было упростить, снабдить ихъ легкой формой и примнимостыо къ письму. Висто фигуръ стали чертить лишь облики, нчто въ род условныхъ знаковъ. Такъ получились цифры. Вром того, писать одинъ и тотъ же знакъ по многу разъ невыгодно и долго, поэтому египтяне придумали для чиселъ 2, 3, 4, 9 свои особые значки, которые давали имъ возиожность избжать длиннаго и утомительнаго повторенія цифры 1. Что же касается 5, 6, 7, 8, то эти цифры у египтянъ были составлены изъ 2, 3, 4.

Слды письма гіероглифами, какъ сказано уже выше, мы видимъ у халдеевъ. Но и они оставили эту систему и выработали вмсто нея новую, очень послдовательную и простую, такъ называемое клинообразное письмо. Чтобъ обозначить единицу, халдеи рисовали вертикальную черту съ заостреннымъ нижнимъ краемъ и толстымъ расщепленнымъ верхнимъ. Десятокъ означался такою же чертой, но только въ положеніи горизонтальномъ и съ острымъ краемъ, обращеннымъ влво. Для выраженія нсколькихъ единицъ халдеи повторяли столько разъ знакъ единицы, еколько ихъ содержалось въ данномъ чиел. Такъ, напр., чтобы выразить 7 единицъ, они писали 7 разъ знакъ единицы. Такимъ же образомъ они писали и десятки. Сотню оии обозначали помощью 2 чертъ, горизонтальной вмст съ вертикальной. Для чиселъ, состоящихъ изъ полныхъ сотенъ порядокъ видоизмнялся: именно, халдеи брали знакъ сотни и при немъ писали столько разъ единицу, сколько сотенъ въ заданномъ числ. Для тысячи халдеи не имли особенной цифры, и они обозначали тысячу, какъ десять согенъ. И такъ, халдейская система цифръ, равно какъ и египетская, основаны на непосредственной наглядности, и отъ нея уже он переходятъ къ условнымъ знакамъ.

Еще такого же происхожденія мы видимъ цифры у китайцевъ. Въ первоначальной своей форм он напоминаютъ картины тхъ шнуровъ и косточекъ, которые употреблялись при наглядномъ счет. Впослдствіи цифры китайцевъ сильно измнились и приняли нсколько видовъ. У нихъ есть разныя цифры: древне — китайскія, торговыя, научныя и для правительственныхъ актовъ. Цифры древне-китайскія очень фигурны и замысловаты и весьма возможно, что он явились измненіемъ начальныхъ гіероглифовъ; он писались на листкахъ не въ строчку, а вертикальнымъ столбикомъ, располагаясь сверху внизъ. Наоборотъ, цифры торговыя писались горизонтальными строками и шли слва направо; при этомъ числа разлагались на разряды, такъ что разрядъ писался за разрядомъ. Чтобы прочесть число, китайцы прямо говорили т слова, какія соотвтствуютъ написанному ряду цифръ; согласно ихъ произношенію, тридцать = три десять, тринадцать = десять три, девяносто = девять десять.

Итакъ, у египтянъ, халдеевъ и китайцевъ мы видимъ дифры древнйшаго происхожденія, которыя напоминаютъ собою гіероглифы, или картины тхъ предметовъ, которые стоятъ въ связи съ даннымъ числомъ. Другимъ основнымъ корнемъ, давшимъ начало цифрамъ, являются числительныя имена. Это уже цифры боле позднйшія, такъ какъ для ихъ изображенія необходимо было развиться алфавиту, грамотности, потребности въ письм и достаточному искусству письменнаго изложенія. У нкоторыхъ народовъ, какъ, напр., у финикіянъ, нердко выписывались числителъныя имена сполна, черезъ посредство буквъ и словъ: финикіяне прямо записывали числа, согласно ихъ произношенію, словами, а не пользовались особыми значками — цифрами. Иногда такой же способъ примняли и греки, но особенно его любили арабы. Существуетъ цлый учебникъ по ариметик араба Алькархи (въ 11 ст. по Р. X.), гд нтъ ни одной цифры, и вс вычисленія, даже довольно сложныя, выполнены словесно.

Но очевидно, что подобное выписываніе числительныхъ именъ крайне неудобно и утомительно. Въ силу этого, числительныя имена стали подвергаться сокращенію. и цифрами стали считаться начальныя буквы числительныхъ именъ. Примровъ этому мы видимъ много у грековъ и у римлянъ, у индусовъ и у арабовъ (въ ихъ позднйшихъ цифрахъ). Греческія слова «пять» (), десять (), тысяча (), десять тысячъ () начинались съ буквъ , , , , поэтому именно такія буквы являлись у грековъ знаками для чиселъ 5, 10, 1000, 10000, такъ что, согласно первоначальному греческому обозначенію, число пять имло цифру , десять , тысяча , и, наконецъ, десять тысячъ . Подобный счетъ описанъ византійскимъ грамматистомъ Геродіаномъ, и этотъ сортъ греческихъ цифръ называется геродіановыми цифрами. Подобной же системой воспользовались и арабы, когда они, наконецъ, поняли, что полностью писать числительныя имена довольно затруднительно, они тоже стали писать только начальныя буквы числительныхъ именъ.

И наконецъ, послдней стадіей развитія, хотя и близкой къ нашимъ временамъ, но вовсе неудобной, и потому оставленной, надо признать такой порядокъ, когда замной цифръ служили буквы въ послдовательности алфавита. Такъ напр., греческій алфавитъ содержитъ по порядку буквы: , , , , , въ виду этого и числа обозначались: единица — , два—, три—, четыре — , пять—. Греки придумали обозначать такимъ образомъ приблизительно со временъ Рождества Христова, а до этого они прибгали къ геродіановымъ цифрамъ. Вслдствіе этого буква стала обозначать уже не десять, какъ начальная буква греческаго слова «», что значитъ десять, но она стала выражать четыре, какъ 4-я буква алфавита. Какое же удобство въ этихъ позднйшихъ цифрахъ сравнителыш съ тми, которыя указалъ Геродіанъ? Ариметически нтъ совершенно никакого, и пользы отъ замны однихъ значковъ другими не представляется никакой; виной такой замны явились, вроятно, переписчики, которымъ слишкомъ трудно было помнить буквы вразбросъ и въ безпорядк: они и предпочли расположить ихъ въ порядк. Подобную же систему мы видимъ у славянъ и у евреевъ. Несомннно, она заимствована отъ грековъ.

Повторимъ вкратц еще разъ, что цифры всхъ народовъ и временъ распредляются на три разряда: 1) цифры, получившія начало отъ гіероглифовъ и обратившіяся въ условные знаки; 2) цифры, образовавшіяся изъ буквъ алфавита и представляющія собой начальныя буквы числительныхъ именъ, и 3) цифры въ порядк буквъ алфавита. Вторая категорія цифръ тоже измнилась, подобно первой, въ нкоторыхъ случаяхъ до неузнаваемости, такъ что изъ буквъ образовались условные знаки.

Теперь мы сообщимъ нкоторыя подробности о цифрахъ отдльныхъ народовъ[3]

Египтяне.  Они были образованнымъ народомъ уже за 4000 лтъ до Р. X. Періодическіе разливы Нила рано побудили ихъ заниматься землемріемъ и ариметикой, такъ какъ каждую весну приходилось имъ снова размрять, расчислять и длить поля, затянутыя иломъ

могучей рки. Въ 1872 году въ тайникахъ одной изъ многочисленныхъ египетскихъ цирамидъ нашли свертокъ пергамента, такъ наз. папирусъ «Риндъ», въ которомъ разобрали рукопись арииетическаго содержанія. Авторъ ея нкто египтянинъ Амесъ, жившій во времена фараона Аменемы (2221–2179 г. до Р. X.). Изъ рукописи можно усмотрть, что автору доступны были довольно сложныя задачи замысловатаго характера не только въ цлыхъ числахъ, но и съ дробями.

У египтянъ было три системы письма: а) гіероглифическая, о которой упомянуто выше, в) гіератическая, или письмо жрецовъ, и с) простонародная. Письмо гіератическое является ничмъ инымъ, какъ упрощеніемъ гіероглифовъ, и въ этомъ смысл его можно считать нормальнымъ переходомъ къ цифрамъ. Пользуясь знаками единицы, десятка, сотни, тысячи, египтяне ихъ повторяли столько разъ, сколько хотли обозначить единицъ, десятковъ и т. д.; но выше 1000 въ гіератическомъ письм они вводили умноженіе: такъ, чтобы обозначить 10000, они писали рядомъ 10 и 1000. Письмо простонародное преподавалось въ школахъ и примнялось въ обиходной жизни, въ торговл, письмахъ, въ гражданскихъ документахъ. Оно имло, въ свою очередь, не мало разныхъ видовъ; одинъ изъ нихъ нами показанъ въ приложеніи 3-мъ. Когда египтяне имли дло съ большими числами, то высшіе разряды они писали слва, а низшіе направо, т.-е. точь въ точь, какъ мы.

Финикіяне.  Они были моряками и купцами древняго міра. Имъ приписывается изобртеніе алфавита и успшное развитіе ариметическихъ знаній. Алфавитъ финикіянъ состоялъ изъ 22 буквъ, похожихъ на египетскіе гіероглифы. Служили-ль эти буквы также и для обозначенія чиселъ, на это нтъ никакихъ указаній. Напротивъ того, несомннно, что финикіяне или писали сполна слова, выражающія числа, или же пользовались особыми, спеціальными цифрами. Изъ этихъ цифръ и составлялись обозначенія чиселъ, при чемъ рядомъ стоящія цифры иногда являлись множителями другъ друга, иногда же он подлежали сложенію. Числа отъ 1 до 9 обозначались соотвтственнымъ количествомъ вертикальныхъ черточекъ. Горизонтальная черта или уголъ, обращенный отверстіемъ внизъ, обозначали число 10. Налво (не не направо, какъ написали бы мы) отъ этого знака раcполагали 1, 2, 3 и т. д. вертикальныхъ черты, для обозначенія чиселъ отъ 11 до 19. Такъ, напр. «||||—» обозначало четырнадцать. Чтобы обозначить два десятка, финикіяне писали 2 параллельныхъ черты, которыя лежали горизонтально. Для 100 былъ тоже особый знакъ, именно I<I.

Изъ Тира и Сидона, древнихъ финикійскихъ городовъ, расположенныхъ на берегу Средизеинаго моря, центровъ тогдашней торговли, процвтавшихъ съ XIV до VIII вка до Р. X., распространилось счетное искусство по финикійскимъ колоніямъ, которыя были разсяны по берегу Сверной Африки и южнымъ полуостровамъ Европы.

Халдеи,  смшавшіеся съ вавилонянами и подчинившіе ихъ себ, жили на южномъ теченіи ркъ Тигра и Евфрата. Это сосди и счастливые противники іудеевъ ветхаго завта. Культура ихъ принадлежитъ къ древнйшимъ: она началась боле чмъ за 3000 лтъ до Р. X., и пришла въ упадокъ за 500 лтъ до Р. X. Халдеи употребляли для письма нчто въ род грифелей, съ расщепленными концами, поэтому-то мы и видимъ у нихъ такъ назыв. клинообразное письмо. Цифры халдеевъ приведены выше и представлены подробно въ приложеніи 4-мъ, въ конц книги. Ихъ можно хорошо установить, благодаря счастливой находк, которую удалось сдлать въ развалинахъ древняго знаменитаго города Ниневіи. Тамъ подъ грудой мусора, пыли и пепла археологи открыли цлую сохранившуюся залу, по нашему сказать, библіотеку, устроенную по приказанію царя Сарданапала за 7 столтій до Р. X. Это была публичная библіотека. Вотъ еще когда и вотъ еще въ какихъ странахъ открывались публичныя библіотеки! Но книгъ въ ней не было, а были цлые ряды тонкихъ глиняныхъ плитокъ, обожженныхъ и прочныхъ, расписанныхъ разными красками: это нарисованы буквы, фразы и цлыя сочиненія. Есть среди нихъ и сочиненія ариметическаго содержанія.

Обширная торговля, вмст съ развитіемъ ремеслъ, заставила халдеевъ заняться практическими вычисленіями; этимъ любознательный народъ не удовольствовался и перешелъ къ теоретическимъ вопросамъ ариметики. Мало того, халдеи стали искать какихъ-то скрытыхъ, таинственныхъ свойствъ чиселъ, стали гадать на числахъ, волхвовать, предсказывать; цифрамъ придавался смыслъ символическій, и ими угадывали будущее. Какъ это бываетъ везд и всегда, легковрные люди создали халдеямъ репутацію искусныхъ гадальщиковъ. Въ 139 г. до Р. X. они были изгнаны изъ Рима за волшебство. Но слава ихъ и вліяніе былн замтны еще въ средиіе вка въ Западной Европ, такъ что имъ приписываютъ особыя кабалистическія цифры, употреблявшіяся въ астрологіи (см. 7-е приложеніе).

Греки.  Древнйшія цифры грековъ мы указали выше. Позднйшими цифрами, примрно за 100 лтъ до Р. X., стали служить буквы алфавита въ ихъ нормальномъ порядк. Единицы, десятки и сотни обозначаются по этой систем такъ: 1=, 2=, 3=, 4=, 5=, 6=, 7=, 8=, 9=, 10=, 20=, 30=, 40=, 50=, 60=, 70=, 80=, 90=, 100=, 200=, 300=, 400=, 500=, 600=, 700=, 800=, 900=. Тутъ, какъ видно, всего цифръ 27, а буквъ у грековъ въ алфавит имется только 24; поэтому пришлось добавить къ нимъ еще 3 буквы старинныхъ, давно уже вышедшихъ изъ практики, такъ наз. vv, koppa и sampi, для обозначенія 6, 90 и 900.

Чтобы отличить число отъ слова, греки проводили обыкновенно надъ цифрами черту, такъ, напр., [4]=15,=122. Для обозначенія тысячъ они пользовались опять 9-ю первыми знаками, но подъ ними проводили маленькую вертикальную черту, напримръ, |=1000, |=2000, |=3000, |=1575, |=5380, |= 9843, |=3654.

Десятокъ тысячъ составляетъ новую употребительную едииицу счета — миріаду. Греки любили пользоваться миріадами и прииняли ихъ съ такою же охотой, cъ какой мы примняемъ тысячи и милліоны; можно сказать, что въ греческомъ счисленіи классъ состоялъ изъ 4 разрядовъ, а не изъ 3-хъ, какъ въ нашемъ, такъ что при выговариваніи большихъ чиселъ они прежде всего указывали миріады, а посл нихъ и тысячи и остальные вс разряды. Знакъ миріады былъ М или М. Дв миріады обозначались черезъ M.

Миріада миріадъ, по нашему сто милліоновъ, обозначалась черезъ М. Миріада въ куб, иначе сказать трилліонъ, писалась М. Отдльаыя же миріады раздлялись точками, поэтому: М.|M.|M.|=5601052800000. Какъ видно, цифры здсь располагаются отъ лвой руки къ правой, но это было не всегда, и такой порядокъ не считался обязательнымъ: можно было писать отъ правой руки къ лвой; въ Сициліи и Малой Азіи даже и выговариваніе чиселъ происходило отъ низшаго ра


убрать рекламу




убрать рекламу



зряда къ высшему, такъ что сперва произносились единицы, затмъ десятки, сотни, тысячи и высшіе разряды.

Буквы — цифры гораздо мене удобны, чмъ выше упомянутые знаки Геродіана. Внося немало сбивчивости при письм, он, кром того, мшаютъ производству дйствій, такъ какъ при нихъ надо въ отдльности учиться, какъ вычислять съ простыми единицами, въ отдльности съ десятками и съ прочими разрядами: нтъ аналогіи и мало сходства въ вычисленіяхъ съ отдльными разрядами.

Евреи.  Они употребляли вмсто цифръ буквы алфавита. Очевидно, они это сдлали подъ вліяніемъ гречесжихъ ученыхъ, жившихъ въ Александріи, въ Египт. Точно сказать нельзя, когда именно евреи перешли къ такой систем цифръ; но, вроятно, это случилось незадолго до Р. X., по крайней мр, на еврейскихъ монетахъ такія цифры встрчаются не ране 137 г. до Р. X.

Числа отъ 1 до 9 выражались у евреевъ первыми 9-ю буквами алфавита, круглые десятки (20, 30…. 90) девятью слдующими буквами, затмъ круглыя сотни— 100, 200, 300, 400 выражались четырьмя остальными, потому что въ еврейскомъ алфавит было всего навсего 22 буквы. И вотъ для остальныхъ круглыхъ сотенъ буквъ недоставало. Первоначально этотъ недостатокъ пополнялся тмъ, что вмсто 500 писали 400+100, 600=400+200 и т. д. Потомъ догадались отсчь концы у 5 слишкомъ длинныхъ буквъ (Капхъ, Мемъ, Нунъ, Пхе, Тцаде) и этими концами начали обозначать остальныя сотни. Еврейскія цифры см. въ приложеніи 8-мъ, въ конц книги.

Тысячи обозначались опять при помощи 9 первыхъ буквъ, но только надъ ними ставились точки, чтобъ не смшать съ простыми единицами. Чтобъ отличить числа отъ словъ, употребляли въ первомъ случа особый знакъ. Цифры писались отъ правой руки къ лвой, въ порядк уменьшающейся величины значеній; слдовательно, разряды низшіе писались влво, а не вправо, какъ пишутся у насъ. Впрочемъ, у всхъ народовъ такъ наз. семитическаго корня, т.-е. евреевъ, вавилонянъ, арабовъ, финикіянъ, эфіоповъ, ассиріянъ, письмо шло противоположно нашему, т.-е. отъ правой руки къ лвой.

Сирийцы.  Ихъ цивилизація относится къ гораздо боле позднйшимъ временамъ, чмъ финикійская, халдейская, египетская и т. д. Ихъ можно бы назвать въ нкоторомъ род преемниками финикіянъ. По крайней мр, въ III в. по Р. X. мы встрчаемъ у сирійцевъ цифры, которыя очень похожи на т, какія были въ Финикіи за много лтъ до Р. X. Поздне эти цифры быди отброшены, и, начиная приблизительно съ VII в. по Р. X., сирійская литература содержитъ буквы алфавита вмсто цифръ. Здсь мы находимъ то же самое, что въ Греціи и у евреевъ. Сирійскій алфавитъ, какъ и еврейскій, содержитъ 22 буквы. Для выраженія простыхъ единицъ, круглыхъ десятковъ и сотенъ отъ 100 до 500, буквъ алфавита было достаточно, какъ видимъ мы и у евреевъ. 500, 600 и дале до 10001 сирійцы означали при помощи сложенія, такъ что 500=400+100, 600=400+200 и т. д. Круглыя тысячи они писали какъ простыя единицы, только внизу налво приписывали запятую. Значеніе десятковъ тысячъ давалось единицамъ и десяткамъ при помощи маленькой горизонтальной черточки, которою подчеркивались цифры. Значеніе милліона давалось 2-мя запятыми.

Славяне.  Составитель славянскаго алфавита, св. Кириллъ, заимствовалъ систему цифръ цликомъ у грековъ. Какъ греки пользовались буквами своего алфавита, такъ и для славянъ была составленаі таблица, схожая даже до мелочей съ греческою. Напр., почему 2 обозначаетея по славянски черезъ вди, а не черезъ буки? Потому что въ греческомъ язык нтъ отдльныхъ звуковъ «б» и «в», а есть для нихъ общая буква «вита» или «бета». Почему ита обозначаетъ девять, хотя ей мсто въ самомъ конц алфавита? Потому что въ греческомъ язык ей соотвтствуетъ буква , которая и стоитъ здсь на своемъ мст, а не въ конц алфавита. Червь, обозначающій 90, поставленъ вмсто коппы, такъ какъ по-гречески нтъ звука «ч» совсмъ, а по-славянски нтъ коппы. Вотъ рядъ славянскихъ цифръ:



Тысячи обозначаются тми же буквами, какими и единицы, но съ добавленіемъ значка, который ставится налво отъ цифръ, выражающихъ количество тысячъ. Вообще славянская система—полнйшая копія греческой: такъ же берутся буквы алфавита, похоже обозначаются тысячи, и даже есть наклонность къ счету миріадами, т. е. десятками тысячъ. Впрочемъ, большія числа въ старинныхъ рукописныхъ славянскихъ сборникахъ встрчаются не очень часто. Ниже, въ прилож. 9-мъ, приводимъ мы обозначенія большихъ количествъ: тьмы, легіона, леодра, врановъ. Эти изображенія встрчаются въ старинныхъ рукописяхъ грамматическихъ, но не ариметическихъ, такъ какъ въ ариметическихъ рукописяхъ 16–17 столтія предпочитаютъ пользоваться цифрами обыкновенными, которымъ мы даемъ названіе арабскихъ.

Римляне.  Ихъ система цифръ не принадлежитъ къ числу удобныхъ и разработанныхъ. Римляне были слабы въ ариметик, и даже до того слабы, что имъ никакъ не удалось освободиться отъ пережитковъ старой пятеричной системы счета, и только они одни остались при счет пятками въ то время, какъ вс другіе народы, начавши, быть-можетъ, тоже со счета пятками, сумли выработать чистый счетъ десятками. Цифры у римлянъ смшанныя: одн изъ нихъ обязаны своимъ происхожденіемъ наглядности, а другія представляютъ собой буквы.

Римскія цифры таковы: I=1, V=5, X==10, L=50, C=100, D=500, М=1000. Изъ этихъ семи знаковъ легко можно составить обозначенія всхъ чиселъ. Тысяча иногда обозначалась не черезъ М, а черезъ (I), т. е. она обозначалась чертой среди 2 скобокъ. Согласно этому, и десятокъ тысячъ имлъ знакъ такой: ((I)), сто тысячъ (((I))), для милліоновъ брали .

При помощи раздваиванія 3-хъ послднихъ знаковъ можно образовать 3 новыхъ цифры: І))=5000, І)))=50000, O | = 500000. Отсюда ясно видно, какъ получилось D для пятисотъ; это ничто иное, какъ тысяча (I), раздленная пополамъ, правая часть взята, а лвая откинута.

Значенія отдльныхъ знаковъ при письм чаще всего складывались, напр., III=3, ХIII=13, MDCCCLXVI=1866. Но если высшій знакъ стоялъ праве низшаго, то это выражало отниманіе, такъ, напр., IX=9, XC=90. Вычитать обыкновенно можно было не больше одного знака, а прикладывать—не больше 3-хъ однородныхъ. Кром того, прежде чмъ писать число, его разлагали на единицы, десятки, сотни и т. д., и чтобы написать хотя бы 990, писали сперва 900, затмъ уже 90, т.-е. CMXC, а не отнимали прямо отъ тысячи десятокъ. Бывали, впрочемъ, изрдка и исключенія: IIX=8, вмсто VIII; VIIII=9, вмсто IX; послдняя фигура (VIIII) была особенно употребительна на памятникахъ и плитахъ, потому что римляне любили точность, а между тмъ если подойти съ другой стороны, то IX покажется не 9-ю, а 11-ю (XI).

Только у однихъ римлянъ и видимъ мы отниманіе низшаго знака отъ высшаго, ни у какого другого народа нтъ подобнаго обыкновенія; если и ставился у другихъ народовъ низшій знакъ перед высшимъ, то онъ указывалъ обыкновенно на повтореніе, а не на отниманіе. Даже и въ произношеніи у римлянъ было вычитаніе, особенно же если вычиталось 2 или 1, такъ, напр., вмсто восемнадцати они говорили двадцать безъ двухъ. Только въ случа тысячъ низшій знакъ показывалъ умноженіе и, напр., десять тысячъ можно было писать черезъ X M=101000, а сто тысячъ черезъ CM; въ послднемъ случа являлась полная возможность смшать 100000 съ 900, потому что не видно было, надо ли 1000 взять сто разъ или же отнять 100 отъ 1000.

Точно такъ же писали иногда MM, и въ этомъ случа опять не видно было, сколько тысячъ обозначено зтой формулой: или это дв тысячи (М+М), или тысяча тысячъ (ММ), и то и другое чтеніе иметъ свои основанія и можетъ считаться правильныиъ приходилось догадываться по смыслу, какое именно число надо подразумвать въ каждомъ отдльномъ случа. Чтобы избжать сомнній и ошибокъ, римляне стали употреблять еще новый пріемъ по которому тысячи обозначались горизонтальной линіей вверху; этимъ пріемомъ 1000 пишется , 100000=С,[5] 1000000=M, равнымъ образомъ CC=200000, CLX=160000.

Знакъ || над цыфрами придавалъ имъ значеніе сотенъ тысячъ, такъ напримръ |XVII | = 1700000, |M|= 1000.100000 = 100 000 000. Знаменітый ученый и естествоиспытатель Плинiй (въ I вк по Р. X.) ввелъ знакъ для тысячъ точку, слдовательно L.D=50500. Встрчаемъ и еще обозначеніе: Vm.=5000.

Теперь мы видимъ и ясно можемъ убдиться. насколько весь порядокъ нумераціи у римлянъ былъ сбивчивъ, непослдователенъ и могь представить много поводовъ къ толкованіямъ въ ту и другую сторону. Врне всего мы отъ римлянъ заимствовали обыкновеніе, чтобъ сумму денегъ въ разныхъ векселяхъ, распискахъ и т. д. писать не только цифрами, но и словами. Для римлянъ это было очень важно и настоятельно необходимо, потому что вс эти черточки при цифрахъ легко можно стереть, продолжить и пополнить. Исторія передаетъ намъ случай, когда изъ-за неясности написаннаго ряда цифръ произошелъ большой споръ относительно завщаннаго наслдства. Гальба получилъ отъ Ливіи Августы по завщанію 50 милліоновъ сестерцій (приблиз. 5 милліоновъ рублей), но Тиверій, главный наслдникъ, сумлъ доказать, что подъ этими цифрами надо разумть только 500 000 сестерцій; ему это удалось тмъ легче, чтс сумма денегъ не была написана словами.

При выговариваніи большихъ чиселъ у римлянъ не было въ распоряженіи другихъ словъ, кром тысячи. Поэтому 1000 000 000 они читали такъ: тысячью тысяча разъ по тысяч.

Относительно происхожденія римскихъ цифръ существуетъ много различныхъ мнній и догадокъ. Нкоторые полагагюъ, что начало этимъ цифрамъ дано буквами стариннаго алфавита. Другіе объясняютъ такъ: первыя три цифры I, II и III само собой понятны: он произошли отъ счета линій; цифра V образовалась изъ картины руки, т.-е. пяти пальцевъ, потому что, если бы очертить кисть руки съ раздвинутыми пальцами, то и получилась бы фигура, напоминающая цифру V; цифра десять своею формой косого креста разлагается на 2 пятка X приложенныхъ другъ къ другу острыми концами; «С», которое обозначаетъ сто, является первой буквой числительнаго «Centum», что значитъ сто; M—тысяча, это начальная буква латинскаго слова «Mille» (тысяча). О томъ, какъ получился знакъ пятисотъ D, нами уже сказано выше. Такъ же можно объяснить и знакъ пятидесяти L, именно сто [, а 50 = , т.-е. знакъ ста раздвоенъ на дв половины, изъ которыхъ нижняя взята, а верхняя половина отброшена.

Происхожденіе нашихъ цифръ

 Сделать закладку на этом месте книги

Т цифры, которыя употребляются въ настоящее время почти всми образованными народами и которыми пользуемся также и мы, называются обыкновенно арабскими; но это названіе он получили вовсе не потому, что обязаны своимъ происхожденіемъ арабамъ: арабы ихъ только принесли въ Евроиу, а начало имъ дали, по всей вроятности, индусы.

Дйствительныя, подлинныя арабскія цифры не имютъ никакого отношенія къ нашимъ, которыми мы пользуемся теперь. Прежде всего надо сказать, что первоначальное письмо арабовъ было грубо и некрасиво, и едва ли до VII в. по Р. X. были у нихъ какія-нибудь цифры. Только со временъ Магомета, когда сразу былъ данъ чрезвычайный толчекъ развитію арабскаго могущества и образованности, стало у нихъ процвтать и письмо. Арабы особенно любили выражать числа такъ, чтобы писать полныя числительныя имена; отсюда естественно вытекаетъ, что съ теченіемъ времени они перешли къ первымъ буквамъ числительныхъ именъ; впослдствіи, подобно грекамъ, они стали примнять буквы въ алфавитномъ порядк.

Около 773 года по Р. X. арабы приняли индусскую систему цифръ и стали обозначать числа такъ, какъ ихъ обозначали индусы. Сдлать это было тмъ боле легко и естественно, что Индія граничила съ владніями арабскихъ халифовъ, и между сосдями постоянно были близкія сношенія и торговыя, и научныя.

Заслуга индусовъ въ развитіи ариметики громадна и неисчислима. Во-первыхъ, они сильно уменьшили количество цифръ и довели его до 10, считая въ томъ числ и нуль; между тмъ, у грековъ, у евреевъ, у сирійцевъ и т. д. цифръ было не мене 27; правда, римляне умли обходиться 7-ю цифрами, но за то у нихъ была маса мелкихъ значковъ, которые только спутывали и мшали. Во-вторыхъ въ индусской систем ясно проглядываетъ необыкновенная простота, точность и объединенность: каждый разрядъ выражается обязательноі одной цифрой, а не нсколькими; значеніе цифры легко угадать по мсту, которое она занимаетъ, и не надо задумываться ни надъ сложеніемъ, ни надъ вычитаніемъ сосднихъ знаковъ, какъ это бываетъ въ другихъ системахъ; кром того, десятки, сотни, тысячи и милліоны и высшіе разряды пишутся точно такъ же, какъ простыя единицы, поэтому не надо изобртать особенныхъ правилъ для высшихъ разрядовъ, а можно безконечно прилагать одно и то-же правило. Вс эти выгоды настолько ясны и безспорны, что всякій народъ, какъ только ознакомится со способомъ индусовъ и пойметъ его, то перемняетъ свою систему на ихъ систему. Такъ было и съ арабами, и съ Западной Европой, и съ нами русскими.

Главное преимущество индусской системы заключается въ томъ, что значеніе каждой цифры вполн опредляется ея мстомъ, т.-е. если, наприм., цифра стоитъ на 4-мъ мст справа, то она выражаетъ тысячи, и, слд., чтобы написать тысячу, надо только поставить цифру 1 на 4-е мсто, но не перемнять ея формы и не припиеывать какого-нибудь особеннаго слова или значка. Въ глубокой древности встрчались и среди иныхъ народовъ геніальные умы, которые какъ-то смутно догадывались, что значеніе цифры лучше всего опредляетсяется мстомъ, но вс они становились въ тупикъ передъ такимъ сомнніемъ: а какъ же быть, если какой-нибудь разрядъ въ числ пропущенъ, напр., если число состоитъ только изъ единицъ и сотенъ и не содержитъ десятковъ? Чмъ замщать недостающіе разряды? Индусы отвчали коротко и ясно: надо замщать нулемъ. И мы теперь, когда отвтъ извстенъ, пожалуй, удивляемся, чего тутъ труднаго, и какъ же было не смекнуть; но жизнь доказываетъ лучше всякихъ словъ, что самыя простыя и общія идеи всегда и самыя мудреныя. Вотъ что говоритъ относительно этого извстный французскій математикъ Лапласъ:

«Мысль выражать вс числа 9-ю знаками, придавая имъ, кром значенія по форм, еще значеніе по мсту, настолько проста, что именно изъ-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Какъ нелегко было прійти къ этой метод—мы видимъ ясно на примр величайшихъ геніевъ греческой учености, Архимеда и Аполлонія, для которыхъ эта мысль осталась скрытой».

Вс величайшія открытія никогда не являются вдругъ и сразу, наоборотъ для нихъ необходима продолжительная подготовка. Какъ же могли индусы прійти къ иде обозначенія чиселъ? какъ они придумали нуль? Врне всего посл счета нагляднаго, т.-е. счета на пальцахъ, камешкахъ и черточкахъ они перешли къ спеціальнымъ счетнымъ приборамъ, именно къ шарикамъ и косточкамъ на проволокахъ и шнурахъ; затмъ естественно было чертить колонны на песк, дощечкахъ и бумаг и въ эти колонки или желобки класть т же косточки и шарики. Дальнйшая ступень: въ колоннахъ чертятся значки или кладутся въ нихъ костяшки съ награвированными цифрами; теперь остался одинъ шагъ и до того, чтобъ цифрамъ придавать значеніе по мсту; дйствительно, если вс колонны заняты, то ихъ края, пожалуй, можно и стереть, потому что и безъ нихъ можно догадаться, что первая справа костяішка обозначаетъ единицы, сосдняя, т.-е. вторая, десятки и т. д. Получится гладкая, ровная поверхность, на которой подрядъ лежатъ костяшки, или начерчены значки; но какъ же быть съ той колонной, въ которой нтъ значка, потому что въ данномъ числ нтъ соотвтствующихъ единицъ? Подобную колонну стирать нельзя, потому что иначе смыслъ всхъ другихъ, лежащихъ влво, измнится, но ее-то одну именно и достаточно начертить, положимъ въ такой форм: || или II или 0. Слдовательно, нуль образовался изъ фигуры пустой колонны.

Вотъ тотъ нормальный путь, которымъ можно постепенно отъ счета на предметахъ придти къ нулю. Путь этотъ очень продолжителенъ. Нужны тьсячелтія, чтобы отъ пальцевъ перейти къ счетнымъ приборамъ, и отъ нихъ къ письму.

Цифры индусовъ произошли, наврное, отъ первыхъ буквъ числительныхъ именъ; это тмъ боле возможно, что 9 первыхъ числительныхъ именъ въ ихъ язык (въ санскритскомъ язык) вс начинаются съ различныхъ буквъ. Индусская система разстановки цифръ отъ правой руки къ лвой по разрядамъ ведетъ начало съ III ст. по Р. X. Арабы ее переняли въ VIII столтіи и принесли въ Европу въ IX вк, но до XIII вка она распространялась въ христіанскихъ государствахъ очень слабо, потому что сначала, какъ и все новое, была встрчена съ недовріемъ и съ трудомъ проникала въ народную массу. Нулемъ индусы стали пользоваться гораздо позже, около VІІ-го или VШ-го вка по Р. X. и во всякомъ случа не ране V-го. Опредленное извстіе о нул мы встрчаемъ въ первый разъ въ 738 г. по Р. X.

Наши цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 получили, какъ признаетъ болынинство ученыхъ, начало отъ индусовъ, но это вовсе не значитъ, что цифры индусовъ имли именно такой видъ, какой он имютъ у насъ.

Въ теченіе вковъ, переходя отъ народа къ народу и отъ ученаго къ ученому, измняясъ подъ вліяніемъ практики и удобства, он успли почти совершенно потерять свою прежнюю форму и вылиться въ новую, непохожую; отъ старинныхъ первоначальныхъ индусскихъ цифръ остались только слабые намеки въ цифрахъ 1, 5, 8, да и то послдняя цифра писалась въ горизонтальномъ положенiи, вмсто вертикальнаго; но во всякомъ случа совершенно возиожно прослдить, какъ изъ первоначальныхъ фигуръ постепенно получились дальнйшія; и вотъ эта-то возможность прослдить и доказываетъ намъ, что цифры получили начало у индусовъ. Въ XIII столтіи, когда индусская система сдлалась извстной всмъ европейскимъ математикамъ, мы видимъ 1, 3, 6, 8, 9, 0 въ той самой форм, въ какой он употребляются и теперь, а остальныя четыре цифры не похожи на наши ныншнія. Въ XV столтіи окончательно выработались цифры 2 и 4, но 7 упорно продолжало писаться въ вид ижицы или угла. 5 дольше всхъ не получало ныншняго своего облика и продолжало изображаться схоже съ 4-мя. Едва въ XVI столтіи можно въ первый разъ встртить систему 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0 въ ея ныншнемъ, всмъ намъ извстномъ вид. Всю эту измнчивость цифръ легко объяснить тмъ, что до 1471 года, когда было отпечатано въ первый разъ математическое сочиненіе типографскимъ шрифтомъ, вс книги переписывались ручнымъ способомъ, и вліяніе переписчиковъ на измненіе формъ цифръ могло быть громаднымъ. Кром того, надо принять во вниманіе, что развитіе цифровыхъ фигуръ шло въ теченіе многихъ сотенъ лтъ, и въ немъ принимали участіе почти вс образованные народы того времени. И если въ наши дни, когда образованіе достигло высокой степени объединенія, когда печатные шрифты получили устойчивую форму, все-таки замчается разнообразіе въ печатныхъ буквахъ и въ различныхъ почеркахъ, то, тмъ боле оно должно было проявляться въ средніе вка, когда произволу переписчиковъ открывалась широкая возможность. (Образцы различныхъ типовъ цифръ мы помщаемъ въ приложеніи 10-мъ въ конц книги).

Итакъ, мы изложили, какъ постепенно изъ индусскихъ цифръ образовались наши ныншнія. Однако же не вс ученые согласны съ тмъ, что дло шло именно такъ, а не иначе. Нкоторые изъ нихъ обратили вниманіе на то, что первыя 4 цифры древнихъ египтянъ, которыми выражаютъ порядковыя числительныя, и, кром того, цифра 9 сильно напоминаютъ индусскія цифры. Если это такъ, то, значитъ, изобртателями цифръ скоре надо счесть египтянъ, а не индусовъ. На это мы отвтимъ слдующее: подобное предположеніе очень возможно, тмъ боле, что есть въ исторіи намеки на какой-то древнйшій, миичеекій народъ—кушитовъ, обитателей Эіопіи и южной части Аравіи, они легко могли быть посредниками между Египтомъ и Индіей и передать цифры отъ египтянъ къ индусамъ.

Второе возраженіе ученыхъ касается того, что истиннымъ посредникомъ въ перенос индусскихъ цифръ въ Европу можно бы считать греческаго ученаго Пиагора, жившаго за 500 лтъ до Р. X. Въ такомъ случа изобртеніе цифръ отодвигается очеиь далеко. И это предположеніе опять можно допустить, потому что есть преданіе, что Пиагоръ много путешествовалъ, заходилъ въ далекіе края Азіи и вывезъ оттуда немало цнныхъ научныхъ изобртеній. Но съ другой стороны, гораздо лучше дать вру иному предположенію, именно, что цифры индусовъ заимствовалъ не Пиагоръ, а его позднйшiе ученики, такъ наз. новопиагорейцы, жившіе въ Александріи, въ Египт, во II–III ст. по Р. X. Они согласно этому предположенію сообщили цифры арабамъ, властителямъ свернаго берега Африки и Испаніи, — маврамъ, а отъ арабовъ могли заимствовать испанцы и итальянцы.

Послдняя догадка, касающаяся нашихъ цифръ и, надо сказать, очень неосновательная, хотя и распространенная, заключается въ слдующемъ.

Будто бы каждая цифра образовалась изъ столькихъ точекъ или изъ столькихъ черточекъ, сколько въ этомъ числ единицъ. Если такъ, то цифра 4 состоитъ изъ Ч,



Но этого никакъ не можетъ быть, потому что это чрезвычайная натяжка и одна только игра остроумія. Такимъ путемъ можно всякую цифру привести къ столькимъ черточкамъ или точкамъ, къ сколькимъ угодно.



Конечно, единица подходитъ подъ эту гипотезу, и римскія цифры I, II, III, ІІІІ совершенно соотвтствуютъ ей, но съ индусскими цифрами ничего не сдлать. Лучшимъ же доказательствомъ несообразности является историческое развитіе цифръ, при которомъ он много, много разъ мняли свою форму, длались неузнаваемыми, походили одна на другую, и только точное изслдованіе историковъ могло разобраться и доказать, какъ изъ одной первоначальной формы вылилась другая окончательная, путемъ многихъ и долгихъ преобразованій. Да и странно было бы думать, что изобртатели цифръ такіе глубокіе мудрецы, что вложили въ каждую цифру таинственный символъ и образовали цифры изъ соотвтствующаго числа черточекъ и точекъ.

Какъ сказано уже нами выше, цифры индусовъ были принесены въ Европу въ IX в. по Р. X., но до XIII в. он распространялись очень слабо.

Причиной этого является недовріе, съ которымъ ученые среднихъ вковъ встртили новинку, хотя бы и полезную. Средневковая школьная ученость (схоластика), правда, не гнушалась свтскими науками, но въ то же время она слишкомъ высоко ставила латинскій языкъ и римскую цивилизацію.

Западная Европа явилась преемницей и носительнщей научныхъ идей древняго Рима, поэтому-то такъ натурально вышло, что средневковая ариметика пользовалась исключительно римскимъ абакомъ и римскими цифрами; хотя едва ли римляне оставили другое боле неудачное и несовершенное наслдіе, чмъ ихъ система ариметики. Во всякомъ случа преданіе, инерція превозмогли все, и долго, долго не ршались ученые среднихъ вковъ порвать связь съ абацистами, т.-е. послдователями римской ариметики, и превратиться въ «алгоритмиковъ», поклонниковъ учености арабской. Несмлыми шагами и тайкомъ, боясь навлечь на себя страшное обвиненіе въ еретичеств, пробирались сильные умомъ и волею ученые монахи въ Испанію, чтобы тамъ, въ центрахъ мавританской учености, въ Барселон и Толедо, напитаться открытіями свжей и новой, чуждой имъ, образованности. Такъ сдлалъ Гербертъ, свтлый умъ своего времени, достигшій папскаго престола подъ именемъ Сильвестра II, ( 1003). Крестовые походы, съ ихъ массовымъ передвиженіемъ цлыхъ народовъ изъ странъ Европы въ государства Азіи, много содйствовали усвоенію науки греческой, арабской, персидской и индусской. Можно сказать, что ариметика едва ли въ такой степени обязана своимъ развитіемъ другому историческому движенію, въ какой она обязана Крестовымъ походамъ. И замчательно, что итальянцы, эти посредники въ сношеніяхъ Европы съ Азіей, особенно чувствовавшіе вліяніе Крестовыхъ походовъ, такъ какъ чрезъ нихъ лилась волна народа въ Азію, явились въ то же время и лучшими математиками. Индусы дали зерно настоящей ариметики, а итальянцы его выростили.

По роду своихъ занятій прикосновенные къ морской торговл (недаромъ Христофоръ Колумбъ былъ родомъ итальянецъ), они особенно нуждались въ ариметик для своихъ коммерческихъ вычисленiй, примняли ее въ банкахъ, конторамъ и т. д. и увковчили свое имя въ термин «итальянская бухгалтерія». Индусы любили ариметику безкорыстно, какъ искусство, и до того ею увлекались, что даже устраивали цлые турниры и состязанія въ ршеніи ариметическихъ задачъ, итальянцы же приспособили ее прежде всего для цлей узкожитейскихъ.

Еще нсколько словъ объ индусахъ: имъ мы такъ обязаны усовершенствованіемъ ариметики. Это былъ народъ высококультурный, склонный къ отвлеченному мышленію. Едва ли какой-нибудь другой народъ на цломъ свт любилъ настолько жить въ мір идей, какъ это видимъ у индусовъ. Ихъ чистые созерцатели «факиры» пользуются всемірной извстноетью. Об самыхъ распространенныхъ религіи Азіи, буддизмъ и браманизмъ, получили свое начало въ Индіи. Согласно съ этимъ, математика отличалась у индусовъ идейнымъ, отвлеченнымъ характеромъ и носила алгебраичеекую окраску, въ противоположность грекамъ, поклонникамъ природы и наглядности, которые боле любили устремляться на геометрическія построенія. Въ полет своей математической фантазіи индусы явились изобртателями даже не одной, а многихъ ариметическихъ системъ. Такъ, напр., индусъ Аріабгатта, ученый V в. по Р. X., бралъ 25 согласныхъ буквъ и ими выражалъ вс числа, начиная съ единицы и оканчивая 25-ю, особыми же буквами обозначалъ онъ и полные десятки до 100; а чтобы обозначить сотни, тысячи и т. д., онъ къ предыдущимъ знакамъ придавалъ гласныя буквы, при чемъ особая гласная обозначала сотни, особая тысячи и т. д. Наиримръ, «д» значитъ три, «да»—300, «ди»=30 000, «де» 30 000 000 000. Математики Южной Индіи для каждаго изъ однозначныхъ чиселъ имли по нскольку особыхъ значковъ, — буквъ, также имлось нсколько особыхъ знаковъ въ вид буквъ и для нуля. И вотъ, когда имъ приходилось обозначать разряды какого-нибудь длиннаго числа, она старались вмсто цифръ подставить буквы такъ, чтобы изъ нихъ составилось какое-нибудь слово, имющее смыслъ. Мало того, когда имъ приходилсь запоминать не одно число, а нсколько, то они рядъ чиселъ замняли цлой фразой, которая, опять-таки, имла смыслъ. И наконецъ, что всего удивительне, при длинномъ ряд чиселъ, когда изъ нихъ составлялось нсколько фразъ, индусы ухитрялись сочинять цлые стихи и такимъ образомъ запоминать длинныя таблицы; для этого, конечно, нужна большая сноровка и многолтнія упражненія. И въ наше время среди индусовъ встрчаются такіе виртуозы, что въ ум совершаютъ головоломнйшія вычисленія, не прибгая къ помощи цифръ. Главный секретъ успха заключается въ этомъ случа въ томъ, что они при устномъ счет легко запоминаютъ вс промежуточные результаты, не теряютъ ихъ и не сбиваются, какъ это непремнно случилось бы съ нами; кром того, конечно, помогаетъ имъ и привычка къ искусственнымъ и сокращеннымъ пріемамъ вычисленія, когда возможно столько упрощеній.

Распространеніе индусскихъ цифръ въ Россіи

 Сделать закладку на этом месте книги

Какія были цифры у нашихъ предковъ до введенія христіанства? Врне всего никакихъ.

Для своихъ небольшихъ разсчетовъ, надо полагать, они пользовались или пальцами, или нарзками на палочкахъ, иначе сказать бирками, которыми и сейчасъ пользуется темное крестьянство. Знакомство съ греками, введеніе христіанства и переводъ священныхъ книгъ на славянскій языкъ привели къ тому, что въ Россіи появилась своя славянская система цифръ, какъ простая копія и сколокъ греческой системы. Нерадостна и незавидна была участь ариметики въ Россіи. Нужды въ ней никакой особой не чувствовалось, по отсутствію образованности и торговли, и примнять ее необходимо было разв для вычисленія пасхаліи, т.-е. для опредленія дня Пасхи и другихъ переходящихъ праздниковъ. Наоборотъ, надо сказать, на ариметику смотрли косо, неласково и съ подозрніемъ; она была на замчаніи вмст съ «Остронумей», ежеесть «звздочетье», и «волхвованіемъ». По мннію проф. Бобынина, появленіе въ Россіи первыхъ ариметическихъ рукописей должно быть отнесено къ началу XII вка. Среди нихъ самая извстная: «Кирика діакона и доместика Новгородскаго Антоніева монастыря ученіе, имже вдати человку числа всхъ лтъ». Подлинники старинныхъ рукописей, къ большому сожалнію для науки, утерялись постепенно въ теченіе столтій, а также не перестаютъ утериваться и въ наши дни. Такъ, во время пожара Москвы въ 1812 году погибла древнйшая ариметика (XVI в.). «Сія книга рекома по-гречески Ариметика, а по-нмецки Алгоризма, а по-русски Цифирная Счетная мудрость». Самою замчательною изъ сохранив-шихся рукописей Бобынинъ признаетъ ариметику XVII в. съ такимъ характернымъ предисловіемъ:

«Пятая мудрость въ семи великихъ мудростхъ нарицается Ариметика. Начало мудростемъ: Грамматика, Геометрія, Астрономія, Музыка. Т 4 мудрыя книги. Сія мудрость есть изыскана древними философи остропаримаго разума, нарицается ариметика, сирчь счетная—аримосъ по-гречески счетъ толкуется. Безъ сея мудрости ии единъ философъ, ни докторъ не можетъ быти. По сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товархъ и въ торгхъ силу знаютъ, и во всякихъ всахъ и въ мрахъ, и въ земномъ верстаніи, и въ морскомъ теченіи. Сія мудрость есть многихъ въ прикуихъ корысти сподобляетъ и честь да-руетъ и умъ человческій высокопаривъ творитъ, и память укрпляетъ, и острыхъ остре творитъ въ разумъ. И сего ради слыши сію мудрость и вонми яже глаголетъ. Ариметика. Азъ есмь отъ Бога свободная мудрость высокозрительнаго и остромысленнаго разума и добродатное придарованіе человческое. Мною человкъ превосходитъ безсловесное неразуміе. Азъ бо


убрать рекламу




убрать рекламу



есмь своима легкима крылома парю выспрь подъ облаки, аще и нсть мя тамо. Азъ заочныя, невидимыя и предъочныя дла объявляю; въ солнечномъ же и въ лунномъ теченіи разумъ многимъ подаваю; и въ морскомъ плаваніи и въ земномъ верстаніи наставляю и мру указую; и въ купеческихъ вещхъ, и во всякихъ числхъ недоумніе разршаю. И сего ради отъидете отъ меня иже меламколіею обдержаны суть, и у которыхъ мозги съ черною желчью смшаны, а моимъ ученикомъ достоитъ имти суптильный чистый и высокій разумъ».

Такія пышныя предисловія составляютъ характерную черту ариметикъ этого періода. Текстъ въ нихъ писанъ славянскими буквами, и цифры употребляются въ большинств славянскія. Индусскія цифры сдлались извстными въ Россіи съ 1611 года и появились первоначально въ тхъ славянскихъ книгахъ, которыя печатались въ юго-западныхъ типографіяхъ. Здсь сказывается польское вліяніе: оно энергично воздйствовало на Россію въ XVII ст. и много сообщило намъ такого, что само получило отъ западно-европейской культуры.

Первоначально индусскія цифры употреблялись только для обозначенія страницъ въ книгахъ, а самый текстъ довольствовался славянскими цифрами. Въ 1647 г. въ Москв издали книгу подъ заглавіемъ: «Ученіе и хитрость строенія пхотныхъ людей», въ ней цифры уже новыя, а не старыя—церковно-славянскія. Въ «Юрнал объ осад Нотебурга» (1702 г.) половина экземпляровъ имла «числа русскія», т.-е. со славянскими цифрами, а другая «цифирныя».

Классическій и знаменитый трудъ по части ариметики —

«Ариметика, сирчь наука числительная. Съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведеная, и во едино собрана и на дв книги раздлена.



Сочинися сія книга чрезъ труды Леонтіа Магницкаго».

Это извстная ариметика Магницкаго (1703 г.), по которой учились вс во времена Петра Великаго; по ней работалъ самоучкой и нашъ великій Ломоносовъ. Это книга большого формата, напоминающая своей формой и шрифтомъ церковное Евангеліе или скоре Апостолъ. Въ ней боле 300 страницъ. Весь шрифтъ и обозначеніе страницъ — славянскіе, вычисленія же производятся на индусскихъ цифрахъ. Нумерація прямо и ршительно къ нимъ и переходитъ, минуя совершенно старые славянскіе знаки.

«Что есть нумераціо; нумераціо есть счисленіе еже совершенно вся числа рчію именовати, яже въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ содержатся и изображаются сице: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0».

Во времена посл-петровскія совершенно исчезаютъ славянскія цифры и славянскій текстъ. Книги принимаютъ такой шрифтъ и такую форму, какими мы пользуемся и теперь. Напоминаетъ лишь о старыхъ временахъ тяжелый слогъ и неупотребительныя въ настоящемъ литературномъ язык выраженія. Вотъ выдержка изъ руководства къ ариметик «для употребленія гимназіи при императорской академіи наукъ», переведеннаго въ 1740 г. съ нмецкаго языка «чрезъ Василья Адодурова, академіи наукъ адъюнкта»:

«Всякое число какъ бы оно велико ни было, изъявляется весьма коротко и способно слдующими знаками: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которыхъ знаменованіе, когда оныя порознь разсуждаются, довольно извстно, и того ради никакова изъясненія больше не требуетъ».

Почти то же самое говоритея и въ сочиненіи Румовскаго (1760 г.):

«При счисленіи чиселъ больше не употребляется, какъ десять слдующихъ знаковъ: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, которыхъ знаменованіе всякому извстно».

Замчательно, что у Румовскаго совершенно то же выраженіе, что и у Адодурова «которыхъ знаменованіе довольно извстно». Вотъ какъ любятъ авторы черпать одинъ у другого не только доказательства и мысли, но и случайныя фразы. Неудивительно поэтому, что въ нашихъ гимназіяхъ и реальныхъ училищахъ все еще ршаютъ по ариметик такія задачи, какія были въ сборникахъ тысячу лтъ тому назадъ.

Приведемъ еще небольшія выписки.

«Знаки, употребляемые въ исчисленіи, суть слдующіе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9».

(Курсъ математики. Сочиненіе господина Безу. Переводъ Василья Загорскаго. 1806 г.).

Въ руководств къ ариметик, для употребленія въ народныхъ училищахъ Россійской Имперіи, изданномъ «отъ Главнаго училищъ правленія», 1825 г., говорится такъ:

«Знаки чиселъ суть слдующіе 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Еъ симъ еще принадлежитъ знакъ единицы 1, и знакъ 0, который по себ ничего не значитъ и потому нулемъ называется. Вс сіи знаки цифрами именуются».

Какъ видимъ, въ этой книжк новшество, именно знакъ 1 стоитъ отдльно. Объяснить такой фактъ можно вліяніемъ нкоторыхъ математиковъ, ко-торые, согласно съ Пиагоромъ, учили, что единица сама по себ не есть число, но только образуетъ другія числа. Впрочемъ, подобное новшество скоро опять пропадаетъ, и уже въ 1834 году въ ариеметик, составленной Павломъ Цвтковымъ, мы читаемъ совершенно по-просту и безъ затй:

«Всевозможныя числа изображаются десятью знаками или цифрами: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Каждая изъ сихъ цифръ означаетъ опредленное и постоянное число единицъ».

Виды чиселъ

 Сделать закладку на этом месте книги

Какую цль преслдуетъ ариметика въ нашихъ школахъ? Очевидно, она желаетъ научить дйствіямъ и ршенію практическихъ задачъ. Но не всегда эта цль такой и была, потому что въ различные вка и при разныхъ научныхъ системахъ она то суживалась, то расширялась, то уклонялась въ сторону. Она суживалась до вычисленія одной только пасхаліи въ средневковыхъ христіанскихъ школахъ; она расширядась до изученія алгебры у индусовъ и арабовъ, до извлеченія корней въ недавнее время и до пропорцій въ наши дни; и корни, и пропорціи такъ же чужды настоящей ариметик и ея цлямъ, какъ «раздленіе втровъ во оризонт» и «изображеніе кумпаса», пріютившіяся въ ариметик Магницкаго. Но самымъ уродливымъ уклоненіемъ нашей науки съ ея истиннаго пути было то, когда вмсто вычисленій и дйствій ученые занимались классификаціей чиселъ и открытіемъ ихъ таинственныхъ свойствъ. А стремленіе къ такимъ занятіямъ не разъ прорывалось наружу, особенно у людей, настроенныхъ мистически. Среди нихъ первое мсто занимаетъ греческій философъ Пиагоръ и его послдователи. Онъ жилъ за 500 лтъ до Р. X. въ знаменательное время, когда приблизительно жили и дйствовали основатели новыхъ религій, Зороастръ въ Персіи и Конфуцій въ Кита. То было мистически настроенное время, и Пиагоръ оказался усерднымъ его дтищемъ, такъ какъ вникалъ въ числа и искалъ въ нихъ ихъ внутренняго смысла. Онъ искалъ священныхъ чиселъ и выше всего ставилъ число 36, какъ символъ «всей вселенной», на томъ основаніи, что число 36 равно сумм первыхъ четырехъ четныхъ и первыхъ четырехъ нечетныхъ чиселъ: 36 = 1+3+5+7+2+4+6+8; числомъ 36 пользовались ученики Пиагора, какъ торжественной формулой клятвы. Число 9 было у нихъ символомъ постоянства, такъ какъ вс кратныя 9-ти имютъ суммой цифръ все-таки 9, именно: у дважды девяти, т.-е. у 18, сумма цифръ 1+8=9, у трижды девяти, т.-е. у 27-ми, 2+7=9, у 36-ти 3+6=9 и т. д. Число восемь было символомъ смерти, потолу что кратныя 8-ми, т.-е. 16, 24, 32, 40 имютъ все меньшую и меньшую сумму цифръ: 7, 6, 5, 4. Единица, по Пиагору, обозначала духъ, изъ котораго проистекаетъ весь видимый міръ. Изъ единицы происходитъ двойка, символъ матеріальнаго атома. Принимая въ себя опять единицу, двойка, или матеріальный атомъ, становится тройкой или подвижной частицей. Это символъ живого міра. Живой міръ плюсъ единица, слд., четверка, образуетъ цлое, т.-е. видимое и невидимое. Такъ какъ 10=1+2+3+4, то оно выражаетъ собою «Все». Пиагорейцы провозглашали число началомъ и основаніемъ всхъ вещей, такъ какъ, по ихъ словамъ, природа числа не допускаетъ никакого обмана, она закономрна и неизмнна, она проникаетъ въ неизвстное.

Такими-то хитросплетенными умствованіями занимались пиагореіцы; они не были въ этомъ случа одинокими, потому что извстно не мало и другихъ любителей таинственной, символической ариметики. Прежде всего назовемъ египтянъ, у которыхъ богъ Озирисъ представлялся числомъ 4, богиня Изида числомъ 3, а «Время» числомъ 5, и все это чертилось въ вид прямоугольнаго треугольника со сторонами 3, 4, 5, въ которомъ квадратъ гипотенузы, 5·5=25, равенъ сумм квадратовъ катетовъ: 3·3+4·4. Бредни халдеевъ относительно чиселъ доставили имъ славу волшебниковъ; каждый халдейскій богъ, отъ 1-го и до 60-го, имлъ свое особое число, ему посвященное; даже и духи не были обижены, потому что и имъ были посвящены числа, но только похуже—дробныя. Мистическое ученіе евреевъ, такъ наз., каббала (отсюда «каббалистическіе», т.-е. таинственные, знаки) возникло за 2 вка до Р. X. и развивалось вплоть до XIII столтія и дале. Первыя десять чиселъ считались у нихъ: «путями премудрости».

Христіанская средневковая Европа тоже не лишена была стремленій къ таинственному символическому толкованію чиселъ. Епископъ майнцкій Рабанъ Мавръ въ IX в. ршалъ вопросъ, почему Моисей и Илія постились ровно 40 дней?

«А потому, — отвчаетъ Рабанъ, — что 40 состоитъ изъ 4 десятковъ и этимъ знаменуетъ временную жизнь, ибо 4 выражаетъ время, а въ 10-ти можно распознать Бога и Его творенія».

Алькуинъ, другъ императора Карла Великаго, заинтересовался численной задачей: почему Св. Апостолъ Петръ поймалъ 153 рыбы? не больше и не меньше, а ровно 153? Алькуину казалось, что онъ нашелъ ршеніе: 153=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17, т.-е. число 153 равно сумм первыхъ 17-ти чиселъ. Но почему же именно 17-ти? На это Алькуинъ ничего не отвчаетъ.

Сколько труда и энергіи тратилось обыкновенно на эти изысканія и на эти изслдованія глубины числовыхъ отношеній! Правда, можно согласиться, что эти труды не пропали безъ всякой пользы и содйствовали теоріи ариметики и такъ называемой теоріи чиселъ, они заставили вникнуть въ разложеніе чиселъ на множителей и на слагаемыя и привели къ числовымъ рядамъ, которые теперь у насъ зовутся прогрессіями. Такъ древне происхожденіе прогрессій! У насъ он отодвинуты на конецъ алгебры, а у древнихъ математиковъ имъ отводилось почетное мсто въ элементарной ариметик.

Дленіе чиселъ на четныя и нечетныя извстно было еще въ древнемъ Египт; оно же было вполн извстно и Пиагору, потому что уже въ его времена была въ ходу игра «въ четъ и нечетъ». Кром того, пиагорейцы раздлили числа на первоначальныя и составныя; первоначальными они называли, подобно намъ, такія числа, которыя не разлагаются на другихъ длителей, а составными т, которыя можно представить въ вид произведенія 2 множителей; и такъ какъ греки, любители и поклонники геометріи, смотрли и на ариметику со стороны геометрическихъ свойствъ, то они еще придумали называть первоначальныя числа линейными, а составныя плоскостными; дйствительно, всякое составное число, напр. 10, разлагается на 2 производителя, въ данномъ случа на 2 и на 5, и потому можетъ обозначать собой площадь, хоть напрмръ, прямоугольника, у котораго стороны 2 и 5; первоначальныя же числа могутъ выражать собой только длину линіи, если, конечно, не вводить дробей.

Еще пиагорейцы выдлили треугольныя числа и квадратныя: треугольное число то, которое представляетъ собою половину произведенія 2 сосднихъ чиселъ, напр., 6 будетъ треугольнымъ числомъ, потому что его можно образовать умноженіемъ 3 на 4 и дленіемъ на 2; вотъ примры треугольныхъ чиселъ: 10=4·5/2, 15=5·6/2, 21=6·7/2, 28=7·8/2, 36=8·9/2 и т. д.

Ясно, почему они заслужили такое названіе: они могутъ выражать собой площадь треугольника. Что значитъ квадратное число, легко догадаться: то число, которое составлено изъ 2-хъ равныхъ множителей; квадратныя числа слдующія: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т. д.

Кром того, у грековъ были «совершенныя числа». Подъ этимъ именемъ разумлись такія, которыя равны сумм всхъ своихъ длителей, считая единицу; самый легкій примръ совершеннаго числа —28, потому что 28=1+2+4+7+14; другимъ примромъ можетъ служить число 496; если сложить всхъ его множителей, считая и единицу, то въ сумм получимъ опять 496; множители слдующіе: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248.

Отъ совершенныхъ чиселъ греки перешли къ такъ наз. содружественнымъ. Два числа называются содружественными тогда, когда каждое изъ нихъ равно сумм длителей другого; лучшимъ примромъ такихъ чиселъ могутъ служить 220 и 284, у перваго изъ нихъ длители 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 даютъ вмст 284, а у второго длители 1, 2, 4, 71, 142 даютъ въ сумм число 220. Въ теоріи содружественныхъ чиселъ не обошлось безъ курьеза, опять проявилась та же наклонность къ таинственному и волшебному. Нкій Мадштрити, умершій въ Мадрид въ 1007 году по Р. X., въ своемъ сочиненіи «О цляхъ существующаго» пытается уврить, что содружественныя числа могутъ сыграть роль талисмана или приворотнаго зелья; а способъ для этого очень простой: надо написать на 2 бумажкахъ, на одной число 220, на другой—284, сжечь ихъ и пепелъ выпить съ водой, большее число самому, а меньшее тому, кого желательно къ себ расположить. Другой авторитетный человкъ, нкто Ибн-халдунъ, подтверждаетъ, что дйствительно эти числа имютъ значеніе талисмановъ, и что многіе на дл это испытали и уврились; и онъ самъ, Ибн-халдунъ, на своемъ опыт въ этомъ же уврился.

Все, изложенное выше, принадлежитъ, главпымъ образомъ, грекамъ, потому что вс эти подраздленія и вс формулы разрабатывались въ школ Пиагора и уже отъ позднйшихъ его учениковъ перешли къ арабамъ. Римляне не заносились такъ далеко въ своей фантазіи и предпочитали быть поближе къ практик и наглядности; вычисляли они, какъ выше уже сказано, все больше по пальцамъ и даже ухитрялись замчать на пальцахъ довольно большія числа; при этомъ единицы отмчались пальцами, а десятки до сотни—суставами пальцевъ, именно:

1—мизинецъ согнутъ, 2—четвертый и пятый пальцы согнуты, 3—третій палецъ согнутъ и т. д.;

10—верхній суставъ указательнаго пальца прижатъ къ нижнему суставу большого пальца,

20—указателышй палецъ протянутъ; большой палецъ приближается къ нижнему суставу указательнаго,

30—верхніе суставы большого и указательнаго пальца сближены

и т. д.

Подобная наклонность считать все по пальцамъ отразилась и на раздленіи чиселъ. Простыя единицы до 10-ти назывались у римлянъ пальцевыми (digiti), круглые десятки до сотни назывались суставными (articuli), и, наконецъ, вс остальныя числа носили названіе сложныхъ или сочиненныхъ (compositi).

Когда свтъ христіанства распространился изъ Рима на всю Западную Европу, то вмcт съ этимъ разлилась волна и римской образованности. Скудна была римская арииетика, но, за неимніемъ лучшей, она царила безраздльно во всей Европ до XIII–XIV вка, со своимъ абакомъ, римскими цифрами и пальцевымъ счетомъ. Скудна и бдна была теоретическая часть ариметики, но она цнилась тмъ выше, чмъ была бдне. Вслдствіе этого и раздленіе чиселъ на пальцевыя, суставныя и сочиненныя бережно хранилось, какъ что-то священное и чрезвычайно важное, и передавалось отъ одного ученаго къ другому даже тогда, когда Европа ознакомилась съ арабской ариметикой, и дошло почти до нашихъ дней, по крайней мр, проявляло признаки жизни въ XVIII вк, когда пропалъ и абакъ, в пальцевый счетъ. Римскія цифры оказались еще боле живучими, такъ что помщаются въ нашихъ ариметикахъ и проходятся въ школахъ по сегодняшній день. Въ послдній разъ мы видимъ пальцевыя, суставныя и сочиненныя числа въ славянской ариметик Магницкаго (1703 г.). Въ ней говорится:

«Персты: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Сія изображенія отъ многихъ называютея персты, а толико ихъ числомъ, елико и перстовъ есть по разумнію нкоторыхъ. Составы: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200. Сія числа имянуются составы, зане цифрою 0 всегда въ десятеро составляютъ. Сочиненіе: 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27. Сія числа сочиненія называются, понеже они изъ перстовъ и составовъ сочиняются».

Какъ видимъ, въ этихъ объясненіяхъ недостаетъ убдительности, да и примры-то взяты непослдовательно и односторонне. Впрочемъ, авторъ добавляетъ еще объясненіе, которое, пожалуй, не столько уясняетъ, сколько запутываетъ:

«Умствовати же вышеобъявленная перстовая, составная и сочиненная числа, въ сотни, въ тысящы и вящще, сочиненіе отъ правыя руки къ лвой изчисляя впредь въ десятеро»

Выговариваніе цифръ и чиселъ

 Сделать закладку на этом месте книги

Прежде всего, что значитъ слово «цифра»? Могу поспорить съ вами, читатель, что, не особенно задумываясь, вы быстро ршите этотъ вопросъ и скажете: слово «цифра» значитъ знакъ (а можетъ-быть, вы скажете—знакъ числа). Но это совершенно неврно. Слово «цифра» иметъ совсмъ другое значеніе и притомъ довольно нео-жиданное: по-русски это будетъ «ничто». Какъ-же такъ „ничто“? вдь это нуль, а кром нуля есть еще и значащія цифры, къ которымъ ужъ совсмъ нельзя примнить смысла «ничто»?

Объяснимъ все это недоразумніе подробно.

Изобртатели нуля индусы дали ему названіе «суніа» (Sunya), что значитъ «пустое», и этимъ указали на смыслъ нуля, замняющаго пустыя колонны или пустые разряды.

Арабы, перенявши нуль и примняя его въ своей ариметик, перевели кстати и индусское слово «пустое» на свой языкъ: по-арабски пустое будетъ ас-сифръ. И долго, очень долго сохранялся первоначальный смыслъ этого термина, такъ что цифрой называли только кружокъ, т.-е. нуль. Сравнительно недавно ршились оставить цифр нуль ея латинское имя (нуль по-латыни значитъ ничто), арабскій же терминъ распространить на вс 10 знаковъ индусской системы. Даже въ ариметик Магницкаго, о которой мы говорили на предыдущихъ страницахъ, подъ цифрой разумется только нуль, кружокъ, или какъ его называли въ XVII в., «онъ» (буква о). Вотъ какъ говоритъ Магницкій:

«Вся числа въ десяти знаменованіяхъ или изображеніяхъ содержатся, изъ нихъ же девять назнаменовательны суть, послднее-же 0 (еже цифрою или ничемъ именуется) егда убо (оно) едино стоитъ, тогда само о себ ничто-же значитъ, егда-же коему оныхъ знаменованій приложено будетъ, тогда умножаетъ въ десятеро».

Какъ видите, читатель, здсь вмсто слова цифра употребляется знаменованіе, а цифрой называется одинъ только нуль.

Таково происхожденіе слова «цифра». Чтобы перейти къ выговариванію чиселъ, прежде всего скажемъ, что всякій народъ, какой бы системой счета онъ ни пользовался, всегда длилъ многозначныя числа, для удобства выговариванія и письма, на классы. Греки въ основу класса полагали 4 разряда: это, такъ наз., счетъ миріадами. Римляне же составляли классъ изъ 3 разрядовъ. Нашъ настоящій порядокъ, во всей его основ, примняться сталъ съ XVI столтія, при чемъ въ нкоторыхъ странахъ классъ составляется не изъ Зхъ, а изъ 6-ти разрядовъ, подраздляющихся, въ свою очередь на два подкласса, по 3 разряда въ каждомъ. Подобная система въ 6 разрядовъ ведетъ свое начало отъ голландскаго математика Альберта Жирара (1629 г.). Кстати можно вспомнить, что и у грековъ было нчто въ этомъ род. Напр., великій математикъ Архимедъ, когда ему надо было выговаривать большія числа, считалъ въ каждомъ класс по 8 разрядовъ, вмсто 4-хъ.

Классы отдлялись другъ отъ друга при письм различно: то между ними ставили черточки, то оставляли промежутки, иногда пользовались дугами, точками. Въ старинныхъ нмецкихъ учебникахъ можно чаще всего встртить точки, и при томъ между 1 и 2 классомъ ставилась одна точка, между 2 и 3—дв и т. д., все больше и больше. Это помогало выговариванію. Въ самое послднее время (съ 8 окт, 1877 г.) принято въ Германіи и даже утверждено Союзнымъ совтомъ, чтобы классъ отъ класса отдлялся промежутками, но никакъ не точкой, запятой и черточкой. Съ тхъ поръ во многихъ математическихъ книгахъ стали пользоваться именно этимъ порядкомъ.

Названіе большихъ чиселъ, начиная съ милліона, стали объединяться и вырабатываться прежде всего въ Италіи, которая въ начал новыхъ вковъ справедливо могла считаться колыбелью математики. Такъ, терминъ «милліонъ» вошелъ тамъ въ употребленіе въ конц XV вка. Слово «милліардъ», въ смысл тысячи милліоновъ, образовалось во Франціи въ первой половин XIX вка. Билліонъ и трилліонъ введены въ XVII столтіи; но къ новымъ терминамъ привыкаютъ очень медленно, а поэтому и въ XVI столтіи можно было натолкнуться на такое чтеніе: 23 раза по тысячью тысяч тысячъ, 456 разъ по тысяч тысячъ, 345 тысячъ 678: все это равно числу 23 456 345 678

Число и порядокъ дйствій, знаки и опредленія

 Сделать закладку на этом месте книги

На вопросъ, сколько ариметическихъ дйствій, теперь всякій, даже недоучившійся въ школ, можетъ отвтить, что ихъ—четыре: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Но не всегда было такъ; прежде дйствій насчитывали больше: 5, 6, 7, и даже 9. Откуда же ихъ столько брали? Очевидно, изъ того же источника, т.-е. изъ ариметики, но съ раздленіемъ и дополненіемъ. Во-первыхъ, нумерацію принимали за особое дйствіе и такимъ образомъ насчитывали 5. Во-вторыхъ, долгое время у большинства писателей выдлялись еще въ особыя правила удвоеніе и раздвоеніе. Выходитъ дйствій семь. Къ нимъ иногда присоединяли возвышеніе чиселъ въ степень и извлеченіе корня, и получалось 9.

Происходила эта путаница отъ того, что авторы никакъ не могли согласиться, что разумть подъ дйствіемъ. Мы разумемъ подъ нимъ составленіе новаго числа по даннымъ числамъ и потому не считаемъ нумерацію за дйствіе.

Удвоеніе числа и дленіе пополамъ изстари, съ глубокой древности, еще со временъ египтянъ, считалось не видомъ умноженія и дленія, а особымъ дйствіемъ. Впрочемъ, отъ египтянъ его переняли не столько римляне, сколько арабы. Поэтому въ борьб новой арабской ариметики со старой римской, когда въ XIII–XIV вв. столкнулись латинская схоластика съ индусской математикой, удвоеніе и раздвоеніе стояли на знамени новой науки и усиленно рекомендовались въ качеств очень полезной и важной мры для лучшаго усвоенія дйствій. Ученый англичанинъ Сакро-Боско, жившій въ XIII столтіи, рекомендовалъ начинать дленіе пополамъ справа, т.-е. съ низшихъ разрядовъ, подобно сложенію и вычитанію, а удвоеніе—слва, съ высшихъ разрядовъ, какъ это длалъ онъ и въ умноженіи вообще и въ дленіи. Сейчасъ намъ совершенно непонятно, какія такія удобства могли бы представиться, если бы начинать дленіе справа, а умноженіе слва; мы, по крайней мр, стали бы производить эти дйствія совершенно наоборотъ. Наврное, такія же причины заставили и средневковыхъ математиковъ поглубже вдуматься, есть ли, дйствительно, польза отъ того, чтобы удвоеніе и раздвоеніе отличать отъ простого умноженія и дленія; пришлось сознаться, что это только частные случаи главныхъ дйствій; первый, кто авторитетно заявилъ объ этомъ, былъ итальянецъ Лука Пачіоло (1500 г.). Онъ перешелъ къ нашему обыкновенному способу дленія.

Возвышеніе чиселъ въ квадратъ и кубъ и извлеченіе корней считалось необходимой принадлежностью ариметики почти до самаго послдняго времени. Эти два правила помщались въ ариметик до 50-хъ и даже 60-хъ годовъ истекшаго[6] столтія. Теперь ихъ пропускаютъ, потому что, чтобы ихъ выяснить толково, надо знать алгебру, и, слд., лучшее имъ мсто въ алгебр.

Арабскій математикъ Аль-Ховаризми (въ IX в. по Р. X.), въ честь котораго и вся система арабской ариметики получила названіе алгоритма, не считалъ нумерацію за дйствіе и принималъ только слдующія шсть: сложеніе, вычитаніе, дленіе пополамъ, удвоеніе, умноженіе и дленіе. Послдовательность дйствій у него, какъ видимъ, очень оригинальная, хотя ей нельзя отказать въ большой дол цлесобразности, въ смысл перехода отъ легкаго къ боле трудному. Когда удвоеніе и раздвоеніе были оставлены, то многіе математики начали посл сложенія проходить прямо умноженіе, а потомъ ужъ вычитаніе съ дленіемъ. И они поступали въ этомъ случа основательно, потому что умноженіе опирается на сложеніе, а дленіе можетъ приводиться къ повторительному вычитанію длителя изъ длимаго.

Въ только что минувшемъ XIX столтіи нкоторые нмецкіе педагоги придумали изъ одного дленія образовать 2 дйствія, именно, во-первыхъ, когда требуется раздлить число на нсколько равныхъ частей, и, во-вторыхъ, когда надо узнать, сколько разъ одно число содержится въ другомъ. Такое раздленіе надо признать излишнимъ, тутъ вовсе нтъ 2-хъ различныхъ дйствій, а есть только два вида одного дйствія, при чемъ въ первомъ вид отыскивается множимое по произведенію и множителю, а во второмъ — множитель по произведенію и множимому. Отдльные знаки для этихъ 2-хъ видовъ мы также полагали бы лишними: длимъ ли мы, наприм., на пятерыхъ или длимъ на пятки, и тутъ, и тамъ все длимъ, поэтому и можно удовольствоваться однимъ знакомъ.

Поговоримъ теперь о знакахъ ариметичесвихъ дйствій и прежде всего отмтимъ, что потребность въ знакахъ начала чувствоваться такъ же давно, какъ и потребность въ цифрахъ. Какъ цифрами первоначально служили наглядныя фигуры и буквы алфавита, такъ и знаки образовались изъ чертежей и тоже буквъ. Еще древніе египтяне употребляли при сложеніи нчто въ род нашего плюса. У грековъ знакомъ сложенія являлась косая черта, при вычитаніи писалась кавычка, и знакомъ равенства служила дуга (см. приложеніе 11-е въ конц книги). Поздне (въ IV в. по Р. X.) Діофантъ Александрійскій, знаменитый греческій геометръ; ввелъ вмсто знака равенства букву і, начальную букву слова «», что значитъ «равны». Арабы вовсе не употребляли знака сложенія въ томъ случа, когда количества писались рядомъ, потому что, дйствительно, здсь можно подразумвать сложеніе само собой. Знакъ вычитанія у нихъ писался въ вид цлаго слова, которое, въ перевод на русскій языкъ, значитъ «безъ». Вычитаемое арабы ставили налво, а уменьшаемое— направо, потому что они, подобно всмъ семитическимъ народамъ, располагали слова отъ правой руки къ лвой, а не отъ лвой къ правой, какъ мы. Знакомъ равенства у нихъ было S; это есть послдняя буква слова «равняется». Нашъ настоящій знакъ равенства введенъ въ алгебру Робертомъ Рекордомъ въ 1556 году. Косой крестъ при умноженіи окончательно предложенъ Уттредомъ въ 1631 году. Но и до него этотъ знакъ употреблялся очень чагсто и считался очень удобнымъ, потому что онъ указывалъ не только дйствіе, но и порядокъ дйствія. Именно, старинный употребительный способъ умноженія былъ способъ «крестика», въ такомъ род:

26

X

34


Чтобы умножить 26 на 34, брали 4 отдльныхъ произведенія: 204, 630, 64, 2030, изъ нихъ два вертикально и два крестъ на крестъ. Этотъ способъ иначе называется хіазмомъ, потому что косой крестъ походитъ на греческую букву (хи), и самый знакъ умноженія назывался иногда «хи». Замчательно, что онъ же продолжительное время служилъ и знакомъ дленія дробей, такъ какъ въ этомъ случа тоже приходится выполнять дйствіе крестъ накрестъ: числителя одной дроби помножать на знаменателя другой. Христіанъ Вольфъ въ XVIII ст. предложилъ обозначать умноженіе точкой. Наши знаки плюсъ и минусъ въ ихъ нормальной форм встрчаются въ первый разъ около 1489 г. въ ариметик лейпцигскаго профессора Видмана. Съ 1600 г. уже во всхъ четырехъ дйствіяхъ можно видть настоящіе знаки.

Теперь поведемъ рчь объ опредленіяхъ дйствій. Что показываетъ опредленіе? Оно указываетъ смыслъ дйствія и его сущность. Такъ, напр., опредленіемъ умноженія цлыхъ чиселъ служитъ слдующее: «умноженіемъ называется такое ариметическое дйствіе, въ которомъ составляется сумма столькихъ слагаемыхъ, равныхъ первому даному числу, сколько единицъ заключается во второмъ данномъ числ». Надо сказать, что опредленія въ первоначальной арабской ариметик были короткими и понятными и употреблялись только тогда, когда въ нихъ дйствительно являлась надобность, т.-е. когда дйствіе безъ опредленія представлялось неяснымъ и смшивалось съ другимъ. Но, въ противоположность этому, средневковая школьная ученость (такъ назыв. схоластика) начала придавать словеснымъ опредленіямъ слишкомъ большое значеніе, начала требовать опредленій даже и въ тхъ случаяхъ, когда и безъ нихъ понятія ясны, просты и не смшиваются. Къ этому еще присоединилось увлеченіе мнимо-научнымъ языкомъ, когда стремились нарочно выражатьея туманно, тяжеловсно, нагромождая фразу на фразу, и все это съ цлымъ рядомъ придаточныхъ предложеній, въ груд которыхъ нердко было трудно дойти до истиннаго смысла. Излишнія и тяжело выраженныя опредлевія не мало мучили учащихся; средневковая варварская латынь и хитроумная риторика ложились тяжелымъ бременемъ на умственныя силы учениковъ и мало содйствовали уясненію основныхъ математическихъ понятій. И въ наши дни замтно еще нкоторое вліяніе средневковой схоластики, особенно въ нмецкой школ. Недаромъ знаменитый русскій педагогъ Ушинскій говоритъ:

«Для нмца недостаточно понимать вещь: но ему непремнно нужно опредлить ее и дать ей мсто въ системахъ своихъ знаній. Опредленіями пустйшихъ и ничтожнйшихъ предметовъ набиты кипы нмецкихъ учебниковъ. Безъ опредленія для нмца и вещь не вещь».

Приведемъ нсколько примровъ, которые доказываютъ, какъ иногда трудны и безполезны бываютъ опредленія. Въ русской ариметик Румовскаго (1760 г.) относительно дленія сказано такъ:

«Дленіе есть способъ изъ данныхъ двухъ чиселъ D и M находить третіе E, въ которомъ бы столько разъ содержалась единица, сколько разъ одно изъ данныхъ двухъ чиселъ D въ другомъ данномъ M содержится».

Какъ это мудрено и непонятно, хотя съ научной точки зрнія и правильно! Можно думать, что авторъ нарочно, съ цлью такъ затемнилъ смыслъ яснаго дйствія дленія; вдь пяти


убрать рекламу




убрать рекламу



лтніе ребята, если имъ дать яблоко и велть раздлить поровну, напр., пополамъ, поймутъ, чего отъ нихъ хотятъ, и съ удовольствіемъ ршатъ задачу, но авторъ этой ариметики, должно-быть, думаетъ, что трудный слогъ содйствуетъ научности; напрасно: научность состоитъ въ глубокихъ мысляхъ, а не въ туманныхъ фразахъ. Вотъ еще опредленія Грамматеуса (XVI в.):

«Сложеніе, или суммированіе, показываетъ сумму нсколькихъ чиселъ. Умноженіе, или увеличеніе, описываетъ, какъ умножать одно число на другос или увеличивать. Вычитаніе, или отниманіе, открываетъ, какъ число вычитать, или какъ одно число отнимать отъ другого, чтобы видть остатокъ».

Здсь только одна замна словъ и нтъ никакой помощи для смысла.

Сложеніе цлыхъ отвлеченныхъ чиселъ

 Сделать закладку на этом месте книги

Это дйствіе безспорно и безъ всякаго сомннія занимаетъ первенствующее мсто въ ряду четырехъ дйствій, потому что безъ сложенія не обойтись нигд. «Что есть аддиціо или сложеніе?» спрашиваетъ славянскій учебникъ ариметики и отвчаетъ: «Аддиціо, или сложеніе, есть дву или многихъ числъ во едино собраніе, или во единъ перечень совокупленіе». И продолжаетъ сейчасъ же за этимъ: «Удобнйшаго же ради, и скораго сложенія, подобаетъ прежде предложенную таблицу имти въ разум твердо, да всякихъ числъ сложеніе творити имаши скоро и извстно, безъ всякаго забвеніа и лжи». Табличку надо было выучить непремнно наизусть и помнить ее твердо, твердо, иначе все ариметическое зданіе могло бы рушиться, потому что въ старинныя времена оно гораздо больше основывалось на чистомъ запоминаніи, чмъ на сужденіи и вывод. Учителя крпко убждаютъ помнить табличку, и вотъ даже стихи въ одной изъ ариметикъ:


«Къ двумъ единъ то есть три,
Два же къ тремъ пять смотри,
Такъ и все назирай Таблицу разбирай.
Хотяй же не лгати
Похвально слагати,
Да тщится познати,
Изустно сказати».

Въ нашихъ ныншнихъ учебникахъ ариметики таблица сложенія начинается съ 1+1 и кончается 9+9. Но прежде было иначе. Напр., въ ариметик Леонардо Фибонначи (1200 г.), первомъ европейскомъ учебник, составленномъ по арабскому образцу, рекомендуется заучить не только таблицу единицъ, но и цлую таблицу десятковъ отъ 10+10 до 90+90. Здсь, конечно, видна непослдовательность: если учить десятки, то отчего же не учить сотни, тысячи и вс остальные разряды. Въ противоположность такой большой таблиц, русскіе учебники XVII в. даютъ таблицу маленькую, которая кончается всего на всего суммой 11, а до 18-ти не доходитъ Заглавіе этой таблицы такое: «Граница изустная счетная къ разуму хотящему разумти благая и полезная». Подобныхъ высокопарныхъ выраженій цлая тьма въ старинныхъ ариметическихъ пособіяхъ.

Сложеніе большихъ чиселъ, особенно же многозначныхъ чиселъ издавна производилось гораздо чаще на счетныхъ приборахъ, чмъ письменно. Разныя наглядныя пособія для счета и придумывались, главнымъ образомъ, для того, чтобы помочь сложенію. У китайцевъ— сванъ-панъ, у грековъ и римлянъ—абакъ, у насъ, русскихъ, торговые счеты, да, кром того, еще нсколько видоизмненій этихъ приборовъ—все это служило цлямъ отысканія суммы. И надо сказать, что привычка складывать на приборахъ очень укоренилась въ простомъ народ во всхъ почти странахъ и при томъ настолько сильно, что, напримръ, римскій абакъ употреблялся для сложенія въ Западной Европ столтія 3–4 спустя посл введенія индусской системы.

Способомъ, переходнымъ отъ абака къ нашему настоящему, является такой. Положимъ, даны намъ два числа: 666 и 144; подписавши 144 подъ 666 и опредливъ сумму единицъ 10, мы стираемъ 6 у верхняго слагаемаго и пишемъ вмсто него 0, а такъ какъ сумма единицъ дала десятокъ, то и цифру десятковъ 6 стираемъ и пишемъ 7, теперь слагаемыя измнились: 670 и 144; десятковъ въ сумм получитея 11, слдовательно стираемъ 7 и замняемъ черезъ 1 и также вмсто 6-ти сотенъ пишемъ 7; теперь намъ остается тодь-ко сложить 7 сотенъ съ 1, будетъ 8; эта цифра пишется вмсто 7 сотенъ, и весь отвтъ получается на мст перваго слагаемаго въ вид 810. Пять разъ намъ приходилось стирать, прежде чмъ добраться до врнаго отвта. Несомннно, такимъ путемъ трудно дйствовать на бумаг, но онъ былъ умстенъ на абак, покрытомъ пескомъ; еще можно попытаться на грифельной доск, но эти по-стояннныя стиранія надодаютъ; почему же они примнялись и на бумаг? вдь отъ нихъ нтъ никакой выгоды и одно только неудобство? А потому, что прежняя метода обученія стремилась обратить человка въ машину, не полагалась на его личную сообразительность и предписывала все отмчать на абак, но никакъ не удерживать въ ум. Мы теперь запоминаемъ десятки или сотни, получившіяся отъ единицъ или десятковъ, а тогда вс мелочи необходимо было писать, чтобы не утерять.

Механическій характеръ цифрового сложенія, безъ всякаго пособія устнаго счета, ясно проглядываетъ у большинства средневковыхъ писателей. Магометъ Бега-эддинъ (XVI в.) подписываетъ слагае-мыя правильно одно подъ другимъ и складываетъ единицы опять же правильно, но когда изъ нихъ образуется десятокъ, то онъ не знаетъ, что съ нимъ длать, и пока до поры до времени записываетъ его надъ десятками; дале ведетъ сложеніе десятковъ и, только получивъ ихъ сумму, онъ вспоминаетъ про десятокъ, образовавшійся изъ единицъ и тутъ его прикладываетъ. Сложеніе другихъ разрядовъ идетъ подобнымъ образомъ. Примръ:

  1 1 1 1

5 3 7 3 9

2 8 2 6 5

—————————

7 1 9 9 4

  8 2 0 0


Вотъ каково недовріе къ соображенію учениковъ и какая подробная механичность.

Въ этомъ род, иногда съ небольшими улучшеніями, составленъ рядъ учебниковъ по ариметик въ XVI–XVIII вв. Въ нихъ даются пространныя правила, какъ надо располагать слагаемыя и какъ замчать цифры. Эти правила нисколько не объясняются, и вычисляющій долженъ работать съ ними, какъ машина. Напр., Грамматеусъ, составитель нмецкаго учебника XVI в., даетъ три такихъ правила: 1-е: Смотри тщательно, чтобы цифры стояли какъ разъ одна надъ другой, такъ, чтобы 1-ая стояла надъ 1-ой, 2-ая надъ 2-ой и т. д.; проведи подъ этимъ линію, подъ которой и надо писать сумму. 2-е правило: Начинай съ правой руки, сложи вс числа, которыя стоятъ на первомъ мст; если получится отъ сложенія дв цифры, то первую напиши, а вторую удержи въ ум, съ тмъ, чтобы прибавить ее къ слдующей; такъ же поступай и со всми остальными. 3-е правило: Въ конц ничего не надо держать въ ум, но все надо писать. Все время употребляй слово «и» или «да», напримръ, три да четыре—семь.

Въ настоящее время способъ сложенія тотъ же, что и въ старину. Правда, мы всегда начинаемъ дйствіе съ правой руки, когда вычисляемъ письменно, въ старину же длали и съ лвой. Кром того, наши ученики нердко относятоя совершенно сознательно къ дйствію и понимаютъ, что и для чего длается. Но въ общемъ характеръ сложенія не измнился сь самыхъ тхъ поръ, какъ установилась индусская система съ ея нулемъ и значеніемъ цифръ по мсту, ими занимаемому.

Нкоторыя особенности можно отмтить только въ слдующихъ трехъ пріемахъ, которые принадлежатъ индусамъ, арабамъ и грекамъ.

Арабскій ученый Алькальцади (XV в.), совтуетъ писать сумму надъ слагаемыии, а внизу помщать т цифры, которыя мы обыкновенно держимъ въ ум. Напримръ, дано сложить 48 съ 97-ю. Получится такое вычисленіе:

145

———

 97

 48

  1


Такое записываніе довольно неудобно, потому что при немъ необходимо впередъ приготовить мсто для суммы.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ (XIV в.), единственный представитель математическихъ знаній во весь византійскій періодъ греческой исторіи и къ тому же ученый не самостоятельный, а черпавшій свои пріемы изъ арабскихъ источниковъ, предлагаетъ записывать сумму надъ слагаемыми, а не подъ ними, въ остальномъ же его cпособъ сходенъ съ нашимъ.

Индусы, какъ боле всего расположенные къ устному счету, вводили въ сложеніе, сравнительно съ другими народами, мене механичности и cтарались развивать въ ученикахъ сообразительнооть, быстроту вычисленій и умнье упрощать дйствія. При многозначныхъ числахъ они писали слагаемыя въ строку и складывали ихъ по разрядамъ. 365+867+992 индусы вычисляли такъ: 5+7+2=14, 6+6+9=21, 3+8+9=20; всего 2224. Такъ идетъ дло у индусскаго писателя Баскары (XII в. по Р. X.).

Заканчивая эту главу, упомянемъ еще о терминахъ сложенія, т.-е. о названіи дйствія и объ именахъ данныхъ и искомыхъ при немъ чиселъ. Средневковая ариметика вводила массу терминовъ. Такъ, вмсто «сумма», говорилось еще: аггрегатъ, коллектъ, продуктъ. Вмсто «сложить», итальянскій ученый Тарталья приводитъ цлыхъ 12 терминовъ. Въ старинныхъ русcкихъ ариметикахъ слагаемыя назывались перечнями, а сумма — исподнимъ большимъ перечнемъ, очевидно, потому, что принято было писать ее внизу, подъ малыми перечнями.

Вычитаніе цлыхъ отвлеченныхъ чиселъ

 Сделать закладку на этом месте книги

До настаящаго времени извстно всего на всего 5 способовъ письменнаго вычитанія многозначныхъ чиселъ, считая въ томъ числ и тотъ, который у насъ общепринятъ теперь. Начнемъ съ него. Мы производимъ письменное отниманіе отъ правой руки къ лвой, чтобы удобне было занимать, а это приходится длать всякій разъ, когда какой-нибудь разрядъ вычитаемаго не отнимается отъ разряда уменьшаемаго. Въ противоположноеть этому порядку, арабскій математикъ Бенъ-Муза, жившій при двор халифа Аль-Мамума въ IX в. по Р. X., настаиваетъ на вычитаніи съ высшихъ разрядовъ, т.-е. отъ лвой руки къ правой; причины онъ не объясняетъ, а просто говоритъ «такъ полезне и легче». Вовсе не легче, прибавимъ мы отъ себя, потому что, если случается занимать, то нужно бываетъ перетирать цифры. Впрочемъ, весьма возможно, что Бенъ — Муза вычислялъ на песк, на абак, и ему ничего не стоило перемнить лишній разъ цифру; но очень неразсчетливо поступаютъ т авторы, которые ведутъ вычисленія на бумаг, а правила даютъ такія, какія пригодны толькодля абака: вдь на абак все можно стереть и все замнить новымъ, а на бумаг постоянныя перечеркиванья приводятъ къ путаниц, сбивчивости и къ лишнимъ усложненіямъ. Вотъ примръ, взятый изъ одного нмецкаго сборника XIII вка. Дается вычесть 144 изъ 810; отнимаемъ 4 отъ 810, получится 806; при этомъ цифры 1 и 0 мы замняемъ цифрами 0 и 6. Дале, вычитаемъ 4 десятка изъ 0, надо занять сотню, остатокъ будетъ всего 766; при этомъ цифры 8 и 0 замнились другими: 7 и 6. Когда, наконецъ, вычтемъ 100 изъ 766, то получимъ искомый отвтъ 666. Такимъ путемъ посл трехъ измненій цифръ приходимъ мы къ отвту 666.

Максимъ Планудесъ, византійскій математикъ XIV вка, вычитаетъ точно такъ, какъ мы, но пишетъ вс вычисленія гораздо подробне, такъ какъ не надется на устный счетъ и приводитъ все дло къ механическому записыванію. Если бы потребовалось вычесть 26158 изъ 35142, то по Планудесу мы, во-первыхъ, должны были бы остатокъ записать вверху, надь чертой, точно такъ, какъ и сумму онъ же рекомендуетъ писать вверху надъ слагаемыми:

08984

—————

24031

35142

26158;

во-вторыхъ, надъ уменьшаемымъ появляется какой-то странный рядъ цифръ 24031. Объясняется онъ такъ. Когда мы начинаемъ дйствіе справа и хотимъ вычесть 8 изъ 2, то, конечно, намъ вычесть нельзя, и мы должны къ 2 единицамъ еще занять 1 десятокъ изъ 4-хъ; вотъ этотъ — то одинъ занятой десятокъ и пишется надъ цифрой единицъ и образуетъ вмст съ ней 12; 8 изъ 12=4, слдовательно, простыхъ единицъ въ отвт 4. Вычитая дале десятки, мы должны считать ихъ въ уменьшаемомъ не 4, а 3, такъ какъ одинъ десятокъ раздробленъ въ простыя единицы; и вотъ, чтобы не сбиться, Планудесъ ставитъ надъ цифрой десятковъ 4 новую цифру 3 и продолжаетъ находить отвтъ также для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ. Изъ этого видно, что рядъ цифръ 24031 представляетъ собою исправленные разряды числа, когда въ нихъ произошло заниманіе.

Во всхъ разобранныхъ примрахъ, начиная съ Бенъ-Музы, проявляется, несмотря на видимое разнообразіе подробностей, одинъ и тотъ же основной пріемъ, и очевидно тотъ самый, который примняется и въ нашемъ настоящемъ способ вычитанія. Это не важно, съ какой руки начинать дйствіе, и гд записывать цифры, которыя мы привыкли держать въ ум, но важно то, какъ производить заниманіе, потому что оно составляетъ самое трудное и сбивчивое мсто во всемъ вычитаніи. Во всхъ примрахъ, взятыхъ выше, заниманіе производилось нормальнымъ путемъ: если, напр., единицъ внизу больше, чмъ вверху, то берется десятокъ, прикладывается къ единицамъ, и такимъ образомъ дйствіе становится возможнымъ. Въ виду одинаковости заниманія, мы относимъ вс предыдущіе примры къ одному виду, или способу, который мы и называемъ первымъ способомъ вычитанія.

Чтобы объяснить второй способъ, беремъ примръ: 5975—497. Такъ какъ 7 изъ 5 не отнимается, то отнимаемъ 7 изъ 15, будетъ 8. Но, вычитая 7 изъ 15-ти вмсто 5-ти, мы этимъ къ уменьшаемому прибавляемъ лишній десятокъ. такъ какъ въ немъ простыхъ единицъ всего только 5, а мы говоримъ 15. Но не будемъ занимать этого десятка отдльно въ десяткахъ уменьшаемаго, потому что такимъ путемъ мы опять придемъ къ 1-му способу; вмсто того, мы отнимаемъ этотъ занятой десятокъ отъ 7 десятковъ уменьшаемаго тогда, когда будемъ отнимать десятки вычитаемаго, и намъ вмсто 9 придется отнять 10 десятковъ; такъ какъ 10 изъ 7-ми не вычитается, то надо занять сотню; ее мы опять-таки не будемъ занимать отдльно и не будемъ отнимать прямо отъ 9 сотъ уменьшаемаго, а вычтемъ вмст съ 4-мя стами. Тогда, отнявши отъ 9 сотъ 5, получимъ 400. Теперь легко понять, чмъ отличается второй способъ вычитанія отъ перваго. По второму способу тотъ десятокъ или та сотня, которые мы занимаемъ, не отнимаются сейчасъ же отъ десятковъ или сотенъ умевьшаемаго, а придаются къ десяткамъ или сотнямъ вычитаемаго, и тогда уже вычитаются вмст съ ними; слдовательно, не цифры уменьшаемаго понижаются на единицу, а наоборотъ цифры вычитаемаго повышаются на единицу, если только, конечно, изъ соотвтетвующаго разряда занимаютъ. Вотъ еще примръ: 1236—879. Ршеніе: 9 изъ 16-ти—7, 8 изъ 13-ти—5, 9 изъ 12-ти—3, всего 357. Чтобы отмтить, какія цифры вычитаемаго повышаются, надъ ними ставятъ точки. Этотъ второй способъ получилъ начало уже давно, еще со времени М. Планудеса и ране, примняется же онъ теперь иногда во французскихъ школахъ. Въ немъ видятъ даже нкоторое удобство, сравнительно съ нашимъ пріемомъ, потому что въ немъ занятая единица всегда прикладывается, а у насъ отнимается, прикладывать же вообще проще и естественне, чмъ отнимать, такъ какъ и сама ариметика начинается съ элементарнаго прикладыванія, т.-е. счета по единиц. Но, разумется, это выгода довольно призрачная, и все дло зависитъ отъ привычки: насъ пріучали съ малыхъ лтъ ставить точку надъ уменьшаемымъ, а не надъ вычитаемымъ, и это насъ не затрудняетъ, а даже кажется боле легкимъ.

Третій способъ, предложенный Адамомъ Ризе, нмецкимъ педагогомъ XVI вка, примыкаетъ къ первому. Объяснимъ его на примр: 85322—67876. Ведемъ вычитаніе съ простыхъ единицъ. По обыкновенному пріему надо бы 6 вычесть изъ 12-ти, а мы по этому третьему способу вычтемъ 6 не изъ 12-ти, а изъ 10-ти, и этотъ 1 десятокъ занимаемъ у 2 десятковъ уменьшаемаго. 6 изъ 10 составитъ 4, да 2 единицы въ уменьшаемомъ, всего будетъ 6. Дале вычитаемъ десятки. Такъ какъ 7 не вычитается изъ двухъ, или врне изъ одного, потому что одинъ десятокъ мы уже заняли, то надо намъ занять сотню и раздробить ее въ десятки; сотня даетъ 10 десятковъ, вычтемъ изъ нихъ 7, тогда получимъ въ разности 3; да еще въ уменынаемомъ 1 десятокъ, итого накопится въ остатк 4. Такъ же поступаемъ и съ остальными разрядами: 10—8=2, да 2, всего 4 сотни; 10—7=3, да 4 тысячи, всего 7 тысячъ; 10—6=4, да 8, всего 12 десятковъ тысячъ; но изъ этихъ 12 десятковъ тысячъ надо исключить 1 сотню тысячъ, потому что мы ее какъ бы заняли, а между тмъ занять-то было не у чего, то мы ее теперь и счеркиваемъ у остатка. Выводъ относительно третьяго способа получается слдующій. Онъ основанъ на отниманіи каждаго разряда вычитаемаго отъ 10-ти и прибавленіи разрядовъ уменьшаемаго, а такъ какъ разность между какимъ-нибудь однозначнымъ числомъ и десятью называется дополненіемъ этого числа до 10-ти, то способъ Адама Ризе можно еще выразить такъ: къ разрядамъ уменьшаемаго надо прикладывать дополненія разрядовъ вычитаемаго до 10-ти. Еще примръ:

1 9 0 3 3 0 9 1

  2 7 8 5 3 0 6

———————————————

1 6 2 4 7 7 8 5;

Ршается онъ такъ: 4, дополненіе 6-ти до 10-ти, да 1, будетъ 5; 10, дополненіе нуля до 10-ти, да 8, потому что 1 занята, составитъ 18, изъ нихъ 8 пишемъ, а 1 сотню отбрасываемъ, потому что, когда мы брали дополненіе, то для этого намъ необходимо было имть сотню, а такъ какъ мы ея не занимали въ уменьшаемомъ, то и счеркиваемъ ее въ остатк. Такъ же поступать надо и въ другихъ подобныхъ случаяхъ, именно когда дополненіе вычитаемаго вмст съ разрядомъ уменьшаемаго дастъ боле 10-ти, то десятокъ счерки-вается. Способъ Адама Ризе былъ знакомъ его современникамъ, но особаго развитія и распространеиія онъ не получилъ. Онъ очень на-поминаетъ новый, пятый способъ, который помщаемъ ниже.

Четвертое правило вычитанія принадлежитъ арабскому ученому Алькальцади изъ Андалузіи (XV в.). Чтобы, напримръ, вычесть 287 изъ 573, надо сперва 7 простыхъ единицъ вычесть изъ 3-хъ. Конечно, 7 изъ 3-хъ не вычитается, но прежде чмъ занимать десятокъ, Алькальцади задается вопросомъ: много ли недостаетъ къ тремъ для того, чтобы изъ нихъ можно было вычесть семь? Оказывается, недостаетъ четырехъ. И вотъ мы занимаемъ теперь десятокъ изъ 7 десятковъ, раздробляемъ его въ единицы и вычитаемъ столько, сколько не хватало, т.-е. 4, въ остатк будетъ 6. Такимъ же образомъ идетъ вычисленіе и съ десятками, и съ сотнями: 8 изъ 6, недостаетъ двухъ, вычитаемъ 2 изъ 10-ти, будетъ 8 десятковъ; на-конецъ, 2 сотни изъ 4 сотенъ дадутъ 2 сотни, веего 286.

Связь между способами первымъ, третьимъ и четвертымъ мы представимъ для ясности еще разъ на двузначныхъ числахъ. Возьмемъ 41–27. По первому способу необходимо 7 вычитать изъ 11-ти, по третьему 7 вычитается изъ десяти, и къ полученному прибавляется 1, а по четвертому изъ 10-ти вычитается недостатокъ единицы противъ 7-ми. Что касается второго способа, то въ немъ, какъ и въ первомъ, 7 вычитается изъ 11-ти, но за то потомъ, когда идетъ отниманіе десятковъ, не 2 десятка отнимается изъ 3-хъ, а 3 изъ 4-хъ.

Пятый и послдній способъ сходенъ по своей основной мысли со способомъ Адама Ризе. Въ немъ прибавляется къ разрядамъ уменьшаемаго дополненіе разрядовъ вычитаемаго, при чемъ дополненіе берется то до 10-ти, то до 9-ти: до десяти тогда, когда надъ цифрой уменьшаемаго не стоитъ точки, которая бы показывала, что здсь единица занята, а до 9-ти тогда, когда стоитъ точка. Примръ: 731–264. Чтобы произвести это вычитаніе по пятому способу, прибавляемъ къ одной простой единиц уменьшаемаго 6, т.-е. дополненіе 4-хъ единицъ вычитаемаго до 10-ти; получится 7. Дале беремъ десятки: 3 да 3 составитъ 6, при чемъ вторая тройка представляетъ собой дополненіе 6 десятковъ вычитаемаго до 9-ти, а до 9-ти потому, что надъ десятками уменьшаемаго стоитъ точка, какъ знакъ заниманія. Наконецъ, опредляемъ сотни: 7 да 7-мь 14, 4 беремъ, а 1 скидываемъ. Окончательный отвтъ будетъ 467. Теперь надо объяснить, почему мы такъ длаемъ, и на чемъ основанъ этотъ способъ. Намъ требовалось отнять 264, а мы не только не стали отнимать, но даже начали прикладывать и приложили всего 7 сотенъ 3 десятка 6 единицъ. На сколько же мы ошиблись, благодаря тому, что вмсто отниманія 264-хъ прибавили 736? Очевидно, на 736+264, т. е. ровно на тысячу.

Эту свою ошибку мы и исправляемъ въ самомъ конц, отчеркивая у отвта тысячу. Если бы намъ данъ былъ примръ 34985322— 12467876, то вычисленіе получилось бы такое: 2+4=6, 2+2=4, 3+1=4, 5+2=7, 8+3=11, изъ этого лвая единица скидывается, 9+6=15, 4+8=12, 9+3=12, вс лвыя единины окидываются. Если нужно дйствіе производить поскоре, то лучше точки ставить не надъ уменьшаемымъ, а надъ вычитаемымъ. И вообще этотъ пятый способъ напоминаетъ собою второй епособъ тмъ, что занимаемую единицу можно считать приложенной къ вычитаемому, а не отнятой отъ уменьшаемаго.

Таблица умноженія

 Сделать закладку на этом месте книги

Твердое знаніе таблицы умноженія издавна требовалось отъ учениковъ и считалось совершенно необходимымъ. Составителемъ таблицы называютъ греческаго математика Пиагора или, врне, одного изъ его позднйшихъ учениковъ, новопиагорейца Никомаха (въ I ст. по Р. X.). Начиная съ Никомаха ни одинъ авторъ не забываетъ напоминать, что «преимущественно передъ всмъ слдуетъ хорошо знать таблицу». Авторы старинныхъ русскихъ математнческихъ сборниковъ также помщаютъ таблиду, или «границу умножалную» подъ титуломъ «граница изустная большему счету разумъ подаетъ хотящему въ нея зрти»; они тоже требуютъ заучиванія: «надобе сіи изустныя слова памятовати и въ памяти крпко держати, всегда во устхъ обносити, чтобы во ум незабыты были». Вотъ стихи изъ Магницкаго:


«Аще кто не твердитъ,
Таблицы и гордитъ
Не можетъ познати,
Числомъ что множати.
И во всей науки,
Не свободъ отъ муки.
Колико ни учитъ
Туне ся удручитъ.
И въ пользу не будетъ,
Аще ю забудетъ».

Въ римскихъ школахъ таблицу заучивали хоромъ на распвъ. Въ нашихъ современныхъ учебникахъ по ариметик таблица умноженія содержитъ въ себ обыкновенно произведенія всхъ однозначныхъ чиселъ, начиная съ 22 и кончая 99. Въ средніе вка смотрли на это дло иначе; тогда и въ ариметик, и въ другихъ наукахъ давали большой просторъ памяти, а поэтому заучиваніе примняли широко; требованія въ этомъ отношеніи простирались такъ далеко, что ученики обязаны были запоминать произведенія всхъ первыхъ сорока чиселъ на однозначныхъ множителей, слдовательно 360 произведеній, кром того, квадраты всхъ чиселъ, выраженныхъ полными десятками, кончая 90X90, и произведенія всхъ однозначныхъ чиселъ на полные десятки, кончая 990. Всего набирается боле 400 произведеній. И такую-то массу должна была поглотить память учащихся! Сколько же труда и сколько времени надо было истратить на это! Вдь учили прямо наизусть, безъ всякихъ разъясненій и въ громадномъ большинств случаевъ безъ всякаго пониманія. Трудно и теперь ребятамъ, когда ихъ заставляютъ заучивать таблицу умноженія, не напрактиковавши ихъ, какъ она составляется; но неизмримо трудне приходилось ученивамъ средневковой школы, въ которой требовали гораздо больше, а давали гораздо меньше.[7]

Римляне, чтобы облегчить себ перемноженіе чиселъ, содержащихъ много разрядовъ, пользовались длиннйшими таблицами умноженія, въ которыхъ множителями служили вс числа до извстнаго предла. Съ такими таблицами—ихъ, конечно, не заучивали, а только держали всегда записанными подъ рукой—римляне довольно быстро вычисляли сложныя и трудныя произведенія.

Письменно таблица представляется въ различныхъ формахъ. Изъ нихъ самая общеизвстная—Пиагорова таблица; ея мы не помщамъ, она есть въ каждомъ учебник. Но есть еще фигура треугольника.



Французскій математикъ Chuquet (1484 г.) представляетъ таблицу умноженія въ такой форм:



Про то, какъ составляется обыкновенная таблица умноженія, говорилось подробно въ большинств учебниковъ и объяснялось нсколькими, иногда многими способами. Но пропускался самый главный и простой способъ, когда таблицу составляютъ послдовательнымъ сложеніемъ, или набираніемъ. Вмсто него приводились такіе запутанные и искуственные пріемы, что, дйствительно, гораздо легче было выучить таблицу наизусть, не понимая ея, чмъ запомнить эти пріемы и особенно понять ихъ; они представляли изъ себя не столько ариметическое содержаніе, сколько алгебраическія формулы и помщались, какъ видно, больше для того, чтобы придать курсу серьезную, научную окраску. Между прочимъ, встрчаемъ въ старыхъ ариметикахъ такое правило: «умножь перваго производителя на 10 и вычти отсюда произведеніе того же перваго производителя на дополненіе второго производителя до десяти»; это ясне видно на примр: чтобы составить, напримръ, 47, надо 4 умножить на 10, будетъ 40, потомъ 4 на 3, потому что 3 служитъ дополненіемъ 7-ми до 10, будетъ 12, и, наконецъ, изъ 40 вычесть 12, тогда остатокъ 28 и составитъ произведеніе 4 на 7. Какія все это лишнія хлопоты и затрудненія! Они всегда неизбжны, если на дло смотрть не прямо и просто, а съ предвзятой точки зрнія, и въ данномъ случа съ той ошибочной точки зрнія, что будто бы чмъ объясненіе или способъ трудне, тмъ научне. Не можетъ же быть, чтобы авторы учебниковъ, люди довольно искусные въ изобртеніи разныхъ пріемовъ, не замчали среди нихъ самыхъ простыхъ и естественныхъ; но они какъ бы стснялись высказать простое слово.

Педагогика римлянъ и грековъ въ этомъ отношеніи гораздо разумне средневковой, она смотрла на науку практичне и старалась сдлать ее ясной и доступной. Не даромъ римлянамъ принадлежитъ умнье составлять таблицу на пальцахъ, о чемъ сказано выше.

Развитіе нормальнаго пріема умноженія

 Сделать закладку на этом месте книги

Намъ, привыкшимъ къ опредленному порядку умноженія, представляется чмъ-то страннымъ, что могутъ существовать еще другіе способы; настолько мы сжились съ своимъ. А между тмъ ихъ очень много, и ни въ какомъ другомъ дйствіи не встрчается такого большого разнообразія, какъ въ умноженіи. Въ старину всякій авторъ выбивался изъ силъ, чтобы дать отъ себя какое-нибудь измненіе или улучшеніе. Мы приведемъ всего 27 способовъ, не ручаясь, конечно, за то, что здсь они вс безъ остатка; весьма возможно, что есть и еще, скрытые въ тайникахъ книгохранилищъ, разбросанные въ многочисленныхъ, главнымъ образомъ, рукописныхъ сборникахъ. Мы начнемъ съ современнаго нормальнаго способа и постепеино перейдемъ къ тмъ, которые боле всего отъ него уклоняются.

1. Авторомъ нашего нормальнаго способа умноженія многозначнаго числа на многозначное слдуетъ считать Адама Ризе, популярнаго нмецкаго педагога (1492–1559). Въ его рукахъ онъ получилъ послднюю отдлку и завершеніе, и теперь онъ считается самымъ удобнымъ. Главное отличіе способа Адама Ризе заключается въ томъ, что разряды всхъ чиселъ и множимаго, и множителя, и произведенія стоятъ одинъ подъ другимъ въ одномъ вертикальномъ столбц; благодаря этому сразу видно, къ какому разряду принадлежитъ извстная цифра, и, слд., сбиться въ этомъ почти нельзя. Между тмъ, разстановка разрядовъ бываетъ самымъ труднымъ мстомъ при умноженіи, въ чемъ вы, читатель, убдитесь, когда просмотрите остальные способы. Среди нихъ есть и боле скорые, но нтъ ни одного такого, который представлялъ бы мене возможности сбиться. Примра на первый способъ мы продлывать не будемъ, такъ какъ всякій самъ суметъ его придумать и ршить. Скажемъ еще разъ: нашъ настоящій нормальный порядокъ умноженія боле всего напоминаетъ вычисленіе по колоннамъ абака, настолько выдержано въ немъ подписываніе однихъ и тхъ же разрядовъ въ вертикальномъ столбц.

2. Первый способъ непосредственно образовался изъ второго, отъ котораго отличается такою особенноетью: мы теперь не пишемъ лишняго нуля у второго неполнаго произведенія, двухъ нулей у третьяго и т. д., потому что ставимъ десятки подъ десятками, сотни подъ сотнями, и не боимся сбиться; но прежде вс эти лишніе нули писались аккуратно: мы теперь ясно видимъ, что нули безполезны, но математики до Адама Ризе не ршались ихъ отбрасывать и считали ихъ по большей части совершенно необходимыми. Этотъ второй способъ имлъ у итальянскихъ математиковъ особое названіе «per castellucio». Примръ:



Для начинающихъ учиться умноженію не худо и теперь приписывать нули къ произведеніямъ множимаго на десятки, сотни и т. д. Тогда дтямъ понятне будетъ, что для умноженія, въ нашемъ случа на 90, необходимо умножить на 9 и считать полученное число за десятки. А потомъ, когда дти поймутъ это и нсколько привыкнутъ, можно нули выпускать и пользоваться чистымъ первымъ способомъ.

3. Третій пріемъ составленъ Петценштейнеромъ, нмецкимъ математикомъ XV вка. Въ немъ множимое и произведеніе пишется по нашему, а множитель выходитъ изъ вертикальныхъ колоннъ и ставится сбоку, справа наискось. Расположеніе такое:



Какой смыслъ и какая цль въ подобномъ подписываніи множителя сбоку? Объ этомъ догадаться не трудно. У насъ въ примр взято двузначное число 97, а иногда случается вмсто него брать трехзначное, четырехзначное и т. д.; тогда легко бываетъ забыть, на какія цифры мы уже умножали, и на какія осталось умножать; чтобы не забыть, Петценштейнеръ и пишетъ каждую цифру при своемъ произведеніи. Еще ране его Радульфъ Лаонскій († 1131) предлагалъ, впрочемъ на абак, особенные кружки изъ дерева или изъ камня, чтобы приставлять ихъ къ тмъ разрядамъ множимаго и множителя, которые перемножаются. Надо сознаться, что Адамъ Ризе уступаетъ Петценштейнеру въ его заботахъ о множител, и наши школьники по способу Адама Ризе нердко пропускаютъ, особенно на первыхъ порахъ, цифры множителя. Для нихъ тоже не мшало бы на первое время, когда они е


убрать рекламу




убрать рекламу



ще учатся умиожать, пользоваться чмъ-нибудь въ род бумажки, чтобы они могли закрывать т раз-ряды, на которые еще не умножали.

4. Четвертый способъ принадлежитъ Кебелю, нмецкому ученому XVI вка. Множимое и множитель пишутся такъ же, какъ и у насъ, но въ произведеніи порядокъ подписыванія нарушается, и единицы отступаютъ вправо, вмсто того, чтобъ имъ стоять подъ единицами. Зачмъ это понадобилось Кебелю, и понять нельзя: нтъ въ зтой форм ни удобства, ни вообще какой-нибудь замтной цли; единственно, что тутъ можно думать, это то, что Кебель захотлъ изобрсти свой способъ и изобрлъ довольно неудачный.



Впрочемъ, на способ Кебеля учащіеся могутъ убдиться въ томъ, что неполныя произведенія можно подписывать какъ угодно, и не подъ разрядами производителей, лишь бы только выполнялось условіе, что единицы складываются съ единицами, десятки съ десятками, и т. д.

5. Пятый способъ отличается еще большей свободой въ подписываніи, въ немъ и отдльныя произведенія располагаются прямо другъ подъ другомъ, не обращая вниманія на то, что единицы оказались наискось отъ единицъ и десятки наискось отъ десятковъ; разумется, для отвта оно безразлично, складывать ли разряды вертикально или наклонно, лишь бы только не сложить единицъ съ дееятками; есть въ этомъ способ много оригинальности и пожалуй изящества, но мало удобства. Названіе его «per quadrilatero» и если перевести это выраженіе съ итальянскаго языка на русскій, то оно будетъ значить «способъ четыреугольника».



Прежде всего чертится ршетка; потомъ въ ней располагаются отдльныя произведенія такъ, что ихъ крайнія цифры стоятъ другъ подъ другомъ вертикально; сложеніе разрядовъ идетъ наискось, и цифры произведенія размщаются вправо и внизу; читать ихъ надо слва. Все это очень интересно, но для практическаго примненія мало годится. Это скорй ариметическое украшеніе, забава.

6. Вс предыдущіе пять способовъ требуютъ такого жъ основного порядка умноженія, какой и мы примняемъ всегда у себя; разница только въ подписываніи данныхъ чиселъ и искомыхъ: въ то время, какъ мы стремимся все расположить въ вертикальныхъ колоннахъ, Петценштейнеръ выноситъ множителя на сторону, Кебель отступаетъ съ произведеніемъ вправо, а по способу «четырехуголъника» разряды пишутся въ діагональномъ направленіи, т.-е. наискось; но везд умноженіе начинается неизмнно съ низшихъ разрядовъ. Теперь мы обратимся къ случаямъ, когда оно начинается съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ. Это бываетъ и у насъ, но только при томъ условіи, если не приходится перечеркивать и исправлять написанныхъ цифръ. А цифръ не бываетъ, во-первыхъ, при устномъ счет и, во-вторыхъ, при выкладкахъ на счетахъ. Поэтому въ обоихъ этихъ случаяхъ удобно начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, тмъ боле, что и выговариваніе чиселъ и откладываніе ихъ на счетахъ идетъ все съ высшихъ разрядовъ. Но письменное умноженіе начинать съ лвой руки неудобно, потому что, если, напр., мы умножимъ десятки и запишемъ ихъ и потомъ перейдемъ къ единицамъ, то отъ умноженія единицъ могутъ получиться еще десятки, и намъ придется написанную цифру десятковъ стирать и замнять новой.

Далеко не безразлично, съ какихъ разрядовъ множимаго начинать письменное дйствіе, съ высшихъ или низшихъ. Послднее удобне. Что касается множителя, то въ сущности одна привычка заставляетъ насъ начинать съ единицъ, потому что можно съ такимъ же правомъ умножать сперва на высшіе разряды множителя и потомъ постепенно переходить къ низшимъ, лишь бы врно подписывать произведенія, т.-е. десятки подъ десятками, а единицы подъ единицами. Покажемъ это на примр:



Еще видне въ многозначныхъ числахъ:



7. Седьмой способъ принадлежитъ Вендлеру и отличается отъ шестого единственно тмъ же самымъ, чмъ второй отъ перваго, именно лишними нулями на мст десятковъ, сотенъ и т. д. Если вписать эти нули, то 334567 изобразится въ такомъ вид:



8. Восьмой способъ устный, встрчается у Брамегупты, ученаго индуса VII в. по Р. X. Онъ совершенно сходенъ съ нашимъ устнымъ пріемомъ, да такъ и доджно быть, потому что индусы, главнымъ образомъ, изобртали и совершенствовали устный счетъ, они были первыми спеціалистами въ этомъ род вычисленій; они вычисляли отдльныя произведенія въ ум, писали ихъ строкой и потомъ складывалн. Лишнимъ, на нашъ взглядъ, могло бы показаться разв то, что множимое переписывается нсколько разъ, именно столько разъ, сколько разрядовъ во множител.



9. Девятымъ пріемомъ умноженіе производится тоже сначала на десятки, а потомъ на единицы; если бы были сотни, то, конечно, сперва на сотни. Умноживши на десятки, произведеніе подписываютъ точно такъ же, какъ это сдлали бы и мы, но съ единицами идегь иначе.



Когда мы умножимъ 456 на 7, то получимъ 3192. Изъ нихъ 319 десятковъ помщаемъ внизу, во второй строк, подъ тми цифрами, какія соотвтствуютъ имъ по значенію, а 2 единицы вверху, рядомъ съ 4 десятками, прямо подъ единицами множителя, въ виду того, что это мсто ничмъ не занято. Подобная система писать цифры какъ можно выше, на свободныхъ мстахъ, проявляется у многихъ авторовъ, какъ это мы увидимъ впослдствіи; порядокъ этотъ довольно безвредный, потому что, гд бы ни писать, лишь бы написать врно подъ своимъ разрядомъ: но онъ можетъ оказаться и неудобнымъ тогда, когда счетчикъ собьется: тогда очень трудно разобраться въ ряд цифръ, найти, какая изъ нихъ принадлежитъ къ какому произведению, и исправить ошибку. Этотъ девятый способъ приписывается Апіану (XVI в.).

10. Въ предыдущихъ 4 способахъ дйствіе начиналось съ высшихъ разрядовъ множителя, и въ этомъ только, главнымъ образомъ, и заключалась ихъ особенность; цифры подписывались почти такъ же, какъ у насъ, и вообще большого измненія противъ нормальнаго порядка не было. Но теперь мы перейдемъ къ боле грубымъ и старымъ пріемамъ, въ которыхъ уклоненій отъ нашего уже гораздо больше. Отличіемъ ихъ является полная механичность, безъ всякаго вычисленія въ ум; составители зтихъ пріемовъ держатся слишкомъ невысокаго мннія о понятливости и сообразительности своихъ учениковъ, ничего не довряютъ устному счету и рекомендуютъ все записывать, даже до мелочей, и притомъ по опредленнымъ, точно установленнымъ формамъ. Напримръ, когда умножаются десятки, то къ ихъ произведенію нельзя прямо прибавить тхъ десятковъ, которые получились отъ единицъ, а надо написать отдльно и сложить ихъ въ самомъ конц, когда вс мелкія умноженія будутъ выполнены. Эти тяжеловсные, громоздкіе способы въ настоящее время всми оставлены, и никому въ голову не придетъ ими воспользоваться, между тмъ, въ XV–XVII столтіи, въ эпоху наиболе усиленной работы надъ ариметикой, когда индусская система проникла и въ народъ, и въ школу, эти способы были ходячими и общепринятыми. Сейчасъ они не имютъ никакой цны, потому что требуютъ много лишняго письма и лишняго времени для вычисленій, мы же ихъ приводимъ съ тою цлью, чтобъ показать, изъ какихъ первоначальныхъ и несовершенныхъ формъ образовались наши боле совершенныя.

Вотъ способъ Штейнмеца (XVI в.). Примръ:



Шестью семь 42, такъ и пишемъ; пятью семь 35, пишемъ 5 десятков подъ 4 десятками, а три сотни вверху подъ сотнями, потому что там мсто есть свободное; четырежды семь 28, пишемъ 8 сотенъ подъ 3-мя, а дв тысячи на свободном мст тысячъ въ верхней строк. Вообще стараемся писать цифры какъ можно выше, гд только есть свободное мсто для извстнаго разряда. Отдльныя произведенія располагаются, какъ видимъ, строками, которыя, чмъ ниже, все короче, и получается фигура, похожая на треугольникъ, такъ что и самый способъ носитъ названіе треугольника. Послдніе его слды встрчаются въ учебникахъ еще въ XVII столтіи.

11. Умноженіе треугольникомъ иметъ не одну форму, а нсколько, въ зависимости отъ того, начинать ли дйствіе съ высшихъ разрядовъ или низшихъ, или даже какихъ-нибудь промежуточныхъ, писать ли цифры какъ можно выше или какъ можно ниже. Если начинать умноженіе съ высшихъ разрядовъ, то образуется такая фигура:



12. По двнадцатому способу умноженіе треугольникомъ начинается съ какого-нибудь средняго разряда. Конечно, зто безразлично для произведенія, если только мы не собъемся въ порядк цифръ и не пропустимъ чего-нибудь и не возьмемъ лишняго. Умножимъ сперва 5 дес. на 97, потомъ 4 сотни и, наконецъ, 6 единицъ.



Треугольникъ можно бы повернуть основаніемъ внизъ и вершиной вверхъ. Тогда фигура получится красиве. Особенно она хороша при длинныхъ многозначныхъ числахъ, когда очертаніе треугольника выдляется ясне.



13. Стоило только математикамъ попасть на одну геометрическую фигуру, на треугольникъ, и они принялись изобртать всевозможныя формы: уголъ, ромбъ и т. д. Наперерывъ, одинъ передъ другимъ, школьные педагоги въ Германіи и Италіи ХVІ—XVII вка стали предлагать хитроумные, фигурные способы, въ которыхъ не имлось въ виду удобства, а требовалось только представить что-нибудь новое и замысловатое. Нкоторые педагоги получили даже своеобразную извстность въ этомъ направленіи. Такъ итальянецъ Тарталіа училъ въ своей школ 8 способамъ; столькимъ же училъ и Лука-де-Бурго; но вычислять по нимъ они своихъ учениковъ не заставляли, кром одного способа или двухъ, и приводили остальные только по установившемуся обычаю или изъ хвастовства.

Расположеніе угломъ достигалось благодаря тому, что произведеніе простыхъ единицъ отодвигалось вправо, а остальные разряды писались симметрично вверху и внизу. Вотъ форма угла при умноженіи 456 на 97.



Первое произведеніе 36 составилось изъ множителей 4 и 9, второе — изъ 5 и 9, третье — изъ 6 и 9. Такимъ образомъ, мы помножили на десятки и начали дйствіе въ этомъ случа съ сотенъ множимаго; дале умножаемъ на единицы, но ведемъ уже въ обратномъ порядк, именно, начинаемъ съ единицъ множимаго и постепенно добираемся до его сотенъ.

14. Четырнадцатый способъ—ромба. Онъ еще замысловате, чмъ предыдущіе. Нужна особенная внимательность, да и знаніе секрета, какъ составлять ромбъ. Если помножить 456 на 397, то ромбъ можетъ получиться слдующимъ путемъ. Вверху пишется произведеніе 4 сотенъ на 7 единицъ, подъ нимъ произведеиіе 5 десятковъ на 3 сотни и на 7 единицъ; въ длинной строк помщается 4 с. 3 с., 5 дес. 9 дес. и 6 ед. 7 ед.; дале располагаются и остальныя произведенія. Все это очень сбивчиво и неудобно, даетъ массу ошибокъ въ вычисленіи, которыя найти потомъ такъ нелегко, что лучше все бросить и сдлать снова. Съ непривычки дло долго не клеится, отвта не выходитъ, но, зато, въ конц ученикъ иметъ право похвастать: у него получился ромбъ.



15. До сихъ поръ мы подписывали отдльныя произведенія внизу подъ множимымъ и множителемъ, и на это, конечно, у насъ была причина, потому что вс люди начинаютъ писать съ верхней стороны листа и постепенно спускаются книзу, гд мсто свободное, неисписанное. Но отвтъ получится одинаково врный и въ томъ случа, если, не жаля бумаги, мы начнемъ дйствіе пониже и оставимъ мсто для отдльныхъ произведеній выше производителей. Получится у насъ такъ:



Способъ этотъ указалъ Глареанъ въ ХIІ в. Вычисленіе начинается справа, съ низшихъ разрядовъ; отвтъ въ самомъ низу.

16. Шестнадцатый способъ очень сходенъ съ предыдущимъ и является его предшественникомъ по времени, такъ какъ образовался въ XV вк. Его даетъ ученый арабъ Алькальцади изъ Андалузіи Особенность въ немъ та, что множимое переписывается нсколко разъ и притомъ столько разъ, сколько цифръ во множител. И еще есть особенность: множитель не стоитъ подъ множимымъ, а располагается выше его; кром того, отдльныя произведенія разсяны по разнымъ строкамъ.



Множимое, повидимому, передвигается за тмъ, чтобы не сбиться, какой разрядъ множить на какой. Впрочемъ, выгоды отъ этого передвиженія особенной не представляется.

17. Въ высшей степени искусственная запись встрчается у Баскары, индусскаго автора, жившаго въ XII вк. Это та же ршетка, что и въ 5 способ, но только съ полными цифрами, безъ всякаго пропуска и сокращенія. У итальянцевъ она называлась «gelosia», по образцу фигурныхъ ршетокъ, бывшихъ въ окнахъ средневковыхъ теремовъ.



Множимое 456 мы пишемъ вверху, множителя 97 съ лвой стороны. Каждый разрядъ числа 456 множится на каждый разрядъ 97-ми. Всего образуется 6 отдльныхъ произведеній. Ихъ мы пишемъ полностью по клткамъ, такъ, чтобы всякое произведеніе стояло противъ тхъ разрядовъ, отъ которыхъ оно получилось; напримръ, шестью семь 42, ставимъ это число подъ 6-ю и притомъ въ верхней строк, потому что множитель 7 стоитъ въ этой строк съ лвой ея стороны, 2 помщаемъ въ верхнемъ правомъ углу клтки, а 4 десятка въ нижнемъ лвомъ. Такъ же ведемъ дйствіе и съ остальными разрядами. Чтобы получить отвтъ, стоитъ только сложить числа въ діагональномъ порядк наискось: 2 единицы сносимъ, 5+4+4 = 13 десятковъ, изъ нихъ 3 пишемъ; 8+3+5+5+1 = 22 сотни; 2 пишемъ; тысячъ будетъ 2+6+4+2=14, 4 пишемъ и, наконецъ, десятковъ тысячъ 3+1, всего 4. Искомое произведеніе выразится пятью цифрами: 44232. Способъ этотъ, какъ видно, очень сложный, фигурный и сбивчивый. Надо твердо помнить и хорошо привыкнуть къ тому, какъ чертится ршетка, какъ пишутся производители, гд помщаются отдльныя произведенія, и какъ читается отвтъ; стоитъ только немного не остеречься, забыть, и тогда вс разряды перепутываются, и никакъ нельзя будетъ отличить, гд единицы, гд десятки, и что складывать съ чмъ. Вообще это вовсе не дловой способъ и не школьный, а скоре плодъ математической изобртательности и развлеченіе въ математик, которая въ средніе вка была особенно суха и недоступна, а подобныя выдумки ее оживляли.

18. Арабъ Альнасави (XI в.) училъ умножать еще боле чуждымъ для насъ пріемомъ. Онъ тоже не допускалъ устнаго счета и тоже подписывалъ вс цифры сполна, но сверхъ того и въ сложеніи у него было отличіе, потому что отдльные разряды складывались не въ конц всего дйствія, а постепенно, по мр того, какъ они получались.



Множитель 97 пишется надъ множимымъ 456 такъ, что его высшій разрядъ, 9 десятковъ, стоитъ надъ простыми единицами числа 456. Вычисленіе начинается слва. 49 = 36, пишемъ 6 надъ четырьмя, а 3 рядомъ налво; 59=45, изъ нихъ 5 пишемъ рядомъ съ 6-ю, а 4 не подписываемъ надъ 6-ю, какъ это длали въ способ треугольника, но прибавляемъ къ 6-ти, будетъ 10, прибавляемъ къ 30, будетъ 40, эти цифры помщаемъ надъ 36-ю. Ведемъ умноженiе дале: 69-= 54, изъ этого 4 пишемъ надъ 9-ю, потому что нижнее мсто занято, а 5 прибавляемъ къ 5-ти, получится 10, нуль пишемъ надъ пятью, единицу—надъ нулемъ, именно тмъ нулемъ, который принадлежитъ числу 40. Такимъ-то образомъ сложеніе идетъ рука объ руку съ умноженіемъ, и когда вс умноженія окончатся, то окончится и сложеніе, и отвтъ представится самыми высшими цифрами въ каждомъ вертикальномъ столбц. Какъ видно, Альнасави допускаетъ особенность и въ множимомъ, именно онъ его еще разъ подвигаетъ и не только горизонтально, но такъ, что крайній разрядъ переставляется въ слдующую высшую строчку. Цль перемщенія та, чтобы единицы множимаго всегда приходились подъ тмъ разрядомъ множителя, на какой умножаемъ.

Альнасави заимствовалъ свой пріемъ у индусовъ; индусы же предпочитали устный счетъ письменному, не любили лишнихъ цифръ и. во всякомъ случа, не стали бы вычислять такъ растянуто, какъ это длаетъ Альнасави. У какого же индуса онъ его заимствовалъ? Или онъ самъ его такъ измнилъ? Объяснить это все можно такъ. Индусы вычисляли на песк и сейчасъ же стирали т цифры, которыя имъ не нужны, поэтому имъ было такъ легко передвигать множимое или множителя: они стирали прежнее и писали новое. Поэтому и мелкія сложенія и умноженія они писали только на одну минуту, и если имъ цифра не нужна, они ее сейчасъ за-мняли новой; такъ что, дйствительно, индусы не сбивались въ длинныхъ рядахъ цифръ и не запутывались, тмъ боле, что ихъ работ много помогалъ устный счетъ. Но арабы и Западная Европа переняли способы индусовъ, а примнять ихъ стали чаще всего на доскахъ и на бумаг, гд цифры перетирать совершенно неудобно; отъ этого и получилась масса лишняго письма, сбивчивость и трудность въ вычисленіяхъ. Не скоро поняли европейскіе математики, что не достаточно перенести чужой пріемъ къ себ, но надо еще примнить его къ своимъ условіямъ, и тогда онъ будетъ пригоднымъ и удобнымъ.

19. Во всхъ разобранныхъ нами 18-ти способахъ, какъ они ни сложны и ни разнообразны, существенный ыорядокъ дйствія все время остается тотъ же, везд дается 2 числа, множимое и множитель, и первое число, т.-е. множимое, помножается такъ или иначе на отдльные разряды множителя, сперва на его единиы, потомъ на десятки, сотни и т. д., или же, наооборотъ, раньше на сотни, а потомъ уже на десятки и единицы. Но нтъ ничего легче примнить другой порядокъ: не цлое множимое умножать на отдльные разряды множителя, а отдльные разряды множимаго на цлаго множителя. Такъ училъ индусскій авторъ Брамегупта (въ VII ст. по Р. X.).



Отвтъ у него помщается въ самомъ верху, данныя числа— внизу. Множитель переписывается столько разъ, сколько цифръ во множимомъ. Начинаемъ умножать 4 сотни на 97, получится 388 сотенъ, ихъ пишемъ надъ сотнями. Такъ же поступаемъ съ десятками и единiцами.

20. Самыми старыми первоначальными способами умноженія надо считать т, когда умноженіе замняется сложеніемъ. Умноженіе, конечно, и есть въ существ дла сложеніе, но только сокращенное, благодаря таблиц и вслдствіе равенства слагаемыхъ. Чтобы, на-примръ; умножить 9 на 27, можно бы 9 выписать 27 разъ и потомъ послдовательно складывать: 9 + 9 = 18, 18 + 9 = 27, 27 + 9 = 36 и т. д. до 243-хъ. Но такое сосчитываніе было бы слишкомъ продолжительнымъ, и вотъ здсь является на помощь таблица умноженія, которая значительно сокращаетъ работу; изъ таблицы намъ извстно, что 9 2 = 18, а слдовательно 90 2 = 180, да 9 7 = 63, всего составится 180 + 63 = 243. Такимъ образомъ мы замнили набираніе 27 слагаемыхъ боле простыми дйствіями, именно 2 умноженіями и однимъ сложеніемъ. Не сразу выработала ариметика такой простой и легкій путь, чтобы замнять сложеніе равныхъ слагаемыхъ умноженіемъ. Поэтому на первыхъ ступеняхъ ея развитія, при наглядномъ счет и при выкладкахъ на разныхъ счетныхъ приборахъ, преобладаетъ чистое сложеніе, а умноженіе является только урывками и проблесками. Едва къ концу среднихъ вковъ оно вполн вступило въ свои права.

Приведемъ образецъ вычисленій на римскихъ цифрахъ. Изъ него хорошо видно, насколько сложеніе преобладало надъ умноженіемъ и замняло его. Требуется, положимъ, СХХХХIIIІ умножить на XXX. Тогда дйствіе располагается слдующимъ образомъ:

С · Х = М

С · Х = М

С · Х = М

ХХХХ · XXX = МСС

XXX + XXX + XXX + XXX = СХХ.

Такъ какъ множитель XXX состоитъ изъ X + X + X, то достаточно повторить множимое сперва X разъ, потомъ еще X разъ, и, наконецъ, еще X разъ и полученные отвты сложить. Но когда мы начнемъ повторять X разъ, то множимое, въ свою очередь, разложится на отдльныя слагаемыя: С + X + X + X + X + IIII; и придется намъ каждое слагаемое перваго числа помножать на каждое слагаемое второго.

21. Двадцать первымъ способомъ будетъ такъ называемый „per aschapezza“. Въ перевод съ итальянскаго языка,—способъ чаще другихъ примняли итальянцы,—это значитъ способъ «разложенія». Примръ: 4426. Для этого 26 разлагаемъ на какія-нибудь легкія cлагаемыя, обыкновенно однозначныя, въ род 3 + 4 + 5 + 6 + 8, и составляемъ пять произведеній: 44 · 3, 44 · 4, 44 · 5, 44 · 6, 44 · 8. Вс ихъ можно легко найти устно, и въ этомъ заключается преимущество подобнаго умноженія. Но иногда, забывая о главномъ условіи удобства, примняли этотъ способъ и тогда, когда онъ не даетъ никакого выигрыша ни во времени, ни въ письм. Хорошимъ примромъ такого теоретическаго пользованія разложеніемъ можетъ служить помщенный въ аріметик Брамегупты (VII в.): 235288, съ разложеніемъ числа 288 на 9 + 8 + 151 + 120. Очевидно Брамегупта, выбирая такія неудобныя слагаемыя, не только не упростилъ діствія, а скоре усложнилъ и затруднилъ; но онъ, наврное, и не задавался цлью упростить и облегчить вычисленіе, а желалъ только представить новую форму умноженія.

22. Какъ мы уже сказали, замна умноженія сложеніемъ является самымъ легкимъ и простымъ пріемомъ и въ то же время самымъ старымъ и испытаннымъ. Египтяне за много столтій до Р. X. умли съ болышшъ искусствомъ, чрезвычайно свободно и остроумно пользоваться этой замной. Если, напримръ, имъ требовалось умножить на 17, то они сперва складывали множимое само съ собой и получали такимъ образомъ двойное число; его тоже складывали само съ собой, получали четверное число; четверное складывали съ четвернымъ, получали восьмерное; восьмерное съ восьмернымъ, получится 16 ть слагаемыхъ, а такъ какъ ихъ задано набрать 17-ть, то остается добавить только одно слагаемое и отвтъ будетъ найденъ. Подобнымъ же образомъ они могли, напримръ, вычислять 466 .13. Они составляли 466.2 = 932, 932.2 = 1864, 1864.2 = 3728, затмъ складывали восьмерное число съ четвернымъ и съ простымъ и получали 466 .13 = 3728 + 1864 + 466 = 6058. Такимъ путемъ египтяне умли добираться до сложныхъ результатовъ, хотя и медленно, но довольно врно и успшно. Изъ всхъ умноженій у нихъ было только одно удвоеніе; они даже не знали таблицы умноженія. Не они ли пришли къ мыели выдлить удвоеніе въ особое дйствіе, къ мысли, которая примнялась очень долго и едва въ ХУІ столтіи была оставлена, потому что съ этого времени удвоеніе вошло въ составъ вообще умноженія.

Покончимъ теперь на египтянахъ и не будемъ уходить дале въ глубь вковъ, тмъ боле, что у насъ нтъ фактическаго матеріала для этого. Подведемъ итоги всему. что сказали объ умноженіи. Оно начинается съ сложенія равныхъ слагаемыхъ и въ этомъ случа не пользуется никакими особенными правилами, сокращеніями и удобствами. Затмъ, благодаря практик, начинаетъ выдляться удвоеніе и оно образуетъ фундаментъ новаго дйствія—умноженія: по образцу удвоенія легко могли возникнуть другіе подобные разсчеты и удвоеніе натолкнуло на то, чтобы находить тройное число, четверное, десятерное и т. п. Вс эти употребительные случаи, повторяясь часто, привели къ таблиц умноженія и выдлили окончательно дйствіе умноженія изъ массы случаевъ сложенія. Тогда же начинается письменное производство этого дйствія, сначала въ грубой и несовершенной форм, при помощи абака и другихъ похожихъ на него пособій, съ многочисленными стираніями и измненіями цифръ; сложеніе отдльныхъ произведеній сначала шло попутно, вмст съ умноженіемъ разрядовъ, но потомъ его начали относить на самый конецъ и производить тогда, когда уже вс произведенія найдены. Въ старинныхъ способахъ умноженія устный счетъ почти не допускался, и вс цифры, какія надо, писались безъ пропуска, и въ ум ничего не удерживалось: такъ, по крайней мр, было въ Западной Европ въ средніе вка. Ближе къ нашему времени стали примнять и устный счетъ, начали помогать письму тмъ, что нкоторыя цифры удерживали въ ум, и такимъ то образомъ развился и принялъ окончательную отдлку нашъ современный нормальный способъ умноженія.

23. Индусы и Адамъ Ризе, и итальянцы XVI в. часто разлагали множителя на производителей. У итальянцевъ это называлось «per repiego». Чтобы, напр., умножить 15, можно данное число умножить на 5 и полученное вновь умножить на 3. Чтобы умножить на 121, можно умножить на 11 и опять на 11. Еще лучше у Адама Ризе: если ему надо какое-нибудь число взять слагаемымъ 46 разъ, то онъ умножаетъ данное число на 9, полученный результатъ—на 5 и ко всему этому прикладываетъ еще одно, 46 слагаемое. Хорошо бы и намъ пользоваться почаще такими сокращеніями и пріучать къ нимъ своихъ дтей въ училищахъ. Есть, правда, во многихъ школахъ, особенно въ начальныхъ, спеціальныя занятія по устному счету, но, во-первыхъ, очень жаль, что они въ средней школ глохнутъ и не продолжаются, и, во-вторыхъ, они ведутся, обыкновенно, по шаблону и не столько развиваютъ личную сообразительность дтей, сколько пріучаютъ ихъ къ готовымъ формуламъ.

24. Другимъ хорошимъ способомъ, который тоже можетъ развивать сообразительность и помогать вычисленію, является слдующій. Множитель замняется новымъ числомъ, которое болыпе его въ нсколько разъ или на нсколько единицъ, и притомъ гораздо удобне для дйствія, чмъ самъ данный множитель. Напримръ, если намъ задано умножить какое-нибудь число на 25, то мы вмсто этого умножимъ на 100—такъ гораздо легче—и полученное отъ этого умноженія число раздлимъ на 4. Точно также, чтобы умножить на 98, мы можемъ умножить на 100 и изъ этого произведенія вычесть двойное множимое, потому что мы его взяли лишнихъ 2 раза. Оба эти пріема хороши для устныхъ вычисленій, они придуманы давно, еще индусами, но все еще не имютъ такого большого примненія на практик, какого заслуживаютъ по своей легкости и удобству.

25. Есть еще методъ умноженія многозначныхъ чиселъ, очень интересный и оригинальный. Онъ построенъ на совершенно иной руководящей мысли, чмъ нашъ настоящій методъ. Мы теперь интересуемся множимымъ и множителемъ, старательно подписывая ихъ другъ подъ другомъ или рядомъ, разлагаемъ ихъ на разряды и разсуждаемъ, съ которой стороны лучше начать; такъ что порядокъ вычисленія у насъ опредляется множимымъ и множителемъ, и наши заботы мало касаются произведенія, которое выходитъ какъ-то само собой, изъ сложенія частныхъ результатовъ. Наоборотъ, способъ «крестикомъ», о которомъ мы будемъ сейчасъ говорить, обращаетъ исключительно свое вниманіе на результатъ умноженія и изъ его разбора, а не изъ разбора данныхъ чиселъ, выводитъ порядокъ дйствія. Въ способ «крестика» надо сперва вычислить единицы произведенія, потомъ его десятки и притомъ сразу вс, какіе только могутъ оказаться, чтобы затмъ къ десяткамъ боле не возвращаться; потомъ надо вычислить сотни произведенія, опять-таки вс, какія только могутъ въ немъ быть; и такъ мы идемъ послдовательно отъ одного разряда къ другому. Еще греки любили пользоваться этимъ умноженіемъ и назвали его «хіазмомъ», потому что греческая буква хи «Х» какъ разъ своей фигурой напоминаетъ крестикъ.

Возьмемъ примръ сперва двузначный: 5697 и поставимъ такой вопросъ: откуда могутъ получиться единицы произведенія? Очевидно, только отъ перемноженія простыхъ единицъ, потому что отъ умноженія десятковъ будутъ десятки, отъ сотенъ будутъ сотни и т. д. 67 = 42, слд. простыхъ единицъ въ отвт будетъ дв, не больше и не меньше. Итакъ, одну цифру мы нашли, она будетъ обязательно 2. Ршаемъ теперь второй вопросъ: откуда получаются десятки произведенія? Во-первыхъ, отъ умноженія десятковъ на единицы, во-вторыхъ, отъ умноженія единицъ на десятки и, кром того, нсколько десятковъ образовалось отъ перемноженія простыхъ единицъ. Больше ни откуда десятковъ получиться не можетъ, такъ какъ во всякомъ случа сотни и тысячи дадутъ по крайней мр сотни же и тысячи. Вычисляемъ десятки: 57 — 35, 96 = 54, да 4 десятка осталось отъ единицъ, всего составится ихъ 93; изъ этого 9 сотенъ пока замтимъ, а 3 десятка можемъ записать спокойно: это ужъ цифра окончательная. Высчитываемъ сотни. Въ нашемъ примр он могутъ получиться только отъ умноженія десятковъ на десятки и ихъ будетъ 45, да 9 сотенъ отъ десятковъ, всего 54 сотни. Пишемъ ихъ въ окончательномъ отвт и получаемъ: 5697 = 5432. «Крестикъ» мы здсь примняли, когда составляли десятки произведенія, потому что въ этомъ случа мы умножали крестъ на крестъ 5 на 7 и 6 на 9. Все дйствіе можно изобразить такой фигурой:

5 6

X

9 7

————

5432

Чтобы читателю былъ ясне виденъ ходъ вычисленія, разберемъ еще трехзначныи примръ. Возьмемъ 467 X 893. Низшимъ разрядомъ въ произведеніи будутъ простыя единицы, а высшимъ—десятки ты-сячъ, потому что сотни, умноженныя на сотни, даютъ десятки ты-сячъ; всего, слдовательно, въ произведеніи будетъ 5 разрядовъ. Оііредляемъ ихъ постепенно. Прежде всего запишемъ данныя числа такъ, чтобы цифры стояли порже и между ними были свободные промежутки, э зачмъ,—это будетъ понятно дале.




Простыя единицы образуются отъ перемноженія простыхъ же единицъ; 7 3 = 21, единицу пишемъ и 2 въ ум. Десятки образуются отъ умноженія десятковъ на единицы и единицъ на десятки и дадутъ: 6 3 = 18, 9 7 = 63, да 2, всего 83, три пишемъ и 8 замчаемъ. Но мы пишемъ 3 десятка не подъ десятками, а въ промежутк между единицами и десятками: цль здсь та, чтобы сохранить полную симметрію въ расположеніи цифръ и строгій порядокъ, который не допустилъ бы насъ сбиться; дйствительно, какъ у насъ образовалась цифра единицъ и гд она подписана? Она образовалась отъ единицъ и подъ ними подписана:

7

3

1

.

Какъ образовалась циф


убрать рекламу




убрать рекламу



ра десятковъ и гд ее лучше всего подписать? На это отвтимъ мы такимъ чертежомъ:

6 7

9 3

———

 3

Цифра 3 стоитъ симметрично подъ тми цифрами, отъ которыхъ она получилась. Вотъ дале чертежи для сотенъ, тысячъ и десятковъ тысячъ:



Сотни высчитываются такъ. Он получаются отъ умноженія сотенъ на единицы, единицъ на сотни и десятковъ на десятки, будетъ 4.3 = 12, 7.8 = 56, 6.9 = 54, да отъ умноженія десятковъ осталось 8 сотенъ, всего ихъ составится 130, нуль пишемъ подъ чертой, а 13 тысячъ пока держимъ въ ум. Отыскиваемъ теперь тысячи нашего произведенія: он получаются тогда, когда сотни множатся на десятки и десятки на сотни, слд. 49 = 36, 68 = 48, да еще замченныхъ 13, и составится ихъ всего 97. Цифру 7 пишемъ подъ чертой. Легко, наконецъ, опредлить и десятки тысячъ: их будетъ 41.

Такимъ же образомъ можно умножить и всякія многозначныя числа, до пятизначныхъ, шестизначныхъ и выше. Симметрія руководитъ нами во всхъ этихъ примрахъ и не позволяетъ сбиться. Поэтому, если во множимомъ и во множител цифръ не поровну, напр., четырехзначное число берется съ двузначнымъ, то лучше всего приписать пару лишнихъ нулей и получить опять симметричную фигуру:



Индусы были въ восхищеніи отъ этого способа, часто имъ поль-зовались и умли умножать по этому способу очень быстро, за что и прозвали его «молніеноснымъ». Онъ вовсе не труденъ, если только научиться быстро складывать двузначныя числа; что онъ не нуждается въ большомъ письм и даетъ выигрышъ во времени, въ этомъ, конечно, нечего и сомнваться. Какъ было бы хорошо, если бы онъ, почти забытый посл индусовъ и грековъ, получилъ доступъ въ наши школы, распространился въ народ и оправдалъ свое названіе «молніеноснаго».

26. Закончимъ нашу бесду объ умноженіи объясненіемъ послдняго, въ высшей степени оригинальнаго пріема, который незнающаго наблюдателя можетъ даже поразить. Передаютъ, будто одинъ нмецкій школьный учитель показалъ дтямъ это умноженіе, а потомъ при постителяхъ спрашивалъ считать устно и приводилъ въ удивленіе быстротой счета, разумется въ томъ случа, если поститель не зналъ секрета.

Учнтель: «8387!»

— Ученикъ: «8090 = 7200 да 3-жды семь 21, всего 7221».

—Учитель: «2426!»

—Ученикъ: «2030 = 600, да четырежды шесть 24, всего 624».

— Учитель: «92 98!»

—Ученикъ «90 100 = 9000, да дважды восемь 16, всего 9016».

Секретъ, какъ видно, заключается въ томъ, что не всякій примръ годится для этого правила, а только такой, гд бы десятки въ обоихъ множителяхъ были одинаковыми, а единицы составляли въ сумм десять; такъ что если взять одинъ множитель, наприм., 41, то парнымъ къ нему множителемъ обязательно долженъ быть 49. Правило для подобныхъ примровъ слдующее: надо десятки помножить на слдующіе десятки (4050=2000), а единицы просто перемножить (19 = 9) и все сложить: 2000 + 9 = 2009. Правило это далъ итальянецъ Тарталья (XVI в.), большой изобртатель разныхъ способовъ, и письменныхъ, и устныхъ.

Объяснимъ послдній примръ: 4149. Какъ бы мы попросту стали его вычислять? Сперва 40 помножили бы на 40, потомъ 40 на 9, потомъ 1 на 40 и, наконецъ, 1 на 9. Намъ пришлось бы 40 повторить 40 разъ и 9 разъ и еще 1 разъ, потому что 1 40 все равно, что 40 1; такимъ образомъ 40 надо помножить на 50, да 1 на 9, всего 2009.

Подобные пріемы, дйствительно, даютъ при устномъ счет громадную выгоду и удобство. Смло рекомендуемъ ихъ вниманію любителей ариметики.

Дленіе.

 Сделать закладку на этом месте книги

«Dura cosa e la partita»—звучитъ старинная итальянская поговорка, которая значитъ въ русскомъ перевод: «трудная вещь—дленіе». Не даромъ Лука де-Бурго, итальянскій математикъ XVI вка, утшаетъ начинающихъ учиться юношей и говоритъ, что «кто уметъ длить, тому все остальное пустяки, потому что все заключается въ дленіи». И нашъ Магницкій не отстаетъ въ этомъ случа и тоже, кончивши дленіе, вздыхаетъ свободно и назидаетъ своихъ «мудролюбивыхъ отроковъ» стихами:


Первую часть докончивше
И вся въ цлыхъ изучивше,
Ихъ въ памяти твердо держимъ
И за та вся Бога блажимъ,
Что даде намъ безъ напасти
Зрти конецъ первой части.

Трудно дленіе нашимъ школьникамъ и въ настоящее время. Но неизмримо, безконечно трудне было оно въ старинныя времена и особенно въ начал среднихъ вковъ. Тогда изъ столкновенія римской и арабской учености не успло еще выработаться сколько-нибудь сносной системы, да кром того, самъ характеръ преподаванія, котораго держались тогда въ монастырскихъ школахъ, былъ сухъ, безсердеченъ, неприноровленъ къ силамъ дтей и требовалъ отъ нихъ нечеловческаго напряженія. Тотъ, кто оказывался въ состояніи понимать дленіе, признавался чуть не геніемъ и ему давали почетный титулъ «доктора абака», въ род нашего «доктора математики» или «доктора медицины». Нормальнымъ, зауряднымъ дтямъ нечего было и мечтать о такомъ трудномъ, мудреномъ дйствіи, и они скромно ограничивались сложеніемъ и вычитаніемъ, съ придачей таблицы умноженія. Вотъ что значило неумнье преподавать, отсутствіе понятныхъ учебниковъ и усложненность вычисленій. Вотъ откуда пошло вредное поврье, будто для математики надо родиться со спеціальными способностями, и что кто не рожденъ атематикомъ, тотъ не будетъ въ ней успвать, несмотря на свое стараніе и на искусство учителя. Смшно теперь слышать, что средневковые педагоги требовали прирожденныхъ способностей для умноженія и дленія: вдь, въ наше время съ ними удачно справляется всякій мальчикъ въ сельской школ и всякая двочка; но курьезъ сохраняется и въ наши дни, когда съ авторитетнымъ видомъ заявляютъ, что для алгебры и геометріи нужны какія-то особыя исключительно математическія способности. Он, конечно, нужны, но лишь въ такой мр, въ какой и для каждаго учебнаго предмета, и виной неуспха слдуетъ признать, обыкновенно, не отсутствіе способностей, а плохое преподаваніе, особенно вначал, когда разрабатываются элементы, основы предмета, и когда зарождается расположеніе къ нему. Стоитъ только вмсто расположенія и пониманія возбудить отвращеніе и непониманіе, и дло пропало, при томъ пропало боле, чмъ въ какомъ бы то ни было другомъ предмет, потому что въ математик все послдующее вытекаетъ изъ предыдушаго, и если только зародышъ слабъ, то и весь организмъ будетъ хилымъ.

Перейдемъ теперь къ способамъ дленія и разберемъ ихъ по порядку.

1) Объясненіе дленія начнемъ съ нашего способа и прежде всего замтимъ, что имя ему было «золотой» способъ за его удобства и «французскій» за то, что французы предпочитали его боле всего. Первые намеки на него мы можемъ видть у Альхваризми, араба, жившаго въ IX в. по Р. X. Въ боле ясной форм онъ встрчается у индуса Баскары (XII в. по Р. X.). Въ нмецкой литератур можно указать на рукопись, найденную въ мюнхенской библіотек и принадлежащую къ XII вку. Въ ней вычисленія располагаются колоннами, при чемъ вверху колоннъ подписано римскими цифрами ихъ значеніе, такъ что въ сущности здсь идетъ вычисленіе на абак. Примръ: 100000:20023 = 4 и ост. 19908.



Порядокъ дйствія, какъ видимъ, такой: подписавши длителя и его высшій разрядъ, помщаемъ подъ нимъ длимое 100000 и задаемся цифрой частнаго; она не будетъ 5, потому что въ длител кром 20000 есть еще другіе разряды, слд. цифра частнаго будетъ 4; такъ какъ 24 = 8, а 10 - 8 = 2, то остатокъ посл высшаго разряда длителя, умноженнаго на частное, составитъ 2; дале множимъ на частное десятки длителя, ихъ всего 2, 24=8, но чтобы вычесть 8 дес. изъ 20000, надо сперва 20000 замнить черезъ 19900+100 и тогда легко становится отнять 80 отъ 100, остатокъ будетъ 20; наконецъ, 34 =12, вычитаемъ 12 изъ 20, получаемъ 8, а всего посл дленія ииемъ въ остатк 19908. Частное пишется въ самомъ низу. Вообще во всемъ этомъ примр мы наблюдаемъ ходъ дйствія такой же, какъ и у насъ, но въ подробностяхъ много особеннаго: не пишется нулей, потому что мста цифръ достаточно указываются надписями надъ колоннами; не по нашему расположены длимое, длитель и частное; умноженіе идетъ съ высшихъ разрядовъ; вычитаніе производится постепенно, разрядъ за разрядомъ, какъ только они образуются.

2) Слдующій разъ мы встрчаемся съ этимъ способомъ уже въ XV—XVI в. А какъ же вычисляли въ промежутк между XII и XVI вв.? Кстати, какъ вычисляли до XII вка, вдь, очевидно, и тогда было дленіе? Конечно, вычисляли, но только не по нашему пріему, а совсмъ по другому, непохожему, который развивался и удерживался вплоть до XIX вка и въ начал его исчез, о немъ рчь будетъ впереди, теперь же приведемъ образецъ нашего дленія, который встрчается у Луки де-Бурго, итальянца. Раздлить требуется 97535376 на 9876, получится въ частномъ 9876. Расположеніе то же, что и у насъ, только длитель и частное пишется вверху; а не сбоку.



3) Въ знаменитомъ труд по ариметик, который у арабовъ считается образцовымъ, классическимъ, и который принадлежитъ Бэгаэддину (1547—1622), встрчается такое расположеніе: (975741: 53= 18410).



Частное пишется въ самомъ верху. Цифры длимаго не сносятся внизъ, но вмсто этого чертятся, для удобства, колонны, чтобы не сбиться въ цифрахъ. Оба разряда длителя, 5 дес. и 3 ед., помножаются отдльно на частное и отдльно же вычитаются. Длитель переписывается столько разъ, скодько разрядовъ въ частномъ. Здсь повторяется опять то же, что мы видли и въ умноженіи, гд множитель переписывался нсколько разъ. Причина опять та же, что и въ умноженіи, и заключается она въ слдующемъ. Способъ Бэгаэддина получилъ начало, очевидно, еще тогда, когда вычисленія шли на абак, покрытомъ пескомъ, и когда, слд., легко было длителя стереть и его же переписать снова, расположивши снова подъ тми разрядамі, которые длятся; съ теченіемъ времени абакъ былъ оставленъ, математики стали пользоваться бумагой, а между тмъ манера переписыванія все еще сохранилась и привела къ большимъ неудобствамъ, къ затрат лишняго труда, къ потер времени и мста. Вотъ что значитъ инерція, не просвтленная лучами разума!

4) Апіанъ въ XVI ст. даетъ такое же расположеніе, какое дали бы и мы, но только онъ подписываетъ числа не разрядъ подъ разрядомъ, а просто крайнюю цифру подъ крайней. Раздлить 97535376 на 9876, получится 9876. Пишется длимое, подъ нимъ длитель, а частное сбоку.     a b c

9 7 5 3 5 3 7 6   ( 9 8 7 6

9 8 7 6

8 8 8 8 4

8 6 5 1 3 a

7 9 0 0 8

7 5 0 5 7 b

6 9 1 3 2

5 9 2 5 6 c

5 9 2 5 6

5) Тарталья, изобртательный итальянскій математикъ XVI в., не только учившій по старин, но и отъ себя предлагавшій много оригинальныхъ и удобныхъ пріемовъ, для большей ясности расчленяетъ дйствіе на рядъ отдльныхъ вычисленій, смотря по тому, сколько цифръ въ частномъ.

Вотъ, какъ онъ выполняетъ дленіе 2596860019 на 38784.



Частное 67019, остатокъ 7807. При этомъ Тарталья говоритъ, что хорошо бы передъ дленіемъ заготовлять произведенія длителя на вс однозначныя числа; тогда видне было бъ, какою цифрою задаваться въ частномъ, да и не нужно составлять отдльно произведеній длителя на цифры частнаго, такъ-какъ они ужъ есть, и останется прямо вычитать.

6) Клавіусъ въ XVII ст. вводитъ нашъ знакъ дленія (при помощи угла), но числа при дленіи располагаетъ не по нашему. Примръ: 1902942 : 2978=639.



7) Вендлеръ, нмецкій педагогъ XVII в., употребляетъ почти нашъ пріемъ, съ тою только разницей, что длитель и частное у него ставятся по обимъ сторонамъ длимаго.




Кром того, цифры длимаго не сносятся, а остаются на своемъ прежнемъ мст вверху.

8) Пешекъ въ XVIII ст. вычисляетъ такъ же, какъ и Вендлеръ. Пешекъ даетъ нашему способу названіе французскаго.

9) Баргь въ XVIII ст. пишетъ длителя подъ длимымъ при всякомъ частномъ дленіи, слд. столько разъ, сколько разрядовъ въ частномъ. 66734 : 325= 205 109/325



10) Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII столтія встрчаются, какъ и слдовало ожидать, т же самые пріемы, какіе выработала Западная Европа. Они перешли къ намъ черезъ Польшу, такъ какъ именно польская ученость давала пищу русской образованности XVII вка. Чаще всего въ это время встрчается способъ Апіана (см. выше, 4). У Магницкаго, стр. К а оборот представлено дленіе въ такомъ вид.




Здсь длимое 5175 помщено во второй строк, частное справа, длитель 15 переписывается трижды (въ третьей и пятой строкахъ), четвертая и пятая строка отведены частнымъ произведеніямъ, а верхняя—остатку отъ вычитанія. Изъ этого видно, что цифры расположены довольно несистематично и неудобно, такъ что сбиться въ нихъ очень легко. Но, по правилу, «изъ двухъ золъ выбирай менынее», Магницкій очень доволенъ этимъ способомъ и одобряетъ его въ слдующихъ выраженіяхъ: «Мнози убо длятъ перечни сицевымъ образомъ: егда длителемъ емлютъ, изъ числъ длимаго, и написавши за чертою, умножаютъ имъ весь длитель и, подписавши вычитаніемъ, вычитаютъ изъ длимаго. И намъ видится, сицевымъ образомъ есть удобнйше, но тмъ иже слабйшеее разумніе и тщаніе имутъ: зане не толикаго есть домышленія, и остроты». Дале у Магницкаго идетъ способъ, цохожій на Барта (см. выше, 9), и способъ Вендлера (выше, 7). Вліяніе Вендлера вполн замтно въ ариметик Василія Адодурова (1740 г), Румовскаго (1760 г.), Кузнецова (1760 г.). У Загорскаго (1806 г.) является нашъ нормальный способъ во всей чистот.

Австрійскій способъ дленія.

 Сделать закладку на этом месте книги

Подъ именемъ австрійскаго способа разумется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ примненіемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое дйствіе совершается вслдствіе этого гораздо быстре, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, человкъ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сдлаетъ ошибку и собьется. Для примра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ длимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 45=20, слд. въ остатк 5; 46=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, слд. въ остатк 1; дале 34=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остатк 2; всего получится посл вычитанія 215; сносимъ слдующую цифру 3 и длимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX вка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII вка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго дленія.



Кегель въ XVII ст. даетъ боле грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ измнять цифры. Вотъ какъ у него идетъ дленіе 135513 на 21:



Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія:



При этомъ частное 12345 помщается внизу, длитель 8 слва, а длимое 98760 праве длителя.

Испанскій способъ дленія.

 Сделать закладку на этом месте книги

Это самая употребительная, самая распространенная форма дленія. Теперь ея уже нтъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи лтъ, съ IX вка до XIX, она являлась общеизвстной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамот по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой вкъ и скоро о немъ, наврное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ поколній: наши отцы, дды и прадды, и дды нашихъ праддовъ. Тоже случилось съ испанскимъ дленіемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было дленіе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математик, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на песк, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ примняться на бумаг, то получилось нчто несообразное по основной иде: цифры, которыя слдовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ примры.

1) Примръ Альхваризми, араба IX столтія. Требуется 46468 раздлить на 324, частное 143.



Какъ видно, длимое въ средин; подъ нимъ помщается длитель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на песк, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ боле удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо длить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гд, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 34=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; дале 24=8, 8 изъ 10=2, слд. надъ нулемъ надо помстить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо замнить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ дйствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ измненныя цифры переписываются выше.

2) Альнасави, арабскій писатель XI вка, нсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ ршаетъ такъ:



Интересно отмтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже длителя; все это считается обозначеніемъ смшанной дроби 2378/12.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще боле легкій образецъ дленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примръ-то самъ по себ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:



4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать длителя нсколько разъ даже въ легкомъ примр. 924 : 6 у него представляется въ такомъ вид:

3 2

9 2 4

6 6 6

——————

1 5 4

Частное въ самомъ низу, длитель надъ нимъ, еще выше длимое и, наконецъ, въ самой верхней строк послдовательные остатки.

5) Петценштейнеръ въ XV ст., нмецкій пегагогъ, нисколько не измняетъ основного хода дйствія и всего только вводитъ ту подробность, что пишетъ частное справа за чертой. Дано раздлить 467 на 19.



Получается довольно красивое расположеніе, съ ясной наклонностью къ симиетріи. Начиная съ этихъ поръ, математики обращаютъ вниманіе на то, чтобы груда цифръ не представляла собой чего-то безпорядочнаго и несимметричнаго, а образовывала изящную фигуру, построенную по извстной иде. Особенно любили изощряться надъ построеніемъ фигуръ итальянцы, и надо отдать имъ справедливость, что они много успли въ этой безполезной и даже вредной игр; вдь всякая погоня за ненужнымъ и постороннимъ вредитъ, въ конц концовъ, главной и существенной цли; такъ и здсь, одинъ авторъ передъ другимъ старались придумать что-нибудь оригинальное, красивое и стройное по вншнему виду, но забывали главное достоинство, т.-е. быстроту вычисленій, удобство и врность.

6) Лука-де-Бурго ухитрился представлять дленіе фигурой корабля съ трюмомъ, рулемъ, мачтами и парусами.



Дальше этого идти ужъ трудно и путь всевозможныхъ ухищреній можно считать исчерпаннымъ. Хорошо еще, что педагоги тогдашняго времени большею частію не неволили учениковъ къ тому, чтобы они непремнно умли строить эти изящныя фигуры; они обыкновенно предпочитали только хвастаться другъ передъ другомъ, кто сколько знаетъ способовъ и кто сколько изобрлъ.

Какъ видимъ изъ фигуры, частное 9876 стоитъ съ правой стороны у знака дленія (угла); лве, въ одной съ нимъ строк. располагается длимое; что же касается длителя 9876, то онъ помщенъ четыре раза: первый разъ подъ длимымъ, второй разъ онъ расчлененъ на 987 и 6, третій разъ на 98, 7, и 6, и, наконецъ, въ послдній разъ на 9, 8, 7 и 6, при чемъ 9 стоитъ въ самомъ низу, 8 во второй строк снизу, 7 въ третьей снизу, и 6 въ четвертой, подъ длимымъ, на самомъ правомъ мст. Дйствіе начинается съ того, что 97535 длится на 9876, въ частномъ получается 9; те-перь надо 9876 умножить на 9 и полученное произведеніе вычесть изъ 97535, при чемъ умноженіе начинается съ высшихъ разрядовъ, вычитаніе производится одвовременно съ нимъ. 9 9 = 81, 8 изъ 9 = 1, 1 пишемъ надъ 9-ю, 1 изъ 7 = 6, пишемъ 6 надъ 7-ю; дале 8 9 = 72, вычитаемъ 7 изъ 16-ти, получается 9, пишемъ эти 9 надъ 6-ю, а надъ единицей пишемъ 0; такъ продолжаемъ вычисленіе все дале и дале, до тхъ поръ, пока не кончимъ его.

Требуется большая, можно сказать, необыкновенная внимательность, чтобы не сбиться и не спутать въ такомъ ряд вычисленій. Положимъ, что передвиженіе длителя помогаетъ разбираться скоре и врне въ разрядахъ, но все-таки избжать ошибокъ очень трудно, а между тмъ, стоитъ только допустить ошибку, и все кончено: все надо передлывать снова, потому что выдлить врное отъ неврнаго нельзя. Если же къ этому еще вспомнить, что при дленіи легко попасть на цифру частнаго, которая слишкомъ велика или слишкомъ мала, то мы вполн себ представимъ, сколько попытокъ и при-томъ какихъ отчаянныхъ попытокъ стоило врное вычиеленіе частнаго. Современники передаютъ, что, чтобы ршить примръ на дленіе — на это требовалось сутки времени. Не даромъ Гербертъ (папа Сильвестръ II), жившій, правда, нсколько ране разсматриваемаго періода, считадъ возможнымъ преподавать ариметику только особенно одареннымъ ученикамъ. Святой Бонифацій пишетъ, что

«при одной мысли о математическихъ наукахъ у меня отъ страха захватываетъ дыханіе. Передъ ними вся грамматика, реторика и діалектика—просто дтская забава».

 7) Французскій математикъ Ла-Рошъ (въ ХVI ст.) понялъ, что выгодне начинать умноженіе съ низшихъ разрядовъ, потому что тогда будетъ легче вычитать; но и отъ стараго пріема онъ не ршается отказаться, поэтому даетъ и то и другое расположеніе, начиная въ первомъ случа умноженіе съ низшихъ разрядовъ, а во второмъ съ высшихъ. Пусть будетъ длимое 7985643, длитель 1789, тогда въ частномъ получается 4463.



Ла-Рошъ стремится, очевидно, къ тому, чтобы получить красивую фигуру треугольника; онъ не прочь, подобно Лукде-Бурго, пожертвовать удобствомъ вычисленій въ пользу второстепенной цли — изящества.

Бешенштейнъ и Ризе, нмецкіе педагоги XVI ст., даютъ подобные пріемы дленія.



8) Штифель и Петръ Рамусъ длаютъ попытки помочь вычисленію и предлагаютъ: Штифель—вычитать частныя произведенія сразу, посл того, какъ они уже составлены, а не по отдльнымъ разрядамъ, какъ только они получаются; Рамусъ — заготовлять заране произведенія длителя на вс однозначныя числа.

«Правда, это кропотливо,— говоритъ онъ,—но зато полезно».

 9) Изложенный способъ дленія, испанскій, какъ называетъ его Пешекъ, отличается той характерной чертой, что вс промежуточныя вычисленія пишутся выше дламаго, поэтому онъ получилъ у нмецкихъ математиковъ названіе дленія «вверху» — «ueberwrts» или «uebersich»—dividieren, въ противоположвость нашему нормальному пріему, которому придали названіе дленія «внизу», на томъ основаніи, что все вычисленіе сосредоточивается ниже длимаго.

Дленіе «вверху», какъ мы уже упоминали, являлось самой распространенной и употребительной формой вплоть до начала XIX -го вка. Къ этому времени были сознаны, наконецъ, его неудобства, и оно мало-помалу стало уступать свое мсто нормальному, практикуемому въ настоящее время, пріему. Въ русекихъ ариметикахъ ХТІІ вка находимъ такой примръ дленія: 5692597 : 3625 = 1570 1347/3625.



Въ сущности, тотъ же ромбъ, что и выше. У Магницкаго вычисленіе въ этомъ же род, при чемъ частное располагается съ правой стороны и отдляется скобкой. 9649378 : 5634.



Выпишемъ кстати изъ Магницкаго объясненіе, которое онъ проводитъ на примр 1952 : 32.

«Подобаетъ вдати, яко егда длитель иметъ не едино число, но два 32 или три 432, и тогда такожде подписуются числа длителя, подъ болшая себе, длимаго сице.

1 9 5 2

 3 2

И умствуется тако: яко елико первымъ числомъ длителя, емлеши изъ верхнихъ числъ длимаго толикожде бы взяти, и другимъ числомъ длителя, изъ тхъ же числъ длимаго, якоже зд: 1

1 9 5 2 ( 6

 3 2

Изъ 19 взяти на 3, по 6: по толику же бы взяти, и изъ 15, на 2: и останется изъ 15, 3, еже напиши надъ 5-ю, а прочая похрь сице (вc цифры, кром 3, 2 и 6, перечеркиваются).

Потомъ напиши первое число делителя, противъ остаточныхъ 3-хъ длимаго, а другое длителя въ рядъ къ правой рук яковъ зді

  1 3

1 9 5 2 ( 6

  3 2 2

  3

И умствуй 3 длителя изъ 3-хъ длимаго, и будетъ 1: и сей 1, напиши подл 6 за чертою, а другимъ числомъ длителя 2-мя возьми изъ 2 длимаго 1, который уже за чертою написанъ сице:




10) Въ заключеніе приведемъ изъ Магницкаго

«одинъ изящнйшій образецъ дленія, зане во единомъ семъ образц сугубое дйство, сирчь съ дленіемъ и повреніе: яко же явлено есть.»



Въ этотъ примр требуется 598432 раздлить на 678; въ частномъ получится 882 и въ остатк 436. Длитель 678 пишется только одинъ разъ и въ этомъ обстоятельств мы должны видть большой успхъ. Первымъ неполнымъ длимымъ является число 5984; когда его раздлимъ на 678, то получимъ въ частномъ 8, составляемъ теперь произведеніе 678 на 8, при чемъ умноженіе ведемъ съ низшихъ разрядовъ: это опять-таки полезная подробность: восемью восемь 64, 4 изъ 4 будетъ 0, пишемъ 0 надъ 4-мя; семью восемь 56, да 6,—62, вычитаемъ 2 изъ 8-ми, будетъ 6, пишемъ 6 надъ 8-ю; шестью восемь 48, да 6,—54, вычитаемъ 54 изъ 59, останется 5.

Такимъ путемъ ведемъ мы дйствіе до самаго конца и находимъ въ отвт 882. Что касается «повренія», т.-е. поврки, то она состоитъ въ перемноженіи длителя и частнаго, при чемъ 678 · 8=5424, 678 · 8=5424, 678 · 2=1356, къ этому присоединяется остатокъ отъ дленія, который равенъ 436, и всего составится 598432.

Римскій способъ дленія.

 Сделать закладку на этом месте книги

 Римляне были расположены къ счету круглыми числами, и поэтому они любили замнять числа, близкія къ круглымъ, при посредств этихъ круглыхъ. Примровъ этому можно привести очень много, хотя бы: 18 по ихъ нумераціи выражается черезъ 20 безъ двухъ, 90 черезъ сто безъ десяти и т. д. Естественно поэтому ожидать, что подобная наклонность къ круглымъ числамъ будетъ проявлена и при дленіи. Примръ 668 : 6 ршается по римскому способу слдующимъ образомъ. Длимъ 668 не на 6 равныхъ частей, а на 10, тогда въ каждой части будетъ по 6 десятковъ, но вдь мы взяли 4 лишнихъ части, и въ каждой по 6 десятковъ, всего, слд., вз


убрать рекламу




убрать рекламу



яли лишняго 24 десятка, эту сдачу надо приложить опять къ делимому, будетъ 308. Длимъ теперь 30 десятковъ на 10, будетъ въ каждой части по 3 десятка, и такъ какъ лишнихъ частей взято опять 4, то он составятъ 12 дес, а поэтому всего осталось подлить число 128. Изъ этого 12 дес. при дленіи на 10 дадутъ въ каждой части по 1 дес. и сдачи образуется 4 дес. Всего мы, слд., набрали въ частномъ 6 д.+3 д.+1 д.=10 дес, или 100. Теперь надо 68 длить на 6. Продолжаемъ это длать тмъ же самымъ пріемомъ, какимъ вели и до сихъ поръ, именно: 60 : 10, будетъ по 6 ед., сдачи 46=24, да 8, всего 32; длимъ 32 на 10, будетъ по 3, сдачи 34=12, да 2, всего 14; длимъ 14 на 10, будетъ по 1 единиц, сдачи 4, да 4, всего 8, теперь число уже не длится на 10 и поэтому остается только вопомнить настоящаго длителя 6; и раздлить на него, будетъ въ частномъ 1 и въ остатк 2. Подсчитаемъ итогъ, сколько мы набрали всего-навсего единицъ: 6+3+1+1=11, и въ остатк 2; десятковъ мы выше насчитали 10, и слд. окончательный отвтъ представится въ вид 100+11, т.-е. 111 и ост. 2. Вотъ какой длинный и кропотливый путь. Онъ составляетъ характерную принадлежность римской ариметики, особенно же временъ упадка Рима и перехода римской цивилизаціи къ народамъ Западной Европы. Особенно подробно разработанъ этотъ способъ у Боэція (470—525 по Р. X.), знатнаго и ученаго римскаго гражданина, и у Герберта (папы Сильвестра II), жившаго около 1000 года по Р. X. Посл Герберта этотъ способъ сталъ все боле и боле вытсняться арабскими пріемами, т.-е. такими, которые близки къ нашему нормальному дленію. Не даромъ съ этихъ поръ стали называть способъ Боэція «желзнымъ правиломъ», въ отличіе отъ «золотого» подъ которымъ чаше всего разумли «дленіе вверху» .

Труденъ и очень труденъ былъ римскій способъ, значительно трудне, чмъ «дленіе внизу» и «дленіе вверху».

Обременительность его зависла прежде всего отъ его сложности, но кром того, еще и отъ того, что педагоги и составители учебниковъ или не умли, или не хотли объяснить дло, какъ слдуетъ. Высокимъ, ученымъ слогомъ, безъ обращенія къ чему-нибудь наглядному и понятному, они вели бесду такъ, какъ будто передъ ними находились тоже ученые люди или педагоги, а не малыя дти: тогдашняя школа мряла все на аршинъ учителя и не примнялась къ возрасту и развитію ученика.

Вотъ выписка изъ книжки Сперанскаго (Очерки по исторіи народной школы въ Западной Европ, стр. 118, заимств. изъ Гюнтера): При дленіи 5069 на 4, дйствія располагаются слдующимъ образомъ. Мы имемъ: 10—4=6,




Образуемъ теперь произведеніе





откуда мы получаем 600 + 800 = 1400. Точно также:




600+400=1000. Пользуясь все тмъ же пріемомъ, вычисляемъ произведеніе




и образуемъ сумму 60+80+60+60=260. Дале:





а 60+20+60=140. Двигаясь тмъ же путемъ дале, мы получимъ:








6+8+6+9=29. Затмъ находимъ




 эта сумма, подобно длитеkю, является уже числомъ меньшимъ 10-ти. Такимъ образомъ оказывается, что остатокъ отъ дленія равенъ 1. Искомое частное 1267. Первоначально римскій способъ примнялся на абак, при помощи римскихъ цифръ; но съ теченіемъ времени, когда въ Европу проникли арабскія цифры, онъ сталъ примняться и на нихъ и долго не уступалъ своего мста новымъ пріемамъ. Теперь онъ уже совершенно оставленъ и ршительно нигд не встрчается. А между тмъ и у него есть нкоторое удобство, которое возвышаетъ его въ этомъ отношеніи: именно легкое угадываніе цифръ частнаго. Въ нашемъ нормальномъ дленіи иногда случается задаваться не тою цифрою, какая нужна, а большей или менmiей; у римлянъ же это могло случаться гораздо рже, потому что длителемъ у нихъ всегда служило круглое число, про которое легко найти, сколько разъ оно содержится въ длимомъ.

Приведемъ образцы письменнаго расположенія по этому способу. Примры: 672 : 16 и 3276 : 84.




Другіе способы дленія.

 Сделать закладку на этом месте книги

1) Самымъ простымъ, общедоступнымъ путемъ дленія, правда длиннымъ и утомительнымъ, является замна дленія вычитаніемъ; поэтому вс народы, которые находятся на низшихъ ступеняхъ развитія, производятъ дленіе при ломощи вычитанія: потому также полезно было бы давать и малымъ дтямъ нсколько упражненій на послдовательное вычитаніе, прежде чмъ переходить съ ними къ дленію. Примровъ замны дленія вычитаніемъ можно указать много у разныхъ народовъ, особенно же среди мало образованныхъ классовъ. Такъ, въ средніе вка въ Германіи среди простого народа часто употреблялся счетъ на маркахъ, т.-е. на костяшкахъ—костяшки эти клались въ колонны, въ особую колонну для каждаго разряда— въ такомъ случа длитель откладывался отъ длимаго столько разъ, сколько было возможно, и число отложенныхъ длителей показывало величину отвта, потому что раздлить—значитъ узнать, сколько разъ длитель содержится въ длимомъ.

2) Замна дленія умноженіемъ нсколько трудне, чмъ замна его вычитаніемъ; она не такъ доступна, понятна и наглядна; ее мы встрчаемъ на тхъ ступеняхъ развитія науки, когда совершается переходъ отъ простонародныхъ пріемовъ вычисленія къ точнымъ научнымъ пріемамъ. Такъ, напр., у индусовъ до выработки нормальныхъ способовъ дленія мы видимъ массу попытокъ привести его къ умноженію; при этомъ и само умноженіе совершается такимъ искусственнымъ порядкомъ, какой встрчается еще въ глубокой древности у египтянъ, распространенъ былъ среди всхъ народовъ и пользуется до сегодня популярностью среди самоучекъ и немудрыхъ счетчиковъ. Для поясненія беремъ примръ у Евтокія, греческаго писателя въ VI в. по Р. X. Требуется раздлить 6152 на 15. Для этого Евтокій составляетъ рядъ чиселъ, кратныхъ 15-ти: 15, 30, 60, 90, 120,150, 180, 210: 240, 270, 300, 600, 900,1200, 1800, 2100, 2400, 2700, 3000, 6000. Рядъ этотъ, какъ видимъ, содержитъ не вс кратныя числа, но онъ только пролагаетъ путь къ тому, чтобы догадаться, что 6000 кратно 15, и что въ 6000 содержится 15 четыреста разъ. Остается теперь раздлить 152 на 15. Для этого Евтокій снова соcтавляетъ подобный же рядъ: 15, 30, 60, 90, 150 и выводитъ, что 15 въ 150-ти содержится 10 разъ. Всего въ отвт получится 410 и 2 въ. остатк.

3) Слдующей попыткой къ упрощенію дленія является расчлененіе длителя на производителей; оно и теперь примняется съ большимъ успхомъ, особенно при устномъ счет; именно, чтобы раздлить, напр., на 8, можно раздлить данное число пополамъ, полученный отвтъ опять пополамъ и вновь полученный отвтъ еще разъ пополамъ. Для письменнаго вычисленія такой порядокъ особенно рекомендуется итальянцемъ Леонардо Фибонначи (около 1200 г. по Р. X.); при этомъ, въ случа дробнаго частнаго, у него получаетея рядъ дробей съ возрастающиии знаменателями.

Оригинальный пріемъ, основанный на той же иде, даетъ Апіанъ (XVI в. по Р. X.); у него проскальзываетъ нчто въ род десятичныхъ дробей, хотя въ его время теорія десятичныхъ дробей находилась въ самомъ зачаточномъ состояніи.

Положимъ, ему надо раздлить 11664 на 48; онъ сперва вычисляетъ 11664:6, потомъ отъ каждаго полученнаго разряда беретъ вооьмую долю, это легко достигается тмъ, что каждый разрядъ по-множается на 0125, такъ какъ 1:8=0,125. Все дйствіе можно представить въ такомъ вид.





Объясняется это вычисленіе слдующимъ образомъ. Длимъ 11 тыс. на 6, получаемъ 5 въ остатк и 1 въ частномъ; 5 пишемъ надъ 1, а единицу частнаго умножаемъ на 0125 и пишемъ прямо подъ чертой. Дале, 56 сот.: 6=9 сот. и 2 сотни въ остатк; остатокъ помщаемъ надъ 6-ю, а 9 надо умножить на 0125; для этого Апіанъ множитъ отдльно 0125 на 5 и на 4, получаетъ 0625 и 05; при записываніи цифра 5 у числа 0625 подвигается вправо за черту, потому что это будутъ уже не цлыя единицы, а только десятыг доли. Теперь 26 десятковъ надо длить на 6, будетъ въ частномъ 4 десятка; помножить 4 на 0125, получится 5—столько простых единицъ, ихъ пишемъ. Наконецъ, 24:6 — 4, 40125 = 5, это будутъ десятыя доли, и ихъ слдуетъ писать за чертой вправо. Остается сложить вс отдльныя частныя и тогда получится общій отвтъ 243.

4) Вс три предыдущихъ способа уступаютъ нашему, которымъ мы, обыкновенно, пользуемся: они трудне и длинне нашего. Но вотъ методъ Тиллиха, предложенный имъ въ 1806 г. Онъ уже вытекаетъ изъ нормальнаго пріема и стремится еще боле его усовершенство-вать. Суть его состоитъ въ слдующемъ. При дленіи на однозначное число, напр., на 3, не сносятъ остатковъ къ слдующему низшему разряду, а стараются раздлить каждый разрядъ вполн, хотя бы для этого пришлось воспользоваться и дробнымъ частнымъ. Согласно этому, дйствіе 56789:3 располагается такъ:





Прежде всего длится 5 дес. тысячъ на 3, на каждую часть придется по 1 дес. тысячъ, изъ этого 1 дес. тыс. сносится въ частное, а дес. тыс. пока оставляются. Затмъ длимъ 6 тысячъ на 3, будетъ по 2 тысячи, ихъ такъ и пишемъ въ частномъ. Точно такимъ же образомъ 7 сот.: 3 = 2 сотни, 8 дес.: 3 — 2 дес и наконецъ 9:3 = 3. При этомъ вс цлые отвты сносятся въ частное, а дроби пока оставляются. Дроби эти приводятся къ нормальному виду слдующимъ путемъ. десятка тысячъ дадутъ 6 тысячъ и тысячи; эти тысячи составятъ 6 сотни, да у насъ еще сотни, всего получится 7 сотенъ, ихъ такъ и пишемъ. Останется только церевести десятка въ единицы, будетъ 6. Окончательный отвтъ составитъ 18929.

Въ иныхъ примрахъ можно разбивать длимое на группы въ 2 разряда, и это представляетъ немалое удобство. Такъ, отъ 339765 Тиллихъ совтуетъ находить дленіемъ 33 дес. тысячъ на 4, 97 сотенъ на 4 и 65-ти единицъ на 4. Тогда форма вычисленія получится слдующая:




Поврка дйствій.

 Сделать закладку на этом месте книги

Въ чемъ состоитъ поврка дйствій, и чмъ она вызывается? Поврить дйствіе значитъ произвести такое дополнительное вычисленіе, которое вселило бы нкоторую увренность, что данный намъ нримръ ршенъ правильно. Въ наши времена поврка примняется не очень часто, и даже начинающіе школьники на столько бываютъ уврены въ своихъ силахъ и въ своемъ умньи вычислять, что избгаютъ поврки.

Это съ одной стороны вредно, такъ какъ дти пріучаются съ малыхъ лтъ искать опоры не тамъ, гд надо бы, т.-е. не въ своемъ искусств и умньи. а на сторон: они надодаютъ учителю вопросами «такъ ли?» и постоянно засматриваютъ въ задачники: сходится ли съ отвтомъ?

Этимъ наша школа разслабляетъ дтей, вмсто того, чтобы помогать имъ становиться на ноги.

Старинная школа была счастливе въ выработк характера и самимъ родомъ своихъ занятій закаляла его. Да и какъ было не закалять, когда, напр., въ средніе вка та самая работа требовала отъ дтей усиленныхъ трудовъ, которая теперь едва-едва оставляетъ въ нихъ впечатлніе. Въ средневковой школ какое-нибудь дленіе многозначныхъ чиселъ требовало массы времени, настойчивости, терпнія и т. п. Понятно, что затративши много труда и положивши не мало силъ, счетчику интересно было убдиться, хорошо ли онъ исполнилъ работу, и годится ли результатъ. Этимъ и вызывалась потребность поврки. Еще индусы, творцы ариметики, любили поль-зоваться повркой; впрочемъ, у нихъ была на то своя особенная, спеціальная причина, именно они, какъ ужъ упоминалось не разъ выше, вели вс вычисленія на песк и стирали вс лишнія цифры по мр того, какъ подходили къ концу, такъ что въ самомъ конц у нихъ оставались только данныя числа и отвтъ; вслдствіе этого имъ нельзя было просмотрть дйствіе еще разъ и убдиться, на-сколько врно оно сдлано, поэтому имъ приходилось изобртать особенные способы поврки, которыхъ они и предложили нсколько. Самымъ уиотребительнымъ способомъ, не только у индусовъ, но и вообще во всей школ до ХVIII-го вка была поврка числомъ 9. Она основана на слдующемъ. Если мы возьмемъ 2 слагаемыхъ, напр., 370 и 581, и раздлимъ каждое изъ нихъ на 9, затмъ сложимъ остатки отъ дленія, то эта сумма остатковъ будетъ такою же, какъ если бы мы прямо раздлили на 9 сумму данныхъ чиселъ.

Дйствительно, остатокъ отъ 370:9 будетъ 1, отъ 581 остатокъ будетъ 5 и отъ суммы данныхъ чиселъ, т.-е. отъ 951, остатокъ будетъ тоже 5+1 = 6 (иногда, впрочемъ, изъ суммы остатковъ приходится выкидывать одну или нсколько девятокъ, напр., если бы слагаемыми были 375 и 581, то сумма остатковъ составила бы 11. а остатокъ суммы равнялся бы 2, т.-е. 11—9). Эти числа 1, 5, 6 носятъ названіе поврочныхъ чиселъ, слд. 1 будетъ поврочнымъ числомъ для 370-ти, 5 для 581 и 6 для 951. Огсюда ясно вытекаетъ правило: поврочное число суммы равно сумм поврочныхт чиселъ всхъ слагаемыхъ. Точно также при вычитаніи: поврочное число разности соотвтствуетъ разности поврочныхъ чиселъ уменынаемаго и вычитаемаго; или иначе: повр. число уменьшаемаго равно сумм поврочныхъ чиселъ вычитаемаго и разности. При умноженіи правило такое: повр. число произведенія соотвтствуетъ произведенію повр. чиселъ множителей; и, наконецъ, при дленіи новр. число длимаго со-отвтствуетъ произведенію поврочныхъ чиселъ длителя и частнаго.

За исключеніемъ сложенія, при каждомъ дйствіи имется 4 по-врочныхъ числа, и они, обыкновенно, располагались такъ, что получалась фигура косого креста. Примръ: 525 раздлить на 15, получится въ частномъ 35. Тогда поврка представляется слдующимъ крестомъ:

 \ 3 /

6 \ / 8

  / \

  / 3 \


Нкоторые математики, приверженцы совершенной точности и полной безошибочности, находили, что поврка числомъ 9 далеко не безупречна и можетъ повести къ ошибкамъ. Зависть он могутъ отъ такихъ причинъ. Во-первыхъ, различныя по величин числа, но только отличающіяся другъ отъ друга на цлое число девятокъ, имютъ поврочныя числа одинаковыя; напр., числа 172 и 1081. Во-вторыхъ, этой повркой нельзя открыть пропуска нулей или же излишка нулей: числа 105, 1050, 15 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Въ третьихъ, перестановка цифръ точно также не можетъ быть открыта этой повркой, такъ какъ, напр., числа 78932 и 87932 даютъ одинаковыя поврочныя числа. Итакъ, поврка числомъ 9 ненадежна. Поэтому, лучшіе авторы XVI—XVII в. рекомендуютъ еще поврку числомъ 7. Она основана на томъ же, на чемъ и предыдущая, и слд. при ней изъ данныхъ и иекомыхъ чиселъ выкидываютъ возможное число семерокъ, а съ остатками поступаютъ точно такимъ же образомъ, какъ и при поврк числомъ 9. Въ этомъ случа ужъ можно обнаружить и перестановку цифръ, и пропускъ нулей.

Казалось бы, что вполн достаточно поврки числомъ 9 и числомъ 7 для того, чтобы можно было успокоиться и убдиться, что отвтъ вренъ. Но нтъ, Рудольфъ и Апіанъ (въ XVI ст.) объясняютъ, что поврять можно такимъ же путемъ, какъ и выше, еще съ помощью чиеелъ 8, 4, 6.

Фишеръ (въ 1559 г.) провряетъ свои вычисленія числами 5, 6, 7, 8, 9, 11.

Но такое большое количество искусственныхъ поврокъ приводило многихъ авторовъ прямо къ отрицанію ихъ необходимости и пользы. Петръ Рамусъ, извстный французскій ученый и математикъ (ум. 1572 г.), говоритъ, что вс эти ухищренія излишни и ненужны, и что если кому требуется поврить дйствіе, то пусть онъ передлаетъ его снова и больше ничего; такъ будетъ лучше и въ томъ отношеніи, что, передлывая снова, мы можемъ не только открыть присутствіе ошибки, но и исправить ее.

Лука де-Бурго смотритъ на дло хладнокровне. Онъ не отрицаетъ совершенно проврки, но только совтуетъ длать ее, по возможности, проще. Именно онъ указываетъ для этого 2 способа. Во-первыхъ, можно то же дйствіе произвести еще разъ и только измнить его порядокъ, напр., при сложеніи нсколькихъ чиселъ, если мы сперва складывали сверху внизъ, то потомъ надо пересложить снизу вверхъ. Во-вторыхъ, всякое дйствіе повряется своимъ обратнымъ: вычитаніе сложеніемъ, дленіе умноженіемъ и т. п.

Происхожденіе мръ.

 Сделать закладку на этом месте книги

Вс предыдущія объясненія, которыя изложены до настоящей главы, касались счета и вычисленій, т.-е. тхъ умственныхъ отправленій человка, которыя составляютъ наиболе характерную и общую черту его природы.

Дйствительно, потребность считать привадлежитъ всмъ людямъ и составляетъ необходимую часть ихъ мышленія. Поэтому естественно, что и проявленіе этой всеобщей потребности и присущей всмъ способности тоже носитъ въ себ много общаго и неизмннаго у всхъ народовъ и во вс времена. Въ счет и вычисленіи нтъ мста произволу и очень мало мста для свободнаго выбора: все совершается по общему закону, предустановленному психической организацею человка. Не то мы видимъ въ измреніи и оеобенно въ выбор мръ. Вотъ ужъ именно «что городъ, то норовъ, что деревня, то обычай!» Каждое маленькое государство, каждый хоть немножко самостоятельный народъ, каждый городъ, каждый уголокъ стремится измрять своими мрами, да и т еще успваетъ перемнить нсколько разъ съ теченіемъ времени. Прослдимъ вкратц эту измнчивость мръ и постараемся извлечь изъ нея т немногія руководящія основанія, которымъ подчиняется выборъ мръ, а для этого возьмемъ отъ каждаго народа то, что боле всего примчательно.

Древній міръ признавалъ египтянъ творцами системы мръ. Еще въ доисторическія времена египтяне принимали 365 дней въ году; имъ же принадлежитъ введеніе високоснаго года въ 366 дней черезъ каждые 3 простыхъ, при чемъ установленіе это приписывается царю Канопу и относится къ 238 г. до Р. X. Оть египтянъ этотъ порядокъ былъ заимствованъ Юліемъ Цезаремъ и введенъ имъ во всемъ римскомъ государств, онъ же держится и у насъ теперь подъ именемъ юліанскаго лтосчисленія. Счетъ по недлямъ и по мсяцамъ точно также былъ извстенъ египтянамъ.

Вавилоняне замчательны тмъ, что они стремились объединить всю систему мръ и привести ее къ одной основной единиц. Эта глубокая мысль занимала потомъ многихъ математиковъ, цринадлежавшихъ къ различнымъ національностямъ, и нашла себ выраженіе только очень недавно, именно съ введеніемъ метрической систеиы мръ. Съ этой цлью вавилоняне пользовались особымъ священнымъ сосудомъ опредленныхъ размровъ, который они хранили въ надежномъ мст. Длина ребра этого сосуда принималась за единицу длины. Когда же этотъ сосудъ наполнялся водой, то всъ воды, вытекавшей изъ него въ опредленное время, принимался за единицу вса и назывался талантомъ; талантъ раздлялся на 60 минъ. Отъ вавилонянъ онъ перешелъ къ другимъ сосднимъ народамъ, напр., грекамъ, евреямъ, но при этомъ не всегда и не везд онъ сохранялъ свою первоначальную величину. Обыкновенный греческій талантъ всилъ слишкомъ 1 пуда и раздлялся на 6000 драхмъ.

Талантъ не особенно извстенъ, какъ мра вса, но зато онъ былъ очень распространенъ въ вид мры стоимости.

Это происходило потому, что въ древности монеты цнились по ихъ всу, и когда совершалась купля-продажа, то, обыкновенно, условливались, сколько надо отвсить за такую-то вещь золота, серебра или даже мди. Такимъ образомъ талантъ золота, т.-е. приблизительно 1 пуда золота, цнился при цар Давид въ 125 тысячъ рублей, въ перевод на наши монеты. Талантъ серебра при немъ же обошелся бы въ 2400 руб. Аттическій талантъ серебра цнился почти вдвое дешевле и доходилъ лишь до 1290 р. на наши деньги. Это случилось, врне всего, потому, что съ теченіемъ времени талантъ сталъ терять свое первоначальное значеніе вса и постепенно обращался въ монету, т.-е. съ нимъ получалось такое превращеніе: за талантъ принимался не кусокъ опредленнаго вса, а кусокъ съ клеймомъ «талантъ», при чемъ всу-то въ этомъ куск было мене противъ должнаго, и слд. монета являлась неполноцнной.

Слдуетъ отмтить еще интересное совпаденіе, которое доказываетъ, что историческія вліянія простираются гораздо глубже, чмъ можно бы предполагать съ перваго раза. Заключается оно въ томъ, что есть связь между монетами современныхъ намъ англичанъ и монетами древнихъ вавилонянъ. Вавилоняне чеканили изъ мины чистаго золота 60 шекелей, а за 1 шекель давали 20 драхмъ серебряныхъ монетъ. Англійскій же фунтъ стерлинговъ (золотая монета, иначе наз. соверенъ) равенъ по всу вавилонскому шекелю и содержитъ 20 шиллинговъ (шиллингъ—серебряная монета.) Такимъ образомъ, видно полное соотвтствіе между фунтомъ стерлинговъ и шекелемъ, а также между драхмой и шиллингомъ.

Мрой длины у евреевъ и у многихъ народовъ не только древняго, но и новаго міра сдужилъ локоть. Ноевъ ковчегъ былъ длиною 300 локтей, шириною 50 и высотою 30 локтей. Локоть на наши мры составляетъ 21 дюймъ или 12 вершковъ. Впрочемъ, у другихь народовъ онъ немного измнялся и колебался въ предлахъ отъ 18 до 22 дюймовъ. Размръ локтя опредлялся длиной локтевой костл отъ плеча до пальцевъ. Употребленіе его въ качеств мры длины подтверждаетъ намъ, что люди всегда искали мръ среди самой природы, которая одна только и можетъ указать намъ нчто незыблемое, постоянное и можетъ избавить насъ отъ произвола и неопредленности.

У римлянъ вмсто локтя употреблялся футъ — «pes», который представлялъ собой длину ступни взрослаго мужчины. И у германцевъ была въ употребленіи эта же самая мра, и слово «футъ» германскаго происхожденія и значитъ собственно «нога»,т.-е. ступня. Подобнаго же происхожденія славянская мра «пядь». Это, собственно говоря, пространство между раздвинутыми мизинцемъ и большимъ пальцемъ, на наши мры будетъ около 4 вершковъ. Еще можно упомянуть о шаг римлянъ: римляне нердко измряли разстояніе шагами (passus).

Римская мра фунтъ сохранила всю свою силу и примненіе до нашихъ дней. Это то, что иы теперь зовемъ аптекарскимъ фунтомъ, который равенъ обыкновеннаго русскаго фунта, или 84 золотникамъ. По образцу римскаго фунта употреблялись фунты въ Германіи, Австріи, Швеціи и т. д. Шведскій фунтъ на 15 граммовъ тяжеле русскаго, германскій на 90 граммовъ и австрійскій на 150, т.-е. почти на нашего фунта (граммъ = золотн.).

Аптекарскій фунтъ издавна длился на 12 унцій и основаніемъ такого дленія служилъ, вроятно, примръ года, который тоже длится на 12 равныхъ частей—мсяцевъ. Дленіе на унціи было чрезвычайно распространено въ древнемъ Рим и отчасти въ средніе вка.

Его примняли даже во многихъ такихъ случаяхъ, которые не имли ничего общаго ни съ всомъ, ни съ фунтомъ. Напр., дробь 1/12 у римлянъ большею частью называлась унціей, хотя бы то было 1/12 листа бумаги или 1/12 капитала, или 1/12 времени—все это были унціи. Еще два слова о мрахъ квадратныхъ. Вычисленіе площади прямоугольника не всегда было такимъ легкимъ дломъ, какимъ оно представляется намъ теперь. По-крайней мр, извстна арабская задача Х-го вка со слдующимъ оригинальнымъ содержаніемъ: судья разбираетъ споръ, можно ли участокъ въ 100 локтей длины и 100 локтей ширины замнить 2 участками въ 50 локтей длины и 50 локтей ширины. Судья склоняется къ тому, что такая замна возможна. Очевидно, ему не подъ силу было догадаться, что первый участокъ содержитъ 4 вторыхъ, а не два.

Метрическая система мръ.

 Сделать закладку на этом месте книги

На послднюю четверть XVIII столтія приходится самая важная реформа въ области мръ — введеніе одной основной метрической единицы.

Мры времени у всхъ народовъ земли приблизительно одинаковы, потому что он зависятъ отъ тхъ размровъ, которые предустановлены самой природой. Но остальныя вс мры чрезвычайно разнообразны и произвольны. Германія, раздробленная до послдняго времени (1870 г.) на многое множество отдльныхъ мелкихъ государствъ и въ то же время достигшая высокой степени гражданскаго развитія, служила нагляднымъ образцомъ обилія мръ. Въ каждомъ княжеств и въ каждомъ порядочномъ город былъ свой локоть или свой футъ; мры вмстимости при одномъ названіи иногда имли разный объемъ; центнеръ (употребительная мра вса, 6 пуд. съ лишкомъ), давалъ, смотря по мсту, разницу фунтовъ въ 20. Въ Швейцаріи каждый кантонъ чеканилъ свою монету и устанавливалъ мры и всъ.

Во Франціи во 2-ю половину XVIII-го вка примнялось свыше 50-ти различныхъ мръ вса, вмстимости и длины. Все это разнообразіе чрезвычайно губительно дйствовало и на внутреннюю, и на вншнюю торговлю государствъ.

Купцамъ приходилось имть дло съ тысячами различныхъ цнъ и мръ. Приводя къ извстнымъ мрамъ, они часто должны были вычислять только приблизительно, а не вполн точно, потому что и самыя отношенія мръ подвергались колебаніямъ. Кром того, нормальныхъ образцовъ и мръ, по которымъ можно было бы проврить и съ которыми сравнивать, обыкновенно, нигд не хранилось и разршить сомнніе и споръ не было по чему. Кстати, и въ учебникахъ допускались относительно мръ неточности и даже ошибки. По всмъ этимъ основаніямъ вполн понятно стремленіе ученыхъ математиковъ, коммерсантовъ и вообще всхъ людей, такъ или иначе прикасавшихся къ купл и продаж, объединить мры и дать имъ твердые устои, заимствовавши образцы изъ самой природы.

Въ средніе вка нкоторые государи и городскія управленія пытались установить опредленныя закономъ величины мръ. Въ городской ратуш въ Регенсбург хранились металлическіе образцы мръ: футъ, шестифутовая сажень и локоть: всякій желающій могь осматривать эти образцы и сравнивать съ ними свои мры. Многократно издавались въ различныхъ государствахъ предписанія, чтобы мры вмстимости и длины приготовлялись «съ запасомъ», т.-е. съ нкоторымъ прибавкомъ къ своей величин, очевидно, во избжаніе злоупотребленій со стороны купцовъ.

Франція первая привела въ исполненіе мысль о твердо установленной мр. Прежде всего ученые задались вопросомъ: что именно принять за единицу мры? Какую величину взять для этого изъ природы? Предлагали взять длину секунднаго маятника, т.-е. такого, который совершаетъ свое качаніе ровно въ секунду, но оказалось, что эта длина иметъ нкоторыя неудобства, такъ какъ секундный маятникъ измняется съ географической широтой мстности. Другіе предлагали величину ячейки пчелиныхъ сотъ, разстояніе между зрачками взрослаго человка, видимый діаметръ солнца. Въ 1789 г. французское національное собраніе энергично взялось за реформу. Въ засданіи 8 мая 1790 г., по предложенію извстнаго аббата Таллейрана, было ршено выработать, совмстно съ Англіей, такую систему, которая годилась бы для всхъ народовъ земного шара. Для этого организована была коммиссія изъ французовъ и англичанъ.

Однако, вскор англичане разошлись съ французами изъ-за политическихъ недоразумній и установили у себя свою систему, въ которой единицей былъ принятъ ярдъ, заимствованный отъ длины секунднаго маятника въ Гринвич; ярдъ = 3 футамъ = 0,91439 метра. Франція такимъ образомъ осталась одна и принялась за работу. Комиссія ршила принять за основаніе одну десятимилліонную часть четверти парижскаго меридіана или, иначе сказать, сорокамилліонную долю окружности земного шара. Для этого потребовалось новое измреніе меридіана. Работа нсколько затянулась и. едва къ 1799 году была закончена подъ руководствомъ знаменитаго математика Лапласа; при этомъ фактически было измрено 10 градусовъ меридіана, на разстояніи между городами Барселоной и Дюнкирхеномъ. Когда вс работы окончились, то приготовлено было 2 нормальныхъ платиновыхъ образца, совершенно равныхъ другъ другу, и имъ было дано названіе «метръ» отъ греческаго слова , что значитъ мра. Въ этомъ случа съ особенной цлью было выбрано слово греческое, а не французское, т.-е. слово языка отжившаго, международнаго, что-бы не обидть самолюбіе всхъ тхъ государствъ, которыя пожелали бы ввести у себя метръ. Чтобы образовать долю метра, а также чтобы получить кратныя метра, воспользовались исключительно десятичной системой и раздлили метръ на 10 равныхъ частей, назвали дециметромъ, раздлили на 100, назвали центиметромъ, на 1000— миллиметромъ; точно также декаметръ составляетъ 10 метровъ, гектометръ—100, кмлометръ 1000 и миріаметръ—10000.

При этомъ десятичная система была выбрана потому, что на ней основана вся наша нумерація, и она даетъ наибольшія выгоды для разсчетовъ. Латинскія слова: деци, центи, милли и греческія: дека. гекто, кило, миріа, которыя обозначаютъ соотвтственно: 10, 100, 1000, 10000, были выбраны опять-таки потому, что этимъ путемъ ничей патріотизмъ не затрагивается, и система можетъ быть признана вполн международной. Отъ мръ длины легко было произвести мры поверхностей, вмстимости, вса и кубическія. Такъ, площадь квадрата съ десятиметровой стороной принята была за единицу подъ именемъ ара, отъ латинскаго сдова «area»,что значитъ поверхность. Единицей объемовъ былъ взятъ кубическій метръ, который сталъ

называться стеромъ, когда примнялся, напр., къ измренію объема угля, дровъ и т. п. Греческое слово «стеръ» и значитъ «объемъ»


убрать рекламу




убрать рекламу



, отъ него, между прочимъ, производится и слово «стереометрія», т.-е. измреніе объемовъ тлъ. Для объемовъ жидкостей стала употребляться боле мелкая мра—литръ, составляющій 1 кубическій дециметръ. Единицей вса былъ принятъ граммъ, равный всу кубическаго сантиметра чистой воды, взятой при температур 4° Цельсія. Слово «граммъ»—греческаго корня и означаетъ, собственно говоря, гравировку или штемпель, который долженъ класться на гирьк, а уже отсюда и самый всъ; въ буквальномъ перевод слово граммъ значитъ «написанное» и поэтому оно стоитъ въ связи со словами грамматика, грамота.

Метрическая система отличается простотой, яотому что въ ней только одинъ исходный пунктъ—метръ, и вс остальныя мры вытекаютъ изъ него; это составляетъ большое упрощеніе, такъ какъ при помощи 12 словъ составляются названія для всхъ ршительно единицъ этой системы, которыя обнимаютъ собою вс ея отдлы и не даютъ повода къ смшенію съ какими бы то ни было другими старинными мрами. 1 января 1872 г. метрическая система была введена въ Германіи. Нсколько ране этого ее приняла Италія и Швейцарія. По закону 9 iюля 1873 г. вс мстныя мры различныхъ уголковъ Германіи были отмнены и объявлены недйствительными. Къ большому сожалнію, оказывается, что измрить длину меридіана совершенно точно—чрезвычайно трудная задача; Лапласу и его сотрудникамъ не удалось избжать нкоторой, хотя и небольшой, ошибки, а потому нормальный метръ, образецъ котораго сохраняется въ Парнж, не равенъ въ точности одной сорокамилліонной долистинной длины меридіана. Именно, по новйшимъ изслдованіямъ и измреніямъ оказывается, что принятый во всемъ свт метръ короче того, какой бы слдовало имть, на 1/10 миллиметра. Точно также, когда метрическія мры вводились въ Пруссіи, то нормальный образецъ, изготовленный въ Берлин, когда его сличнли съ парижскимъ, оказался неравнымъ ему, правда, на микроскопическую долю: прусскій метръ=1, 00000301 метра французскаго.

Русскія мры.

 Сделать закладку на этом месте книги

Мры времени.  Мы начинаемъ съ нихъ потому, что въ нихъ вс народы боле согласны, чмъ въ какихъ бы то ни было другихъ. Везд принятъ солнечный годъ, содержащій 12 мсяцевъ или 365 сутокъ, и только въ очень немногихъ странахъ (напр., въ Турціи) пользуются луннымъ годомъ, продолжительностью въ 354 дня 8 час. 45 м. 5 с. Поэтому представляется вполн естествевньмъ, что уже въ ариметик Леонтія Магницкаго мры времени совершенно т же, что и у насъ:

годъ иметъ 12 мсяцевъ.

мсяцъ иметъ 4 седмицы,

седмица иметъ 7 дней,

день иметъ 24 часа,

часъ иметъ 60 минутъ,

а весь годъ иметъ 3651 дней.

О минутахъ и секундахъ здсь вовсе ничего не сказано. Лтъ за сто передъ Магницкимъ существовали оригинальныя дленія часа:

Большой часъ иметъ 5 первыхъ дробныхъ часовъ,

1-й дробный часъ—5 другихъ дробныхъ часовъ,

другой дробный часъ—5 третьихъ дробныхъ часовъ,

и т. д. до 6-го, шестой дробный часъ—5 часовъ седьмыхъ малыхъ дробныхъ.

«Боле же сего не бываетъ, т.-е. не рождаются отъ седьмыхъ дробныхъ». Не сказано здсь ничего и о вк, а вотъ у Кирика, новгородскаго діакона, жившаго въ ХІІ-мъ столтіи, вкъ принимается ( за 1000 лтъ, вмсто нашихъ ста.

Мри длины.  Футъ никогда- не признавался исконной русской мрой; онъ введенъ въ Россію уже при Петр Великомъ и вывезенъ имъ изъ Англіи, не даромъ и сейчасъ онъ иногда называется для точности англійскимъ футомъ и въ немъ содержится 12 англійскихъ дюімовъ. Старинная русская мра—аршинъ, состоящій изъ 4 четвертей. Онъ, подобно локтю и футу, заимствованъ, вроятне всего, изъ природы, по крайней мр, его четвертая доля—«четверть»—равна раз

стоянію между раздвинутыми большимъ и указательнымъ пальцемъ взрослаго человка.

Въ русскихъ сборникахъ XVII в., кром извстныхъ намъ сажени, аршина и вершковъ, упоминается еще локоть, и опредленъ онъ такъ, что 2 аршина равны 3 локтямъ, слд., локоть выходитъ длиною въ 10 вершка.

Земельныя мры.  Въ Московской Руси было 3 главныхъ земель-ныхъ мры: соха, четверть и десятина. Соха, подобно многимъ дру-гимъ мрамъ того времени, не отличалась постоянствомъ и зависла отъ качества земли и отъ принадлежности ея тоиу или другому вла-дльцу. Соха хорошей («доброй») земли составлялась изъ 800 четвертей, средней—изъ 1000 и худой изъ 1200. Она длилась на доли, при чемъ названія долямъ бывали иногда черезчуръ длинныя, такъ напр. выражалась такъ: «пол-пол-пол-треть сохи».

Другая земельная мра—четверть. Чему, примрно, она равна на наши мры, — трудно сказать: одни утверждаютъ, что нол-десятин, другіе увеличиваютъ ея размръ до полутора десятинъ. Дленія четверти простирались до мельчайшихъ долей, такъ что въ расчеты вводилась доля подъ именемъ «пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-пол-третникъ». Вроятно, подъ четвертью разумлось встарину такое количество земли, на которое приходилось высвать четверть зернового хлба. Подобно этому осыиина земли соотвтствовала осьмин хлба.

Навонецъ, третья земельная мра—десятина. Она и въ настоащее время очень употребительна. Различаютъ десятину казенную въ 2400 кв. саж. и хозяйственную въ 3200 кв. саж. Каково происхо-жденіе десятины и что она обозначала въ своей цервоначальной форм? Слово «десятина» звучитъ слишкомъ знакомо для насъ и иметъ очевидную связь со словомъ «десять» или врнс съ выраженіемъ «десятая часть». Владиславлевъ въ стать «Происхожденіе десятины, какъ земельной мры» («Ж. М. Н. П.», 1895, II) объясняетъ происхожденіе десятины слдующимъ образомъ. Въ старину крестьяне брали землю у помщиковъ и нердко пользовались ею съ такимъ условіемъ, чтобы обработать въ пользу владльца извстную долю того участка, который они арендуютъ. Обыкновенно этой долей служила десятая часть—десятина. Предположимъ теперь, что земельный участокъ, необходимый для прокормленія одной семьи, отличался постоянствомъ, т.-е. былъ приблизительно одинаковъ въ разныхъ мстностяхъ, тогда, значитъ, и десятая доля его, десятина, получаетъ довольно опредленное значеніе и начинаетъ играть роль земельной мры. Вотъ какъ объясняетъ зто дло Владиславлевъ, приводя въ доказательство писцовыя книги, изданныя географическимъ обществомъ.

Бобынинъ держится другой точки зрнія. Возьмемъ, говоритъ онъ, такой квадратъ, чтобы сторона его содержала десятую часть версты, т.-е. 50 саженъ, тогда площадь такого квадрата будетъ имть 2500 кв. саж.; остается теперь только допустить, что съ теченіемъ времени эта площадь нсколько уменьшилась и обратилась въ 2400 кв. саж., въ такомъ случа ясно будетъ, что такое десятина это квадратная площадь, со стороною, равною десятой части версты.

Кром перечисленныхъ нами трехъ мръ были въ употребленіи еще такія: a) Выть, это 5 -10 десятинъ крестьянской пашни, b) Новгородская соха, или сошка, въ 10 разъ меньше московской; въ сох 3 обжи, въ обж 5 коробьевъ. Особыя земельныя мры сущехтвовали, повидимому, въ Тверскомъ княжеств. Въ монгольскій періодъ въ юго-западной Россіи были земельныя мры: уволока, моргъ и прутъ; въ уволок 30 морговъ, въ морг 30 прутовъ. Моргъ на наши мры составляетъ приблизительно пол-десятины. (Вс эти свднія заимствованы изъ сочиненія Бобынина «Состояніе физико-матем. знаній въ Россіи въ ХVІІ в.»).

Мры вмстимости.  Въ старину он представляли гораздоболе сложную таблицу, чмъ теперь. Вотъ что встрчаемъ въ ХУІГ ст.

Оковъ—4 чети,

четвертокъ—2 чети,

четь—2 мры или 2 осмины,

осмина—2 полуосмины,

мра—2 полумры,

полмры—2 четверика,

четверикъ—2 получетверика.

Изъ этого видно, что четверть являлась четвертой долей окова, а четверикъ четвертой долей мры, при чемъ послдняя считалась осьминой, т.-е. восьмой частью окова.

Мры вса.  Въ XVII и ХVIII ст. встрчаются большею частью знакомые намъ берковецъ, пудъ, фунтъ. Но на ряду съ ними перечисляется цлая масса иностранныхъ мръ, и стариншхъ, и современныхъ. Знаніе ихъ было очень необходимо тогдашнему торговому человку, потому что вс обороты шли чрезъ «иноземныхъ гостей»: голландцевъ, англичанъ, венгровъ и т. д. У Магницкаго приведены мры латинскія (ассъ, унція и ихъ доли), греческія (талантъ, мина, драхма и др.), польскія, прусскія, литовскія, краковскія, голлапдскія и много другихъ; перечисленіе ихъ занимаетъ нсколько страницъ въ ариметик, а для ясности приложены сравнительныя таблицы, довольно длинныя.

Мры стоимости.  Уже ко времени Ярослава Мудраго существовала на Руси монета «гривна». Въ ней было 20 ногатъ, или 50 рзанъ. Различаются гривны кунныя, серебряныя и золотыя; изъ нихъ кунныя готовились изъ низкопробнаго серебра и стоили вчетверо дешевле настоящихъ серебряныхъ; предполагаютъ, что изъ серебряной гривны образовался вь Новгород къ XV вку рубль; золотая гривна въ 12 разъ дороже серебряной и всила около 20 золотниковъ. Съ петровскихъ временъ стали чеканиться монеты «гривенники».

Рубль получилъ свое названіе отъ слова «рубить» и представлялъ собой отрубленный кусокъ серебра всомъ около полфунта. Онъ принадлежалъ, главнымъ образомъ, къ новгородскимъ монетамъ, но попадались и московсвіе рубли, которые были вдвое меныне новгородскихъ. Въ рубл содержалось 10 гривенъ, или, врне, гривенниковъ. Гривенникъ равнялся 10-ти новгородкамъ, т.-е. новгородскимъ мелкимъ серебрянымъ (XV в.) монетамъ, или 10 копейкамъ, т.-е. московскимъ монетамъ. Происхожденіе слова «копейка» объясняется такъ. Это была небольшая серебряная монета, на которой изображался великій князь — верхомъ на кон; въ рукахъ онъ держалъ копье, а такъ какъ монетка была невелика, то и копье было очень маленькое, и прозвали его копейкомъ, и отсюда получилось названіе самой монеты—копейка. По крайней мр, во временник (лтописи) XVІ в. прямо говорится: «оттол прозваша деньги копейныя». Серебряныя копейки всили около 10 долей. При Алекс Михайлович стали чеканить мдныя копейки.

Алтынъ — татарскаго происхожденія: «алты» по-татарски значитъ шесть; алтынъ содержалъ 6 денегъ, т.-е. 6 полукопеекъ. При Петр Великомъ чеканились серебряные алтыны.

Деньга равнялась половин копейки. До XVI вка она чеканилась изъ серебра, а потомъ ее стали готовить изъ мди. Съ 1829 г. переименовали ее въ денежку. Ея нельзя смшивать съ полушкой, иначе сказать, съ полуденьгой, которая равна копейки. Это была уже самая мелкая монета на Руси. Впрочемъ, Карамзинъ приводитъ еще другія доли: въ полушк 2 полуполушки, въ полуполушк 2 пирога, въ пирог 2 полупирога, въ полпирог 2 четверти пирога.

Обыкновенныя (простыя) дроби

 Сделать закладку на этом месте книги

Необходимость дробей должна чувствоваться всякимъ человкомъ, который желаетъ хоть немного выйти за предлы начальныхъ вычисленій. И въ практической жизни, и при первыхъ же шагахъ науки дроби совершенно необходимы, и безъ нихъ обойтись нельзя. Поэтому и въ самыхъ древнихъ и въ самыхъ короткихъ ариметическихъ рукописяхъ встрчаются непремнно замтки о доляхъ.

Прежде всего наталкиваетъ на необходимость дробей дленіе съ остаткомъ. Интересны попытки, которыя длались старинными авторами для того, чтобы какъ-нибудь обойтись безъ дробей и провести все дло легко и спокойно, т. — е въ цлыхъ числахъ. Такъ, въ арабской рукописи 12-го вка по Р. X. ршается вопросъ «раздлить 100 фунтовъ между 11-ю человками поровну»; какъ видно, здсь получается остатокъ—1 фунтъ, его предлагаютъ промнять на яйца, которыхъ по существующимъ цнамъ придется 91 штука; тогда на каждаго человка можно дать по 8 яицъ и еще 3 яйца въ остатк: что длать съ ними? ихъ авторъ рекомендуетъ отдать тому, кто длилъ, за его труды или же промнять на соль къ яйцамъ. Еще проще поступаетъ представитель римской монастырской учености IX вка Одо Клюнійскій. Требуется ему раздлить 1001 фунтъ на 100. Остатокъ 1 онъ дробитъ въ унціи, драхмы и т. д. до тхъ поръ, пока только можно дробить. И такъ какъ въ конц концовъ еще получается маленькій остатокъ, то его Одо предлагаетъ совсмъ бросить и не брать въ счетъ. Но при этомъ вдь происходитъ ошибка, хотя и небольшая, и автору ничего иного не остается, какъ извинить свою ошибку несовершенствомъ всего земного и всхъ людскихъ дяній и для большей убдительности привести даже латинскіе стихи.


Rrum vro parns qui slus cncta tutur
Cm sit cncti potns, perfctus solus habtur.

Отецъ вселенной, — который все содержитъ,
Одинъ владетъ всмъ, одинъ безъ недостатковъ.

Изъ нихъ авторитетно вытекаетъ, что только небесное свободно отъ ошибокъ и обладаетъ совершенствомъ.

Понятна та осторожность и та боязнь, съ которой въ старину относились къ дробямъ. Это былъ труднйшій и запутаннйшій отдлъ ариметики. Не даромъ и сейчасъ у нмцевъ сохранилась поговорка «попасть въ дроби» (in die Brche gerathen), что совершенно равносильно нашему «стать въ тупикъ», т.-е. зайти въ такой проулокъ, выходъ изъ котораго застроенъ. Трудность увеличивалась и осложнялась, главнымъ образомъ, тмъ, что не принято было давать никакихъ объясненій, и вся старательность ученика направлялась на заучиваніе правилъ, безъ всякаго пониманія того, откуда эти правила вытекаютъ. Кстати, и самая глава о дробяхъ была мало разработана и представлялась неясной даже для составителей учебниковъ, потому что дроби то смшивались съ именованными числами, то принималисъ состоящими изъ 2 чиселъ—числителя и знаменателя. Въ понятіяхъ о дйствіяхъ надъ дробями была большая путаница, особенно, что касалось умноженія и дленія, да и сейчасъ въ наши дни этотъ туманъ не разсялся; напр., первые 2–3 года, пока ребенокъ учитъ цлыя числа, ему толкуютъ, что умножить значитъ увеличить въ нсколько разъ, а потомъ, когда онъ переідетъ къ дробямъ, его начинаютъ убждать, что умножить вовсе не значитъ увеличить. Между тмъ, какъ легко было бы устранить все это, если бы взглянуть на дло попроще и согласиться, что умножить въ цлыхъ числахъ значитъ взять слагаемымъ нсколько разъ, а въ дробяхъ—взять долю числа. Трудны были дроби прежде, нелегки он и теперь, а такъ какъ изученіе ихъ очень полезно и необходимо, то преподаватели старались и въ проз, и въ стихахъ ободрить своихъ учениковъ и цобудить ихъ пересилить трудности. Знаменитый римскій ораторъ Цицеронъ (въ 1 ст. до Р. X.) счелъ долгомъ сказать свое авторитетное слово по этому случаю: «sine fractionibus arithmetices peritus nemo esse potest»; это значитъ: «безъ знанія дробей никто не можетъ признаваться свдущимъ въ ариметик». То же самое встрчаемъ у нашего Магницкаго въ такихъ стихахъ:


Но нсть той ариметикъ,
Иже въ цлыхъ отвтникъ,
А въ доляхъ сый ничтоже,
Отвщати возможе.
Тмже о ты радяй,
Буди въ частяхъ умяй.

Особенное уваженіе къ дробямъ свидтельствуетъ авторъ одной славянской рукописи XVII в. Именно, разсуждая о тройномъ правил, онъ говоритъ:

«Нсть се дивно, что тройная статія въ цлыхъ, но есть похвально, что въ доляхъ».

Разсмотримъ теперь подробно, какъ развилось ученіе о дробяхъ у различныхъ народовъ.

Древніе египтяне задались въ этомъ отношеніи чрезвычайно оригинальной мыслью. Они пользовались только такими дробями, у которыхъ числитель непремнно единица; вс остальныя дроби они считали неудобными для вычисленія и старались замнять ихъ этими основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, такъ что когда египтянину требовалось произвести какое-нибудь дйствіе надъ дробями, то онъ сперва замнялъ данныя дроби основными, за-тмъ длалъ вычисленіе и уже въ конц-концовъ изъ ряда основныхъ дробей выводилъ одинъ общій отвтъ. Вс замны, которыя требовалось при этомъ длать, совершались при помощи обширныхъ таблицъ, спеціально заготовленныхъ на этотъ случай. Вотъ какъ начинаются эти таблицы:



Здсь между долями подразумвается, очевидно, сложеніе, такъ



Съ дробями, у которыхъ числитель больше двухъ, приходилось немало хлопотать, и составителямъ таблицъ досталось немало труда, напр., надъ разложеніемъ дроби 7/29. Ходъ вычисления такой:



При помощи такихъ таблицъ египтяне умли обходиться безъ приведенія дробей къ одному знаменателю; для этого они переводили слагаемыя въ основныя дроби на основаніи таблицъ, соединяли вс эти основныя дроби въ одну массу и потомъ смотрли, опять же руководствуясь таблицами, какой одной дроби равняется вся эта масса. Какъ составлялись подобныя таблицы? Точнаго отвта дать сейчасъ нельзя, тмъ боле, что они заимствованы изъ папируса Ринда, а этотъ папирусъ относится ко времени за 2000 лтъ до Р. X. Можно догадываться, что едва ли вс строки принадлежатъ одному составителю, врне всего отдльные результаты тщательно собирались въ общій сводъ, такъ что на нкоторые отвты приходилось наталкиваться случайно, при какихъ-нибудь другихъ вычисленіяхъ.

Такъ какъ египтяне пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, то они, обыкновенно, вовсе и не писали числителя, а только подразумвали его, писали же одного знаменателя; но чтобы не смшать дробь съ цлымъ числомъ, они надъ цифрами знаменателя ставили точку. Изъ производныхъ же дробей разсматривалась только 2/3 у которой былъ свой знакъ, такъ что эта дробь принималась за какую-то особенную величину, не стоящую въ прямой связи ни съ цлыми числами, ни съ дробями.

Арабы, очевидно, подъ вліяніемъ египтянъ, раздляли дроби на «выговариваемыя» и «невыговариваемыя». Такіе термины встрчаются, напр., въ VIII—IX в. по Р. X. Выговариваемыми дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ род нашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напрВыговариваемьши дробями были т, у которыхъ числитель единица, а знаменатель отъ 2 до 9; для нихъ есть особенныя названія, въ роднашихъ «половина», «треть» и т. д. Невыговариваемыми дробями были вс остальныя, и, напр., 1/13 выражалась описательно такъ: одна изъ тринадцати долей; 1/30 такъ: шестая часть одной пятой.

Древніе греки часто вводили въ вычисленія дроби. Обозначали они ихъ такъ: сперва писали числителя и сверху справа ставили значекъ въ род запятой, потомъ дважды повторяли знаменателя и приписывали каждый разъ значокъ въ вид 2-хъ запятыхъ. Напр., 3/21= K K, такъ какъ у грековъ обозначаетъ 3, а единицу, К двадцать. Однако чаще всего греки, по примру египтянъ и арабовъ, пользовались основными долями и при этомъ обыкновенно пропускали числителя, а знаменателя писали съ присоединеніемъ 2 черточекъ, и выходило, напр., что 1/21=K. Если нсколько основныхъ дробей писалось подъ рядъ, то это значило, что ихъ надо сложить. Особенные знаки были для половины: (старинная греческая буква сигма) и для 2 третей: .

Индусы, въ лиц одной изъ древнйшихъ своихъ отраслей — доисторическаго племени Тамуловъ, выражали вс доли при помощи только , , 1/16, 1/40, 1/80, 1/960. Для которыхъ у нихъ были особенныя названія и знаки. Вс другія дроби они старались привести къ шести указаннымъ, и это имъ въ болыпинств случаевъ удавлось порядочно, такъ какъ комбинаціи этихъ долей даютъ почти цлую единицу.

У индусскаго математика Брамагупты (въ XI в. по Р. X.) имется довольно развитая система простыхъ дробей. У него встрчаются различныя дроби, и простыя и производныя, т.-е. съ числителемъ и 1, и любое число. Числитель и знаменатель пишутся такъ же, какъ у насъ, но только безъ горизонтальной черты, а просто ставатся одинъ подъ другимъ. Выше числителя помщается цлое число, если оно есть. И выходитъ по индусскому порядку {| | ||7 |- |5||  |- | |8 |}, а по нашему—57/8.

Представители позднйшей арабской учености (XI в.) копируютъ индусскій порядокъ. Если цлыхъ нтъ, то они вверху помщаютъ нуль. Вотъ изображеніе восточно-арабскими цифрами;



отсюда видно, что нуль у восточныхъ арабовъ писался въ вид точки. Итальяинецъ Леонардо Фибонначи, слдуя манер восточныхъ народовъ (семитовъ) писать справа налво, помщаетъ, въ случа смшанныхъ чиселъ, справа цлое число, а лве дробь, но читаетъ написанное общепринятымъ европейскимъ порядкомъ, т.е. сперва цлое число, а потомъ уже дроби.

Своеобразную систему дробей наблюдаемъ мы у римлянъ. Народъ серьезный, практичный, дловой, они предпочитали отвлеченному мышленію наглядность, и поэтому ничего нтъ естественне въ ихъ положеніи, какъ замнить отвлеченныя доли подраздленіями употребительныхъ мръ. Они остановили свое вниманіе на мр вса— фунтъ (ассъ, въ настоящее время аптекарскій фунтъ). Ассъ длится на 12 частей—унцій. Изъ нихъ образуются вс дроби со знаменателемъ 12, т.-е.



при этомъ каждая изъ такихъ дробей выражается особеннымъ знакомъ и особеннымъ словомъ; любую дробную величину можно было выражать посредствомъ унцій, напр., вмсто того, чтобы сказать: «я прочиталъ 5/12 книги», говорили «я прочиталъ 5 унцій книги». Такимъ образомъ, фунтъ являлся и именованной единицей, и въ то же время отвлеченной, такъ какъ его долями выражались всевозможныя дроби.

Эта римская система дробей держалась въ школахъ Западной Европы вплоть до тхъ поръ, когда принесенная чрезъ Испанію арабская — врне сказать, индуссая—ариметика стала вступать въ свои права и получила силу и перевсъ. Это относится къ XV—XVI вк. по Р. X. Въ эти вка ученіе о дробяхъ уже получаетъ настоящій обликъ, знакомый намъ теперь, и формируется приблизительно въ т же самые отдлы, которые встрчаются въ нашихъ настоящихъ учебникахъ. Но все это было еще очень мудрено, туманно и трудно для начинающихъ учиться. О происхожденіи дробей тогда не говорили или же говорили очень мало и съ пропусками. Вмсто того прямо начинали съ выговариванія дробей и съ ихъ письм. обозначенія. Вотъ цитата изъ Грамматеуса, нмецкаго автора XVI в.:

«слдуетъ замтить, что всякая дробь иметъ 2 цифры, вверху и внизу линіи. Верхняя цифра называется числителемъ, нижняя—знаменателемъ. Выговариваютъ дроби такъ: сперва называютъ верхнюю цифру, затмъ нижнюю, съ прибавленіемъ слова «части». Напр. 2/5 — дв пятыхъ части».

 Въ русскихъ матем. рукописяхъ XVII в. мы видимъ то же самое, что въ западно-европейскихъ XVI и даже XV столтія, потому что, чтобы знанію дойти до Россіи, требовалось столтіе или боле. «Статія численая о всякихъ доляхъ указъ» начинается прямо съ письм. обозначенія дробей и съ указанія числителя и знаменателя. При выговариваніи дробей интересны такія особенности: четвертая доля называлась четью, доли же со знаменателями отъ 5 до 11 выражались словами съ окончаніемъ «ина», такъ что 1/7, = седмина, 1/5 пятина, 1/10 = десятина; доли со знаменателями, большими 10, выговаривались съ помощью слова «жеребей», напр., 5/13—пять тринадцатыхъ жеребевъ. Нумерація дробей была прямо заимствована изъ западныхъ источниковъ, въ чемъ авторъ рукописи сейчасъ же сознается:

«буди ти вдомо, како ся пишутъ доли въ цифирномъ счет, по нмецкимъ землямъ, въ латин и во французской земли.»

Числитель назывался верхнимъ числомъ, а знаменатель исподнимъ.

У Магницкаго (славянская ариметика 1703 г.) можно найти яркій примръ того, какъ смутно вырисовывалась глава о дробяхъ въ представленіи самихъ авторовъ учебниковъ. Первый разъ упоминаетъ о дробяхъ Магницкій совершенно неожиданно, когда у него идетъ дленіе съ остаткомъ. На стр. 17 ршается примръ 130 : 3, и въ конц ршенія говорится такъ:

«И умствуй изъ 10 3-хъ: и придеть 3, еже напиши за чертою. А осталось изъ 10, 1, иже есть общій всмъ тремъ и пишется послди сице: .»

Больше никакихъ разъясненій нтъ совершенно. Слдующій примръ дленія съ остаткомъ приведенъ на стр. 21, и тутъ уже прямо подписанъ отвтъ 77446399 : 2864=27041 968/2864. Затмъ встрчается еще немало примровъ дленія съ остаткомъ, и во всхъ въ нихъ остатокъ подписывается именно такимъ образомъ, т.-е. въ вид числителя дроби, у которой длитель служитъ знаменателемъ. Трудно сказать, что хотлъ изобразить этимъ Магницкій: хотлъ ли онъ представить отвтъ въ вид цлаго числа съ дробью, или же это вовсе, по его мннію, не дробь, а только своебразное обозначеніе дленія съ остаткомъ. Если это дробь, то лучше было бы отложить ее до полнаго разсмотрнія дробей, или, въ крайнемъ случа, подробно ее объяснить; если же это не дробь, и если черта не отдляетъ числителя отъ знаменателя, то какая же сбивчивость и неясность возникнетъ для ученика, когда онъ начнетъ изучать дроби и увидитъ, что он пишутся почему-то точно такъ же, какъ и остатокъ съ длителемъ при дленіи съ остаткомъ. Почему все это такъ? Едва ли умъ ученика будетъ въ состояніи переварить этотъ вопросъ, и, вроятно, придетсяему бдному просто запомнить и затвердить, не мудрствуя сверхъ силъ.

 На стр. 42 начинается у Магницкаго вторая часть ариметики, въ которой говорится «о числахъ ломаныхъ или съ долями».

«Что есть число ломаное?» — «Число ломаное ничто же ино есть, токмо часть вещи, числомъ объявленная, сирчь полтина есть, половина рубля, а пишется сице рубля, или четь , или пятая часть 1/5 или дв пятыя части 2/5 и всякія вещи яковыя либо часть, объявлена числомъ, то есть ломаное число».

Затмъ идетъ «нумераціо», или «счисленіе въ доляхъ», т.-е. дается рядъ дробныхъ примровъ и указывается, какъ ихъ выговаривать.

Полезно еще здсь объяснить, что значатъ старинныя русскія выраженія «полтретья», «полпята» и т. п, Полпята вовсе не значитъ половина пяти, но это будетъ 4 потому что, по нашему говоря, это половина пятаго. т.-е. 4 цлыхъ и отъ пятаго половина. Точно такъ же полтретья значитъ половина третьяго, т.-е. 2. У насъ осталось и сейчасъ выраженіе полтора; оно произошло изъ полвтора, т.е. половина второго, слд., одинъ съ половиной, 1. Теперь понятна задача изъ Магницкаго на стр РВI[8]: купилъ полторажды полтора аршина, далъ полтретьяжды полтретьи гривны, колико дати за полдевятажды полдевята аршина придетъ 20 рублевъ 2 алтына и 37/8 полуденьги.

Сокращеніе дробей и приведеніе къ одному знаменателю.

 Сделать закладку на этом месте книги

Умнье сокращать дроби восходитъ довольно далеко и замчается у математиковъ, жившихъ еще до Р. X. Самымъ простымъ способомъ былъ тотъ, который практикуется и у насъ, т. е. дленіе числителя и знаменателя на одно какое - нибудь небольшое число, въ род 2, 3, 5 и т. д. Эвклидъ (за 300 л до Р. X.) въ совершенств знаетъ способъ послдовательнаго дленія, т.е. когда большее число длится на меньшее, меньшее на первый остатокъ, первый на второй и т. п. до тхъ поръ, пока не будетъ найденъ общій длитель. Этотъ способъ разработанъ былъ Эвклидомъ въ геометріи и имъ же предлагается для сокращенія дробей. Въ труд ученаго Боэція (въ VI ст. по Р. X.) рекомендуется послдовательное вычитаніе, какъ средство для сокращенія дробей; при этомъ, схоже съ Эвклидомъ, меньшее число отнимается отъ большаго столько разъ, сколько можно, первый остатокъ отнимается отъ меньшаго числа, второй остатокъ отъ перваго и т. д. до тхъ поръ, пока, подобно Эвклиду, не будетъ найдено общаго длителя, на котораго затмъ и остается раздлить числителя и знаменателя. Кром того, въ средніе вка составлялись довольно длинныя таблицы для сокращенія дробей; въ нихъ выписывалось подробно, на какихъ именно производителей можетъ разлагаться каждое изъ составныхъ чиселъ. Былъ и еще пріемъ довольно своеобразный. Требуется, положимъ, сократить 14/21. Для этого помножаемъ числителя и знаменателя дроби на такое число, чтобы новый числитель содержалъ въ себ прежняго знаменателя; въ нашемъ примр достаточно помножить 14 на 3, получится 42, длимъ это число на 21; будетъ 2, а весь отвтъ составить . Этотъ способъ можетъ и теперь иногда пригодиться, напр., въ устномъ счет.

Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ сокращеніе называлось такъ: «уменьшеніе долямъ». Это выраженіе неправильно, потому что величина дроби при сокращеніи не измняется и, слд., не уменьшается, а уменьшается только числитель и знаменатель; такимъ образ., здсь сама дробь смшивается съ ея членами, а это вовсе не одно и то же. Подобный неправильнйй терминъ встрчается еще и сейчасъ въ нмецкой литератур: verkleinern — уменьшеніе, вмсто слова сокращеніе.

Приведеніе дробей къ одному знаменателю встрчалосъ еще у древнихъ египтянъ, хотя они предпочитали обходиться безъ него. Общимъ знаменателемъ у нихъ не всегда было наименьшее кратное число; напр., чтобы привести къ одному знаменателю дроби 13/15 и 7/20, они не брали обязательно числа 60 и не замняли данныхъ дробей чрезъ 52/60 и 21/60; они пользовались знаменателемъ и 120 и 300 и т. п., и выражали предыдущія дроби чрезъ 104/120 и 42/120, 260/300 и 105/300.


убрать рекламу




убрать рекламу



Мало того, знаменателемъ выбиралось иногда такое число, которое вовсе не длилось на данныхъ знаменателей. Попытаемся, напр., привести дроби 13/15 и 7/20 къ общему знаменателю 30, тогда получится 26/30 и 10 тридцатыхъ, такъ какъ тридцатыя доли въ полтора раза мельче двадцатыхъ. Такимъ образомъ, мы видимъ, что древніе египтяне не стснялись формой числителя и допускали дробныхъ числителей. Это указываетъ на значительное пониманіе ими свойствъ дробей: они, слд., вникали въ ихъ смыслъ, умли обращаться съ ними свободно и увренно и примняли ихъ, смотря по удобству, къ различнымъ особенностямъ задачъ. Средневковая ариметика уступаетъ въ этомъ отношеніи древней. Въ ней гораздо больше механизма, заученныхъ правилъ, строго очерченныхъ пріемовъ, и поэтому гораздо меньше свободнаго соображенія. Это обусловливается общимъ отпечаткомъ средневковой науки, какъ исключительно ремесленной, сухой, не позволяющей вникать въ суть и вертвшейся на формахъ. Въ XVI в. по Р. X. учебники относительно этого говорили кратко и внушительно: «перемножъ крестъ-накрестъ, затмъ перемножь знаменателей!» Косой крестъ считался даже знакомъ приведенія дробей къ одному знаменателю, потому что онъ лучше всего указывалъ порядокъ вычисленія: достаточно числителя первой дроби помножить на знаменателя второй, а числителя второй дроби на знаменателя первой, — это будутъ числители, общимъ же знаменателемъ будетъ произведеніе данныхъ знаменателей. Похоже на это, и знакомъ дленія дробей служилъ въ то время косой крестъ, потому что и при дленіи надо множить крестъ на крестъ, т.-е. числителя одной дроби на знаменателя другой.

Механическое правило, по которому дроби приводятся къ одному знаменателю, касалоеь не только двухъ дробей, но и нсколькихъ. Дано, напр., выразить въ одинаковыхъ доляхъ 4/15, 7/20, 9/25. Тогда составляли сперва произведеніе 15 на 20 и приводили первыя дв дроби въ такой видъ: 80/300, 105/300. Потомъ составляли произведеніе 300 на 25 и получали общимъ знаменателемъ число 7500, такъ что 3 данныхъ дроби превращались уже въ 2000/7500, 2625/7500, 2700/7500. Знаменатель, какъ видимъ, возросъ до значительной величины, и все оттого, что математики не научились пользоваться наименьшимъ кратнымъ данныхъ знаменателей. У Магницкаго дроби , , 5/6, 4/5 приведены къ знаменателю 360, вмсто того, чтобы имъ имть общаго знаменателя 60; у него получаются такіе отвты: 240/360, 270/360, 300/360, 268/360 посл ряда длинныхъ вычисленій, занимающихъ цлую страницу книги. Даже въ ариметик Степана Румовскаго (С.-Петерб., 1760 г.) дроби и 2/9 приводятся къ обще-му знаменателю 27, а не 9, какъ это сдлали бы мы. Изъ всего этого видно, что правило, по которому общ. знаменателемъ должно служить наименьшее кратное, является сравнительно новымъ правиломъ и замнялось прежде тмъ порядкомъ, что общій знаменатель составлялся прямо перемноженіемъ данныхъ знаменателей.

Дйствія надъ простыми дробями.

 Сделать закладку на этом месте книги

Въ настоящее время принято во всхъ учебникахъ, чтобы дйствія надъ дробями шли въ такомъ порядк: сложеніе, вычитаніе, умноженіе и дленіе. Прежде было иначе: старинные авторы предпочитали начинать съ умножевія и дленія, и потомъ уже они переходили къ сложенію и вычитанію; при этомъ они руководствовались тмъ, что для умноженія и дленія не надо приводить къ общему знаменателю и, слд., эти два дйствія гораздо легче тхъ двухъ.

Мы будемъ держаться общепринятаго порядка и поэтому скажемъ сперва нсколько словъ о сложеніи. Изъ его особенностей отмтимъ только ту, которая касается сложенія нсколькихъ дробей. Для этого, обыкновенно, складывали сперва только дв дроби, сумму ихъ сокращали, если только она сокращается; потомъ къ ней прикладывали третью дробь и сумму опять сокращали, если только можно, и т. д. Если сложеніе до послдней дроби. Въ XVI ст. по Р. X. умли, впрочемъ, складывать нсколько дробей сразу, но тогда ужъ принимали за общаго знаменателя произведеніе всхъ знаменателей. Для облегченія сложенія придумывались особенныя таблицы, въ которыхъ были помщены суммы наиболе употребительныхъ долей. Напр.: итальянецъ Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. Хр.) даетъ въ своемъ учебник таблицу сложенія дробей, у которыхъ знаменателемъ служатъ числа: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10.


Вычитаніе. Древніе египтяне замняли вычитаніе дробей сложеніемъ. Вмсто того, чтобы привести дроби къ одному знаменателю и потомъ вычесть числителей, какъ это везд длается, они задавались вопросомъ: какое число надо прибавить къ меньшему данному числу, чтобы получить большее данное? Напр., сколько недостаетъ до единицы у



(египтяне, обыкновенно, пользовались только основными дробями, т.-е. съ числителями, равными единиц); они ршали этотъ вопросъ слдующимъ образомъ: общій знаменатель 45, складываемъ 11, 5, , 4, 1, 1, будетъ всего 23 ; до не хватаетъ



; всего до 1 не хватаетъ 1/9 1/40 —это есть отвтъ. Читатель, наврное, понялъ, что здсь между дробями пропущены знаки сложенія: египтяне ихъ и не ставили и полагали, что достаточно написать дроби рядомъ, чтобы принять ихъ за слагаемыя.


Умноженіе. Умножить какое-нибудь количество на правильную дробь значитъ найти такую долю этого количества, какая выражается множителемъ. Это такъ ясно и понятно. Тмъ не мене нахожденіе частей числа почему-то отдлялось и отдляется отъ умноженія и принимается за какое-то особенное вычисленіе, которое должно яко бы предшествовать 4 арим. дйствіямъ. Почему все это такъ, и гд кроется корень недоразумнія, — объяснить трудно, такъ какъ исторія ариметики не даетъ надежнаго ключа къ разгадк. Но любопытно сопоставить это дло съ другимъ недоразумніемъ, которое нсколько вковъ тому назадъ особенно авторитетно выставлялось на первый планъ, считаясь чмъ то непреложнымъ, а въ настоящее время оно оставлено и забыто. Касается оно слдующаго. Въ вычисленіяхъ съ дробными числами, кром чиселъ цлыхъ и дробей, встрчались еще такъ наз. доли отъ долей; это были длинныя формулы, состоящія изъ огромнаго ряда дробей, которыя не подлежали упрощенію и въ сыромъ вид входили въ дйствіе. Лучше всего пояснить это на примр: сложить отъ 4/5 отъ 5/6 съ отъ 9/10, или еще: изъ 10 вычесть 3 отъ 2 отъ 4/5. Ясно, что здсь невычисленныя формулы, и что прежде чмъ складывать или вычитать, надо привести слагаемыя или же уменьшаемое съ вычитаемымъ въ обработанный видъ. Получится отъ 4/5 5/6= 40/90 = 4/9;

5/6 отъ отъ 9/10 =



, теперь эти дроби возможно сложить, и въ сумм будетъ



Такъ же и во второмъ примр приведемъ сперва вычитаемое къ должному виду и тогда уже произведемъ дйствіе; 32



= 7, 10 - 7 = 2. Совершенно нельзя понять, къ чему требовалось математикамъ затруднять сложеніе и вычитаніе дробей особенными правилами, какъ обращаться съ долями долей, а между тмъ эти правила разсматривались на нсколькихъ страницахъ, занимавшихъ много параграфовъ, требовали большого количества упражненій и приносили только вредъ, такъ какъ на нихъ безъ пользы уходило много времени и труда. Теперь уже наши дти не изучаютъ отдльныхъ правилъ, какъ складывать или вычитать доли долей, и въ этомъ отношеніи имъ легко. Будемъ же надяться, что подобно этому отдлу исчезнетъ въ учебникахъ и другой лишній отдлъ — нахожденіе частей цлаго, и присоединится туда, гд ему настоящее мсто, т. е. къ умноженю дробей.


Замтимъ, что вычисленія съ долями долей очень древняго происхожденія, они ведутъ свое начало отъ греческаго математика Герона (во II ст. до Р. X.). Были выработаны спеціальные пріемы, какъ обозначать часть дробнаго числа. Напр., у арабовъ примнялось такое обозначеше:



,которое должно показывать 4/5 отъ 3/7 отъ , т.-е. окончательно 3/14. У Леонардо Фибонначи (въ XIII ст. по Р. X.) формула



равна, согласна нашему порядку,



всего 2224/35, а формула



равна



Вотъ какая путаница вносилась этимъ отдломъ совершенно безъ всякой нужды. Также и въ русскихъ матем. сборникахъ XVII—XVIII в. этотъ отдлъ давалъ не мало сбивчивости. Онъ назывался «выниманіе дробовое» или «вычитаніе доли изъ долей». Его нельзя было смшивать съ другимъ дйствіемъ, которому придано созвучное заглавіе, т.-е. съ «вычитаніемъ въ доляхъ», гд разсматривается наше вычитаніе дробныхъ чиселъ. Составителю учебника приходилось не мало разъяснять, что-бы предостеречь ученика отъ смшиванiя вычитанія и нахожденія части, такъ что предъ вычитаніемъ помщено было отдльное разъясненіе «о разумніи, что есть доли изъ долей».


Обратимся теперь къ чистому умноженію дробей, какъ отдльному дйствію. Обособляться оно стало только въ средніе вка, и тогда ему придано было названіе «умноженіе», древняя же математика ограничивалась только нахожденіемъ простйшихъ частей числа, тмъ боле, что даже и въ цлыхъ числахъ она стремилась привести умноженіе къ сложенію. У Бернелинуса, ученика римскаго папы Сильвестра II (въ XI в.), умноженіе 1/36 на совершается по римскимъ образцамъ слдующимъ образомъ: 1/36 обращается въ доли фунта; въ фунт 12 унцій, слд., унція равна 1/12, а такъ какъ въ унціи 24 скрупула, то дробь 1/36 обратилась въ 8 скрупуловъ; равна фунта, т.-е. 4 унціямъ; множимъ теперь фунта на унціи, т -е. на 8 скрупуловъ, и получается 1/9 унціи, иначе сказать 2 скрупула, а такъ какъ 2 скрупула составляютъ особою мру, которая называется «emisescla», то окончательный отвтъ представится въ вид 1 «emisescla». Да, можно сказать, что способъ Бернелинуса очень и очень нелегокъ.


У Фибонначи (XIII ст. по Р. X.) подъ вліяніемъ арабскихъ и индусскихъ образцовъ нтъ вычисленія съ унціями, и дло идетъ просто съ отвлеченными долями. Фибонначи пользуется такимъ способомъ. Сперва онъ перемножаетъ числителей, а потомъ получившееся число длитъ на перваго знаменателя и, затмъ, уже это частное длитъ на второго знаменателя.

Петръ Рамусъ, знаменитый французскій математикъ и философъ XVI столтія, даетъ въ глав о дробяхъ, какъ и въ другихъ отдлахъ математики, много свжихъ и новыхъ мыслей. Онъ особенно настаиваетъ на томъ, что ученикамъ надо объяснять правила, а не только принуждать выучивать ихъ наизусть, и что правила надо выводить, а не только примнять готовыя къ примрамъ. Однако, самъ Рамусъ, вслдствіе той туманности, которую придавали ариметик его предшественники, не всегда одинаково ясно и удачно ведетъ свое изложеніе, такъ что въ случа умноженія дробей мы находимі, у него такой запутанный выводъ: «дано умножить на , это значитъ найти части отъ дроби ; разсуждаемъ по тройному правилу—1 относится къ 3, какъ 2 къ 6, и 1 относится къ 4, какъ 3 къ 12, слдовательно, отвтъ будетъ : 6/12 это и есть произведеніе на ».


Русскіе математики XVII и XVIII в. слдовали въ глав объ умноженіи западно-европейскiмъ образцамъ. Они разсматривали 3 случая: a) умноженіе дроби на цлое, b) умноженіе дроби на дробь и c) умноженіе смшанныхъ чиселъ. Въ конц, въ такъ наз. «строк генераль» давалось общее правило перемноженія дробей. Неизмняемость произведенія при перестановк производителей объяснялась въ такихъ выраженіяхъ:

«вдаи доли изъ доли умноженіе, какъ изъ умножаи придетъ 1/12 такожъ изъ то-жъ 1/12».

 Знакъ при умноженіи дробей всегда употреблялся такой: одна горизонтальная черта проводилась отъ числителя къ числителю, а другая отъ знаменателя къ знаменателю, и это служило хорошимъ знакомъ дйствія, такъ какъ этимъ обозначался порядокъ вычисленія.


Замчательно мсто у Магницкаго, въ которомъ онъ трактуетъ объ умноженіи простыхъ дробей. Здсь явственно вылилась вся нетребовательность по отношенію ко всякимъ выводамъ и объясненіямъ. Достаточно сообщить правило, а кром него что же еще надо? такъ, наврное, думаетъ Магницкій, и мы не можемъ отказать себ въ томъ, чтобы не привести отрывка изъ его ариметики. Стр. 54

«Мултипликаціо или умноженіе въ доляхъ. Что въ семъ предленіи достоитъ вдати. Впервыхъ подобаетъ вдати яко во умноженіи нсть потреба да сравняеши доли къ единакому знаменателю: но яковы доли дадутся, таковы и умножати числители чрезъ чиелители, и знаменатели чрезъ знаменатели, якоже чрезъ . 3 чрезъ 1 будетъ 3, а 8 чрезъ 4, будетъ 32, и еже отъ числителей произыдетъ напиши надъ чертою, а отъ знаменателей произведеное напиши подъ чертою и будетъ 3/32».

Итакъ, въ ариметик дается только правило, безъ вывода, зато посл правила идетъ цлый рядъ примровъ, всего 60 номеровъ, съ отвтами, и предлагается заняться продлываніемъ этихъ примровъ, чтобы, такъ сказать, набить руку въ этомъ правил.


Преемники Магницкаго, т.-е. составители русскихъ учебниковъ XVIII и даже ХІХ в., не оказались счастливе его въ этомъ случа. Они тоже или не даютъ никакихъ объясненій умноженія дробей, или даютъ объясненія спутанныя и трудныя. Такъ, въ ариметик Адодурова (1740 г.) про умноженіе дробей объясняется на 29 страницахъ, при чемъ объясненіе дано очень растянутое, многословное и малоубдительное. У Румовскаго (1760 г.) передъ дробями расположены пропорціи, и умноженіе дробей выводится изъ общаго свойства пропорцій, именно, что произведеніе крайнихъ членовъ равно произведенію среднихъ членовъ. И сами пропорціи являются для учениковъ темнымъ мстомъ, а ужъ про выводъ изъ нихъ и говорить нечего, особенно когда он идутъ на буквахъ, какъ это видимъ у Румовскаго. Порядочное изложеніе встрчаемъ мы у Загорскаго (1806 г.), но уже у Павла Цвткова (1834 г.) опять тянется старая псня. «Какъ множится дробь на дробь?» спрашиваетъ онъ, и отвчаетъ:

«При умноженіи дробей на дроби надлежитъ множить числітелей на числителей, а знаменателей на знаменателей».

Этимъ заканчивается § 34, и авторъ уже боле не желаетъ возвращаться къ подобному скучному вопросу, къ которому, вдобавокъ, никакъ еще не придумать подходящаго объясненія. И это въ то время, когда Цвтковъ для боле легкаго вопроса, для умноженія дроби на цлое, находитъ нужнымъ и возможнымъ дать толковое объясненіе.


Да, умноженіе на дробь и въ старину, и еще теперь является однимъ изъ самыхъ больныхъ мстъ начальной ариметики.


Дленіе.  Дленіе дробей шло все время правильнымъ путемъ, безъ скачковъ и отклоненій въ сторону. Еще древніе египтяне вполн логично заключали, что дленіе обратно умноженію, и что поэтому его можно привести къ умноженію. По своей привычк къ основнымъ дробямъ, т.-е. съ числителемъ, равнымъ единиц, они и дленіе разсматривали съ точки зрнія этихъ дробей. Примръ: 2 : 1 . Здсь египтяне ставили вопросъ: на какое чиоло надо помножить выраженіе 1 , иначе сказать 1 + + , чтобы получить въ произведеніи 2? Для этого помножаемъ количество 1 на 1/6 1/12, и получаемъ 285/144; при этомъ отдльно помножается множимое число на , на , на 1/6 и на 1/12, съ такимъ расчетомъ, чтобы каждое слдующее произведеніе было вдвое меньше предыдущаго. Такъ какъ 285/144 отличается отъ даннаго числа 2 на 3/144, т.-е. на 1/72 1/144, то остается ршить вопросъ: на какое число надо умножить 1 , или 288/144, чтобы получить сперва 1/144? Очевидно, на 1/228. Чтобы получить 1/72, надо умножить на 1/114 Такимъ образомъ, посл довольно запутаннаго вычисленія получается итогъ: 1/6 1/12 1/114 1/288, который и считался у египтянъ вполн нормальнымъ, какъ составленный изъ основныхъ дробей (дробь у нихъ тоже признавалась основной, это единственная изъ дробей съ числителемъ 2, у нея даже былъ свой спеціальный знакъ).


Римскій способъ дленія дробей напоминаетъ собой римскій же способъ дленія цлыхъ чиселъ. Вотъ примръ Бернелинуса (въ XIII ст. по Р. X.). Раздлить 28 на 1. Длится 28 не на 1, а на 2, т.-е. длитель дополняется до цлаго числа, 28 : 2=14; теперь надо составить лишекъ или сдачу, которую слдуетъ возвратить длимому; такъ какъ на каждую часть взято лишняго по , то на вс 14 частей пришлось З, длимъ З на 2, будетъ въ частномъ 1, въ остатк 1; сдачи возвратится , всего составится въ длимомъ 1; длимъ это количество на 1 и получимъ въ частномъ 1; такимъ образомъ, весь искомый результатъ будетъ 14 + 1 + 1 = 16.


Неморарій, математикъ среднихъ вковъ, современникъ Бернелинуса, пользуется для дленія аналогіей съ умноженіемъ и даетъ слдующій искусственный пріемъ. Задано раздлить 2/3 на 4/5. Тогда числитель и знаменатель первой дроби увеличивается въ 4 5 разъ и затмъ примняется правило: числителя раздлить на числителя, а знаменателя на знаменателя, подобно тому, какъ въ умноженіи дробей множатся числитель на числителя и знаменатель на знаменателя.


Получается формула:



Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ XIII вка, совтовалъ приводить дроби къ одному знаменателю и потомъ уже длить, пользуясь аналогіей съ именованными числами, такъ какъ тамъ, обыкновенно, мры раздробляются въ одинаковое наименованіе, и затмъ полученныя числа длятся. Примръ у Фибонначи слдующій:



Въ XVI ст. по Р. X. на сцену вышло новое правило дленія дробей: надо длимое помножить на обращеннаго длителя. Примръ: : . Для ршенія его множимъ на 3/2, получимъ 9/8, это и будетъ врнымъ отвтомъ. Въ объясненіе этого правила, равно какъ и всхъ другихъ, авторы учебниковъ входить не любили. Они только ограничивались тмъ, что приводили самое правило и потомъ нсколько примровъ съ ршеніемъ. Ученики же запоминали правило и практиковались въ примненіи его къ вычисленіямъ.

Знакомъ дленія до XVIII ст. являлись, обыкновенно, дв перекрещивающихся черты, которыя шли отъ числителя первой дроби къ знаменателю второй и отъ знаменателя первой къ числителю второй. Только съ развитіемъ алгебры, когда потребовался общій знакъ дленія и для цлыхъ чиселъ и для дробей, стали обозначать это дйствіе такъ же въ дробяхъ, какъ и въ цдыхъ числахъ, т.-е. двумя точками.


Приведемъ еще неболыпой интересный отрывокъ, который хорошо показываетъ, къ какимъ хитростямъ нужно было прибгать средневковымъ ученымъ, когда имъ давался трудный примръ съ дробями. Въ Зальцбургскомъ (Австрія) сборник, отноеящемся къ XVII вку[1], надо было вычислить земной радіусъ по окружности земли. Извстно, что окружность въ 31/7 раза больше своего радіуса, и поэтому, чтобы получить радіусъ земли, достаточно ея окружность раздлить на 22/7. Принимая окружность за 252000, составитель находитъ 7/22 этого числа, т.-е. умноженіемъ на 7/22 замняетъ дленіе на 22/7. Умноженіе же онъ ведетъ такъ. Сперва вычисляетъ 1/22 всего числа, получится 11454, затмъ вычитаетъ эту величину изъ 252000, будетъ 240544 21/22. Треть этого числа и составитъ искомый отвтъ, т.-е. земной радіусъ, такъ какъ 21/22 : 3 = 7/22.

Шестидесятеричныя дроби.

 Сделать закладку на этом месте книги

Древніе халдеи, образованность которыхъ исходитъ изъ глубины вковъ и позволяетъ прослдить свои пути дале, чмъ на 1000 лтъ до Р. X., издавна любили считать по копамъ, т.-е. группами по 60. Почему они остановились именно на этомъ числ,—теперь ршить, конечно, нелегко, но выборъ этотъ надо считать чрезвычайно удачнымъ, такъ какъ число 60 обладаетъ массой длителей и, слдов., рже приводитъ къ дробямъ, чмъ большинство другихъ чиселъ, и позволяетъ длать много упрощеній. Халдеи примняли шестидесятеричный счетъ везд: и въ торговыхъ длахъ, и въ научныхъ выкладкахъ, особенно же въ любимой своей наук, которая многимъ обязана ихъ трудамъ,—въ астрономіи. Привычка къ числу 60 сама собой перешла и на дроби, и вотъ у халдеевъ явились шестидесятеричныя дроби, т.-е. со знаменателемъ 60, 3600 = 60. 60, 216000 = 60. 60. 60. Эти дроби примнены были въ астрономіи къ дленію времени, такъ что часъ сталъ длиться на 60 равныхъ частей (минутъ), минута на 60 секундъ, секунда на 60 терцій и т. д. Вс простыя дроби халдеями обыкновенно приводились въ шестидесятыя доли и даже, напр., они выражали не иначе, какъ черезъ 40/60.

Отъ халдеевъ шестидесятеричныя доли перешли къ индусамъ и арабамъ, и также къ грекамъ. Особенно он были разработаны греческими учеными, жившими въ Александріи въ первые вка по Р. X. Знаменитый астрономъ Клавдій Птоломей (во II в. по Р. X.), система котораго держалась боле тысячи лтъ и признавалась въ свое время геніальнымъ твореніемъ, писалъ, обыкновенно, шестидесятеричныя дроби безъ знаменателя. Для этого онъ цлыя числа подчеркивалъ горизонтальной чертой, шестидесятыя доли отмчалъ значком , 3600-ыя значком , 216000-ыя доли значкомъ и т. д., смотря по ихъ разряду. И это длалось не только при измреніи времени и при градусахъ дуги, но и въ мрахъ длины и въ другихъ мрахъ. Такъ, напр., Птоломей выражаетъ сторону правильнаго вписаннаго десятиугольника черезъ — 37 4 55, при діаметр круга, равномъ 120. Это значитъ, что если діаметръ составляетъ 120, то сторона равняется



такихъ же единицъ (по порядку, принятому въ настоящее время въ геометріи, сторону эту можно выразить въ десятичныхъ дробяхъ чрезъ 0,30902, при діаметр, равномъ единиц).

Горизонтальная черта, которой подчеркивались цлыя чиcла, была замнена впослдствіи знакомъ °, и самимъ долямъ были присвоены названія: минуты, секунды, терціи и т. д. Что значатъ эти слова? Минута значитъ «доля», и долго посл Птоломея, боле тысячи лтъ, всевозможныя доли всегда назывались минутами (minutae). Къ слову минута присоединялось, обыкновенно, слово прима (prima), и выраженіе «minuta prima» обозначало первыя доли, иначе сказать доли перваго порядка, т.-е. со знаменателемъ 60. Дале шли доли со знаменателемъ 3600, он назывались минутами секундами, т.-е. долями второго порядка, такъ какъ 3600 = 60·60. Потомъ слдовали минуты терціи, доли третьяго порядка, у которыхъ знаменатель 60·60·60.

Шестидесятеричныя дроби, какъ мы уже сказали, служили не только для геометріи и астрономіи, но являлись преобладающими во всхъ наукахъ и даже въ практической жизни. Он стали терять свое значеніе только тогда, когда начали вводиться десятичныя дроби, приблизительно около ХVІ в. по Р. X. Кром того, въ торговыхъ разсчетахъ нкоторую конкуренцію имъ составляли обыкновенныя дроби, которыя носили названіе «простонародныхъ», а также унціи, изучавшіяся во всхъ латинскихъ школахъ.

Десятичныя дроби.

 Сделать закладку на этом месте книги

Первые намеки на десятичныя дроби можно прослдить у творцовъ ариметики,—индусовъ. Они пользовались ими при извлеченіи квадратныхъ корней, въ тхъ случаяхъ, когда корень не извлекается точно; тогда они прписывали столько паръ нулей, сколько желательно имть лишнихъ знаковъ въ корн. Индусы писали десятичныя дроби со знаменателями, и имъ не удалось распространить общей десятичной нумераціи также и на дроби. Заслуга въ этомъ отношеніи принадлежитъ арабамъ, и въ частности тмъ арабамъ, которые жили въ Испаніи. Между 1130 и 1150 г. по Р. X. появилось въ Толедо сочиненіе «Практическая ариметика алгоризма», принадлежащее Іоанну Севильскому. У него уже замтны явственные слды десятичныхъ дробей, и при томъ съ такимъ характеромъ, какой он носятъ у насъ.

Посл Іоанна Севильскаго десятичныя дроби какъ-то стушевываются, тмъ боле, что т времена были не особенно благопріятны вообще для западно-европейской науки. Но идея не пропала, и ее мы видимъ возрожденной у Кардана (XVI ст.). Между прочимъ, он стали примняться въ тригонометріи для вычисленія синусовъ. Кр-м того, стали ими пользоваться при дленіи съ остаткомъ, чтобы выразить отвтъ точне и дать въ частномъ не только цлыя числа, но и рядъ долей съ десятичными знаменателяии. Грамматеусъ въ 1523 году совтуетъ примнять десятичныя дроби къ такому случаю. Пусть требуется сравнить съ и узнать, которая величина больше. Тогда мы къ каждому числителю приписываемъ по нулю, иначе сказать—раздробляемъ въ десятыя доли, и длимъ на знаменателя, получимъ 62 и 66, слд., вторая величина боле первой.

Честь полнаго введенія десятичныхъ дробей и ихъ толковаго объясненія приписывается Симону Стевину изъ Брюгге (въ Бельгіи), жившему съ 1548 по 1620 г. Заглавіе его сочиненія такое: «La disme ensignant facilement expdier par nombres entiers sans rompouz tous comptes se rencontrans aux affaires des hommes». Вмсто запятой, отдляющей цлыя числа отъ долей, это сочиненіе рекомендуетъ ставить нуликъ. заключенный въ скобки. Точно также и у долей былъ при каждомъ разряд значекъ, напр., 34,7605 писалось слдующимъ образомъ: 34 (°) 7 (1) 6 (2) 0 (3) 5 (4). Съ такимъ обозначеніемъ десятичныя дроби входили и въ дйствія. Положимъ, требовалось умножить 0,0426 на 0,28; тогда вычисленіе располагалось такъ:



Сочиненіе Стевина появилось первоначально въ 1585 г. на фламандскомъ нарчіи, а потомъ уже оно было переведено и на французскій языкъ. Десятыя, сотыя и т. д. доли назывались долями первыми, вторыми и т. д. (primes, secondes). Стевинъ ясно видлъ, что десятичныя дроби были бы особенно полезны въ томъ случа, если бы везд была принята десятичная система мръ; поэтому онъ энергично настаивалъ на введеніи десятичной системы мръ. Впрочемъ, его сочиненіе не сдлалось извстнымъ за предлами отечества, и, напр., въ Германіи заслуга введенія десятичныхъ дробей приписывается Бейеру (1563—1625).

Самъ Бейеръ такимъ образомъ излагаетъ путь, которымъ онъ дошелъ до мысли о десятичныхъ дробяхъ: «въ свободное отъ своей службы (Бейеръ былъ врачомъ) время любилъ я иногда заняться астрономіей и математикой; и я обратилъ вниманіе на то, что техники и ремесленники, когда измряютъ какую-нибудь длину, то очень рдко и лишь въ исключительныхъ случаяхъ выражаютъ ее въ цлыхъ числахъ одного наименованія; обыкновенно имъ приходится или брать мелкія мры, или обращаться къ дробямъ; точно также астрономы измряютъ величины не только въ градусахъ, но и въ доляхъ градусовъ, т. е. въ минутахъ, секундахъ и т. д.; но мн кажется, что ихъ дленіе на 60 частей не такъ удобно, какъ дленіе на 10, на 100 частей, потому что въ послднемъ случа гораздо легче складывать, вычитать и вообще производить ариметическія дйствія; мн кажется, что десятичныя доли, если бы ихъ ввести вмсто шестидесятеричныхъ, пригодились бы не только для астрономіи, но и для всякаго рода вычисленій». Для наглядности Бейеръ длитъ прямую линію на 10 равныхъ частей и называетъ каждый отрзокъ примой, т.-е. первой долей, или долей перваго порядка; и каждая прима длится, въ свою очередь, на 10 равныхъ частей и даетъ 10 секундъ, т.-е. долей второго порядка; изъ секун-ды получается 10 терцій и т. д. Такимъ образомъ ясно видно, что Бейеръ воспользовался для десятичныхъ дробей тми же названіями, какія были въ употребленіи въ шестидесятеричныхъ дробяхъ. Такое же заимствованіе сдлалъ онъ и въ записываніи дробей, потому что, напр., 123, 459872 Бейеръ пишетъ такъ:



т.-е. приводя доли въ трехразрядные классы, или же, наконецъ,



убрать рекламу




убрать рекламу




—здсь отмченъ римской цифрой VI только послдній разрядъ. По этой систем 0,000054 пишется такъ:

VI

54.

Для умноженія дается такое правило: поставь надъ послднимъ справа разрядомъ отвта такой значекъ, который равнялся бы сумм значковъ множимаго и множителя, стоящихъ надъ ни ми съ праваго края; вс остальные разряды произведенія опредлятся по этому крайнему разряду. Примръ:

VI

124 385

умножить на

IV

643

; умноживъ 124385 на 643, получимъ въ отвт 79979555. и остается только поставить надъ послдней цифрой справа значекъ X, потому что VІ+IV = Х. Результатъ можно прочитать такъ: 79979555 десятаго порядка (десятыхъ скрупуловъ, по выраженік Бейера). Для дленія дается такое правило: сдлай такъ, чтобы в длимомъ было столько же знаковъ, сколько и въ длител, или даже больше; если въ длимомъ мало знаковъ, то припиши столько нулей, сколько теб нужно, и это не измнитъ величины дроби. Потомъ произведи дленіе, какъ будто бы это были цлыя числа, и у послдняго разряда отвта поставь справа такой значекъ, который бы равнялся разности значковъ длимаго и длителя. Если при дленіи получится остатокъ, и если надо частное найти точне, то можно приписывать къ длимому нуль за нулемъ, сколько угодно разъ, и въ результат получатся разряды, которыхъ номеръ постепенно понижается на единицу. Въ конц своей брошюры Бейеръ говоритъ подробно о томъ, какъ изъ десятичныхъ дробей можно получить шестидесятеричныя, и наоборотъ; также о томъ, какъ примнять десятичныя дроби къ ршенію задачъ.

Скоро и англійскій авторъ I. Неппиръ (Nepper) спшитъ подлиться съ своими читателями свдніями о новыхъ дробяхъ. Въ его книжк (1626 г.) дробь пишется такъ: 28°6’7’’5’’’ и читается такъ: 28 цлыхъ 6 примъ 7 секундъ 5 терцій. Кром того, разряды иногда у него раздляются точками; 27°:0’:5’’ и т. п. Сложеніе и вычитаніе идетъ у него обыкновеннымъ порядкомъ, такъ же, какъ и у насъ; вотъ примръ сложенія;



При умноженіи не считается необходимымъ, чтобы цифры одинаковыхъ разрядовъ стояли другъ подъ другомъ; надо умножать такъ. какъ будто бы это были все цлыя числа, и потомъ слдуетъ отсчитать съ правой стороны столько разрядовъ, сколько ихъ вмст въ обоихъ производителяхъ; это будутъ скрупулы — десятичныя доли. Примры:



Въ первомъ примр множимое раздроблено въ десятыя доли, множитель въ сотыя, произведеніе поэтому содержитъ 2671 цлую единицу, 6 десятыхъ, 9 сотыхъ и 5 тысячныхъ. Во второмъ примр мы видимъ запятую между цлыми и десятыми. Введеніе ея приписывается извстному астроному Кеплеру (1571—1630).

Правило дленія слдующее: длить надо, какъ цлыя числа, и кром того надо вычесть изъ значка длимаго значекъ длителя, тогда остатокъ опредлитъ собой значекъ частнаго. Примръ: раздлить 5' 7" на 8° 6' 5" 6'". Ршеніе:



Въ ариметик Беклера (1661) десятичныя дроби примняются только къ мрамъ длины, поверхности и объема; поэтому имъ дается названіе геометрическихъ долей. Цлыя отдляются отъ долей запятой или черточкой; кром того, употребляются еще отмтки: для сажени 0, для фута 1, для дюйма 2 и для линіи 3; у послдней доли ставится значекъ, который опредляетъ ея разрядъ, и отдляется этотъ значекъ скобкой. Примръ: 123,6543 (4; это значитъ 123 сажени, 6 футовъ, 5 дюймовъ, 4 линіи и 3 точки. Какъ видно, Беклеръ проэктируетъ ввести десятичную зависимость между мрами, т. е. считать въ сажени 10 футовъ, въ фут 10 дюймовъ и т. д. Сочиненіе англичанина Вингата (1668) еще боле приблизило теорію десятичныхъ дробей къ тому виду, какой она иметъ сейчасъ. Онъ примняетъ дроби къ тригонометріи, къ вычисленію сложныхъ процентовъ и къ дйствіямъ съ именованными числами. Онъ хорошо видитъ всю громадную пользу, которая получилась бы для науки, если бы вс мры были приведены къ десятичной систем, иначе сказать всякая мра содержала бы въ себ ровно 10 слдующихъ низшихъ. Разряды десятичныхъ дробей идутъ, по мннію Вингата, такъ же безпредльно, какъ и разряды цлыхъ чиселъ, такъ что за десятыми долями, сотыми, тысячными идутъ десятитысячныя, стотысячныя, милліонныя и т. д. до безконечности. Знаменателя десятичной дроби вполн возможно не писать, если только условиться отдлять цлое число отъ десятыхъ долей точкой или запятой. Вингатъ пишетъ по нашему 285,82 или 285.82, но у него вмсто 0,5 встрчается .5 и вмсто 0,25 пишется .25, слд., цлыхъ онъ въ этомъ случа не пишетъ. Три первыхъ дйствія онъ проходитъ совершенно аналогично съ нами, а для дленія у него взятъ такой порядокъ: къ длимому можно приписать сколько угодно нулей и по-томъ произвести дйствіе такъ, какъ если бы это были цлыя числа; чтобы опредлить значеніе первой цифры частнаго, по которой уже можно разсчитать и вс остальные разряды, стоитъ только подписать длителя подъ тми же разрядами длимаго, которые были отчеркнуты для перваго дленія; подъ какимъ разрядомъ длимаго находятся единицы длителя, таковъ и будетъ высшій разрядъ частнаго. Примръ: 2,34 : 52,125. Длимъ 23400000 на 52125 и получаемъ 448. Теперь подписываемъ 52,125 подъ 2,34 такъ, чтобы длитель стоялъ подъ тмъ числомъ, которое на него длилось въ первый разъ, именно

2,34000

52,125

и такъ какъ единицы длителя оказались подъ сотыми долями длимаго, то первая цифра частнаго 448, т. е. 4, выражаетъ собой сотыя доли и, слд., результатъ дйствія долженъ быть такой: 0,0448. Иногда нужно бываетъ при этомъ способ приписать съ лвой стороны длимаго нсколько нулей, потому что иначе длитель не можетъ помститься подъ длимымъ. Примръ—0,0758 : 0,000064, тогда для удобства мы напишемъ такъ: 0000,0758 и выведемъ изъ этого, что при дленіи на 0,000064 высшій разрядъ частнаго составитъ тысячи, такъ какъ единицы длителя оказались подъ тысячами длимаго. И дйствительно, если произвести вычисленіе, то получится въ отвт 1184,375.

Если сопоставить вс способы, какими писались десятичныя дроби въ математ. работахъ ХVIII вка, то получится всего пять видоизмненій, и если по нашему пишется 0,784, то у Бейера

III

784

, у Неппира 0°7'8"4'", у Вингата .784, у Беклера 784 (3 и у Валлиса 0<784.


Мы разсмотрли до сихъ поръ, кмъ и какъ было положено начало десятичнымъ дробямъ, и какіе успхи он сдлали въ XVII столтіи. Въ слдующеvъ вк, въ ХVIII-мъ, шестидесятеричныя дроби мало по малу исчезаютъ, и ихъ мсто занимаютъ десятичныя дроби. Напр., въ ариметик нмецкаго педагога Париціуса, въ первомъ изданіи, которое вышло въ 1706 году, разсматриваются дроби шестидесятеричныя, но во второмъ изданіи этой же ариметики он уже замнены десятичными. Впрочемъ Париціусъ, подобно Беклеру, примняетъ десятичныя дроби только къ мрамъ длины. Самое трудное изъ дйствій — дленіе онъ производитъ по такому правилу: надо длить, какъ цлыя числа, а чтобы узнать номеръ разряда частнаго, надо изъ номера длимаго вычесть номеръ длителя. Вотъ примръ. 4269342 (5 : 321 (2 (согласно нашему обозначенію это было бы 42,69342 : 3,21).



При такомъ пріем получается въ отвт дв дроби: десятичная 3 и обыкновенная42/321, такъ какъ въ остатк получилось 42.

Чтобы частное состояло только изъ одной десятичной дроби, Париціусъ совтуетъ приписывать къ длимому постепенно нули, до тхъ поръ, пока, наконецъ, дленіе не выйдетъ безъ остатка. Если же оно безъ остатка никакъ не выходитъ, то Париціусъ рекомендуетъ совсмъ бросить небольшой остатокъ, по латинской пословиц «minima non curat praetor», т.-е. «о пустякахъ не стоитъ толковать». Періодическія дроби принадлежатъ уже 19-му вку.

Непрерывныя дроби.

 Сделать закладку на этом месте книги

Непрерывныя дроби. Еще у египтянъ встрчаемъ мы дроби, у которыхъ числитель не цлое число; онъ самъ представляетъ изъ себя дробь, напр.



это значитъ 2 вооьмушки и еще сверхъ того треть восьмушки. Так-же и у римлянъ нердко ножно было встртить



унціи, т. е. 1 двнадцатую и еще двнадцатой,



Такимъ образомъ и въ древнемъ мір идея непрерывныхъ дробей была ясна и доступна: дроби эти основаны на томъ, что числитель можетъ быть не только цлое число, но и смшанное.

Греческій математикъ Архимедъ примнялъ непрерывныя дроби къ извлеченію квадратныхъ корней и выражалъ этими дробями приближенныя величины корней. Арабскій ученый Алькальцади (въ XV в. по Р. X.) даетъ нкоторые намеки на восходящія непрерывныя дроби; онъ примняетъ ихъ къ дленію съ остаткомъ и обозначаетъ ими дробное частное. Напр., требуется раздлить 253 на 280, и такъ какъ 280 разлагается на производителей 5, 7 и 8, то мы сперва длимъ 253 на 8, будетъ 31, потомъ полученное длимъ на 7, будетъ



и, наконецъ, длимъ на 5, будетъ



а это, обыкновенно, прдставляется такъ:



и составляетъ восходящую непрерывную дробь. Нисходящей же дробью была бы такая:





или, если написать ее ясне, то



вычислить ее можно такъ:



Лордъ Брункеръ, англичанинъ, представилъ (въ 1655 г.) въ вид непрерывной дроби величину /4 = 0, 78539316... ( показываетъ отношеніе длины окружности къ длин ея діаметра). Гюйгенсъ въ 1682 году далъ подробное объясненіе того, какъ съ помощью непрерывныхъ дробей можно приводить къ легкимъ числамъ трудныя несократимыя дроби. Полную теорію непрерывныхъ дробей далъ Леонгардъ Эйлеръ, нмецкій ученый 18 в.

Пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней.

 Сделать закладку на этом месте книги

Не только въ одной ариметик, но и почти во всхъ другихъ наукахъ идетъ постоянная разработка вопроса, что должно служить ихъ содержаніемъ, и изъ чего долженъ слагаться ихъ матеріалъ. Въ зависимости отъ способовъ изслдованія и отъ пріемовъ обученія содержаніе учебнаго предмета то увеличиваетея, то уменьшается, то замняется другимъ. Ариметика не мало за свою многовковую жизнь потерпла измненій. Началась она съ вычисленій надъ цлыми числами, потомъ къ ней присоединились дроби и именованныя числа, затмъ рядъ другихъ отдловъ и среди нихъ пропорціи, прогрессіи и извлеченіе корней. Поговоримъ о нихъ въ отдльности.


Пропорціи  первоначально разрабатывались въ геометріи и занимали въ ней видное мсто, он примнялиеь къ подобію фигуръ; и такъ какъ геометрія составляла любимый предметъ греческихъ математиковъ, то естественно вышло, что разработка пропорцій является заслугой греческихъ ученыхъ. Знаменитйшій геометръ Эвклидъ (III ст. до Р. X.), система котораго вдохновляла всхъ позднйшихъ геометровъ, и европейскихъ и азіатскихъ, и труды котораго считаются классичеекями и незамнимыми по настоящее время, далъ среди другихъ искусно разработанныхъ отдловъ отдлъ о пропорціяхъ. Вліяніе Эвклида на послдующія поколнія было громадно, и оно даетъ себя чувствовать и теперь, поэтому то направленіе, которое придалъ пропорціямъ Эвклидъ, преобладаетъ и теперь въ болышинств учебниковъ. Вкратц по отношенію къ ариметик его можно охарактеризовать тмъ, что пропорціямъ отводится въ ариметик боле высокое мсто, чмъ он заслуживаютъ, и на нихъ боле обращаютъ вниманія, чмъ это должно было бы вызываться содержаніемъ ариметияи и ея цлями. Всякій, кто проходилъ ариметику въ школ и изучалъ пропорціи, вспомнитъ наврное, что этотъ отдлъ вызывалъ въ немъ недоумніе, казался какимъ-то чуждымъ и даже труднымъ. И дйствительно, пропорціи надо бы, по настоящему, исключить изъ курса элеиентарной ариметики и ввести въ составъ буквеиной, общейариметики, т.-е. теоріи чиселъ. Пропорціи не учатъ вычисленіямъ, которыя одни только и составляюгь матеріалъ элементарной ариметики, но он излагаютъ нкоторыя общія свойства, которыя, въ силу своей общности, подлежатъ ариметик не вычисляющей, а обобщающей, т.-е. теоріи чиселъ и алгебр: тамъ ихъ естественное и законное мсто. Надо пожелать, чтобы глава о пропорціяхъ была исключена изъ ариметическаго курса средней школы. Въ геометріи она необходима, тамъ она пусть останется, и пусть геометрическое ученіе о пропорціяхъ послужитъ иачаломъ для алгебраическаго, какъ боле наглядное должно служить фундаментомъ для отвлеченнаго. Напрасно думаютъ иные, что пропорціи нужны для задачъ на тройное правило, на правило процентовъ и т. д. Вс эти задачи могутъ прекрасно обойтись безъ пропорцій и ршаться приведеніемъ къ единиц, а еще лучше различными искусственными упрощающиии пріемами, которые скоре ведутъ къ цли и могутъ боле изощрить мышленіе учениковъ. Практическая жизнь сильно суживаетъ примненіе пропорцій, сравнительно съ тыъ, какое имъ дается въ ариметик, Напр., бываютъ въ ариметик задачи: «1 арш. стоитъ 2 руб. Сколько стоятъ 1000 аршинъ»? Всякій торговый человкъ, даже неучившійся ариметик, знаетъ, что при большихъ партіяхъ товара обязательно длается уступка и слд. 1000 арш. обойдутся не въ 2000 руб., а нсколько дешевле. Подобныхъ задачъ, гд расходится ариметіческая точность съ житейской практикой, можно привести массу, и поэтому не удивительно, если при нкоторой неосторожности ученики вмсто полезныхъ выводовъ получаютъ отъ цропорцій нчто сумбурное и несообразное, доходящее даже до извстныхъ курьезовъ, въ род: «одинъ человкъ пройдетъ весь путь во столько-то времени, сколько времени потребуется, если пойдутъ вмст два человка». Мы, конечно, смемся надъ несообразительностью маленькаго ученика, но мы несправедливы,когда объясняемъ нелпый отвтъ только тупостью ученика; нтъ, виноваты и мы, потому что заставляемъ изучать въ ариметик отдлъ чуждый, отвлеченный, не вытекающій изъ предыдущихъ отдловъ.

Прогрессіи.  Прогрессіей, какъ извстно, называютъ рядъ чиселъ, расположенныхъ въ оцредленномъ порядк уменьшенія или увеличенія. Напр., рядъ 2, 4, 6, 8, 10 и т. д. составляетъ ирогрессію, потому что входящія въ него числа все увеличиваются на 2; точно также прогрессіей будетъ называться и рядъ такой: 4, 2, 1, , , ,, 1/16, и такъ дале, потому что помщенныя здсь числа цостепенно все уменьшаютея вдвое. Въ старинныхъ учебникахъ ариметики прогрессіи считались необходимой главой и помщались въ нихъ всегда, и это было до средины прошлаго ХІХ-го вка. При этомъ, изложеніе часто отличалось неясностью и сбивчивостью, такъ что, напр., прогрессія смшивалась съ пропорціей, какъ у Магницкаго на стр. РОФ

«Что есть прогрессіо: Прогрессіо есть пропорціо, или подобенство числъ къ числамъ въ примноженіи или во уменьшеніи яковыхъ либо перечневъ и раздляются на три вида, иже суть: ариметическое, геометрическое и армоническое. О армоническомъ иди муссикiйскомъ нсть треба намъ глаголати. Въ ариметическомъ прогреесіи въ примножительномъ егда къ первому числу приложиши разнство тогда исполнится другое, егда же ко другому чнслу тожде разнство приложиши, тогда будетъ третіе число. А во умалительномъ прогрессіи аще вычтеши разнство отъ перваго числа останется другое, а отъ другого третье и прочая».

И т. дале.

 Въ иныхъ старинныхъ ариметивахъ къ прогрессіямъ еще присоединялось вычисленіе рядовъ. Такъ, напр., арабскiй математикъ Алькархи (въ XI в. по Р. Христ.) далъ правило, какъ вычислять сумму кубовъ ряда послдовательныхъ чиселъ, начиная съ единицы.

Примры на правило Алъкархи можно привести такіе:

13 + 23 + 33 = (1 + 2 + 3)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 =6 X 6

13+23 + 33 + 43 + 53 = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)2, такъ какъ 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 15 X 15

и т. д.

Въ настоящее время прогрессіи и ряды не встрчаются въ учебникахъ ариметики и не входятъ въ школьную программу по этому предмету. Теперь признано, что для полнаго объясненія этихъ отдловъ нужна общая количественная наука, а не частная, числовая, т.-е. не ариметика, а алгебра.

Извлеченіе корней  до самаго послдняго времени входило въ составъ ариметики и содержалось даже въ нкоторыхъ учебникахъ 60-хъ годовъ прошлаго столтія, напр., въ задачник, изданномъ департаментомъ народнаго просвщенія, имлись задачи на квадратные и кубическіе корни. Этотъ отдлъ, дйствительно, вполн числовой, и процессъ извлеченія корня очень подходилъ бы къ курсу ариметики, но только въ томъ бда, что трудно провести хорошее объяененіе этого дйствія безъ помощи алгебры, поэтому теперь извлеченіе корней признается обыкновенно частью алгебры.

Умли извлекать корни индусскіе и арабскіе математики, также и греческіе ученые. Индусамъ и арабамъ были извстны начала алгебры и даже въ такой мр, что они могли ршать квадратныя уравненія. Поэтому вполн слдовало ожидать того, что уже въ ХІІ в. по Р. X. извлеченіе корней шло почти такъ же, какъ идетъ оно сейчасъ у насъ.

Тройное правило.

 Сделать закладку на этом месте книги

Нтъ такого достаточно сильнаго выраженія, на которое поскупились бы составителя средневковыхъ ариметикъ, чтобы похвалить тройное правило. «Та строка тройная похвальная и лучшая строка изо всхъ иныхъ строкъ.» «Ее философы зовутъ золотою строкою». Въ нмецкихъ учебникахъ объ немъ отзывались, какъ о такомъ, которое «выше всхъ похвалъ», оно—«ключъ купцовъ». Такъ же и у французовъ оно слыло подъ именемъ rgle dore—золотого правила. Оно противополагалось цлой наук—алгебр.

За что же воздаются такія неумренныя похвалы отдлу, который въ наше время привыкъ занимать уже боле скромное мсто? Выяснить это очень интересно, и мы позволяемъ себ вернутъся немного назадъ и дать краткую характеристику цлей, которыя преслдовала ариметика съ древнихъ временъ.


Всякая наука въ первоначальной стадіи своего развитія вызывается практическими потребностями и стремится, въ свою очередь, имъ удовлетворить. Затмъ, въ зависимости отъ условій, при которыхъ она развивается, наука иногда довольно скоро, иногда боле медленно принимаетъ теоретическую окраску и на изучающихъ ее дйствуетъ образовательно, т.-е. совершенствуетъ ихъ душевыыя способности: умъ, чувство и волю: при медленномъ же рост наука долго остается руководительницей мастерства, сообщаетъ одно только умнье, даетъ человку механическіе навыки и придаетъ ему черты машинальности. И то и другое направленіе испытала ариметика. Съ одной стороны греческіе ученые видли въ ариметик боле всего образовательный элементъ; они постоянно ставили вопросы «почему?» и «зачмъ?», всегда искали основанія и вывода; ученики греческихъ школъ углублялись въ суть науки, думали надъ ней, и потому изученіе дйствовало на нихъ образовательно-развивающимъ образомъ. Съ другой стороны, индусы смотрли на ариыетику скоре со стороны искусства, они не любили вопроса «почему?», но у нихъ основнымъ вопросомъ всегда былъ: «какъ это сдлать?» Направленіе индусовъ перешло къ арабамъ, а оттуда въ средневковую Европу. Въ ней оно встртило чрезвычайно радушный пріемъ, и почва для него оказалась вполн благодарной: посл великаго переселенія народовъ и при безпрерывно продолжающихся войнахъ нечего было и думать о развитіи точной, частой, отвлеченной науки, а въ пору было ограничиться ея прикладной частью, достаточно было только учить «какъ длать», а не «почему такъ длать». И вотъ практическая окраска осталась за ариметикой на долгое время, почти до нашихъ дней, в вмст съ тмъ изученіе ея было узко-механическимъ: безъ выводовъ, разъясненій, безъ углубленія въ основанія; повсюду въ учебникахъ встрчалось «такъ длай», «длать надо такъ», и ученику оставалосъ только затверживать и примнять къ длу; у нашего Магницкаго тоже встрчается рядъ характерныхъ выраженій «зри сице», «зри изобртенія»; положимъ, среди этихъ выраженій у него есть «умствуй и придетъ», но какъ именно умствовать, на то дается очень мало намековъ. Сообразно практическому значенію ариметики, въ ней особенно выдлялось и цнилось все, что можетъ принести непосредственную выгоду, доставить заработокъ.

«Хто сію мудроеть знаетъ», говорится въ русской ариметик XVII вка, «можетъ быть у государя въ великой чти и въ жалованьи; по сей мудрости гости по государствамъ торгуютъ и во всякихъ товархъ и торгхъ силу знаютъ и во всякихъ всхъ и мрахъ и въ земномъ верстаніи и въ морскомъ теченiи зло искусни, и счетъ изъ всякаго числа перечню знаютъ».


Но какая же часть ариметики можетъ боле дать практическихъ, непосредствеено приложимыхъ навыковъ, какъ не ршеніе задачъ? Поэтому вс старанія средневковыхъ авторовъ направлялись къ тому, чтобы собрать какъ можно больше задачъ и при томъ самаго разнообразнаго житейскаго содержанія. Тутъ были задачи а о продаж, и о покупк, о векселяхъ и о процентахъ, о смшеніи, объ обмн; пестрота была ужасная и разобраться во всей масс задачъ не представлялось нікакой возможности. Чтобы хоть нсколько сгруппировать и ввести нкоторую систему и порядокъ, пытались распредлить вс задачи по отдламъ или типамъ. Это мысль, конечно, хорошая, но выполнялась она, обыкновенно, очень неудачно, а задачи распредлялись не по способамъ ихъ ршенія, какъ бы слдовало, а по ихъ содержанію, т. е. по вншнему виду; напр., былъ особый видъ задачъ о собакахъ, догоняющихъ зайца, о деревьяхъ, о двицахъ и т. п.


Ршеніе задачъ съ раздленіемъ по ихъ содержанію не пріносило почти никакой пользы, потому что нисколько не помогало тому, чтобы лучше понимать ршеніе. Да и понимать-то, по мннію старинныхъ авторовъ, едва-ли нужно было.

«Это ничего», утшаетъ бывало наставникъ своихъ питомцевъ: «что ты ничего не понимаешь, ты и впереди также многаго не будешь понимать».

Вмсто пониманія рекомендовалось не заноситься, а выучивать наизусть все, что задаютъ, и потомъ стараться примнять это къ длу, т. е. къ примрамъ, а вся сила пониманія сосредоточивалась не на томъ, чтобы уяснить выводъ правила, а на боле скромномъ—на томъ, какъ примнить общее правило къ примрамъ.

И вотъ тройное правило являлось выдающимся и заслуживающимъ особеннаго вниманія во многихъ отношеніяхъ. Во-первыхъ, кругъ его задачъ довольно обширенъ, во-вторыхъ, самое правило выражается довольно просто и ясно, и въ третьихъ, примнить это правило было сравнительно нетрудно. За вс эти достоинства ему и дали названіе «золотог», «ключа купцовъ» и т. п.


Тройное правило получило начало у индусовъ, тамъ его задачи ршались большею частію приведеніемъ къ единиц. Арабскій ученый Альхваризми (IX в. по Р. X.) относилъ его къ алгебр. Леонардо Фибонначи, итальянецъ XIII в. по Р. X., посвящаетъ тройному правилу особый отдлъ подъ названіемь: ad majorem guisam, гд даются задачи на вычисленіе стоимости товаровъ. Примръ: 100 rotuli (пизанскій всъ) стоятъ 40 лиръ, что стоятъ 5 rotuli? Уcловіе записывалось такъ:





Правило предписывало ршать эту задачу слдующимъ порядкомъ: произведеніе 40 на 5 длить на 100.

 Особенное вниманіе, стали удлять тройному правилу съ ХVІ-го вка, т. е. съ тхъ поръ, какъ европейская торговля и промышленность сразу двинулись впередъ, благодаря важнымъ изобртеніямъ и открытію новыхъ странъ. Но это не мшало разрабатывать эту главу совершенно неудовлетворительно, по крайней мр, съ нашей точки зрнія. Прежде всего опредлялось правило чисто вншнимъ сбразомъ « задача состоитъ изъ трехъ чиселъ и даетъ собою четвертое число подобно тому, какъ если поставить три угла дома, то этимъ самымъ ужъ опредлится 4-й уголъ; второе число надо умножить на 3-е, и что получится, то раздлить на 1-е число». Такое опредленіе не могло не вести къ сбивчивости, и прежде всего являлся вопросъ: что считать первымъ числомъ, и всякія ли задачи съ тремя данными числами можно ршать тройнымъ правиломъ? Разъяснять это недоразумніе учебники не считали нужнымъ. Кром того, ршались задачи не только съ цлыми числами, но и съ дробями, и въ иныхъ ариметикахъ он располагались такъ непослдовательно, что задачи съ дробными числами на тройное правило помщались раньше главы о дробяхъ, потому что и все тройное правило шло раньше ариметики дробныхъ чиселъ.


Посл тройного правила съ цлыми числами и дробями излагалось особое правило «сократительное», въ которомъ разъяснялось, какъ можно сокращать нкоторыя данныя числа, а потомъ уже шло правило «возвратительное»; это былъ очень сбивчивый отдлъ, къ которому принадлежали вопросы съ обратной пропорціональностью, и авторамъ учебниковъ никакъ не удавалось разграничить, какія задачи относятся къ этой групп; ученикамъ приходилось полагаться на свою собственную догадку и довольствоваться смекалкой. Въ XV и ХXII вв. объясненіе давалось въ род слдующаго: «Если мра зерна стоитъ 1 марки, то на 1 марку даютъ два пуда хлба; сколько пудовъ хлба дадутъ на марку, если мра зерна стоитъ 1 марки; ршаемъ тройнымъ правиломъ, получится



но понятливый смекнетъ, что когда зерно вздорожаетъ, то хлба будутъ давать меньше, а не больше, поэтому вопросъ надо перевернуть, будетъ



Въ подобномъ дух трактуетъ и Магницкiй (1703 г.)

«Правило возвратительное есть, егда потреба бываетъ въ заданіи третій перечень поставляти вмсто перваго: потребно же сіе въ гражданскихъ частыхъ случаяхъ, якоже рещи на прикладъ: нкій господинъ призвалъ плотника и веллъ дворъ строити, давъ ему двадцать человкъ работниковъ: и спросилъ, въ коливо дней построитъ тои его дворъ, онъ-же отвща, въ тридцать дней; а господину надобно въ 5 дней построити весь, и ради того спросилъ паки плотника, коликихъ человкъ достоитъ имти, дабы съ ними ты построилъ дворъ въ 5 дней, и той плотникъ недоумяся вопрошаетъ тя ариметиче: колико человкъ ему достоитъ имти, чтобъ построить ему той дворъ въ 5 дней, и аще ты начнеши творити по чину тройного правила просто; то во-истинну погршиши; но подобаетъ ти не тако: 30—20—5, но сице превративъ: 5—20—30; 30 X 20=600; 600 : 5=120».

 За тройнымъ правиломъ шло пятерное, за нимъ семерное. Легко догадаться, что это частные случаи сложнаго тройного правила, именно когда по 5 или 7 даннымъ, находящимся между собою въ пропорціональной зависимости, отыскивается 6-е или 8-е, имъ соотвтствующее число, иначе сказать: пятерное правило требуетъ 2-хъ пропорцій, а семерное трехъ. Пятерное правило объяснялось въ ХVІІІ вк такъ:

имъ производятся такія вычисленія, которыхъ нельзя произвести по другому правилу; въ немъ дается 5 чиселъ, и по нимъ отыскивается шестое искомое число; напр., нкто пустилъ въ оборотъ сто рублей, и они принесли ему прибыли 7 р., спрашивается, сколько прибыли онъ получилъ бы съ 100 р. на 5 лтъ;

ршается такъ: 100—1—7—1000—5, перемножь два лвыхъ числа, а также перемножь 3 правыхъ числа и послднее произведеніе раздли на первое, будетъ въ отвт 350, столько рублей прибыли дастъ 1000 р. въ теченіе 5 лтъ.


Простое и сложное тройное правило распредлялись обыкновенно въ XVI—XVIII вв. на массу мелкихъ отдловъ, которые носили очень замысловатыя названія, въ зависимости отъ содержанія задачъ. Вотъ эти названія по Магницкому: a «тройное торговое правило», т. е. вычисленіе стоимости купленнаго товара; b «тройное торговое о купляхъ и продажахъ»,—то же, что и предыдущее, но только посложне; c «тройное торговое въ товарныхъ овощахъ и съ вывскою», когда приходится длать вычетъ за посуду и вообще оболочку; d «о прибыли и убытк»; e «статья вопросная въ тройномъ правил», въ ней задачи очень разнообразнаго содержанія, по большей части съ обратной пропорціональностью; f «статья вопросная со временемъ», гд спрашивается высчитать продолжительность работы, пути и т. п.


Въ начал ХІХ-го вка было предложено Базедовымъ еще измненіе въ тройномъ правил и опять въ ту-же самую сторону машинальнаго, безсознательнаго навыка. Этотъ нмецкій педагогъ задался цлью еще боле упростить ршеніе задачъ на тройное правило тмъ, что еще сильне уменьшить разсужденіе при ихъ ршеніи и замнить его письмомъ готовой формулы. Онъ совтуетъ располагать данныя числа 2 столбцами: въ лвомъ пишется неизвстное количество и вс т числа, которыя должны войти въ числители формулы, а въ правомъ—вс множители, составляющіе знаменателя. Примръ: для продовольствія 1200 человкъ въ теченіе 4 мсяцевъ требуется 2400 центнеровъ муки; на сколько человкъ 4000 центнеровъ выйдетъ въ 3 мсяца? Пишемъ 2 столбца:

?      — 1200

2400 — 4000

3      —      4

и получаемъ формулу отвта



. Почему числа 1200, 4000 и 4 вошли въ ч


убрать рекламу




убрать рекламу



ислителя, а 2400 и 3—въ знаменателя? На это можно отвтить такимъ правиломъ: въ числителя входитъ число, однородное съ искомымъ, т. е. въ нашемъ случа число 1200; кром того въ него же входятъ вс т числа второго условія {4000 · 4), которыя прямо пропорціональны искомому; если же они обратно пропорціональны, какъ въ нашемъ примр 3, то они замняются соотвтствующнми числами 1-го условія (4-мя).

Вотъ все, что мы можемъ сообщить объ историческомъ развитіи тройного правила. Изъ всего сказаннаго можно сдлать заключенiе, которое годится для нашего времени. Средневковая ариметика, съ ея стремленіемъ давать только правила и пропускать выводы, съ ея механическимъ ршеніемъ вопросовъ, имла слишкомъ большое вліяніе на всю послдующую школьную жизнь, и настолько большое, что слды его проявляются на каждомъ шагу и въ наше время. Какъ бы мы ни старались отряхнутьоя отъ традиціи, освободиться отъ привычки, но он слишкомъ тсно насъ охватили и слишкомъ крпко къ намъ привлеились, чтобы ихъ можно было отбросить безъ остатка. Наша школа все еще повинна въ механическомъ заучиваніи ариметики, безъ достаточнаго участія сознательности. Тройное правило служитъ хорошимъ доказательствомъ этого. Нердко забываетъ наша средняя и низшая школа, что она призвана давать общее образованіе, а не готовить бухгалтеровъ, конторщиковъ, счетчиковъ и т. п. Между тмъ ремесленные пріемы итальянцевъ и нмцевъ, стремившихся не развить человка, а сдлать изъ него счетную машину, примняются нердко и теперь. Къ чему вс эти правила: тройное, смшенія и т. д.? Какой цли они должны удовлетворять? Они должны являться выводомъ изъ ршенныхъ задачъ, а не предшествовать ршенію задачъ; вредно ршать задачи по предварительно усвоенному правилу, но надо стараться доходить до отвта свободнымъ личнымъ соображеніемъ. Однимъ словомъ, правило не надо понимать въ вид рецепта, который достаточно запомнить, чтобы по нему приготовлять разныя мудреныя ршенія; но имъ слдуетъ дорожить только какъ выводомъ, къ которому приходитъ ученикъ: если ученикъ не можетъ сдлать этого вывода, то это значитъ, что задачъ взято мало, или он расположены не систематично, и эту ошибку надо поправить боле систематическимъ расположенiемъ задачъ; если ученикъ длаетъ не такой полный и обстоятельный выводъ, какой хотлось бы учителю, то лучше удовольствоваться имъ, чмъ заставлять разучивать правило, навязанное учебникомъ: оно скоро забудется и не окажетъ развивающаго дйствія, такъ какъ необходимымъ качествомъ математическаго вывода должна быть самостоятельность, а необходимьмъ условіемъ сознательности должно быть тсное связываніе всхъ частей курса, почему и не можетъ имть мста механическое вкладываніе въ голову отдльныхъ кусковъ, усвояемыхъ памятью.

Правило пропорціональнаго дленія.

 Сделать закладку на этом месте книги

Пропорціональное дленіе съ давнихъ временъ прилагалось тогда, когда требовалось раздлить завщанный капиталъ между наслдниками. Поэтому въ сборникахъ, обыкновенно, помщалось нсколько задачъ этого рода. Вотъ задача изъ сборника Магницкаго: «Нкій человкъ имяше жену и три сына и дщерь едину; той человкъ при смерти своей написа въ завт своемъ послди себе раздлити пожитки, жен осмую часть всего имнія, сыномъ же всякому ихъ вдвое при дщери своей, изъ тхъ 7/8 всего имнія, по смерти же его обртеся имнія на 48000 рублевъ, и вдательно есть, колико кому досталось изъ того его всего имнія; придетъ: жен 6000 рублевъ, дтямъ мужеску полу 12000 рублевъ, а дщери 6000 рублевъ:


Въ прежнее время авторы учебниковъ давали очень замысловатые вопросы касательно завщаній. Напр., они разсчитывали доли такъ, что сумма ихъ не составляла единицы, и тутъ приходилось много мудрить, прежде чмъ придти къ сносному ршенію. Дйствительно, если осталось три наслдника, и первому отказано имнія, второму и послднему , то какъ же тутъ поступить, вдь эти доли образуютъ вмст больше, чмъ цлое наслдство, именно 13/12 наслдства; въ такихъ случаяхъ брали, обыкновенно, отношеніе частей и по нимъ длили; въ нашемъ примр : : = 6 : 4 : 3, слдовательно, старшему сыну надо дать 6/13, второму 4/13 и третьему 3/13 всего наслдства.


Любопытную задачу въ этомъ род далъ знаменитый римскій юристъ Сальвіанъ Юліанъ, жившій при императорахъ Адріан и Антонин Пі (во II в. по Р. X.)

«Нкто, умирая, оставилъ беременную жену и завщалъ: если у меня родится сынъ, то пусть ему дано будетъ имнія, а жен остальная , если же родится дочь, то ей а жен остальныя , родилась двойня, — сынъ и дочь, какъ же теперь раздлить имніе?»

Сальвіанъ предложилъ сыну дать 4 части, жен 2 и дочери 1. Задача считалась очень интересной и даже вошла въ пандекты, византійскій сборникъ законовъ. Между прочимъ, Алькуинъ, придворный математикъ Карла Великаго (въ VIII в. по Р. X.), думалъ надъ этой же задачей, но она изложена у него съ другими числами. По Алькуину, сыну завщано и вдов , дочери 7/12 и вдов 5/12. Къ задач приложено переписчикомъ ршеніе, съ которымъ согласиться нелегко: чтобы удовлетворить сына и мать, надо 12 долей, а еще дочь и мать 24 доли; по 1-му условію сынъ получаетъ 9 долей, мать 3, по второму — мать 5 и дочь 7, всего приходится матери



сыну —



= , дочери




Вс задачи на завщанія ршались тройнымъ правиломъ и относились къ той групп, которая въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ озаглавливалась: «статья дловая въ тройномъ правил», т.-е. статья, гд производитея длежъ, то былъ длежъ заработка, награды и т. п. За ней шла «торговая мновая въ тройномъ правил», т.-е. статья объ обмн, которая также приводилась къ тройному правилу. Потомъ «статья торговая складная и длительная», гд прибыль длилась соотвтственно вложенному капиталу. Затмъ «статья торговая складная съ прикащики и съ людьми ихъ», въ ней нужно было выдлить кром прибыли еще жалованіе прикащикамъ. И, наконецъ, шла «торговая складная со времены»: здсь принимался во вниманіе не только капиталъ, вложенный каждымъ компаньономъ въ предпріятіе, но и время оборота.


Задачи на пропорціональное дленіе ршались, обыкновенно, тройнымъ правиломъ, при этомъ не оставалось мста ни сокращеніямъ, ни упрощеніямъ и не давалось простора личной сообразительности ученика. Обыкновенно, сперва помщалось условіе вопроса, потомъ тутъ же ршеніе, ученикъ все это заучивалъ и впослдствіи старался это прилагать, когда встрчалъ вопросъ, похожій на заученный.

Правило процентовъ.

 Сделать закладку на этом месте книги

Взиманіе процентовъ практиковалось еще въ древнія времена, но въ различныхъ государствахъ къ нему относились различно и вообще это дло было совершенно не урегулировано.


У римлянъ допускались только простые проценты, онн высчитывались по одному въ мсяцъ и выплачивались по истеченіи каждаго мсяца. Брать сложные проценты было у нихъ запрещено закономъ. Также и въ средніе вка во многихъ государствахъ сложные проценты запрещались закономъ, и т, кто ихъ бралъ, считались ростовщиками и пользовались презрніемъ. Это были, обыкновенно, евреи. Законодатель исходилъ изъ того положенія, что если человкъ затрудняется простыми процентами и не можетъ вносить ихъ аккуратно въ срокъ, то безжалостно было-бы начислять на него сложные проценты. Въ ариметическихъ сборникахъ такія задачи попадались рдко, и въ условіяхъ ихъ говорилось, обыкновенно, про евреевъ. Въ русскомъ обществ до 18 ст. начисленіе процентовъ, очевидно, тоже не пользовалось расположеніемъ, по крайней мр, у Магницкаго (1703 г.) очень мало задачъ на вычисленіе роста, и самое слово «процентъ» у него не употребляется.


Въ ХV—XVI стол., когда въ Западной Европ замчается особенный подъемъ торговли, всякія коммерческія вычисленія стали пользоваться вниманіемъ и среди нихъ вычисленіе сложныхъ процентовъ, но математикамъ того времени стоило большого труда ршать эти вопросы: не было десятичныхъ дробей и логаримовъ, да кром того, мры стоимости были во всякомъ государств свои, и переводить ихъ изъ одной системы въ другую считалось нелегкой операціей. Итальянскій математикъ Тарталья даетъ 4 способа вычисленія сложныхъ процентовъ: 1) опредляетъ наращенный капиталъ въ конц перваго года, затмъ въ конц второго и т. д., отвтъ находится при помощи тройного правила. 2) Пользуясь извстной алгебраической формулой aqn, но ея буквально не приводитъ. 3) Приростъ капитала выражаютъ его долей



(алгебраически



) и находятъ эту долю сперва отъ начальнаго капитала, потомъ отъ перваго наращеннаго, затмъ отъ второго наращеннаго и т. д.; эту долю прибавляютъ, когда нужно, къ первому капиталу, ко второму и т. д. 4) Берется произвольная сумма, обыкновенно сто рублей, и для нея находится отвтъ, т. е. капиталъ вмст съ процентными деньгами, потомъ конечный отвтъ помножаютъ на то число, которое показываетъ, сколько сотенъ въ данномъ первоначальномъ капитал. На этомъ способ основано и ныншнее пользованіе таблицами сложныхъ процентовъ.



Чтобы избжать трудныхъ дробей, нмецкій математикъ Рудольфъ (ХVІ в.) еще до введенія десятичныхъ дробей пользовался десятичными дробями. Его примръ такой: во что обратится сумма 375 флориновъ черезъ 10 лтъ по 5%? Ршеніе:





Въ связи съ процентами стоитъ учетъ векселей . Правило учета было извстно еще римлянамъ. Такъ, напр., римскій математикъ Секстъ Юлій Африканъ, писавшій свои сочиненія по ариметик и геометріи при император Александр Север (222—235 г.), разсматривалъ такъ наз. interesurium, т. е. ученіе о интересахъ или процентахъ, по нашему — коммерческій учетъ векселей. Отъ римлянъ онъ перешелъ къ народамъ Западной Европы, а тамъ мы его видимъ въ XIII вк у итальянцевъ, которые первые надумали устраивать коммерческіе банки (первые итальянскіе банки относятся къ 1200 г. по Р. X.). Самый старинный вексель, дошедшій до насъ. помченъ 1325 годомъ и писанъ въ Милан, получить по нему въ Лукк. Въ XIII и XIV ст. въ Германіи встрчались векселя совершенно примитивной формы, но зато исключавшіе возможность всякой поддлки: бралась бирка, длинная палочка, и на ней графили такія зарубки, которыя могли-бы точно выражать вексельную сумму; затмъ эта бирка кололась по длин на 2 палочки, и одна изъ нихъ вручалась должнику, другая—заимодавцу; поддлать такой вексель было невозможно, потому что иначе палочки другъ къ другу не подойдутъ. На учетъ векселей смотрли въ древніе вка очень косо, и дурная слава утвердилась за нимъ потому, что маклера не брезговали большими процентами; довольно обыкновеннымъ размромъ было 33%, а если какой маклеръ учитывалъ изъ 20%, то онъ считалсл милостивымъ.


Коммерческій учетъ называется въ настоящее время иначе учетомъ Пинкарда или Карпцова, по имени составителя и издателя таблицъ этого учета. По этому способу учета заимодавецъ остается въ убытк, если учетный процентъ равенъ тому проценту, по которому брали деньги взаймы. Нашъ математическій учетъ называется иначе учетомъ Гоффмана (около 1731 г.). Третій способъ учета предложенъ Лейбницемъ. Въ немъ есть сходство съ математическимъ учетомъ, но проценты на уплачиваемую сумму начисляются сложные. Объяснимъ это алгебраически. Пусть плата будетъ X, валюта А, число процентовъ p, срокъ n лтъ; тогда



, отсюда



слдовательно, скидка или учетъ по векселю составляетъ





Постепенное погашеніе государственныхъ долговъ, устройство лоттерей, покупка капитала путемъ періодическихъ взносовъ, различные виды страхованія и другія банковскія и коммерческія операціи требуютъ вычисленій, основанныхъ на правил сложныхъ процентовъ и на теоріи вроятностей. Эти вычисленія составляютъ предметъ такъ назыв. политической (коммерческой) ариметики. Терминъ «политическая ариметика» былъ въ большомъ ходу во 2-й половин XVIII столтія. Въ новйшее время этотъ отдлъ обработанъ съ большой полнотой внскими профессорами Шпитцеромъ и Габерлемъ. Въ XIX столтіи самое понятіе о процент расширилось, благодаря введенію его въ статистику. Теперь уже отброшено старое опредленіе процента, какъ прибыли или убытка на сто рублей капитала, и вмсто того говорятъ, что процентъ просто сотая доля количества. Это опредленіе принимается, обыкновенно, во всхъ новйшихъ учебникахъ.


Скажемъ теперь нсколько словъ о правил, которое у нмцевъ носитъ названіе «Terminrechnung», а у насъ озаглавливается „вычисленіе сроковъ платежей“. Оно примняется тогда, когда нсколько капиталовъ, отданныхъ на разные сроки и по разному числу процентовъ, надо замнить общимъ капиталомъ, съ тмъ, чтобы онъ уплачивался въ общій срокъ. Расчетъ долженъ быть основанъ на томъ, чтобы ни заимодавецъ, ни должникъ не терпли убытка. Примръ можно взять такой: я обязанъ уплатить 1000 рубл. черезъ 2 года по 5%, 2500 р. черезъ 3 г. по 4% и 3000 р. черезъ 1 годъ по 6%. Когда въ одинъ общій срокъ я могу отдать эти деньги сразу? Уже въ XVI столтіи итальянскими учеными было иредложено два совершенно врныхъ пути для ршенія подобныхъ вопросовъ. Лука де-Бурго разсуждаетъ слдующимъ образомъ. Положимъ, что должникъ платитъ вс деньги въ первый срокъ; тогда онъ платитъ напрасно процентныя деньги съ остальныхъ капиталовъ, которымъ срокъ еще не настуішлъ, а именно платитъ за время между 1-мъ срокомъ и осталышми; высчитаемъ эту лишнюю сумму процентныхъ денегъ, высчитаемъ также, въ какое время эту сумму принесутъ вс капиталы, тогда мы и получимъ средній срокъ. Тарталья и Видманнъ пользуются нсколько инымъ пріемомъ, который, сравнительно съ пріемомъ Бурго, нсколько сокращенне, именно тмъ, что вмсто прибыли вводятся произведенія капиталовъ на число дней или лтъ. Это и есть тотъ самый нормальный пріемъ, какой употребляется въ настоящее время.


Наконецъ, правило процентовъ, отчасти съ вексельными операціями, примняется къ такъ наз. переводу платежей. Обороты по переводу платежей вошли въ обыкновеніе давно, одновременно съ изобртеніемъ денегь. Такъ какъ купцамъ различныхъ націй, ведшимъ между собою торговлю, необходимо было одн монеты переводить въ другія, то для этого имлись мняльныя конторы; ихъ всегда можно было встртить на рынкахъ большихъ городовъ. Что касается письменныхъ переводовъ, то они первоначально были введены евреями. Изгнанные въ VII ст. изъ Франціи, евреи перешли въ Ломбардію и внесли туда обыкновеніе пользоваться переводами, а итальянцы очень охотно приняли этотъ порядокъ. Затмъ Гибеллины, когда ихъ лишили Ломбардіи, перенесли съ собою новый порядокъ въ Амстердамъ, а оттуда онъ распространился уже по всей Европ. Около 1315 г. Іоаннъ, герцогъ Лотарингскій, далъ Ганзейцамъ привиллегію на производство въ Брабант денежныхъ переводовъ. Въ 1445 г. мы видимъ переводы въ Нюренберг. Денежные письменные переводы доставляди большое удобство и выгоду, такъ какъ они избавляли отъ лишнихъ трудовъ и издержекъ, и, кром того, при нихъ было меньше риска, что деньги потеряются, къ тому же надо замтить, что нердко бывали случаи, когда въ иныхъ государствахъ запрещалось вывозить туземную монету за-границу, подъ страхомъ конфискаціи. Вс операціи по переводу находились въ средніе вка въ начальной стадіи своего развитія; он ограничивались вычисленіемъ суммъ по курсу, коммиссіонныхъ же процентовъ не упоминается, такъ что обыкновеніе отчислять процентъ за переводъ принаддежитъ новйшему времени.

Цпное правило.

 Сделать закладку на этом месте книги

Начало цпного правила можно прослдить у индусовъ, именно, оно содержится въ ариметик индуса Брамегуиты, относящейся къ VII ст. по Р. X. Въ Германіи оно встрчается раньше всхъ у Адама Ризе (въ XVI ст.); распространенію его особенно способствовалъ голландецъ Ванъ-Реесъ (1740 г.), по его имени и правило часто на-зывается правиломъ Рееса, другія его названія — Kettenregel на нмецкомъ язык и Rgle conjonte на французскомъ.

Прямой цлью, для которой и придумано цпное правило, является переводъ мръ одной системы въ мры другой, при посредств мръ еще какой-нибудь третьей системы. Возьмемъ такую задачу:

сколько флориновъ стоятъ 8 центнеровъ, если въ центнер 100 фунтовъ, въ фунт 32 лота, каждые 6 лотовъ стоятъ 42 крейцера, 60 крейцеровъ стоятъ одинъ флоринъ?

Конечно, эту задачу можно ршить простыми дленіями и умноженіями, можно ее ршить черезъ пропорціи, но изобртатели цпного правила не довольствовались этимъ и хотли дать такой пріемъ, по которому человкъ могъ бы работать, какъ машина, почти не разсуждая и не давая себ отчета. По цпному правилу задача пишется такъ:

X флор.—8 центн.

1 центн.—100 фун.

1 фун.—32 лота.

6 лот.—42 крейц.

60 крейц—1 флоринъ.

Затмъ пишется прямо формула отвта, а для этого достаточно перемножить числа праваго ряда и сдлать это числителемъ и произведеніе лвыхъ чиселъ сдлать знаменателемъ, будетъ тогда





Въ XIII в. и позже въ Италіи условія подобныхъ задачъ располагались иначе, именно не двумя вертикальными столбцами, а двумя горизонтальными строками; получается такое расположеніе:

42 кр. 6 лот. 100 ф. 1 центн.

1 фл. 60 кр. 32 лот. 1 ф. 8 центр.

Затмъ проводилась ломанная линія между множителями числителя той дроби, которая должиа выражать отвтъ, и такая же линія между множителями знаменателя: слдов. долженъ получиться чертежъ:



Онъ представляетъ подобіе цпи, и благодаря ему самое правило названо цпнымъ.

Совершенно справедливо замчаютъ противники Ванъ-Рееса, что цпное правило не только не полезно для начальнаго обученія, но даже вредно. Оно, подобно многимъ другимъ правиламъ, стремится внести механичность и уничтожить свободное сужденіе при выбор способа; оно пригодно, пожалуй, для людей, которымъ часто надо переводить мры изъ одной системы въ другую, но оно неумстно для общеобразовательной школы, такъ какъ вноситъ спеціальный техническій элементъ.

Итальянская практика.

 Сделать закладку на этом месте книги

Странное названіе, чуждое нашимъ учебникамъ! Что же это за правило?

До XIX столтія оно обязательно было во всхъ ариметикахъ. Какъ показываетъ самое заглавіе, итальянская практика обязана своей разработкой итальянцамъ (главнымъ образомъ Тарталь), и ка-сается она пріемовъ, вызванныхъ практикой и приложимыхъ на практик. Происхожденіе ея слдующее. Въ то время, какъ средневковая ариметика старалась изъ всхъ силъ напичкать ученика всевозможными готовыми правилами, по которымъ, какъ по шаблону, можно было ршать любой вопросъ, не затрудняя себя придумываніемъ способовъ, въ это время, въ противовсъ такому направленію, природная человческая смтливость, естественная пытливость и ничмъ неуничтожаемая потребность думать — искали себ выхода, находили его въ изобртеніи оригинальныхъ пріемовъ, которые боле соотвтствовали характеру каждаго вопроса, облегчали и упрощали его. Такимъ образомъ, итальянская практика — это собраніе искусственныхъ пріемовъ, отчасти письменныхъ, иногда устныхъ, нердко простонародныхъ, которые здравымъ человческимъ разсудкомъ противопоставляются заученнымъ формуламъ сухой науки. Склонность къ такимъ пріемамъ живетъ во всякомъ народ, и итальянцы нсколько опередили остальныхъ только потому, что ихъ роль коммерсантовъ и посредниковъ скоре дала выходъ природнымъ задаткамъ.

Тарталья различаетъ простую итальянскую практику и искусственную. Простой практикой ршаются вопросы не особенно сложные, которые относятся главн. обр. къ простому тройному правилу. Первый примръ: 8 килограммовъ саго стоятъ 3,80 марокъ., что стоятъ 12 килограммовъ саго? Для ршенія мы сперва высчитаемъ стоимость 4 килограммовъ, а для этого достаточно 3,80 марокъ раздлить пополамъ, потому что 4 килограмма составляютъ половину 8, и слд., цна ихъ составляетъ половину 3,80 марокъ, затмъ складываеиъ стоимость 8-ми килогр. и 4-хъ и получаемъ искомую цну 12-ти:



Приведемъ еще примръ, въ которомъ удобне не складывать, а вычитать: 15 арш. матеріи стоятъ 16,80 рублей, что стоятъ 10 аршинъ матеріи?



Искусственная итальянская практика состоитъ въ слдующемъ. Если въ задач встрчается какой-нибудь сложный множитель, то разбиваютъ его на слагаемыя и эти слагаемыя подбираютъ такъ, чтобы самое большое являлось кратнымъ остальныхъ, или вообще одно слагаемое содержало въ себ другое; когда намъ удалось такъ разложить, то мы умножимъ данное число на большее слагаемое, а вс остальныя произведенія получимъ дленіемъ и именно воспользуемся свойствомъ, что во сколько разъ меныне множитель, во столь-ко же разъ меныпе и произведеніе. Примръ: сколько прибыли получится съ 9000 руб. по 4% за 1 годъ 2 м. 24 д? Въ этомъ случа вычисляемъ сперва прибыль за 1 годъ, потомъ за 1/6 года, т.-е. за 2 мсяца, для этого длимъ годовую прибыль на 6, потомъ вычисляемъ за 20 дней — они составляютъ двухъ мсяцевъ, потомъ за 4 дня, т.-е. за 1/5 двадцати дней; въ конц вс полученныя прибыли складываемъ. Тарталья даетъ подобнымъ задачамъ такое расположеніе:



Еще примръ: найти прибыль съ 6000 р. по 4% за 1 г. 7 м. 9 дней.



Изъ этихъ примровъ можно понять, чмъ отличается итальянская практика отъ тройного правила: въ тройномъ правил идетъ приведеніе къ единиц или, точне сказать, къ простой единиц, здсь же вопросъ приводится къ сложной единиц, т. е. къ групп единицъ. Это видне на такомъ примр: 22 фунта стоятъ 10 руб., сколько стоятъ 33 ф.? По итальянской практик не надо приводить этого вопроса къ 1 фунту, а удобне привести прямо къ кратной части всего количества, къ 11 фун.; получимъ ихъ стоимость=5 р.; а потомъ остается 5 руб. повторить 3 раза.

Въ послднее время задачи на приведеніе къ кратной части и на сложеніе кратныхъ частей стали встрчаться въ нкоторыхъ задачникахъ, особенно для начальной школы. Это очень хорошо, потому что такіе вопросы развиваютъ сообразительность, даютъ просторъ выбору и обсужденію способовъ и вообще соотвтствуютъ истинной цли ариметики, какъ общеобразовательнаго учебнаго предмета, имющаго ввиду развить умъ, а не только снабдить ученика навыками счета.

Фальшивое правило.

 Сделать закладку на этом месте книги

Существовало и такое правило, и не только существовало, но пользовалось громаднымъ вниманіемъ. По крайней мр, у Магницкаго особая 4-я часть его ариметики была посвящена правиламъ „фальшивымъ или гадательнымъ“, въ то время, какъ въ 1-й части шли дйствія надъ цлыми числами, во 2-й надъ дробями, въ 3-й помщено тройное правило и въ 5-й и послдней о „прогрессіи и радиксахъ (т. е. корняхъ) квадратныхъ и кубичныхъ". Что же это за фальшивое правило, и почему у него такое странное названіе? Магницкій какъ бы предвидитъ подобный вопросъ и потому объясняетъ успокоительно:

«фальшивая правила, сирчь не истинная положенія, зане чрезъ два не истинная положенія изобртаетъ самое оно желаемое истинное число».

 Объяснимъ это правило на общеязвстной задач о гусяхъ, кстати она и помщена въ ариметик Румовскаго (1760 г.), какъ примръ фальшиваго правила. Задача такая:

«летло стадо гусей, на встрчу имъ летитъ одинъ гусь и говоритъ: здравствуйте, сто гусей, а т ему отвчаютъ: нтъ, насъ не сто гусей, а если бы насъ было еще столько, сколько есть, да еще полъ-столька, да четверть-столька, да еще ты одинъ гусь съ нами, тогда насъ было бы ровно сто гусей. Сколько ихъ было?»

Ршеніе такое: положимъ, во-первыхъ, что гусей было хоть двадцать; сочтемъ теперь, что составитъ столько, да полъ столько, да четверть столько, да еще одинъ, и выйдетъ всего гусей 20 + 20 + 10 + 5 + 1 = 56; а ихъ надо 100, слдовательно не достаетъ 44-хъ. Положимъ теперь, во-вторыхъ, что гусей было 24, и сосчитаемъ опять итогъ, выйдетъ 24 + 24 + 12 + 6 + 1=67, не достаетъ до 100 33-хъ. Итакъ, первое предположеніе было 20, недостатокъ 44, второе предположеніе 24, недостатокъ 33. Теперь слдуетъ перемножить накрестъ 20 24 и изъ большаго произведенія

20 24

   X

44 33


вычесть меньшее, т.-е. 44 · 24 - 20 · 33 = 1056 - 660= 396 и этотъ остатокъ 396 раздлить на разницу между обоими недостатками 44 — 33, получится 396 :11 = 36, врный отвтъ задачи. Общее правило выражается такъ: надо принять для вопроса задачи какое-нибудь произвольное значеніе, высчитать тотъ результатъ, который получится, когда подставимъ въ задачу это произвольное число, затмъ высчитать погршность; точно также берется второе произвольное значеніе и вычисляется второй результатъ и вторая погршность; тогда



Способъ фальшиваго правила былъ извстенъ индусамъ и арабамъ еще въ IX в. по Р. X., при чемъ выводъ его принадлежитъ, по всей вроятности, индусамъ. Въ латинскихъ рукописяхъ Парижской библіотеки говорится, что индусское сочиненіе, относящееся къ этому предмету, было переведено въ XII в. на еврейскій языкъ испанскимъ евреемъ Авраамомъ бэнъ-Эзра. Съ еврейскаго языка это сочиненіе было переведено впослдствіи на латинскій. У арабскихъ писателей фальшивое правило пользовалось широкимъ распространеніемъ, и объ немъ говорятъ вс арабскіе математики.

Альхваризми (въ IX в. по Р. X.) даегь слдующій примръ: «найти такое число, что если отнять отъ него и его, то въ остатк будетъ 8»; положимъ, что число будетъ 12, тогда остатокъ вышелъ бы 5, вмсто 8, т.-е. на 3 меньше; пусть число 24, тогда остатокъ оказался бы больше настоящаго на 2, теперь въ формул ршенія намъ придется сложить 2 произведенія, о которыхъ говорилось выше въ правил, а не вычесть одно изъ другого, и это потому, что въ задач одинъ отвтъ больше настоящаго, а другой меньше его (24.3 +12.2) : (3 + 2) = 191/5. О фальшивомъ правил много говоритъ также Леонардо Фибонначи, итальянскій математикъ 13 ст. Въ русскихъ математическихъ рукописяхъ XVII в. это правило извстно подъ такимъ именемъ: «статья цифирная именуется вымышленая или затйчивая. Высокаго остропамятнаго разума и умнаго прилежаніе ея-же нціи фальшивою строкою нарекоша, иже ни малымъ чмъ погршается».

Сущность фальшиваго правила лучше всего объясняется алгебраически. Возьмемъ одно уравненіе первой степени съ однимъ неизвстнымъ: ax+b = 0. Примемъ x равнымъ произвольному количеству k1; подставивъ k1 вмсто х, пусть мы получимъ во второй части вмсто нуля т1, такъ что ak1 + b = n1 т.-е. ошибка оказалась во второй части на n1. Дадимъ иксу другое произвольное значеніе k2, и пусть вторая часть обратится въ n2, такъ-что ошибка второй части уравненія будетъ n2. Теперь мы получимъ такую систему:





то образуется слдующее выраженіе для неизвстнаго:



Изъ этой формулы выходитъ: n1x- n2x= n1k2- n2k1, или n1(x-k2)=n2(x-k1) откуда получается пропорція: n1: n2=(х-k1) : (х-k2), т. е. ошибки неизвстныхъ пропорціональны ошибкамъ уравненій. Этой пропорціей и устанавливается связь между фальшивымъ правиломъ и способомъ пропорцій.

Фальшивое правило вводилось во вс учебники ариметики до начала 19-го вка и считалось необходимой ихъ частью и однимі изъ самыхъ важныхъ отдловъ. Оно встрчается, между прочимъ, въ ариметик Безу, переведенной на русскій языкъ В. Загорскимъ въ 1806 году. Въ настоящее время это правило совершенно исключено изъ ариметическаго курса, и его нигд найти нельзя. Дв причинь содйст


убрать рекламу




убрать рекламу



вовали его исключенію. Во-первыхъ, выводъ его можетъ быті сдланъ только алгебраически и, слдовательно, въ ариметик онъ не можетъ быть объясненъ ученикамъ и требуетъ отъ нихъ прямого заучиванія; во вторыхъ, никакой учебникъ не разграничивалъ, какія задачи можно ршать фальшивымъ правиломъ, и какихъ нельзя имі ршать; а, между тмъ, это существенно важно, потому что, еслі примнить правило къ тому, къ чему оно непримнимо, то выйдетъ конечно, одно печальное недоразумніе. На самомъ дл это правило можетъ имть силу только для тхъ задачъ, гд вся задача сводится къ умноженіямъ и дленіямъ неизвстнаго.

Прочія правила: смшенiя, двичье и другiя.

 Сделать закладку на этом месте книги

Правило смшенія было въ употребленіи, очевидно, очень давно, такъ какъ потребности въ смшеніи лкарствъ и какихъ - нибудь составовъ, а также въ сплавленіи металловъ имли мсто еще въ древнемъ мір. Формулы смшенія были найдены, вроятно, отчасти путемъ опыта, отчасти алгебраическими выкладками; потомъ он были перенесены въ ариметику, запоминались учениками и примнялись къ ршенію задачъ.

Леонардо Фибонначи въ ХIII в. даетъ такіе пріемы, которые надо признать совершенно механическими; и вся забота го направлена только къ тому, чтобы расположить данныя числа какъ слдуетъ; задачи у него раздляются на 2 вида, тхъ самыхъ, какіе сейчасъ и у насъ: въ первомъ вид узнается, какого достоинства выйдегъ смсь, если извстно количество смшиваемыхъ веществъ и ихъ достоинство; въ второмъ вид надо опредлить, сколько слдуетъ взять каждаго вещества, чтобы получить смсь такого достоинства, какое требуетса. У Леонардо встрчаются задачи на смшеніе нсколькихъ сортовъ, и есть примры боле отвлеченнаго характера, въ такомъ род: «Стоимость 30, количество 30, стоимость единицы— 3, 2, ршеніе: I:III =1 : 4, II : III = 1 : 2, положимъ на I съ III всего 15 единицъ, изъ нихъ 3 на I, 12 на III; на II съ III кладемъ тоже 15 единицъ, изъ которыхъ 5 на II, и 10 на III; всего тогда получится на I=3, на II=5 и на III =22». Эта задача, какъ видно, неопредленная.

Въ 15—16 вк задачи на смшеніе ршались нсколько иначе, чмъ мы ихъ ршаемъ; он приводились къ тройному правилу, и для каждаго неизвстнаго составлялась отдльная строка, отдльная пропорція.

Въ русскихъ учебникахъ XVII вка правилу смшенія соотвтствовала «статья о нечисти во всякихъ овощахъ и въ товарехъ», въ ней говорилось о смшеніи чистаго товара съ нечистымъ и о сплав золота, серебра и мди. У Магницкаго статья «третья надесять» въ тройномъ правил, подъ заглавіемъ «о соединеніи вещей», начинается прямо съ задачи, безъ всякаго предисловія и объясненія: «Нкій винопродавецъ имяше четыре разныя вины, ихъ же продаяше разною цною, по 10 алтынъ, по 8 алтынъ, по 6 алтынъ и по 5 алтынъ по 2 денги галенокъ, и хощетъ отъ тхъ разноцнныхъ винъ бочку наліяти въ 80 галенковъ, чтобы галенокъ былъ цною въ 6 алтынъ 4 денги, и вдательно есть, колико галенковъ котораго вина вліяти достоитъ во ону бочку, придетъ 16, 8, 16, 40. Зри како изобртати:





По толику галенковъ таковыхъ разныхъ винъ въ бочк оной вина его же цна по 20 коп. галенокъ»

Понятно, зачмъ Магницкій помщалъ задачи на смшеніе, и зачмъ он были въ старинныхъ ариметикахъ: учебникъ считался тогда сборникомъ всевозможныхъ правилъ, пригодныхъ для разныхъ житейскихъ случаевъ, къ нему, какъ къ какому-нибудь справочнику, и обращались за указаніями и искали практическаго отвта. Теперь же техника и ремёсла, равно какъ и гражданская жизнь, настолько развились и расширились, что нечего и думать сообщить ученику запасъ предписаній на всевозможные житейскіе случаи. Кром того, смшеніе примняется теперь не настолько часто, чтобы считать его употребительнымъ дйствіемъ и пріучать къ нему учениковъ и ученицъ изъ разныхъ классовъ общества и изъ разныхъ состояній. Такимъ образомъ, практическое значеніе правила смшенія можно считать въ настоящее время за нуль, особенно если имть ввиду задачи второго рода. Но и образовательное, развивающее его значеніе тоже очень не велико, потому что т же задачи второго рода, по самой своей сущности, принадлежатъ алгебр, съ большимъ удобствомъ и пониманіемъ ршаются въ ней, въ ариметик же он явдяются какимъ-то оторваннымъ кускомъ и потому не могутъ быть проработаны вполн сознательно. Гораздо лучше было бы и для учениковъ и для науки, если бы задачи второго рода на смшеніе были отнесены къ алгебр.

Двичье правило . Оригинальное и странное названіе, получившееся оттого, что прежде (впрочемъ бываетъ это и теперь) задачи располагались и назывались не по способамъ ихъ ршенія, а по вншнему виду. Къ двичьему правилу относились задачи, въ которыхъ говорилось о двицахъ. Правда, вс он въ cтарыхъ сборникахъ пріурочивались къ одному типу, именно къ отдлу неопредленныхъ задачъ. Типической задачей можеть служить слдующая, заимствованная изъ Адама Ризе, составившаго учебникъ въ XVI ст. «26 персонъ издержали вмст 88 марокъ, при чемъ мужчина издерживалъ по 6 марокъ, женщина по 4 и двушка по 2; сколько было мужчинъ, женщинъ и двушекъ?» Адамъ Ризе учитъ ршать такимъ образомъ: пусть, говоритъ онъ, вс 26 персонъ были бы двушки, тогда он издержали бы 2.26=52 марки, слдовательно, остается 88 — 52 = 36 марокъ. Разложимъ теперь 36 на такія два слагаемыхъ, чтобы одно состояло изъ четверокъ, другое изъ паръ, напримръ, 8 четверокъ и + 2 пары, или 5 четверокъ + 8 паръ, или еще 2 четверки + 14 паръ; такое расположеніе удобно тмъ, что 32 марки въ первомъ случа мы отнесемъ на долю мужчинъ и 4 марки на долю женщинъ и расчислимъ такъ: мужчина тратитъ больше двушки на 4 марки, ихъ можно принять всего 8 человкъ, такъ какъ 32:4 = 8; женщина тратитъ больше двушки на 2 марки, и женщинъ можно полагать 2, потому что 4: 2=2; слдовательно, получается въ отвт 8 мужчинъ, которые заплатятъ вмст 48 марокъ, 2 женщины—8 марокъ и 16 двушекъ 32 марки, всего 88 марокъ. Другой рядъ отвтовъ можно бы получить, съ помощью этого же способа, такой: 5 мужч., 8 женщ. и 13 двушекъ; и много другихъ ршеній, такъ какъ эта задача неопредленная.

Первая неопредленная задача на латинскомъ язык изъ тхъ, которыя дошли до насъ, содержится въ сборник Алькуина (въ VIII ст. по Р. X.) и выражается такъ: «100 шеффелей раздлить между мужчинами, женщинами и дтьми и дать при этомъ мужчин по 3 шеффеля, женщин по 2 и ребенку по шефф.» Ршеніемъ этой задачи могло бы быть, напр., 24, 40 и 36; у Алькуина дано 11, 15, 74. Кром названія «двичье», это правило имло иногда титулъ «слпого» правила и опять по той же самой причин, именно, что въ неопредлешшхъ задачахъ этого рода упоминалось о слпцахъ. Кстати скажемъ, что были и другія курьезныя правила, въ род правила «крокодиловъ», правила «роговъ» и т. п., и назывались они по той своей особенности, что въ задачахъ, которыя являлись характеристичными, упоминалось про крокодидовъ, рога и т. д.

Многое множество тхъ задачъ, которыми наполняются современные намъ сборники, идутъ изъ глубокой древности, пережили многія тясячелтія и терпливо переписываются однимъ составителемъ изъ другого.

Напр., извстная задача о бассейнахъ, которые наполняются трубами, и изъ которыхъ вода выливается, пользовалась вниманіем уже во времена Герона Александрійскаго (во 2 в. до Р. X.). Метрдоръ, жившій при Константин Великомъ, даетъ задачу съ 4 трубами изъ которыхъ 1-я можетъ наполнить бассейнъ въ день, 2-я—въ 5 3-я—въ 3 и 4-я—въ 4 дня. Эту же задачу мы видимъ и у индусовъ во времена математика Аріабгатты, въ 5 в. по Р. X. Она же встрчается въ русскихъ старинныхъ ариметикахъ, и она же помщается во всхъ новйшихъ сборникахъ. Точно также задача о собак догоняющей зайца, имется уже въ сборник Алькуина (въ 8 ст. по Р. X.). Заяцъ впереди собаки на 150 футовъ, и онъ пробгает 7 футовъ въ то время, какъ собака 9; для ршенія 150 предлагается раздлить пополамъ.

Ршеніе ариметическихъ задачъ всегда было несвободно от разныхъ недочетовъ, которые имютъ мсто и въ наше время и объясняются исторически. Во-первыхъ, даются ученикамъ иногда такія задачи, которыя псрежили самихъ себя и утеряли смыслъ, пс тому что времена измнились; примромъ можетъ служить задача о курьерахъ; теперь уже везд телеграфы, телефоны, сообщенія по желзнымъ дорогамъ, и поэтому нтъ никакой надобности посылать конныхъ курьеровъ, это было 50—100 лтъ тому назадъ, а сейчас это анахронизмъ. Во-вторыхъ, ршеніе задачъ никакъ не можетъ освободиться отъ того элемента механичности, который сжился съ ним въ теченіе многихъ сотенъ лтъ. Прежде всякая школа была главнымъ образомъ школой спеціальной и имла ввиду сообщить ученику навыки и умнья, пригодные ему для извстной отрасли жизненной дятельности. Теперь, наоборотъ, школа проникла въ масс народа, сдлалась общедоступной и должна быть поэтому общеобразовательной, развивающей душевныя силы дтей и воспитывающей.

Съ этой точки зрнія не такъ важно количество задачъ, и не такъ важны ихъ отдлы, какъ важенъ путь ихъ ршенія. Надо чтобы ршеніе задачъ основывалось на соображеніи и развивало сообразительность, а не строило свою опору только на привычк и простомъ запоминаніи.

Все вниманіе составителей сборниковъ должно сосредоточиваться на томъ, чтобы расположить работу строго послдовательно и систематично, съ переходомъ отъ простого къ сложному и отъ нагляднаго къ отвлеченному, безъ рзкихъ скачковъ отъ легкаго къ трудному. Если такъ расположить задачи, то ученикъ самъ, своимъ личнымъ мышленіемъ будетъ доходить до ршенія все боле и боле сложныхъ задачъ. Въ такомъ случа учителю не придется на каждомъ шагу наставлять ученика и помогать ему: все дло учителя сосредоточится на подбор матеріала, расположеннаго цлесообразно. Методъ самостоятельнаго вывода—идеальный методъ въ математик, и ему въ ней предстоитъ будущность.

Между тмъ, въ послдніе годы, отчасти подъ вліяніемъ строгихъ экзаменныхъ требованій, вошло въ моду дленіе ариметическихъ задачъ на мелкіе типы. Это вредное увлеченіе. Оно ведетъ къ выучк и встряхиваетъ опять т порядки, которые стали было затягиваться пылью сдой старины[9]. Не дробленіе на типы, главнымъ образомъ по вншнему виду, но строго постепенный подборъ сослужитъ службу при ршеніи задачъ, подводить же подъ типы—дло ученика, и тотъ, кто снимаетъ съ него эту работу мысли, тмъ самымъ лишаетъ его значительной части той пользы, какая происте-каетъ отъ занятій математикой.

Добавочныя статьи ариметическаго курса.

 Сделать закладку на этом месте книги

Если взять десятокъ-другой учебниковъ ариметики, изданныхъ въ послдніе годы на русскомъ язык, то увидимъ, что вс они очень похожи другъ на друга. Если просмотрть учебники на раз-ыхъ языкахъ за послднее столтіе, то увидимъ разницу въ матеріал и въ его объяененіи. Но эта разница сдлается рзко-очевидной, если сопоставить учебники древняго времени съ учебниками новаго. О характер объясненій въ старинное время или, врне, объ отсутствіи объясненій мы уже упоминали. Но самое содержаніе ариметики сейчасъ далеко не то, каково оно было прежде. Приведемъ нсколько подробностей.

Въ ариметик, составленной Павломъ Цвтковымъ (1834 г.), есть отдлъ объ извлеченіи квадратныхъ и кубическихъ корней. Этотъ отдлъ исключенъ изъ ариметики вообще около средины 19-го вка. Корни извлекаются у Цвткова изъ отвлеченныхъ чиселъ и изъ именованныхъ. Напр., корень квадратный изъ 4 дней 302 час. 369 мин. квадратныхъ составляетъ 2 дня 3 часа 3 мин.; при этомъ вводится квадратный день, въ которомъ 576 квадр. ч. и кв. часъ въ 3600 кв. минутъ — все это несообразности.

До второго десятилтія 19-го в. вставлялись въ ариметику логаримы, и это начали длать съ самаго ихъ примненія къ математик, т. е. съ 17 ст. У Василія Загорскаго (1806 г.) логаримы подробно объяснены, и къ нимъ приложены таблицы; въ этихъ таблицахъ содержатся логаримы чиселъ до 10000 съ семью десятичными знаками.

Въ «Начальныхъ основаніяхъ ариметики», сочиненныхъ Степаномъ Румовскимъ (1760 г.), помщены прогрессіи, которыя мы встрчаемъ у всхъ его предшественниковъ. У Магницкаго въ его извстной «Ариметик, сирчь наук числительной», которая «съ разныхъ діалектовъ на славенскій языкъ преведена, и во едино собрана, и на дв книги раздлена», вся вторая книга, т. е. вторая половина, содержитъ такіе отдлы, которые сейчасъ у насъ не признаются ариметическими и ни въ какомъ случа не помщаются въ учебникахъ ариметики. Это, во-первыхъ, ариметика-алгебраика, по нашему сказать алгебра, съ ея нумераціей и дйствіями и съ извлеченіемъ такихъ мудреныхъ корней, что одно названіе ихъ приводитъ въ недоумніе: биквадратъ или зензизензусъ—корень 4-й степени, солидусъ или сурдесолидусъ—5-й степени, квадратокубусъ или зензикубусъ—6-й степени, бисурдесолидусъ или бисолидусъ—7-й степени, триквадратъ или зензизензусъ отъ зенза—8-й степени, бикубусъ, кубокубусъ, сугубый кубусъ—9-й ст.; квадратъ солида, зенсурдесолидъ—10-й ст.; кубосурдесолидъ, терсолидъ—11-й ст., биквадрато-кубусъ — 12-й ст. За этими корнями, которые, впрочемъ, боле страшны и обширны своими названіями, чмъ процессомъ извлеченія, идетъ ариметика-логистика или астрономская «како въ градусахъ, минутахъ и секундахъ, и въ прочихъ колесъ сченіяхъ дйство и чинъ ариметика содержитъ»; здсь просто-напросто показывается, какъ длать вычисленія съ градусами, минутами и секундами. Потомъ идетъ еще приложеніе, и на этотъ разъ геометрическаго характера «о геометрическихъ черезъ ариметику дйствуемыхъ», гд ршаются примры на вычисленія площадей и объемовъ, и даже сообщаются свднія изъ тригонометріи. Въ заключеніе идетъ глава «о земномъ размреніи и яже къ мореплаванію прилежатъ», тутъ есть таблицы широтъ и долготъ, описаніе втровъ и т. п. Какое разнообразіе содержанія! Можно сказать, что ариметика Магницкаго— это цлая энциклопедія; въ ней собраны всевозможные случаи, гд только можетъ пригодиться вычисленіе: и изъ хозяйетва, и изъ ремеслъ, и изъ гражданской и военной жизни. Сочинитель заботился, чтобы его книга всхъ удовлетворила и ни одного вопроса не оставила безъ отвта, чтобы она всецло соотвтствовала требованіямъ практики.

Эта пестрота и этотъ наборъ всевозможнаго матеріала, который складывается въ одну кучу, на всякій случай, авось пригодится гд-нибудь въ жизни и хозяйств, эта пестрота и случайность еще боле проскальзываютъ въ старинныхъ сборникахъ XVI—XVII вка. Чего-чего только тамъ нтъ. Какъ Плюшкинъ тащилъ въ свою груду всякій ненужный хламъ и рухлядь, и какъ любитель-коллекціонеръ добываетъ и вставляетъ въ свое собраніе всякія мелочи и подробности, такъ и авторы старинныхъ учебниковъ собирали въ ариметику все, что хоть сколько-нибудь подходитъ къ ея практическимъ требованіямъ и можетъ дать отвтъ на какой-нибудь числовой воііросъ. О смысл, цлесообразности и воспитательномъ дйствіи науки не заботились: лишь бы только она годилась для жизни. Доходило дло до такихъ курьезовъ и странностей: «Есть убо человкъ, яко же повдаютъ, на глав имя 3 швы и на углы составлены; женская же глава иметъ единъ шовъ, кругомъ обходя главу; да по тому знаменію и въ гробхъ знаютъ, кая мужеска, кая-ли женска». «Хошь сыскати тварей обновленіе небу и земл, морю и звздамъ, солнцу и лун, и индикту». Оказывается, небо поновляется въ 80 лтъ, а земля въ 40 лтъ, море въ 60 лтъ.

Въ составъ средневковыхъ ариметикъ входили еще такъ называемыя математическія развлеченія. Трудно и скучно было тогдашнимъ ученикамъ. Сухое изложеніе, мудреный языкъ, масса научныхъ терминовъ, отсутствіе объясненій[10] — все это приводило къ тому, что ученье обращалось въ долбленье, и только боле счастливые, т. е. боле сильные, умы могли справляться съ матеріаломъ, перерабатывать и понимать. Вотъ когда появились поговорки: «корень ученья горекъ» и «лучше книги не скажешь». Чтобы хотъ нсколько оживить учениковъ, утшить и ободрить, ихъ назидали, во-первыхъ, ув-щательными стихами, гд воспвалась вся сладость подвига и вся цнность результатовъ, которыхъ иметъ достигнуть «мудролюбивый» отрокъ:


О любезный ариметикъ,
Буди наукъ не отметникъ,
Тщися еще быти усердъ,
Да будешь въ нихъ силенъ и твердъ,
Въ смтахъ какихъ длъ купецкихъ,
И во всякихъ иныхъ свцкихъ.
Тмже въ Бога уыовая
И на помощь призывая,
Потрудися въ нихъ охотно,
Аще будетъ и работно.

Во-вторыхъ, давались задачи съ оотроумнымъ содержаніемъ и требовавшія особенной изворотливости и догадки. Вотъ задача изъ сборника, приписываемаго Алькуину (въ 8 в. по Р. X). Рукопись относится приблизительно къ 1000 г. по Р. X. «Два человка купили на 100 сольдовъ свиней и платили за каждыя пять штукъ по 2 сольда. Свиней они раздлили, продали опять каждыя 5 штукъ по 2 сольда и при этомъ получили прибыль. Какъ это могло случиться? А вотъ какъ: на 100 сольдовъ приходится 250 свиней, ихъ они раздлили пополамъ, на 2 стада, и изъ перваго стада отдавали по 2 свиньи на 1 сольдъ, а изъ второго по 3; тогда достаточно выдать по 120 штукъ изъ каждаго стада, такъ какъ придется получить 60 сольдовъ за свиней перваго стада, 40 за свиней второго, всего 100 сольдовъ; 5-ть же штукъ изъ каждаго стада останется въ прибыли». Требуется разгадать эту загадку.

Въ сборник Алькуина содержится извстная загадка о волк, коз и капуст, которыхъ надо перевезти черезъ рку, съ такимъ условіемъ, что въ лодк нельзя помщать волка съ козой, козы съ капустой, и оставлять на берегу тоже нельзя вмст, потому что они съдятъ; какъ же это устроить?

 Лучшій сборникъ задачъ-загадокъ издалъ Баше-де-Мезиріакъ въ 1612 году, заглавіе его такое: Problmes plaisantes et dlictables qui se font par les nombres. Въ немъ помщена большая часть тхъ задачъ, какія встрчаются и сейчасъ въ сборникахъ этого рода, наприм., о задуманныхъ числахъ, о работник, котораго нанимаетъ хозяинъ съ условіемъ платить ему за рабочіе дни и вычитать за прогульные, и т. д.

 Въ старинныхъ русскихъ ариметикахъ можно отмтить такія интересныя задачи: «I. Пришелъ христіянинъ въ торгъ и принесъ лукошко яицъ. И торговцы его спрошали: много-ли у тебя въ томъ лукошк яицъ? И христіянинъ молвилъ имъ такъ: язъ, господине, всего не помню на перечень, сколько въ томъ лукошк яицъ. Только язъ помню: перекладывалъ язъ т яйца изъ лукошка по 2 яйца, ино одно яйцо лишнее осталось на земли; и язъ клалъ въ лукошко по 3 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 4 яйца, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 5 яицъ, ино одно же яйцо осталось: и язъ ихъ клалъ по 6 яицъ, ино одно же яйцо осталось; и язъ клалъ по 7 яицъ, ино все посему пришло. Ино, сколько яицъ въ томъ лукошк было, сочти ми? Придетъ было 721. II. Левъ сълъ овцу однимъ часомъ, а волкъ сълъ овцу въ 2 часа, а песъ сълъ овцу въ 3 часа. Ино, хощешь вдати, сколько бы они вс три: левъ, волкъ и песъ овцу съли вмст вдругь и сколько бы они скоро ту овцу съли, сочти ми[11])?

III. О деньгахъ въ куч вдати. Аще хощеши въ куч деньги вдати, и ты вели перевесть по 3 деньги. А что останется отъ 3-хъ—2 или 1, и ты за 1 по 70. Да опять вели перевести по 5, и что останется—4 или 3, или 2, или 1, и ты за 1 клади по 21. Да опять вели перевести по 7, и что останется — 6 или 5, или 4, или 3, или 2, или 1, и ты тако же за всякій 1 клади по 15. Да что въ остаткахъ перечни родились, и т перечни сочти вмсто, а сколько станетъ, и ты изъ того перечню вычитай по 105, и что останется отъ сто пяти или сама сто пять, то столько въ куч и есть».

Немаловажной статьей среди математическихъ развлеченій были магическіе квадраты. Что такое магическій квадратъ? Это рядъ чиселъ отъ 1 и до какого-нибудь предла, размщенныхъ по клткамъ квадрата такъ, что сумма чиселъ по діагоналямъ и по сторонамъ остается постоянной. Вотъ примры, взятые изъ сборника Алькуина (этотъ ученый особенно любилъ магическіе квадраты):





Они встръчаются въ сочиненiяхъ секты «Чистыхъ братьевъ», существовавшей въ X в. по Р. X. въ г. Аль-Бассра. Эта секта приписывала магическимъ квадратамъ особенную таинственную силу. Врили, что они способны измнить расположеніе звздъ при рожденіи младенца и помочь ему.

Въ конц ариметики Іоанна Севильскаго (1150 года) приведенъ такой магическій квадратъ:



Объясненія не дано, только помщены т же самыя черточки, какія и на этомъ чертеж.

Исторія алгебры.

Хотя народы древвяго міра не знали нашей алгебры, но это не мшало имъ заниматься такими вопросами, которые принадлежатъ, собственно говоря, алгебр. Еще у египтянъ въ древнйшей рукописи-папирус Ринда ршаются уравненія первой степени съ однимъ неизвстнымъ; въ этихъ уравненіяхъ мы встрчаемъ и знаки, напр., своеобразный знакъ равенства / / . Задача помщена, между прочимъ, такая: « цлаго числа вмст съ его , и 1/7 и съ этимъ же цлымъ числомъ даютъ 33, найти неизвстное»; прежде всего отбираются извстные члены въ одну часть, а неизвстные въ другую, коэффиціенты при неизвстныхъ представляются основными дробями (т. е. съ числителемъ 1) или же выражаются въ одинаковыхъ доляхъ и складываются; величина неизвстнаго опредляется такъ: въ первомъ случа умножается коэффиціентъ на подходящее число, такъ чтобы въ произведеніи получился извстный членъ, а во второмъ множатъ извстный членъ на знаменателя коэффиціента и полученное длятъ на числителя.

Греческіе ученые занимались алгеброй въ періодъ времени съ VI ст. до Р. X. и кончая IV ст. по Р. X. Они разработали нсколько отдловъ ея, но ихъ труды идутъ въ иномъ направленіи, чмъ какого держится новйшая математика, именно они носятъ на себ геометрическую окраску.

Прежде всего Пиагоръ (въ VI ст. до Р. X.) и Платонъ (въ V ст.) ршили въ цлыхъ числахъ уравненіе х2+y2=z2.

Пиагоръ далъ такія формулы:



гд а равно любому нечетному числу; по Платону



гд а любое четное число.

Діофантъ, жввшій въ Александріи въ 4 в. по Р. X., оказалъ алгебр большія услуги. До него древніе не знали употребленія буквъ при доказательствахъ въ общемъ вид, Діофантъ же первый сталъ вводить различные знаки для неизвстныхъ величинъ, главнымъ образомъ греческія буквы; ему обязана своей разработкой глава объ уравненіяхъ, именно объ уравненіяхъ первой степени со многими неизвстными и о полныхъ квадратныхъ уравненіяхъ. Вотъ примръ изъ Діофанта:

x  + y  = 10, x 2 + y 2 = 68

длимъ 1-е уравненіе на 2 и получаемъ



теперь положимъ, что




тогда

x  = 5 + d , y  = 5 d   (5 + d )2 + (5 d )2 = 68 50 + 2d 2 = 68 d  = 3, x  = 8, y  = 2

Діофантъ занимался также неопредленными уравненіями первой и второй степени, но ему не удалось найти полнаго ихъ ршенія въ цлыхъ числахъ; это сдлали уже Эйлеръ, нмецкій математикъ 18 в., и французскій математикъ Лагранжъ (1736—1813).

Индусы называли неизвстныя величины, которыя мы теперь обозначаемъ черезъ х, у, z и т. д., черной величиной, голубой, желтой, зеленой, красной и обозначали ихъ первыми буквами тхъ словъ, которыя выражаютъ эти цвта. Индусскіе математики 6—12 в по Р. X. знакомы были, правда, съ греческой ариметикой и алгеброй, но они далеко опередили грековъ. Они знали ирраціональныя числа, знали, что всякій квадратный корень иметъ два значенія: положительное и отрицательное, и дошли до мнимыхъ величинъ. Баскара (въ 12 в.) принялся за кубическія уравненія, и вотъ его примръ:

x 4 + 48x  = 12x 2 + 72

вычтемъ по

12x 2 + 64 = 12x 2 + 64

————————————————————————

x 3 12x 2 + 48x  64 = 8

(x  4)3 = 23

x  4 = 2

x  = 6


Вплоть до 18 вка индусскіе математики являлись учителями европейскихъ математиковъ и образцами для нихъ, и лишь Лагранжу и Эйлеру удалось двинуть науку дале и превзойти индусовъ.

Арабскіе ученые переняли отъ индусовъ начала алгебры и перенесли въ Европу, гд ею занялись главнымъ образомъ итальянцы.

Лука-де-Бурго (въ 15 ст.) перешелъ къ уравненіямъ 4-й степени и ршалъ т изъ нихъ, которыя приводятся къ квадратнымъ. Тарталья и Карданъ (въ 16 ст.) объяснили ршеніе кубическихъ уравненій, притомъ всякихъ безъ исключенія, а Людовикъ Феррари далъ общую формулу ршенія уравненій 4-й степени.

Віета (1540—1603) положилъ начало общей ариметик тмъ, что сталъ обозначать буквами не только искомыя количества, но и данныя; до него же буквами обозначались только т количества, которыя требавалось опредлить; по способу Віета извстныя величины въ уравненіяхъ обозначались согласными буквами латинскаго алфавита, а неизвстныя—гласными.

За Віетой слдовалъ англичанинъ Гарріотъ (1560—1621). Онъ нашелъ, что всякое уравненіе высшихъ степеней является произведеніемъ уравненій низшихъ степеней, что между коэффиціентами и корнями уравненія есть опредленная зависимость; онъ ввелъ знакъ неравенства и предложилъ писать буквенныхъ множителей рядомъ, безъ всякаго знака; но коэффиціентъ онъ отдляетъ отъ буквы точкой и степени обозначаетъ повтореніемъ количества, т. е. вмсто a3 пишетъ aaa. Французъ Декартъ (1596—1650) положилъ начало аналитической геометріи и ввелъ ныншнюю форму цлыхъ степеней. Голландецъ Жираръ ввелъ скобки, Исаакъ Ньютонъ (1642—1727) — дробныя степени и биномъ, шотландецъ Непиръ (въ 17 ст.) — логаримы съ натуральнымъ или гиперболическимъ основаніемъ е=2,7182818...

Вскор посл него англійскій профессоръ Бриггь (ум. въ 1630) вычислилъ логаримы при основаніи 10. Такимъ образомъ, получается 7 дйствій общей ариметики: сложеніе, вычитаніе, умноженіе, дленіе, возвышеніе въ степень, извлеченіе корня, логаримированіе; иные присоединяютъ еще восьмое дйствіе—нахожденіе числа по логариму. Теорія чиселъ, т. е. ученіе о свойствахъ чиселъ, была извстна въ нкоторой степени еще древнимъ грекамъ. Особенное развитіе она получила въ новйшее время.

Источники по исторіи ариметики.

 Сделать закладку на этом месте книги

Большая часть трудовъ по исторіи ариметики принадлежитъ нмецкой литератур: нмецкая ученость особенно занимается этими вопросами. Мы для своей работы воспользовалнсь слдующими источниками:

1. M. Sterner . Geschichte der Rechenkunst;. 1891. стр. 533. Это самая лучшая книжка въ своемъ род, мы ее порекомендовали бы всякому, кто хочетъ узнать исторію ариметики; она очень доступна, обстоятельна и недорога, изложеніе въ ней чисто-литературное.

2. W. Adam . Geschichte des Rechens und des Rechenunterrichts. Zum Gebrauch an gehobenen und hheren Lehranstalten, sowie auch bei der Vorberitung auf die Mittelschullehrer und Rektoratsprfung. 1892. стр. 182. Составлена по программ, изданной для учителей среднихъ учебныхъ заведеній; какъ видно, въ Германіи требуется отъ учителей не только знать науку, но и обладать свдніями по ея исторіи. Книжка Адама невелика, конспективна; хотя она и написана простымъ языкомъ, но изложеніе въ ней суховато: много перечисленій и мало обобщеній.

3. M. Kantor . Vorlesungen ber Geschichte der Mathematik. Zweite Auflage. 1894. Стран. 883+863. Громадная работа по исторіи математики; считается чрезвычайно авторитетйымъ источникомъ, изъ котораго черпаютъ вс остальные авторы. Канторъ — общепризнанный спеціалистъ по своему предмету.

Изложеніе у него доступное, хотя, по самому характеру книги, содержитъ много подробностей и тонкихъ изслдованій. Цна не дешевая — боле 25 руб.

4. H. Hankel.  Zur Geschichte der Mathematik in Alterthum und Mittelalter. 1874. Страницъ 410. Рядъ хорошихъ очерковъ по исторіи математики.

5. G. Freidlein.  Die Zahlzeichen und das elementare Rechnen der Griechen und Rmer und des christlichen Abendlandes vom 7 bis 13 Jahrhundert. 1869. Стр. 164. Для своихъ отдловъ эта книжка хороша; правда, она написана нсколько спеціально, съ цитатами и мелкими подробностями, но въ общемъ она доступна.

6. P. Treutlein . Das Rechen im 16 Jahrhundert. 1877. Стр. 100. Хорошая картина 16-го вка, того самаго вка, когда стали обрисовываться основы нашей ариметики.

7. F. Unger.  Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwickelung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart. 1888. Стр. 240. Работа Унгера неудобна для того, кто желалъ бы начать съ нея знакомство съ исторіей ариметики. Унгеръ слишкомъ гоняется за подлинными выписками, даже такими, которыя не представляютъ большого интереса, и слишкомъ окрашиваетъ свои очерки въ колоритъ спеціально нмецкой


убрать рекламу




убрать рекламу



школы. У него много замчаній относительно методики, однако и ихъ гораздо интересне читать по Штернеру.

Изъ французскихъ авторовъ мы могли воспользоваться:

8. G. Libri.  Historie des sciences mathmatiques en Italie, depuis la reneaissance des lettres jusq' la findudix-septime sicle. 1835-1865. Стр. 456+530+444+492. Это довольно старая книжка, и въ ней трудно найти что-нибудь новое, сравнительно съ тми пособіями, какія перечислены выше.

На русскомъ язык пользуются извстностью труды профессора Московскаго университета В. В. Бобынина, который съ 1883 года читаетъ лекціи по этому предмету. Мы въ особенности обязаны свдніями слдующимъ интереснымъ очеркамъ:

9. В. В. Бобынинъ . Очерки исторіи развитія физико-математическихъ знаній въ Россіи. ХVІІ столтіе. 1886 г. Стр. 123.

10. В. В. Бобынинъ . Очерки исторіи донаучнаго періода развитія ариметики. 1896 г. Стр. 48.

11. В. В. Бобынинъ . Очерки исторіи развитія математическихъ наукъ на Запад. 1896 г. Стр. 30+129.

Посл выхода въ свтъ I изданія, авторъ познакомился еще съ такими трудами:

12. Boyer . Historie des mathmatiques.

13. Зутеръ . Исторія математическихъ наукъ. СПБ. 1905. Цна 1 р. Перев. съ нмецкаго П. Федорова.

Приложение. Таблица цифръ.

 Сделать закладку на этом месте книги

1. Гіероглифнческія цифры египтянъ.



2. Гіератическія цифры гяитянъ:



3. Народныя цифры египтянъ.



4. Халдейскія цифры.



5. Китайскія цифры: А) старинныя, В) современныя.



6. Научныя цифры китайцевъ.



7. Цифры средневковыхъ астрологовъ



8. Еврейскія цифры.



9. Обозначеніе болъшихъ чиселъ по-славянски.



10. Видоизмненіе такъ наз. арабскихъ цифръ.



11. Греческіе знаки дйствій.


Примечания

 Сделать закладку на этом месте книги

1

 Сделать закладку на этом месте книги

автор почему-то обозначает греческие обозначения чисел латинскими буквами, а не греческими, как было бы логичнее — Прим. «авт. док.» 

2

 Сделать закладку на этом месте книги

очевидно, опечатка в оригинальном издании и нужно читать

«леодръ =1 000 000»

прим вики 

3

 Сделать закладку на этом месте книги

Въ конц книги приложена таблица цифръ.

4

 Сделать закладку на этом месте книги

возможности FictionBook не позволяют отображать все математические символы, поэтому «как в оригинале», к сожалению не получится.

Имейте в виду, что «титло"(старинный древнерусский термин для обозначений цифр буквами русского алфавита) в данном случае — это сплошная черта, которая проводится над числом, чтобы можно было понять, что это не бессмысленный набор букв, а число и чтобы отделить одно число от другого. Примечание авт. док. 

5

 Сделать закладку на этом месте книги

здесь имеются в виду сплошные черточки над числом, а не над-впереди, но формат не позволяет. Примечание авт. док. 

6

 Сделать закладку на этом месте книги

19-го, очевидно, т. к. книга писалась в 1906, то истекшее столетие — 19. Примечание авт. док. 

7

 Сделать закладку на этом месте книги

Вельдоманди, итальянскій математикъ (1380–1428), помщаетъ въ своей рукописной ариметйк таблицу умноженія всхъ чиселъ въ предл 22-хъ. По его словамъ, надо было пойти и дальше, да листа не хватаетъ.

8

 Сделать закладку на этом месте книги

 ЭрВэИ с титлом  Примечание авт. док. 

9

 Сделать закладку на этом месте книги

Изобртеніемъ всевозможныхъ типовъ и многочисленныхъ правилъ отличился еще въ средніе вка германскій педагогь Видманнъ (въ 15 ст.). Съ него пошли эти порядки. 

10

 Сделать закладку на этом месте книги

 Оддо, педагогъ 12 в. по Р. X., очень затрудняется въ объясненіяхъ и оправдываетъ себя тмъ, что «все это гораздо легче объяснить устно, чмъ письменно».

11

 Сделать закладку на этом месте книги

 Эта задача встрчается у Видманна, германскаго педагога XV вка; у него она выдлена въ особое правило—«правило о льв, волк и собак, съдающихъ овцу».


убрать рекламу




убрать рекламу






убрать рекламу




На главную » Беллюстин Всеволод Константинович » Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики [без таблиц].