Название книги в оригинале: Бобров Сергей. Волшебный двурог

A- A A+ White background Book background Black background

На главную » Бобров Сергей » Волшебный двурог.



убрать рекламу



Читать онлайн ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ. Бобров Сергей Павлович.

ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ

 Сделать закладку на этом месте книги


Научный редактор проф. И. Н. Веселовский

Издание второе, переработанное и дополненное

Рисунки В. Конашевича

Схемы и чертежи М Гетмапского и Г. Соболевского

Так, значит, давай познакомимся, любезный читатель!..

 Сделать закладку на этом месте книги

Когда вы узнаете о том, что давным-давно, в середине XVIII века, мальчик Блез Паскаль самостоятельно читал "Начала" Евклида, а девочка Софья Ковалевская[1] не так давно, в прошлом веке, ухитрилась разобраться в основах математического анализа по разрозненным листам учебника Остроградского, которыми случайно оклеили стены детской комнаты, то не удивляйтесь и не думайте, что это просто занимательные рассказы или поразительные исключения.

Что-нибудь в этом роде было в детстве у всякого, кто любил математику и затем всю жизнь работал в какой-либо ее области. Именно так, в самостоятельной работе, и проявляются первые начатки подлинного интереса к науке, именно так и растут будущие труженики на славном поприще научной деятельности.

Есть немало хороших книг, которые могли бы помочь любознательному школьнику, если он увлекается математикой.

Но нередко эти книги трудны и требуют от читателя большого напряжения, которое не всегда по силам учащемуся средней школы.

В этой книжке юным читателям дается такой материал по математике, который будит их интерес к знанию, раскрывает перед ними некоторые перспективы, позволяет представить себе, что такое математика. С другой стороны, здесь есть материал для самостоятельной работы, то есть не просто рассказы о математике, а нечто большее, что даст нашему читателю радость научного труда, радость небольшого, но все-таки заработанного собственными трудами познания.

- 3 -

Книга рассчитана на подростка, кончившего семь классов, и поэтому очень много в ней дать нельзя. Для примера укажем, что почти невозможно дать обзор научной деятельности Софьи Ковалевской, не говоря уже о более поздних ученых.

Однако все-таки возможно на ряде любопытных примеров ввести читателя в мир научной математической мысли. Некоторые из этих примеров принадлежат к исторически чрезвычайно важным, другие представляют собой не слишком трудные вещи, а иной раз это просто загадка, но за ней кое-что таится, и над этим стоит подумать.

А кроме того, эта книжка для того и написана, чтобы читатель понял, что математика - не только не скучная, но даже очень увлекательная наука! Если кто ее совсем не любит - пусть хоть заглянет в книгу. И даже он найдет здесь кое-что интересное...

Наш рассказ представляет собой фантастическое путешествие по волшебным странам математического мира, но читатель и сам довольно скоро разберет, что все те добродушные, веселые и шутливые фигуры, с которыми он повстречается, только для того и появились на белый свет, чтобы помочь ему поразмыслить над тем, что он найдет на страницах книги.

Читатель узнает, как человек изобрел и усовершенствовал такую великую вещь, как математический анализ, то есть то самое, что называется "высшей математикой". Рассказ наш доводится до примеров определенного интеграла и производной. А ведь это и есть тот самый крепкий и надежный фундамент, на котором покоится вся огромная современная техника.

Вторая наша тема, которой отдано гораздо меньше внимания, - это не-евклидова геометрия. Попутно и по необходимости мы касаемся и других вопросов. В частности, у нас есть обычные разделы занимательной математики - лабиринты, уникурсальные фигуры, игра в "Дразнилку". Есть и задачи-шутки, но некоторые из них совсем не так просты и касаются вещей серьезных.

Но если доктор У. У. Уникурсальян, с которым вы познакомитесь через несколько страниц и, надеемся, подружитесь, - великий мастер говорить длинные речи, причем иной раз довольно затейливо, то из этого еще не следует, что все, о чем здесь говорится, так уж просто и легко.

- 4 -

Впрочем, если уж читатель не сразу разберется в древней прекрасной легенде о царевне Ариадне и ее путеводной нити, то он не должен пугаться. Наоборот, он должен запастись терпением и перечесть эту историю еще разок. Ничего не будет страшного, если он вернется к ней и третий раз. Надо все так хорошо разобрать, чтобы потом об этом понятно рассказать тому, кто совсем не читал этой книги. А как же достигнуть этого?

Да очень простым способом. Надо не просто перечитывать, а делать это в приятном обществе карандаша и бумаги. Втроем разобрать любую из наших историй гораздо легче. Не надо только забывать о том, что если всякий понимает, что школьная парта сделана из дерева, то далеко не всякий сумеет пойти в лес, срубить там дерево и сделать из него эту самую парту.

А нам с вами, чтобы научиться работать, надо непременно попробовать что-то сделать собственными руками, а не только знать понаслышке. А то ведь есть на свете такая обидная поговорка: "Слышал звон, да не знает, откуда он..." А узнать-то не так уж и трудно: подумать не торопясь, взяться и не бросать, пока не выйдет то, что надо.

Некоторые наши темы очень просты и касаются вопросов почти что шуточных. Но и в них, если как следует разобраться, есть немало интересного и очень полезного. Можно просто пообещать читателю: если ты проработаешь всю эту книгу, ты кое-что серьезное о математике узнаешь!

Таково мнение доктора У. У. Уникурсальяна, и мы вполне к нему присоединяемся. Он сам и все его друзья будут говорить с вами весело и любезно и терпеливо будут стараться навести вас на правильную мысль. А иной раз и подразнят немножко! Да ведь это любя, обижаться не стоит!..

Нет никакой нужды читать сразу всю книжку подряд.

Тот, кто сперва прочтет то, что полегче, а потом возьмется за более непослушные задачки, ничего не потеряет.

Может быть, прочитав эту книгу, захочется познакомиться и с другими книгами по математике. Сейчас у нас есть много хороших книг для самостоятельного чтения. Целый ряд их упоминается у нас в примечаниях. Большинство из них немного потруднее, чем эта книжка. Но ничего не поделаешь, надо привыкать работать с книгой. Если в примечании книга отмечена звездочкой в скобках (*), значит она повышенной трудности. Такую книгу лучше разобрать вместе с товарищами или с руководителем.

Есть еще очень полезные книжки, где рассказывается, как жили и трудились крупные ученые. Почитаешь и увидишь, что и им не все и не всегда легко давалось, но их горячая любовь к знаниям и упорство превозмогали трудности. Есть очень хорошие книги академика С. И. Вавилова о Ньютоне, профессора В. С. Кагана - о Лобачевском, французского ученого Дальма - о математике Галуа, революционере и ученом.

- 5 -

Интересен целый том "Воспоминаний и писем" Ковалевской. Можно порекомендовать несколько хороших книг по истории математики:

Н. Бурбаки "Очерки по истории математики" (*), а особенно надо посоветовать прочесть книгу Д. Я. Стройка "Краткий очерк истории математики".

Впрочем, если среди наших читателей найдутся такие, которым всего этого покажется мало, то в таком особенном случае можно посоветовать заняться очень полезной и сравнительно не очень трудной книгой Я. Б. Зельдовича "Высшая математика для начинающих". В этой книжке очень много хороших примеров из физики.

А вообще не надо робеть перед наукой. Конечно, не всякий будет в дальнейшем Ньютоном или Ковалевской. Но ведь в наши дни математика нужна повсюду - не только в инженерии, не только в космонавтике, а даже и в медицине, и в изучении литературы. У нас много больших научно-исследовательских институтов, где нужны математически образованные люди: ведь работа там идет коллективная и нередко совместные усилия дают плоды исключительной ценности. Наш дорогой Пушкин говорил, что надо "в просвещении быть с веком наравне". Это не очень легко, но и не так уж трудно, если любить это дело и понимать, до какой степени оно в наши дни нужно Родине.

Первое издание "Волшебного двурога" вышло в 1948 году.

Научным редактором книги был замечательный ученый Игорь Владимирович Арнольд, безвременно скончавшийся. Он не дожил двух месяцев до выхода в свет нашей книги.

В 1959 и в 1962 годах пишущий эти строки выпустил еще две книги по общедоступной математике - два томика "Архимедова лета", на которые мы будем ссылаться время от времени. Чтобы не писать каждый раз название этих книг, мы будем сокращенно обозначать таким образом: АЛ-II, XVIII, 4.

Это значит: "Архимедово лето", том II, глава XVIII, раздел 4.

Знай, дорогой мой читатель, что немало славных русских имен вписано золотыми буквами в книгу развития науки математической! Таковы - Остроградский, Лобачевский, Ляпунов, Чебышев, Марков, Вороной, Золотарев, Федоров, Ковалевская и многие другие. И из ныне здравствующих наших математиков есть немало таких, которые обогатили мировую науку поистине высокими достижениями. Назовем хотя бы Виноградова, Бернштейна, Колмогорова... Да ведь вот беда: за редкими исключениями, для того чтобы хотя бы разобраться в том, какими вопросами они занимались, надо знать во много-много раз больше того, чем говорится в этой книге!

Теперь уж, кажется, все ясно, только надо сказать еще два слова тому, кто совсем не любит математику. Всякий понимает, что хочешь не хочешь, а считать-то надо уметь! Без этого не проживешь. А кто же такие эти ученые-математики? Чем они занимаются?

Каждый из нас слышал имя великого ученого Исаака Ньютона. Однажды он сказал, что геометрия, "будучи искусством точного измерения", была придумана людьми для того, чтобы мы, пользуясь чертежами, могли избегать утомительных вычислений. Другими словами, великий математик уверяет, что его наука дает нам возможность поменьше мучиться с вычислениями, а это ведь как раз и есть то, чего хочет человек, который не любит математики! Но когда наука идет вперед, постоянно упрощая для нас все более трудные задачи, она в то же время дает человеку гигантские силы, и он обретает возможность делать то, чего прежние поколения не могли изучить, попять и одолеть! Вот в чем самая сила, дорогой мой читатель, не забывай об этом.

- 6 -

Теперь, когда все самое главное уже высказало, читатель может еще спросить: "А почему же в этой книжке рассказывает о математике не ученый, а писатель?" Действительно, почему? Но, на этот вопрос давным-давно ответил великий писатель Земли Русской ЛЕВ ТОЛСТОЙ, который в своей работе "Что такое искусство?" 1897 г.) говорит: "Дело искусства состоит именно в том, чтобы делать понятным и доступным то, что могло быть непонятным и недоступным в виде рассуждений".

Автор считает своим приятным долгом выразить признательность научному редактору книги проф. И. Н. Веселовскому за целый ряд ценных указаний и поправок при редактировании.

- 7 -

Схолия Первая.

 Сделать закладку на этом месте книги

в которой наш любезный читатель знакомится...

Впрочем, может быть, ты еще не совсем понимаешь, что такое схолия? Схолия, видишь ли, - это нечто очень интересное, и как-нибудь немного погодя я тебе все это изложу подробно. Ну, а теперь, конечно, ты уж и сам смекнул, что эта книжка рассчитана на довольно догадливых молодых людей. Знаешь ли ты, кстати сказать, что такое Эратосфеново решето? Если не знаешь, то я тебе и об этом тоже кое-что расскажу. Отсюда совершенно ясно, что я буду рассказывать, а ты, разумеется, будешь на ус мотать. А именно это-то и называется теперь у нас играть в схолии. Итак, внимание!

Начинается Схолия Первая, в которой читатель знакомится с Илюшей Комовым, со всей его семьей и с одним очень странным существом, про которое весьма трудно сказать сразу, было оно или никогда и не бывало...

Дело клонилось к вечеру, и пора уже было лампу зажигать.

- Илюша! - сказала мама довольно настойчиво.

Она сказала это уже в третий раз, и на этот раз Илюша даже попытался ответить маме, но, кроме неясного мычания, никто ничего не разобрал.

- 8 -

Налька, сестра Илюши, которая сидела у окна и упивалась “Графом Монте-Кристо”, отвела глаза от книжки, хотя оторвать Нальку от чтения было не так-то просто. Но она всегда заступалась за Илюшу перед мамой, хотя с маминой точки зрения можно было обойтись и без этого.

- Мама, он сейчас, - сказала Наля.

- Это я уже слышала.

Тут и Илюша обрел дар речи.

- Мама, - произнес он в высшей степени убедительно, - я, честное слово... сейчас...

Папа опустил газету и сказал:

- Ну, Илюша, брось-ка ты эти свои пустяки и садись есть кашу.

Илюша встал со стула, но почувствовал себя оскорбленным в своих лучших чувствах.

- Папа, - ответил он, - у меня задачка не выходит!

- Задачка твоя от тебя никуда не уйдет, - возразила мама, - а каша стынет. Поешь, а потом возись хоть до света со своими задачками.

Илюша сердито уселся за кашу, взял ложку и принялся есть с большим аппетитом.

А затем мама убрала со стола, зажгли лампу. Потом Наля начала позевывать и не без сожаления захлопнула растрепанный том "Монте-Кристо". Илюша изгрыз весь кончик карандаша, а папа прочел всю газету. Мама сказала:

- Илюша, ты что же, правда до света сидеть намерен?

Илюша посмотрел на нее с чувством жестокой обиды. Ему хотелось ответить... Но он покосился на папу и решил отложить этот разговор, потому что папа очень плохо разбирался в препирательствах Илюши с мамой и обычно прекращал их в ту же минуту, совершенно не желая входить в обсуждение того, кто прав и кто виноват.

- Покажи папе, - предложила мама.

Илюше очень хотелось ответить: "И не подумаю", но вместо этого он вздохнул, взял задачник и медленно подошел к папе, разглядывая по дороге в сотый раз непослушную задачку.

Папа взял книгу.

- Так, - заметил он спокойно, - ну что ж тут такого?

Покажи-ка, как ты делал.

Илюша притащил тетрадку.

- Н-да, - сказал папа, - начал правильно. А теперь надо кончать. Скобки раскрывать раньше времени незачем. Ничего тут особенного нет.

Илюша посмотрел на папу, потом на пол.

- Не выходит! - сообщил он, хотя понимал, что повторять это и бесполезно и не так уж приятно.

- 9 -

- Не торопись, - ответил папа, отдавая ему тетрадку, - подумай. Это у тебя что такое?

Илюша посмотрел на строчку, которую указывал ему папин палец, и ничего не сумел ответить.

- Ну? - спросил папа.

Илюша посмотрел еще раз на спокойное папино лицо, потом на непонятную строчку и снова не ответил ни слова.

- Наверху у тебя что? - спросил папа.

- Разность кубов.

- Так. А внизу?

А что было внизу, в знаменателе, этого-то Илюша и не знал.

- Квадратный трехчлен! - сказал папа. - Неужели ты не знаешь? Проспал в классе?

- Ничего не проспал! - обиженно пробормотал Илюша.

- Допустим, - отозвался папа, - что не проспал. Но тогда - в предположении, что ты не проспал, - ты должен знать. А?

У папы была пренеприятная манера: если ему что-нибудь вот так пробурчишь, то он начинает говорить несколько насмешливым и совершенно безразличным тоном, и тогда уж от него толку не добьешься. Вот и сейчас как раз так и вышло.

Илюша взял задачник и тетрадку и поплелся обратно. "Квадратный трехчлен? .." Да, кажется, действительно было что-то, в этом роде, по что именно, припомнить было невозможно.

- Илюша, - сказала мама, - я тебе постелила. Ложись лучше спать. А завтра утром встанешь и на свежую голову сделаешь.

Илюша молча поглядел на маму. Завтра утром надо идти в школу, а идти с нерешенной задачкой не больно-то весело.

Наля ушла спать. А часы подумали, зашипели и пробили одиннадцать. Глаза у Илюши начали слипаться, а задачка все не выходила.

Мама тихонько сказала папе:

- Ну покажи ему.

А папа так же тихонько ответил:

- Что за баловство? А если бы некому было показать? Что тут для него интересного, если я покажу? Интересно самому добиться.

Папа встал с дивана и вышел. Мама тоже ушла. Илюша сидел, подпершись кулаком, и без всякого толку разглядывал довольно простой, но совершенно непонятный ответ в конце задачника.

- 10 -

Стало совсем тихо. Илюша попробовал было закрыть глаза, но быстро их вытаращил, потому что оказалось - глаза только этого и дожидаются да того и гляди сами закроются. Он сердито встал со стула, подошел к папиному столу, постоял, потом осторожно вытащил из стопки папиных книг одну наудачу, открыл и погрузился в непонятные рассуждения о паровых котлах. Перевернув рассеянно две странички с запутанными диаграммами, он уткнулся в формулу, где около хорошо известных ему алгебраических знаков стояла какая-то длинная черная закорючка, у которой был вид важный и неприступный. "Да-а! - подумал Илюша. - Ему хорошо, папе, если он и таких штук не боится. Что ему моя задачка!.." Положил аккуратно книжку на место, уселся за свой стол и погрузился в самые неопределенные раздумья...

Какой-то странный легкий шелест донесся до его слуха.

Илюша не обратил никакого внимания, но настойчивый шорох повторился и заставил его обернуться. И тут он увидел нечто удивительное.

Страница лежавшего перед ним на столе задачника тихонько шевелилась и вроде как поскрипывала, как будто под ней что-то ползало. Илюша недовольно сморщился, сообразив, что под лист забралось что-то вроде таракана. И как только он это подумал, справа из-за края страницы показались два тоненьких усика этого пройдохи, который - извольте радоваться! - нашел себе место для прогулок.

- Постой! - угрожающе прошептал Илюша и осторожно протянул руку, норовя половчее ухватить незваного гостя за его длинные усищи.

Но как только он их коснулся, немедленно отдернул руку, воскликнув: "Ах ты! Чтоб тебя!..", ибо эти усики сразу сомкнулись и так ущипнули его за палец, что он света невзвидел.

- Это что еще за новости? - сказал рассерженно Илюша, разглядывая красненькое пятнышко на пальце. - Да разве это таракан? Это прямо...

А под страницей опять что-то зашуршало, и какой-то тоненький голосок спросил укоризненно:

- А в каком смысле прямо, молодой человек?

Однако оцепеневший от удивления молодой человек не мог сообразить, кому и что именно надлежит отвечать на этот неожиданный вопрос.

- 11 -

Пока он размышлял над этой внезапно возникшей проблемой[2], страница задачника медленно перевернулась, а нижний ее край плавно завернулся внутрь, будто кто-то собирался эту страничку свернуть в фунтик. Илюша в удивлении протер глаза. Через мгновение некое престранное существо выпустило из крохотной своей лапки кончик странички, фунтик развернулся, и листок задачника лег на свое место. А странное существо спросило Илюшу тем же тоненьким голоском:

- Так как же это, молодой человек, насчет прямо, а?

Что вы, собственно, имели в виду мне сказать?

Илюша вытаращил глаза на своего небывалого собеседника. Важный тон этого существа совершенно не соответствовал его комариному голоску. Крохотный блестящий глазок его был чуть побольше булавочной головки, однако смотрел так покровительственно-насмешливо, что Илюша даже немного оробел.

Мальчик промолчал целую минуту и наконец спросил:

- А кто ты такой?

Собеседник снисходительно ухмыльнулся и спросил в свою очередь:

- Неужели не узнаешь?

Илюша в недоумении пожал плечами.

Перед ним на страничке задачника стоял маленький, примерно в сантиметр ростом, знак квадратного корня.

Та длинная черта направо, под которой до сих пор люди добрые писали подкоренное количество, у него раздваивалась, как клюв, а на том месте, где обычно пишут показатель корня, сверкал хитро прищуренный глаз. А слева у него была крохотная ручонка, которая в настоящий момент сделала довольно выразительный жест, который как бы говорил: "Ну-с. молодой человек?.."

- 12 -

Схолия Вторая,

 Сделать закладку на этом месте книги

из каковой любознательный читатель... А что же такое все-таки схолия? Это, видишь ли, нечто вроде... Кстати: ты, друг-читатель, помнишь теорему Виеты? Не помнишь? Проспал, вроде как Илюша квадратный трехчлен? Ах, ты совсем не знаешь? У вас не проходили? Ты болел? Так, может быть, ты еще мал? Другими словами, тебе еще рано играть в схолии?..

Итак, в Схолии Второй читатель узнает, как Илюша познакомился поближе с тем самым странным существом, о котором автор этой удивительно правдивой книжки даже и сам не в состоянии толком сказать, было оно или не было.

- Послушай, - начал осторожно Илюша, - может быть, все это мне снится?

- А может быть, и не снится?.. - совершенно тем же тоном отвечал ему новый знакомый.

- Нет, - возразил мальчик, - я так не могу. Ничего не понимаю.

- А как же ты можешь?

- Не знаю, - отвечал Илюша.

- Очень мило! - отвечал ему собеседник с довольно ехидной улыбочкой. - Так мы и запишем: пункт первый - ты не можешь, пункт второй - ты не знаешь. И будем полагать сию тему исчерпанной. И, значит, начнем все сначала.

- 13 -

И тут Илюша, поеживаясь от недоумения, увидел, что его новый знакомый уже вырос примерно до метра ростом и что он, оказывается, сделан из какого-то блестящего синеватого металла. И оба они стоят в какой-то неизвестной до сих пор Илюше маленькой комнате, а прямо перед ними стена, которая отдаленно напоминает классную доску.

Илюшин знакомец состроил очень гордую мину и не то что проговорил, а, можно сказать, провозгласил:

- Мое имя Радикс, что означает по латыни "корень".

Ясно?

- Ясно, - торопливо пробормотал Илюша, вдруг потерявший способность противоречить.

- А это что такое? - спросил Радикс, указывая на темную стену.

Илюша поднял глаза и увидел на стене ряд алгебраических знаков. Знаки были все знакомые, но Илюше было как-то не по себе оттого, что знаки эти не стояли на месте, а толкались, бродили по всей стене из стороны в сторону, то собирались кучками, то вновь расходились.

- Квадратный трехчлен! - вдруг скомандовал Радикс, да так зычно, что Илюша даже вздрогнул.

- 14 -

И в тот же миг на стене воцарился полный порядок.

А Илюша в великом смущении увидел следующее:

(x+a)(x+b) = x2 + (a + b)x + ab.

x2 + 10x + 9 = (x+1)(x+9)

- Фу, какая ерунда! - воскликнул он. - И угораздило же меня такую простую вещь позабыть?

- Отсюда совершенно ясно, - продолжал Радикс, - что поскольку... Впрочем, этот маленький инцидент тоже можно полагать исчерпанным. Не правда ли?

Илюша еле выдавил из себя неопределенное мычание.

Но все-таки он несколько приободрился.

- Так вот, - вымолвил Радикс, - скажи, пожалуйста, как ты относишься к песенкам?

- К песенкам? .. - нерешительно повторил мальчик, не понимая, куда он клонит. - Да, в общем... как тебе сказать... ничего отношусь.

- Так не спеть ли нам песенку?

- Какую?

- А вот увидишь. Повторяй за мной и не сбивайся.

А ну-ка!

И они запели следующую песенку:



Кто усидчив и проворен,
Тот нигде не пропадет.
Он посмотрит прямо в корень...
То есть нет, совсем не в корень,
Нет, не в корень, а под корень,
Карандашик погрызет,
Поглядит и извлечет.
Кто усидчив и проворен,
Тот нигде не пропадет!


Песенка понравилась Илюше, а самое главное - Илюша заметил, что песенка эта волшебная. Волшебство же ее заключалось в том, что хоть Илюша никогда ее не слыхал, он ни разу не сбился, когда пел ее.

- Ну, что ты скажешь? - вопросил Радикс. - Ты ведь понимаешь, что автор этой песенки я, а автора хлебом не корми, а только похвали. Что ж ты не хвалишь мою песенку?

- Очень хорошая песенка, - торопливо выговорил Илюша как только мог любезно, - но только, видишь ли, мне очень стыдно, что я запутался и забыл эту формулу...

- А у нас об этом, - вкрадчиво отвечал ему собеседник, - еще будет случай потолковать по душам. Не бойся, но забудем!

- 15 -

А пока поставим точку. Вопрос исчерпан. Вернемся лучше к песенке. Усвоил ли ты ее содержание?

- Содержание... - отвечал несколько ошеломленный Илюша, - я усвоил. То есть, видишь ли...

Тут Радикс глянул на мальчика очень важно.

- Хм... - протянул он. - Усвоить содержание дело хорошее. Но что бы ты мог ответить на эту песенку?

Илюша посмотрел на Радикса, помолчал, потом сказал:

- Может быть, если бы я просто попробовал разложить этот трехчлен на множители, вместо того чтобы сидеть да злиться, так он бы разложился в лучшем виде и я бы все вспомнил?

- Вот это дело! - воскликнул Радикс. - Хорошо сказано.

Поддерживаю и присоединяюсь... А поскольку это действительно так, то я готов предложить тебе в качестве премии еще одну песенку. Тут, видишь ли, вот какая история...

При этих словах Радикс задумчиво почесал себе бровь (потому что затылка в его распоряжении не имелось).

- Кто-то мне недавно говорил, уж не помню кто, будто ты любишь математику...

- Конечно, люблю. И даже очень, - отозвался немедленно мальчик. - Да ты не думай, пожалуйста, что я хвастаюсь! Сам Василий Иваныч в классе говорил, что мы у него с Колькой Неверовым математический актив.

- А ведь это, братец, довольно ответственное звание -"математический актив", если положить, к примеру, что Василий Иваныч говорил всерьез.

Илюша замялся. Ему хотелось согласиться, а все-таки немножко неловко самому о себе говорить как о "довольно ответственном математическом активе"...

- Ничего, брат, не поделаешь, - отвечал Радикс. - Хочешь быть в математическом активе, так нечего трусить. Давай попробуем?

Илюша не знал, что на это ответить, и спросил:

- А про какую ты песенку говорил?

Радикс улыбнулся, стал рядом с Илюшей и протянул ему свою руку.

- Это будет, - сказал он, - совершенно новая и особенная песенка - и заметь: она с секретом. Внимание!



Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках,
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.
О мышах довольно юрких,
В аккуратных серых шкурках.


- 16 -



Слюнки капали с усов
У огромных серых сов.
Вот как жили-поживали
Эти совы на суках -
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.


- Песенка хорошая, - сказал Илюша, - только я не совсем понял, в чем тут дело.

- Я ведь тебе сказал, что песенка эта с секретом. Дано: совы, мыши и так далее, рифмы, строчки и все такое. Спрашивается: о чем повествует данное сочинение?

Илюша думал, думал, но придумать ничего не мог.

- Слабо, слабо! - отозвался собеседник. - Тогда вот ты мне что скажи: слыхал ли ты что-нибудь о музах?

- Слыхал, - отвечал мальчик. - Это такие, вроде богинь у греков были, и они разными искусствами занимались: одна театром, другая стихами, и так далее.

- Справедливо! А тебе никогда не приходилось слышать, чтобы эти музы действовали хором?

- Хм... - протянул Илюша. - Постой-ка, я как будто бы что-то слышал на этот счет... только не помню что.

- А насчет любви к родному краю?

- К родному краю? .. - удивился Илюша. - А-а! Стой-ка, я, кажется, теперь вспомнил. Это такие стихи, мне их папа уже сколько раз читал. Их сочинил Валерий Брюсов:



Свой хор заветный водят музы
Вдали от дольних зол и бед.
Но ты родные Сиракузы
Люби, как древле Архимед.


Ты об этом говорил?

И так как Радикс подмигнул, мальчик воскликнул:

- Понял! Это ты спел песенку про архимедово число. Двадцать две совы на суках, то есть наверху, - это числитель. А семь мышей - те внизу, это знаменатель. Выходит дробь двадцать две седьмых, отношение окружности к диаметру. Только ведь это не очень точное значение! У папы в справочнике я видел это число π с пятнадцатью десятичными знаками, а папа говорит, что на самом деле этим знакам и конца нет. Впрочем, папа сказал, что очень уж много знаков и не нужно. А все-таки хочется запомнить побольше. Да никак не запомнишь!

- 17 -

- Это пустяки! - сказал Радикс. - Могу помочь тебе и выдумать хоть тысячу песенок для этого, и все будут разные.

Про что хочешь? Про длинное π? Так я такое π тебе подарю, что с ним ты можешь делать микроскопы, телескопы и все, что хочешь. Только эту высокоторжественную песенку надлежит петь погромче:



Гордый Рим трубил победу
Над твердыней Сиракуз.

Но трудами Архимеда
Много больше я горжусь.
Надо нынче нам заняться,
Оказать старинке честь.

Чтобы нам не ошибаться,
Чтоб окружность верно счесть,
Надо только постараться
И запомнить все как есть:

Три - четырнадцать - пятнадцать -
Девяносто два и шесть!


Ну-с! - произнес Радикс. - Вот мел, во


убрать рекламу




убрать рекламу



т тебе плоскость, то есть стена, она же доска, пиши!

Илюша взял мел и написал на стене:

3,1415926...

- Ясно. Теперь не забуду. Превосходная песенка!

- Песенка полезная, - отвечал, задумчиво улыбаясь, Радикс. - Ты можешь быть уверен, что это приближенное значение π годится для самого точного расчета, потому что если ты возьмешь даже не семь, а только шесть знаков, то и тогда получишь прекрасные результаты. Если, например, вычислять длину окружности, диаметр которой равен одному километру, то ошибка будет меньше миллиметра... В пятом веке нашей эры китайские математики предложили дробь 355/113 в качестве приближенного значения π. Эту дробь запомнить нетрудно.

Напиши по два раза три первых нечетных числа - единицу, тройку и пятерку, - то есть 113355, раздели эти шесть цифр на две группы, по три цифры в каждой: вторая будет числителем, а первая - знаменателем. Просто и ясно!

- Ловко! - ответил Илюша улыбаясь.

- Кстати, - добавил Радикс, - известно ли тебе, что египтяне полагали, что площадь круга равна квадрату восьми девятых диаметра? Если ты припомнишь формулу площади круга, то легко можешь найти, чем египтяне заменяли π. И тогда увидишь, что египетское приближение не так уж плохо.

- 18 -

Вавилонские математики - древние звездочеты, халдеи - иногда считали π равным просто трем. Они исходили из того, что радиус шестикратно помещается в окружности в качестве хорды, и это деление круга сперва на шесть частей, а потом на двенадцать и привело к первому, очень неточному значению числа π, которое было принято равным 3,0. Это же значение приводится дважды и в библии. А индусы полагали, что корень квадратный из десяти очень близок к числу π. Ты это и сам легко можешь проверить на бумажке[3]. Тебе, быть может, небезынтересно будет узнать, что в первом русском учебнике математики, в "Арифметике" Леонтия Магницкого, которая вышла в свет в самом начале восемнадцатого века, первое значение для π, которое узнали на Руси, как раз и было архимедовым числом, то есть равнялось двадцати двум седьмым.

И если ты действительно любишь математику, то так и быть, я могу тебе подарить на память о нашей встрече совершенно замечательное приближение для π. В нем довольно много знаков, а нашел его математик Шэнкс лет восемьдесят тому назад. Я так полагаю, этого тебе хватит! Вот оно какое:



π = 3,
14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288
41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164
06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148
08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172
53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211
05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975
66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120
19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482
13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315
5S817 48815 20920 96282 92540 91715 36436
78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841
46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953
09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446
23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381
83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021
39...[4]


В этот самый миг вдруг где-то сбоку раздалось оглушительно-грозное громыхание, а вслед за ним послышался такой пронзительный шип, что Илюша даже вспомнил, как шипит паровоз, когда машинист выпускает пар. Только здесь, видимо, шипел не один паровоз, а штук десять сразу...

- 19 -

Илюша невольно посмотрел на Радикса и очень удивился. На тощем личике Радикса был написан неподдельный ужас.

Его длинный клюв-ротик раскрылся, зубы стучали, глаз вытаращился.

- Что такое? - спросил шепотом Илюша.

- Тесс! .. - зашипел на него Радикс. - Молчи, молчи! Может быть, это еще и не он... И зачем я только вылез из моего милого родного задачника!

- Да что такое? - переспросил Илюша, которому тоже стало жутко. А когда он снова поглядел на Радикса, то заметил, что его новый знакомец делается от страха все меньше и меньше, и шепот его едва доносился до мальчика.

- Кажется, - пискнул он снизу еле слышно, - я должен погибнуть!

И в тот же миг перед Илюшей внезапно появился большой светлый квадрат. По нему пробегали какие-то странные тени, так что Илюше показалось, что у этого квадрата есть рожица, которая уставилась на Радикса самым ехидным образом, как будто говоря: "Вот ты где попался, голубчик!" А затем рожица показала язык Радиксу.

- Что это? - прошептал мальчик.

- Квадрат! - раздался комариный голосок Радикса откуда-то с самого пола. - Сейчас он меня... того... возведет!..

Возведет... и крышка!

Как ни струхнул Илюша в эту минуту, но все-таки сообразил, что действительно, если его приятеля Радикса возведут в квадрат, то от него не много останется.

А светлый квадрат, корча страшные рожы и плотоядно облизываясь, все приближался.

- Послушай... - простонал несчастный Радикс.

Но тут снова раздался пронзительный свист, который заглушил слова Радикса, и перед Илюшей поднялась большая серая туча, в тени которой сперва померк, а затем и совсем исчез сердитый квадрат. И вот тут-то из этой огромной тучи со страшным свистом вырос громадный черный змий, ростом примерно с трехэтажный дом. Где-то высоко покачивалась, изящно согнувшись, его тонкая головка, а над ней сиял драгоценным пламенем какой-то странный знак вроде перевернутой набок восьмерки. Илюша смотрел на это невообразимое чудовище со смешанным чувством удивления, страха и любопытства. Он смутно припоминал, что этот грозный гигант ужасно похож на что-то такое, что он совсем недавно видел в одной папиной книжке.

- 20 -

- Величайший Змий! - еле пискнул снизу Радикс.

Тут серая клубящаяся туча рассеялась, и мальчик увидел во весь рост этого колоссального Змия с его согнутой вправо шеей и загнутым влево хвостом. Змий взглянул на мальчика равнодушно и надменно, но глаза его блеснули холодным пламенем, когда он заметил несчастного, крохотного Радикса, который теперь стал ростом с Илюшину ладошку и совершенно растерялся от ужаса.

Сверху раздался страшный, размеренно медленный, словно металлический голос.

- Кто, - произнес он важно, - в дивных владениях ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА осмеливается без должного почтения упоминать имя нашего прославленного учителя, великого Бриарея геометрии и защитника прекрасных Сиракуз?

- Величайший! - простонал насмерть перепуганный Радикс. - Величайший! Многославный! Пресветлый Змий! Отец змиев!.. О ты, Колумб площадей и Васко да Гама объемов!

О могущественный покровитель винных бочек! Во имя учителей наших, преславного Кавальери, великого Паскаля, бессмертного Ньютона, счастливейшего из смертных...

- Умолкни, нечестивец! - грозно произнес Великий Змий. - Ты должен быть уничтожен за твою дерзость!

Тут Илюша не выдержал. Уничтожать бедного Радикса только за то, что он показал ему π, вычисленное с такой замечательной точностью, показалось Илюше совершенно невыносимой жестокостью.

- Глубокоуважаемый Великий Змий, - сказал Илюша твердым, хотя и дрожащим голосом, - я, конечно, только еще в восьмом классе, но ведь он не нарочно! Просто он мне рассказывал про длинное π. Правда, он не виноват!

Блестящие очи Змия обратились к Илюше и как будто только впервые заметили его.

- Мальчик... Человечье дитя! Как он сюда попал?

- 21 -

Схолия Третья,

 Сделать закладку на этом месте книги

при помощи каковой любознательный читатель узнает еще много интересного о приключениях глубокоуважаемого Ильи Алексеевича в дивных владениях ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА. Здесь он встретит известное страшилище, по имени Элефуга, почтенного старца, которому недавно пошел семьсот сорок четвертый годик от роду. Затем появляется еще один персонаж, не столь квадратный, сколь насмешливый, и отправляет Илюшу в довольно скучную прогулку, во время которой наш герой встречает очень маленького, но весьма проворного попутчика, а по дороге внезапно выясняется, что правая рука может иногда вывести человека из большого затруднения, если ему уж так не терпится познакомиться с очаровательной Розамундой. Имей в виду: все, что говорится в этой схолии, чистая правда, что и будет доказано в Схолии Четвертой more geometrico, то есть по обычаям геометрии.

Илюша беспомощно оглянулся и не сразу рассмотрел Радикса, который уныло глядел в сторону и вид у него был такой, как будто под его черту не число поставили, а одну только запятую от десятичной дроби и дожидаются, что ж он теперь будет делать?.. Громадный Змий посматривал со своей высоты на Илюшу и, по-видимому, дожидался ответа. Вид у него был довольно суровый. Илюша хотел было сказать, что он просто запутался с квадратным трехчленом, но только и мог произнести: "Я..." - и на этом замолк.

- 22 -

- Ты? - вопросительно повторил Великий Змий, не спуская с него своего немигающего взора, который просто насквозь пронизывал Илюшу.

И вдруг Илюша не выдержал и решительно сказал:

- Мне хочется посмотреть, и... мне интересно! Я хочу узнать! Да!

- Что же ты хочешь посмотреть, мальчик? - спросил Великий и Совершенный Змий, отец змиев.

- Я, - сказал Илюша, - очень люблю математику...

И если у меня эта задачка не выходила, так это не оттого, что я лентяй. Мне хочется посмотреть и узнать... про все.

- Про все? - спросил Змий, видимо немного удивленный. - А не много ли ты хочешь?

- Не знаю. Только я буду очень стараться, потому что мне интересно, и вообще... я хочу быть математиком!

- А может, лучше из рогатки? - спросил Змий, и Илюше показалось, что это страшное чудовище насмехается над ним. - Или волейбол, например? - продолжал Змий. - Саженками наперегонки? На лыжах с горки?

- Саженками я хорошо умею, - отвечал Илюша, вспомнив, как приятно плыть через речку в прохладной воде, а над головой у тебя звенят синекрылые стрекозы, - и волейбол тоже штука хорошая. - Только мне хочется быть математиком.

- Так, - сказал Великий Змий. - Но ты понимаешь, что это не так просто? И не струсишь?

- Нет! - твердо ответил Илюша. - Трусить не буду. Только. .. вы, пожалуйста, простите Радикса...

- Посмотрим, - медленно и надменно процедил Волшебный Змий сквозь зубы таким тоном, который не предвещал ничего хорошего.

И вслед за этим он медленно расплылся в воздухе и исчез.

Илюша облегченно вздохнул, обернулся и с трудом заметил внизу малюсенький радикал, не больше двух миллиметров ростом.

- Ну, видишь, он ушел! - сказал ему Илюша. - Значит, он не сердится.

- Не сердится! - отвечал Радикс, понемногу вырастая до пяти сантиметров. - Плохо ты его знаешь. Вот начнут теперь тебя водить по Великим Испытаниям, тогда посмотрим, что ты запоешь!

- А что такое Великие Испытания?

- Вот увидишь, - уныло произнес Радикс. - Не обрадуешься. .. Однако, разумеется, коль скоро он сказал...

- Что значит "коль скоро"? - спросил Илюша.

- "Коль скоро" - значит "если", - грустно отвечал Радикс.

- 23 -

- А почему же ты не говоришь просто "если"?

- "Почему, почему"!.. - сказал Радикс рассердившись. - Так полагается.

Например: коль скоро мальчик пристает к почтенным и таинственным существам с разной чепухой, он, возможно, подвергнется физикальному поучению, например, получит березовой каши сколько влезет. Угощение на славу.

- Ну что это такое! - воскликнул возмущенный Илюша. - Я думал, ты что-нибудь объяснишь...

- Как сказать! Роджер Бэкон, который жил в тринадцатом веке и которого звали Доктор Восхитительнейший и считали колдуном, хотя он просто был замечательный по тем временам физик и философ, утверждал, что только розгами и можно вогнать в мозги ученика первые четыре теоремы из одного старинного учебника геометрии, а пятая теорема уже называется Элефуга, что значит "бегство несчастного".

- А сам-то он все-таки не убежал! - с торжеством ответил Илюша. - Да и я, например, всю уж планиметрию прошел, и без всякой березовой каши.

- Н-да, - неохотно отозвался Радикс и, помолчав, добавил: - А знаешь, что это была за теорема, о которой говорили такие страшные вещи? Вот что она гласит: "В равнобедренных треугольниках углы при основании равны, а если продолжить равные стороны, то и углы под основанием равны". Как по-твоему: трудная теорема?

- По-моему, нет, - ответил Илюша. - Чего ж тут трудного? Я бы так поступил: перегнул бы треугольник по высоте, то есть по оси симметрии. По-моему, простая теорема.



- Ну вот, - отвечал Радикс, - так представь себе, в давние времена ее еще называли "ослиным мостом", то есть таким местом, дальше которого упрямого лентяя сдвинуть невозможно. А впрочем... Сейчас ведь дело-то не в этом.

В это время слева раздались какие-то очень четкие шаги - раз, два! раз, два! - вроде маршировки... Илюша не спеша обернулся и увидел престранного человечка, у которого вместо головы был квадрат, перечеркнутый из угла в угол двумя диагоналями, а с обоих боков этот квадрат замыкался двумя дугами. Странная рожица довольно ехидно ухмылялась.



- 24 -

- Начинается! - пробормотал Радикс с досадой.

- Привет! - сказала квадратная рожица, уморительно гримасничая. - Привет, прелестный мальчик, очень рады вас видеть! Давно дожидаемся. Любопытство тоже вещь не лишняя, как сказал один толстый сом, проглотив утенка, который собирался клюнуть его в самый ус.



- Эх, - сказал Радикс на ухо Илюше, - ведь вот пришлют тебе такую ехиду! Всю душу вымотает.

- Прошу вас, очаровательный юноша! - галантно произнесла квадратная рожица, отвешивая низкий поклон и расшаркиваясь. - Будьте уж так любезны, снизойдите к этой маленькой прогулке.

В высшей степени важно для моциона, как сказал один рассеянный паренек, споткнувшись о здоровенную тумбу...

Илюша посмотрел на Радикса и увидел, что его новому другу вовсе не охота на все это смотреть... Перед Илюшей вдруг выросла синеватая стена, а в ней небольшое круглое отверстие, через которое можно было пролезть.

- Замечательно уютная прогулка! - сообщил квадратнорожий человечек. - Прелестная Розамунда ждет не дождется вашу милость. У нее там масса всяких развлечений. Прошу вас, не стесняйтесь.

Илюша, не совсем понимая, куда клонят эти загадочные речи, все же полез в отверстие. Радикс было сунулся туда же, но квадратнорожий человечек погрозил ему пальцем. Илюша оглянулся и понял, что остался один. Он пошел по длинному коридору, который, петляя, заворачивал то в одну, то в другую сторону; несколько раз он проходил в какие-то двери и опять шел по бесконечным переходам, выходил на перекрестки, сворачивал, попадал в тупики, возвращался и снова поворачивал и, наконец, стал замечать, что уже не может понять, был он на этом месте или только что пришел сюда в первый раз. Тогда он решил вернуться, но и это оказалось очень трудно: невозможно было сообразить, в какую сторону идти. Он пошел наугад, дошел до синеватой стены, остановился и, покопавшись в кармане, достал кусочек мела. Потом, двинувшись дальше, стал ставить крестики у поворотов. Наконец, когда уж он совсем выбился из сил, он увидел знакомое круглое оконце, вылез в него и увидел унылую фигуру Радикса.

- Ну-с, - сказал Радикс, весьма кисло усмехаясь, - как тебе понравилась прелестная Розамунда?

- 25 -



- Какая там Розамунда! - грустно произнес Илюша. - Ходил, ходил по этим закоулкам... и...

- И вернулся не солоно хлебавши, - резюмировал Радикс.

- Я пойду опять, - сказал Илюша. - Ведь не может быть, чтобы нельзя было пройти?

Радикс промолчал, а Илюша снова полез в оконце. На этот раз он пошел в другую сторону. Снова попал в какую-то дверь, и опять пошли одинаковые коридоры, нескончаемые тупики, повороты, петли, перекрестки с несколькими дверями, и он по пять раз возвращался на то же самое место.

- Вот мучение! - сказал Илюша, а потом позвал: - Радикс! А, Радикс!

- У телефона, - ответил ему голос Радикса неизвестно откуда.

- Как глупо! С тобою серьезно, а ты тут с телефоном каким-то...

- Ах, глупо? - ответил Радикс неизвестно откуда. - Кладу трубку.

- Нет-нет, не надо! - заторопился Илюша. - Я хотел тебя спросить: хорошо, что я ставлю крестики?

Наступила полная тишина.

- Радикс! - позвал Илюша.

- Я вас слушаю.

- Что же ты не отвечаешь?

Опять тишина.

- 26 -

- Фу! - сказал Илюша. - Ну, тогда так. Если ты молчишь, то я буду так считать: молчание есть знак согласия. Ты слышишь?

- Радикс у аппарата.

- Ну, так как же?

Опять наступило молчание. Илюша решил рассматривать это как утвердительный ответ. И снова пошел дальше. Еще несколько раз он попадал в новые двери, но неизменно выходил все к той же синеватой стене. Наконец опять позвал Радикса.

- Кто говорит? - спросил Радикс важно.

- Точно ты не знаешь! - сказал обиженно Илюша. - Ты мне скажи... Это, наверно, лабиринт? Да?

Полная тишина была ему ответом.

- Где-то я, в какой-то книжке видел, - грустно продолжал Илюша, не дождавшись ответа, - только там с карандашом не так уж трудно...

- Еще бы! - отвечал невидимый Радикс. - Там перед тобой план, ты все видишь, а вот когда его нет...

И Радикс снова умолк, Илюша обрадовался. То, что сказал сейчас Радикс, показалось ему косвенным утвердительным ответом на его вопрос о лабиринте. Он вспомнил: в этой книжке было прямо сказано, что непроходимых лабиринтов не существует.

После долгих блужданий и размышлений Илюша так устал болтаться по этим совершенно голым коридорам, что стал опираться рукой на стену. И тогда вдруг ему пришло в голову, что если он идет вперед и не отпускает правую руку от стены, то, значит, уже наверное куда-то двигается, а не просто путается, ибо самое неприятное было в том, что никак не поймешь - был ты здесь или нет. А таким образом как будто можно исследовать весь лабиринт или, на худой конец, хоть часть его...



Вдруг из-за угла какой-то маленький зверек с яркой лампочкой на лбу опрометью бросился к Илюше, остановился, будто в недоумении, поводил туда-сюда своей лампочкой-глазком... Снова куда-то стремглав бросился и исчез. Немного он напоминал мышку.

Илюше пришло в голову попробовать определить, что именно он имеет в виду, когда говорит сам себе, что хочет "исследовать ту или иную часть лабиринта".

- 27 -

Подумав, он решил начать с самого простого - с тупика. Что значит исследовать тупик, если ты идешь, касаясь правой рукой его стены? Это значит, что дойдешь до его замыкающей стенки, пройдешь вдоль нее, а потом выйдешь из тупика Назад, касаясь степы той же правой рукой.

Но касаться ты будешь уже не той стены, которая была справа, когда ты вошел в тупик, а другой - противоположной. Ты пройдешь таким образом тупик два раза, туда и обратно. Если ты попадешь в петлю, то можешь ее рассматривать тоже как тупик, но с некоторым островком посредине.

Ты пройдешь всю петлю и вернешься к тому месту, с которого начал. Островок все время будет находиться слева от тебя, и если в нем нет дверей, то можно им и не интересоваться.



- Самое, по-видимому, опасное в лабиринте, - рассуждал Илюша, - это не вовремя сменить руку, ибо если ты, идя по петле мимо островка, сменишь руку и будешь держаться стены островка, то так и будешь ходить вокруг этого островка.

А ошибку эту очень легко не заметить, потому что петля может быть очень сложной.

Сделав еще несколько шагов, мальчик остановился и сказал себе:

- Кажется, я придумал! Дело в том, что поскольку у лабиринта есть только один вход, то, во всяком случае, это правило правой руки дает возможность вернуться к выходу, как бы далеко я ни зашел. Кажется, я придумал!

Снова откуда-то выскочила та же мышка и, не останавливаясь, промчалась в обратном направлении...

Тут Илюша снова позвал Радикса. Прошло несколько секунд, и он услыхал ответ:

- К вашим услугам!

- Послушай, Радикс, - осторожно начал Илюша, - как ты думаешь, если я буду все время - держаться правой рукой за стену? То есть, конечно, можно и левой, но только все время одной и той же рукой. По-моему, тогда уж я не могу здесь заблудиться.

Воцарилось полное молчание. Илюша подождал, подождал и еще позвал Радикса. Но на этот раз тот совсем не отвечал.

Илюша сперва было струхнул, а потом подумал, что, быть может, столь глубокое молчание как раз и означает, что он догадался... Но делать было нечего, Радикс не отзывался, и Илюша пошел дальше.

- 28 -

Долго он ходил из коридора в коридор и наконец, совершенно замучившись, вошел еще в какую-то дверь. И когда он в нее вошел, ему показалось, что он услыхал нечто похожее на чей-то очень тихий вздох облегчения. Он позвал Радикса, но ответа не было. Илюша радостно усмехнулся, теперь уже совершенно уверенный в том, что наконец попал на правильный путь, и с новыми силами двинулся дальше.

Навстречу ему сейчас же попалась мышка, которая бежала очень быстро. Добежала до Илюши, уткнулась в него носиком, отскочила, обежала его два раза кругом, а через минуту выскочила с другой стороны и опять умчалась...

Мышка была проворная и соображала быстро.

- 29 -

Схолия Четвертая,

 Сделать закладку на этом месте книги

с помощью каковой читатель знакомится с прелестной Розамундой и узнает, что красота этой особы имеет, как это ни странно, обратную сторону. Попутно выясняется, что эта гостеприимная красотка (а к ней не так-то легко попасть на прием), приходится тетушкой каждому гостю, который согласится пройти сравнительно небольшое расстояние вниз головой, а потом получить урок, как надлежит поступать с дамами, которые выходят из себя, а это прямиком подводит тебя к задаче, как из восьми квадратиков сделать сорок с лишним тысяч совершенно таких же. Читатель more geometrico может сам убедиться, что все, рассказанное в Третьей и Четвертой Схолиях этой удивительной книжки, сущая правда. Впрочем, если кто-нибудь этому не поверит, то горю помочь нетрудно. Ясно, что с карандашом в руках прогуляться по плану лабиринта - дело не очень хитрое. Но тот, кто пожелает испытать именно то, что испытал Илюша, гуляя по настоящему лабиринту, должен поступить иначе. Надо взять кусочек плотной бумаги, вырезать в середине его небольшое отверстие, чуть пошире коридорчика лабиринта на плане, наложить эту планшетку на план, как раз на вход в лабиринт, и двигаться вперед, передвигая отверстие вдоль коридора. Вот тогда читатель действительно попадет в положение Илюши, ибо он будет видеть только небольшой кусок коридора, по которому идет.

- 30 -

Описывать дальнейшее путешествие Илюши нет никакой надобности, потому что оно было совершенно таким же, как и раньше. Разница была только в том, что Илюша бродил там часа два, заходил в три дюжины тупичков, но ни разу не попал назад к синеватой стене, и это наполняло его надеждой.

Вскоре он вышел на довольно широкую площадку, где пол был зеленый, в разных красивых узорных прожилках, точках, петельках, линиях. Все было очень запутанное, но довольно приятное. А посреди площадки стоял маленький очень хорошенький домик, тоже изукрашенный разными узорами. Под самой его крышей висело множество серебряных колокольчиков, которые, едва только Илюша вышел на площадку, отзвонили какой-то очень веселенький марш и тут же повторили его еще раз.

Илюше так понравилась эта музыка, что он даже остановился послушать.

Затем музыка кончилась. Илюша немного подождал, но колокольчики больше не звонили.



- 31 -

Илюша подошел к этому необыкновенному домику, обошел его кругом и наконец нашел что-то вроде двери, которая почему-то была выпуклая, точно ее сзади долго гладили каким-то цилиндрическим утюгом.



Справа у двери внесла небольшая табличка, на которой аккуратно и четко было написано:

ПРИЕМ

от 22 часов утра до 10 часов дня

(перерыв на обед от 3 часов до 11 часов)

- Что такое? - пробормотал обескураженный Илюша. - Двадцать два часа - это десять часов вечера, а здесь написано "утра"? А десять часов... это опять вечером, а тут написано "дня"? Какой же это прием, когда он кончается в ту же секунду, когда начинается? И перерыв с трех часов до одиннадцати, целых восемь часов подряд они обедают! А в десять уже прием кончается. Что такое?

- 32 -

Илюша постоял, перечел табличку, еще раз убедился, что он ничего не понимает, пожал плечами и потом осторожно постучался.

- Ах, это вы, молодой человек! - раздался из домика пискливый и скрипучий голос. - Ах, как я тронута! Ах, как это мило, что вы наконец посетили бедную, всеми покинутую Розамунду! Ну, что же вы там без толку топчетесь, прелестный юноша? Идите прямо по двери.

Илюша снова взглянул на дверь в еще большем недоумении и спросил:

- То есть как это "по двери"?

- Очень просто, - отвечал скрипучий голос. - О великая богиня Лилавати! Почему судьба посылает ко мне таких отменных дураков, которые даже не умеют по двери пройти?

Говорят вам: идите, молодой человек, так извольте слушаться!

Молодой человек, которому поднесли такой отменный комплимент, почесал в затылке и занес ногу на дверь. Тут он заметил, что выпуклая дверь, как только он на нее наступил, начала как-то странно изгибаться на манер винта. Выяснилось, что на двери есть какие-то незаметные горизонтальные черточки, на которые можно спокойно ставить ноги и подниматься наверх.

Двигаясь таким образом, Илюша увидел, что, поднимаясь, все время сворачивает куда-то вправо. Затем он поднялся на самый верх и тут заметил, что каким-то образом очутился уже внутри домика. И при этом вниз головой! Он было собрался испугаться, но потом раздумал, пошел храбро вперед и попал прямо на пол. И при этом вверх головой.

- Здравствуйте, - сказал немного опешивший Илюша. - Какая у вас странная дверь!

- Ну, что тут странного? - воскликнула хозяйка. - Односторонняя поверхность. Куда проще обыкновенной поверхности: у той две стороны, а у этой всего одна. Гораздо проще!

Разве не ясно?

- Как это так "одна"? - удивился Илюша.

- Ах, великая Лилавати! - взвизгнула хозяйка. - Но ведь вы же не переходили на другую сторону?

- Нет, - ответил Илюша, глядя на нее во все глаза и пока еще ничего не понимая.

- И все-таки очутились здесь, то есть по другую сторону двери? Ну, вот и всё. Очень просто! Вы потому очутились по другую сторону, что у этой двери только одна сторона и есть, та самая, по которой вы шли. Чего же проще? Малое дитя и то догадается. Ну, поняли вы наконец?

- Ничего не понимаю! - сказал Илюша и уставился на хозяйку.

- 33 -

Перед ним сидела коротенькая толстенькая особа, очень похожая на резиновую куклу. Она сидела в узорном креслице, ножки ее не доставали до полу, на башмачках были бантики, а длинный ее язычок вился в воздухе. Он то почесывал левую ладонь Розамунды, то обдергивал ее коротенькую юбочку. Выпученные глазки ее, медленно поворачиваясь над крохотным вздернутым носиком, внимательно осматривали гостя.



Вдруг ее язык стрельнул прямо к Илюше и пожал ему руку.

Илюша машинально пожал язык и пробормотал еще раз:

- Здравствуйте!

- Ну, теперь поняли?

- Не-ет, - нерешительно вымолвил Илюша.

- Фу-у! - произнесла Розамунда. - Вы меня прямо выводите из себя.

- Я... - начал было Илюша.

- Вывел! Вывел! - вдруг во всю глотку закричала Розамунда.

И тут же в один миг вся она вывернулась наизнанку. Все формы были как будто такие же, только совершенно навыворот.

Самое неожиданное, однако, заключалось в том, что длиннейший язык Розамунды оказался теперь во всю длину свою на свободе. Он сделал несколько вкрадчивых движений, как бы осматривая окрестность, а потом вдруг взвился вверх, и так стремительно, что Илюша подумал, не догадался ли язык, что теперь он хозяин положения и, следовательно, может действовать, как ему заблагорассудится.

- Вот видите, что вы со мной сделали! - закричала изнутри самой себя Розамунда. И голос у нее теперь стал глухой, точно у щенка, который свалился в бочку и там жалобно скулит.



- Что же теперь делать? - растерянно спросил Илюша.

- О богиня! - взвизгнула изнутри Розамунда. - Вы видите мой язык? Помогите мне поймать его!

- 34 -

Легко это было сказать, но не так-то просто сделать: язык Розамунды точно догадался, что его хотят поймать, и начал метаться теперь по всей комнате с бешеной быстротой. Он задевал за все, что подвертывалось, и хлестал, словно громадный кнут, по всем предметам, которые так и летели кувырком во все стороны.

-


убрать рекламу




убрать рекламу



Почему у вас там такой шум? - глухо взвизгнула Розамунда. - Чего же вы думаете?

Дайте мне мой язык!

- Ваш язык!.. - вскрикнул Илюша, еле увертываясь от расходившегося языка. - Он взбесился!

А язык в эту минуту поймал Илюшу за ногу, повертел им в воздухе и бросил его прямо в стену. Илюша ударился об стену и, по закону "угол падения равен углу отражения", отлетел, ударился в другую стену, потом в зеркало и, наконец, попал на пол.

- Да что ж с ним делать? - в ужасе закричал, забравшись под стол, Илюша. - Он скоро весь домик разнесет!

- Не нужно было меня выводить из себя, противный мальчишка! - глухо выла Розамунда. - Поистине язык мой - враг мой. И всех моих друзей тоже. Засуньте мне его в рот, умоляю вас во имя милостивой богини Лилавати!

Илюша осторожно выполз из-под стола, еле вырвался от норовившего снова ухватить его языка, подскочил к вывернутой наизнанку Розамунде и кое-как впихнул ей часть языка в рот. Язык упирался, бился, вился, но ничего не мог поделать.

От отчаяния он даже попал в чернильницу самым кончиком и, воспользовавшись этим, написал тут же на потолке очень странное слово, а именно:



Но тут Розамунда втащила его внутрь. Тогда Илюша, догадавшись наконец, как ей надо помочь, ухватился за язык у его основания и дернул изо всех сил. В мгновение ока Розамунда как ни в чем не бывало опять уже сидела на своем креслице и задумчиво поправляла бантик на туфле кончиком своего бесконечного языка, который начал прилежно прибирать Розамундову светлицу.

Хозяйка теперь взглянула на Илюшу довольно снисходительно.

- 35 -

- Ну, пустяки! - пробормотала она. - Забудем это маленькое недоразумение.

- Скажите, - осторожно начал Илюша, - а что у вас там написано около двери насчет приема? Я не совсем понял. Если вы, например, принимаете с двадцати двух часов до десяти утра, то вы, значит, принимаете ночью. Но в таком случае зачем же вы пишете, когда у вас днем бывает перерыв, если вы все равно днем не принимаете?

- Терпеть не могу объяснять! - закричала хозяйка. - Самому надо понимать. Есть у вас голова на плечах? Извольте ею работать. Может быть, я еще сама не понимаю - вы откуда знаете? Так вот и извольте, как любезный гость, все мне рассказать. Да не как-нибудь, а так, чтобы мне приятно было послушать. А то я и слушать не захочу. А может быть, захочу.

И снова вдруг у самых ног Илюши проворно проскочил маленький серенький зверек, которого Илюша уже три раза видел во время своих скитаний по лабиринту. Мальчик только покосился на него, но тот остановился на всем бегу, приподнялся на задние лапки, правой лапкой расправил свои пушистые усики, метнул хвостиком туда-сюда и тончайшим голоском (в котором слышалось что-то вроде "фона" в настраиваемом радиоприемнике) заявил:

- А я умею! А я пробегу! Туда и сюда!

- Да? - снисходительно процедила Розамунда, на миг смягчившись. - Рада слышать. Похвально! А как поживает мой добрый старичок Радикс? Ты его видела?

Мигом странный зверек мелькнул по полу и исчез. А через секунду вернулся, снова приподнялся и заявил:

- Благоденствует. Шлет низкий поклон и желает вам здравствовать многие лета!

Немедленно колокольчики грянули на все голоса:

- Радикс благоденствует! Динь-динь-динь! Мышка лабиринствует! Динь-динь-динь! А ты не умеешь!

- Что это значит? - спросил Илюша. Ему вдруг пришло в голову, что болтливые колокольчики звонят именно про него, будто он чего-то "не умеет"!

- Мышка у меня памятливая, не то, что некоторые, у которых в одно ухо войдет, а в другое тут же выскочит.

Илюша стоял и поеживался, не зная, что сказать. В это время язык Розамунды, медленно выполз из ее ротика и начал завиваться в воздухе, изображая сперва нечто вроде волнообразной линии, а затем какую-то штуку, похожую на соленоид, а потом винтовую линию. Линия вилась, покачивалась, и Илюша невольно залюбовался ее узором.

- 36 -

Розамунда, однако, вышла из задумчивости и сама теперь не без интереса следила за теми выкрутасами, которые творил ее язык в воздухе.

- Красиво! - сказал Илюша.

- Ее зовут Геликоида, - ответила она.



Тут язык Розамунды быстро развинтился, а потом снова завинтился в другую сторону.

- Кого? - спросил Илюша с удивлением.

- Вот эту очаровательную кривую. Но это слишком хитро для вас. Вы даже и с лабиринтом чуть было совсем не запутались! Однако перейдем к делу. Угодно вам быть моим племянником?

- Угодно, - сказал Илюша с интересом.

- Мои племянники, - хитро прищуриваясь, сказала Розамунда, завинтив язык большой баранкой, - зовут меня... тетушкой Дразнилкой!

Мгновенно все колокольчики на домике зазвонили очень хитро и тонко. Казалось, что каждый из них позванивает и повторяет:



- Тетушка Дразнилка! Тетушка Дразнилка!

- Или, - продолжала, нежно улыбаясь, Розамунда, - они меня еще называют "Выйдет-не-выйдет"...

А колокольчики снова обрадовались и начали выкрикивать на разные тоненькие голоса:

- Выйдет-не-выйдет! Тетушка Дразнилка! Выйдет - не - выйдет!

- 37 -

Тетушка Дразнилка даже потолстела от удовольствия, протянула куда-то очень далеко свой бесконечный язык и достала маленькую квадратную коробочку.

В коробочке лежали три деревянных квадратика и оставалось еще место для такого же четвертого, вместо которого была пустышка. На квадратиках были буквы. На первом - буква "И", на втором - "К", на третьем - "С".

- "Икс", - прочел Илюша.



- Поразительно! - сказала тетушка Дразнилка, высоко поднимая брови. - Как это таких глупых мальчиков все-таки учат читать?

Илюша хотел было обидеться, но потом подумал, что, пожалуй, лучше не стоит болтать, пока тебя не спрашивают.

- Переставь буквы, - сказала тетушка Дразнилка, - и прочти, что получится. Переставляй по-всякому. И так и сяк.

Ну, читай, что у тебя получается.

- Получается, - сказал Илюша, - "кси", потом "ски", "иск", "кис" и "сик"... Вот и всё. Вместе с иксом вышло шесть штук. А что это за слова?

- Слова самые простые, - ответила тетушка Дразнилка, которая постепенно становилась все толще. - "Кси" - это греческая буква, которая произносится так же, как латинский "икс". "Ски" - так англичане называют лыжи. "Кис" - так кошек зовут. "Сик" - no-латыни будет "так". Ну, "иск" - это ты и сам знаешь. Судебный иск. Так вот, возьми поставь слово "кси". А теперь можешь передвигать шашки в коробочке.

Только не вынимать! Передвигай так, чтобы вышло опять слово "икс".

Илюша начал передвигать шашки с буквами. Сперва ничего не получалось. А потом вдруг получился "икс".

- Очень мило, - сказала тетушка. - Ну, теперь ставь все другие слова и делай из них "икс".

Слово "сик" у Илюши очень быстро превратилось в "икс".

Но зато, как он ни бился над другими словами - "иск", "кис" и "ски", - ничего не получалось.

- Нет, - сказал наконец Илюша, - два слова выходят, а три эти никак не сделаешь.

- Прелестно, очаровательный мальчик! - ответила тетушка Дразнилка. - Ведь оно так и называется; "Выйдет-не-выйдет". Ну, давай возьмем похитрее.

- 38 -

Длинный язык ее мигом прибрал коробочку с "иксом" и притащил другую коробочку, немного побольше.

В этой коробочке лежало девять квадратных шашек, причем та, которая находилась в правом нижнем углу коробочки, была такая же, как другие. На каждой шашке была буква, как на рисунке.



- Вынь последнюю шашку с буквой "А" из коробочки совсем. Перемешай шашки, а потом добейся, так же как с "иксом", чтобы они стали по порядку. Если тебе трудно с буквами, переверни шашки - у каждой на другой стороне есть номер.

Илюша перевернул шашки, и у него вышло, как на рисунке слева.

Буквы теперь заменились цифрами, которые, однако, шли одна за другой не в обычном порядке, по строкам, а "змейкой". Илюша вынул шашки, перемешал, расставил и начал передвигать. Оказалось, что это похитрее, чем с "иксом", то есть с тремя шашками. Илюша пыхтел, старался, мучился, наверное, минут двадцать, пока наконец добрался до конца.



Цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 все попали на свои места, только вместо 7, 8 у Илюши получалось 8 и 7. И как он не бился, начиная опять все с самого начала, переставить их, как полагается, не мог.

- Не выходит! - наконец признался Илюша.

И все колокольчики сейчас же подхватили это.

- Попробуй еще раз, - посоветовала тетушка Дразнилка.

Илюша перемешал шашки и снова начал. Но и во второй раз получилось то же самое. Наконец в третий раз все цифры стали на свои места.

- Вот что, - сказал Илюша, - мне бы надо записывать, какие комбинации выходят, а какие нет. Потому что про "икс" запомнить нетрудно, а здесь лучше записывать.

- Вот как! - раздался голос около Илюши.

Он обернулся и увидел знакомую квадратную рожицу.

- Какой догадливый мальчик! - сказала рожица. - Записывать хочет! Пиши, пиши. Сколько же тебе придется записать разных комбинаций этих цифр?

- Не знаю, - сказал Илюша. - А разве много?

- Сущие пустяки, - ответила рожица, - так, тысяч около сорока с лишним!

- 39 -



На сколько мест можно поставить тройку? 

- Сорок тысяч! - сказал Илюша. - Как же так выходит?

- На что проще! -ответила рожица. - Возьми две шашки. Сколько комбинаций: выйдет?

Илюша подумал.

- По-моему, из двух получается две. Откуда же еще?

Один, два, а потом: два, один.

Вот и всё.

- Очаровательно! - ответила рожица. - Ну, теперь рассуди; если ты к двум цифрам, то есть к единице и двойке, прибавляешь еще тройку, сколько получится комбинаций? Вот перед тобой две комбинации:

"один - два", а потом "два - один". На сколько мест ты можешь теперь поставить тройку?

- Могу поставить спереди - это раз, после единицы - это два, после двойки - это три.

Ага! Значит, каждый раз я могу поставить тройку тремя разными способами, а комбинаций у меня две. Получается шесть.

Надо перемножить.

- Наконец-то! - облегченно вздохнула рожица. - Ну, а теперь дальше. Если у тебя шесть комбинаций по три, а ты берешь еще четверку, сколькими способами можно ее добавить в каждую комбинацию?

- Четырьмя способами: спереди, после единицы, после двойки, после тройки. Выходит двадцать четыре. А к этим двадцати четырем комбинациям пятерку я могу добавить пятью способами. Понял, понял! И выйдет... выйдет... Постой-ка!.. Выйдет сто двадцать.

- 40 -

- Верно, - отвечала рожица.

- О, догадливый юноша! Ты не замечаешь никакого общего правила?

Илюша подумал и сказал робко:

- Кажется, замечаю. Надо перемножить все цифры, начиная с двойки и до той самой цифры, сколько шашек.

- Начнем уж лучше с единицы для простоты, - ответила рожица. - Ничего не изменится. Эта штука называется факториал. Никогда он тебе не попадался? Ну, так вот, попробуй, перемножь все цифры до восьмерки. Посмотрим, сколько получится.

Илюша долго множил и под конец убедился, что цифра действительно получается весьма внушительная.

- Ну, теперь возьмем, - сказала тетушка Дразнилка, - самого главного Дразнилку.



Длинный язык ее мелькнул в воздухе и притащил третью коробочку, в которой было шестнадцать деревянных квадратиков, причем все они были зеленого цвета, а один квадратик был белый. Он стоял в правом нижнем углу. На квадратиках были красные буквы. И в общем получалось, как на верхнем рисунке.

- Ну вот, - произнесла тетушка Дразнилка, - познакомься друг мой, с моим тезкой. Переверни квадратики - на обратной стороне есть цифры.

Илюша перевернул шашки, но получились почему-то не цифры, а то, что нарисовано слева.



- Ну, переверни еще разок!

Илюша перевернул еще раз, вынул одну шашку, и получилось, как нарисовано на следующей странице.

Илюша спутал квадратики, расставил их и взялся за дело.

И опять вышло то же, что с восемью шашками: то выйдет всё как следует, а то последние цифры застрянут и вместо 13, 14 и 15 выходит 13, 15 и 14. И повернуть не удается!

- Ну-с, - произнесла сильно потолстевшая тетушка Дразнилка, - что же ты скажешь, превосходный юноша, насчет того, почему во всех дразнилках с двумя последними шашками что-то не ладится, а?

Илюша ничего не мог ответить. Он начал было думать, но в голову ему лезло что-то совсем другое...

- 41 -

Он думал о том, как ему узнать поскорей у Радикса: во-первых, кто такая богиня Лилавати, о которой каждую минуту вспоминает Розамунда; во-вторых, как получилось с этой странной дверью; в-третьих, что за нелепая надпись о приеме и непонятные часы; в-четвертых, ведь он так и не узнал, кто такой Бриарей, о котором говорил Великий Змий.



- Ну-с? - спросила тетушка Дразнилка. - Придумал?

Илюша густо покраснел, ибо он думал совсем о другом.

- Ну-с? - повторил квадратнорожий человечек.

- А тебе какое дело? - сердито спросил его Илюша. - Ты мне ничего не показывал!

- Невежливый мальчик, - произнесла скрипучим голосом тетушка Дразнилка, - явно нуждающийся в том, чтобы ему в общедоступной форме пояснили, что такое "коль скоро"...

При этих словах тетушка Дразнилка неожиданно сильно похудела. Квадратнорожий человечек гордо выпятил грудь, и показал на свою удивительную рожицу.



- Я, - сказал он важно, - не кто иной, как Кандидат Тупиковых Наук, я Доктор Четных и Нечетных Узлов, я Магистр Деревьев, а сверх того я ношу звание Первого Командора Великого Ордена Семи Мостов. Мое имя - Уникурсал Уникурсалыч Уникурсальян.

Илюша смотрел на него во все глаза и думал, что от таких объяснений только увеличивается громадная куча вопросов, с которыми не к кому обратиться, и больше ничего. Вдруг Илюше показалось, что к его ноге ластится кошка. "Откуда здесь кошка?" - подумал он с досадой и посмотрел вниз. Оказалось, что это все тот же противный язык Розамунды, который незаметно подкрался из-под стола к Илюшиной ноге и уже успел трижды обвиться вокруг ноги. Илюша попробовал было вытащить ногу, но оказалось, что это совершенно невозможно.

Очень было похоже на капкан!..

Тогда Илюша очень грустно посмотрел на Розамунду и на Доктора Четных и Нечетных Узлов У. У. Уникурсальяна и сказал, несколько запинаясь:

- 42 -

- Нет-нет... я... то есть... во-первых, извините, потому что я не знал, что у вас есть такой... удивительный орден... и я, правда, никогда ничего про него не слыхал.

Вдруг Илюша почувствовал, что нога его понемножку освобождается. И тут его, что называется, осенило:

- А насчет Дразнилки я сейчас скажу! Только про самого маленького Дразнилку, про "икс". Я думаю, что их потому никак не переставишь, что они ходят друг за дружкой гуськом.

И ничего с ними не поделаешь... А я ведь не знал, Уникурсал Уникурсалыч, что вы доктор наук, и я даже хотел вас спросить: если взять самого главного Дразнилку, с пятнадцатью квадратиками, сколько же там получится комбинаций?

Уникурсал Уникурсалыч посмотрел на Илюшу довольно свирепо, но быстро смягчился.

- Не так много, - ответил он. - Если, например, пустышка тоже может стоять на любом месте, то выйдет всего каких-нибудь двадцать триллионов с небольшим.

- Триллионов! - сказал, охнув, Илюша. - Это ведь после биллионов, то есть миллиардов?

- Вот именно, - ответил важно Уникурсал Уникурсалыч. - Ну, другими словами, это будет столько, если два помножить на десять в тринадцатой степени. Ну и еще немножко... В общем, не так уж много, как сказал один задумчивый гусь, обнаружив, что его хозяйка принесла с базара два десятка яблок.

- 43 -

Схолия Пятая.

 Сделать закладку на этом месте книги

с помощью коей герой этой правдивой книжки, думая насладиться красноречием, начинает вместо этого водить пальчиком по лицу оратора, а затем выслушивает чрезвычайно полезный и нехитрый секрет относительно того, как решаются задачи, которые ты не можешь решить (очень важно для молодых людей, скучающих на контрольной работе!). После этого нашему герою приходится выслушать длиннейшую речь, состоящую из рассуждений о том, что такое смысл и каким образом можно его отличить от бессмыслицы, даже если таковая касается вопроса о том, что можно считать недвусмысленным. Вслед за этим Илюша сталкивается вплотную с центробежной силой и неожиданно узнает о том, что такое касательная, хотя до сих пор он думал, что она, в сущности, его не касается, и совершенно не собирался к ней прикасаться. Однако она-то и возвращает наконец Илюшу к Радиксу. Тут наш герой знакомится с такой особенной породой узлов, что водятся в большом изобилии на некоторых деревьях, но до которых можно добраться не иначе, как через целый ряд мостов, по коим строго-настрого воспрещается проходить второй раз. И вот тут-то бедный Илюша неожиданно встречается с ужасающим и известным из древности людоедом, по прозванью Минотавр, который долго питался самыми способными выпускниками средней школы, пока наконец не попался на ниточку... Все это производит на нашего героя несколько странное впечатление, которое, впрочем, довольно скоро рассеивается при непосредственном участии богини Лилавати и ее удивительных ровесниц, отнюдь не склонных к красноречию.

- 44 -

После этого почтенный Кандидат Тупиковых Наук У. У. Уникурсальян, кавалер Ордена Семи Мостов и даже командор оного, прошелся не спеша по комнатке и, обернувшись к Илюше и хорошенькой Розамунде, произнес:

- Почтеннейшие члены нашего ученого общества, которых объединяет, так сказать, бескорыстная привязанность именно к тому, к чему они так бескорыстно привязаны!..

Тут уважаемый Доктор Четных и Нечетных Узлов вдруг пошатнулся, ибо язык Розамунды незаметно подобрался к нему и дернул за локоть. Доктор Уникурсальян рассеянно взглянул на язык и продолжал:

- А сверх того, поскольку привязанность всегда может быть рассматриваема...

И опять почтеннейший доктор покачнулся, ибо язык Розамунды снова дернул его за локоть.

- Позвольте? - вопросительно сказал Магистр Деревьев.

- Невозможно! - ответила ему Розамунда.

- Что невозможно? - спросил нетерпеливо Доктор Узлов.

- Начнем сначала, - предложила примирительно Розамунда.

- Так это же и есть начало! - воскликнул в отчаянии командор.

- Тогда лучше с конца, - заявила Розамунда.

Командор прошелся по комнатке и взглянул на Илюшу.

- Мне бы очень хотелось посмотреть, какой у вас орден.

- Это немыслимо! - сердито заявил командор, обращаясь к Розамунде. - Это нарушает весь порядок дня и даже ночи.

- Пусть нарушает, - ответила Розамунда.

Командор У. У. Уникурсальян пожал в недоумении плечами, подошел к Илюше и гордо сказал:

- Прошу!

На груди его красовался Орден Семи Мостов самого первого класса, украшенный самоцветными камушками.



Илюша посмотрел на орден и сказал:

- Похож на лабиринт.

Командор скромно, но гордо улыбнулся. А Илюша стал тут же водить пальцем по белым дорожкам, в центре которых стояли римская цифра "VII" и буква "М".

- Темные пятна, - объяснил доктор, - представляют собой речку, а белые дорожки - это берега речки и мосты. Задача очень простая: обойти все мосты и по каждому пройти только один раз. Знаешь ли ты, что это за речка? Ты ведь иногда заглядываешь в атлас?

- 45 -

- Нет, - промолвил Илюша. - А разве есть на самом деле такая речка?

- Есть! - отвечал обладатель великолепного ордена. - Это речка Прегель с островом Кнейпгоф, а на ней стоит город Калининград, бывший Кенигсберг. Узнай же, о любознательный юноша, что эти-то мосты и оказались случайно причиной для возникновения очень важной отрасли геометрии. Был на свете такой математик Леонард Эйлер, швейцарец по происхождению, член Санкт-Петербургской Академии наук, один из крупнейших ученых восемнадцатого века. Он был другом Ломоносова и, пожалуй, был один из первых ученых в то время, который оценивал научную деятельность Ломоносова по достоинству. Он долго жил в Санкт-Петербурге, там и скончался. Так вот однажды на одном вечере в обществе кто-то задал Эйлеру вопрос: можно ли пройти по всем семи кенигсбергским мостам, не проходя ни по одному по два раза? Эйлер заинтересовался этой задачей, доказал, что сделать это невозможно, и нашел общие правила, которым подчиняются задачи подобного рода. В честь этого замечательного события и учрежден этот превосходный и в высшей степени достопримечательный орден.

Илюша повел пальцем по дорожкам, но у него не вышло.

Он попробовал еще - не вышло. Попробовал в третий раз - опять то же самое.

- Не выходит, - сказал Илюша.

- Взгляни на мое честное и открытое лицо. Можешь ли ты обойти все его линии и по каждой линии пройти один раз?



Илюша попробовал, и очень скоро это ему удалось.

- Выходит! - сказал Илюша. - А на ордене никак не получается.

- О неопытный и трижды легкомысленный отрок! - произнес, покачивая головой, Командор Ордена Семи Мостов. - Во-первых, докажи, что это действительно невозможно, ибо ты получишь право утверждать это только тогда, когда сможешь твердо и определенно объяснить, почему одна такая задача решается, а другая не имеет решения.

- А какой смысл, - сказал Илюша, - заниматься задачами, которые не имеют решения?

- Смысл? .. - лениво протянула тетушка Розамунда. - А можешь ли ты толком объяснить, что значит: "решить задачу"? Попробуй реши вот эту: "Скорый поезд прошел за два часа сто километров.

- 46 -

Однако, если бы он шел не два часа, а столько часов, сколько километров прошел в течение второго часа, и при этом с той же скоростью, с какой шел в первый час, то он прошел бы не сто километров, а две тысячи пятьсот два километра. Спрашивается: какова была скорость поезда в первый час и какова была его скорость во второй час?"

Услыхав условие задачи, доктор Уникурсальян презрительно нахмурился:

- Не сложна ли эта задача для такого богатыря, который только что пал бездыханным при осаде Квадратного Трехчлена?

Однако тетушка Розамунда была настроена довольно милостиво; она улыбнулась почти до самых ушей, а ее проворный язык быстро притащил откуда-то карандаш и бумагу и вручил их Илюше.

- Ничего, - отвечала тетушка Магистру Деревьев. - Эти волшебные предметы ему помогут. Он поумнеет. Он хороший мальчик.

- Разве это волшебные предметы? - спросил с напускным удивлением гордый Доктор Узлов.

- Да, - отвечала тетушка, - давно уж доказано, выяснено и принято всеми академиями к сведению и руководству, что карандаш и бумага суть волшебные предметы неограниченного могущества.

- Ах, вот как! - мрачно провозгласил командор. - Простите, я забыл.

Илюша прекрасно понял, что все это было одно притворство: ничего он, конечно, не забывал! Мальчик храбро схватил волшебный карандаш, но не прошло и нескольких минут, как он разочарованно пробурчал, что решить эту задачу немыслимо.

- Очень рад! Восхищен! - отвечал ему Доктор Четных и Нечетных. - А нельзя ли как-нибудь иначе изложить результаты этого маленького опыта? Что обозначает "немыслимо"?

- Нет на свете таких двух чисел, которые годились бы для этой задачи, - вот что это означает, - отвечал Илюша. - Следовательно... тут ни я, ни кто другой ничего сделать не может. Чисел таких нет. Вот мое решение.

- Согласен, - спокойно ответствовал доктор Уникурсальян. - Это действительно можно считать решением. Другими словами: раз ты доказал, что задача неразрешима, то у нас здесь считают, что ты ее решил. Заданный тебе вопрос исчерпан.

- Так, - сказал Илюша, - это я понимаю. Но мне неясно, зачем надо задавать такие вопросы? Мало ли что тут можно придумать!

- Эту важнейшую проблему надлежит с осторожностью рассматривать двояко.."

- 47 -

- Двояко! - повторила тетушка Розамунда.

- Вот именно! - громогласно возопил доктор. - Ибо дело не в выдумке, а в том, что если бы наука не занималась вопросами, которые кажутся неразрешимыми, она бы не двигалась вперед. В том-то и сила, что неразрешимые требуют новых способов для своего разрешения, а каждый новый способ - это новый шаг вперед. Слушай внимательно: вот тебе простой и превосходный пример. Это будет у нас часть вторая, ибо с первой мы уже покончили. Есть возражения? Говори прямо.

- Возражений, - отвечал мальчик, - как будто бы и нет, но.,.

- Но ты желаешь, чтобы тебя убедили. Слушай, и все получишь... Итак, в геометрии издавна возникла необходимость разделить данный угол на несколько частей, скажем, на три. У геометра в руках есть линейка и циркуль. Может он с этими инструментами проделать это деление или нет? Со времен седой древности пробовали это сделать, но ни у кого не выходило. Вот тут-то и надо выяснить, почему не выходит.

В чем тут дело? Долго не могли добиться. Но наконец выяснили, что имеется бесконечное число таких углов, которые точно разделить натрое с помощью циркуля и линейки невозможно.

- А прямой угол как будто можно разделить? - осторожно осведомился Илюша.

- Как? Ты умеешь делить прямой угол на три? - с искренним изумлением сказала тетушка. - А умеешь, так рассказывай.

- Прямой угол - это девяносто градусов, - отвечал Илюша, - значит, надо получить тридцать. Отнимем шестьдесят, а это сделать нетрудно - ведь он один из углов равностороннего треугольника, потому что сумма углов треугольника равна 2d, то есть 180°. На чертеже совсем просто получается!



- Не смею спорить! - ответствовал свирепый доктор Уникурсальян, раскланиваясь с Илюшей очень любезно, но все же ехидно. - Кто станет спорить? Прямой угол, поистине прямой, ты прав. Но с непрямыми не выходит.

- 48 -

Еще в древности пытались, а причины затруднений еле-еле выяснили только во второй половине шестнадцатого столетия нашей эры. И ни один грамотный человек, кроме нелепых упрямцев-чудаков, заниматься этим не будет. К таким безнадежным задачам относятся еще древние задачи о квадратуре круга, когда требуется построить опять-таки с помощью циркуля и линейки квадрат, равновеликий данному кругу, затем задача об удвоении куба.

Впрочем, обо всем этом ты узнаешь попозже[5]. Но это еще отнюдь не все... Самое главное в том, что попутно с этими решениями выяснено вполне и до конца, какие именно задачи можно решать с помощью циркуля и линейки, а какие нельзя, и почему нельзя. Вот в чем дело. А если ты уяснил, и почему какая-нибудь задача не имеет решения, то тогда ты можешь узнать, что именно тебе требуется для решения подобных задач.

- Извините... - произнес Илюша. - А с другими углами очень трудно?

- Не столь трудно, - отвечал с усмешкой Доктор Четных и Нечетных, - сколь замысловато...

- Когда готово, то нетрудно! - кротко заметила тетушка Розамунда, а язык ее, громко прищелкнув, вдруг нарисовал в воздухе чертеж. Все линии были голубоватые и очень приятно светились.



DF=EF=AB; HF || AC; AH = HE; DE = 2 AB

^AFD=2^AEF=2^DBK; ^ABD=2^DBK



Линейка для невсиса с двумя отметками. 

- Прелестный чертеж! - вежливо заметил доктор. - Ну-с, вот тебе угол ABC - 75°, а вот угол СВЕ - 25°. Но делается это не линейкой и циркулем, а линейкой, на которой есть две отметки - одна за другой, и каждая равна отрезку АВ. Этот способ в древности назывался способом невсиса. Через точку В надо провести прямую так, чтобы отрезок DE равнялся бы удвоенному отрезку АВ. При помощи вспомогательных прямых на чертеже нетрудно доказать, что угол AFD равен двум углам AEF…

- Как внешний угол по отношению к треугольнику AEF, - догадался Илюша.

- 49 -

- Точно... - протянула тетушка.

И у Илюши на душе стало на минутку полегче - он все-таки догадался. Ему хотелось еще кое о чем спросить, но доктор Уникурсальян не дал ему и рта раскрыть.

- Сделать можно, - возопил доктор, - а вот объяснить, почему надо делать так, а не иначе, то есть, почему этот способ в данном случае приводит к цели, - это потруднее!

- А когда-нибудь... - робко начал Илюша.

- Все должно двигаться в самом удивительном порядке, - заявила тетушка Розамунда, а ее неукротимый: язык принес откуда-то линейку с двумя отметками, приложил ее на чертеже к отрезку DE, и вышло точь-в-точь.

- Вот именно! - воскликнул доктор Четных и Нечетных - Это невсис Паппа Александрийца. Замысловато,


убрать рекламу




убрать рекламу



а зато точь-в-точь! Терпи, мой любезнейший, сами греки тоже помучались как следует. А разобрать до конца не удалось. Только в шестнадцатом веке Франциск Виета разобрал[6]. Вот и смекай - нехитрая на вид задача, а в руки попросту не дается. - Вслед за этим доктор мрачно покосился на Илюшу и пробормотал угрожающе: - Внимание и молчание!..

- А ведь, пожалуй, теперь я начинаю соображать... - сказал Илюша.

- Прелестно! - отвечал командор. - Я вижу, что вы, любезнейший юноша, делаете некоторые успехи, как сказала одна заботливая мамаша, ухватив за ухо своего предприимчивого отпрыска в ту минуту, когда он забрался во вторую банку с вареньем.

- Только как это сделать? - со вздохом сказал Илюша. - То есть я не про варенье, а про невсис.

- Все в свое время, - отвечала Розамунда.

Она поглядела на Доктора Четных и Нечетных Узлов и сказала:

- Ну-с?

Доктор Узлов начал свою замечательную речь:

- Досточтимые и глубокоуважаемые друзья мои, слушательницы и слушатели! То, что я имею сказать вам в настоящей моей изумительной речи, так необыкновенно важно, так страшно серьезно, так дивно поучительно, что у меня, признаться, у самого заранее дух захватывает. И ты, о неопытный и желторотый юнец, неизвестно как затесавшийся в наш волшебный мир, повесь свои мохнатые уши на гвоздь внимания и восхищения...

- 50 -

Илюше очень хотелось обидеться, когда он услыхал про чьи-то мохнатые уши, но он решил, что лучше уж притвориться, что не понимает, о ком тут идет речь.

- Понимаешь ли ты, достопочтенный слушатель, куда ты попал? Постигаешь ли ты, что великая наука наша - одна из древнейших наук мира; что именно на ней некогда человек чуть не впервые учился размышлять и доказывать; на ее примерах человек учил сам себя рассуждать, сам с собой обсуждал свои замыслы, сам научился поправлять их и в течение многих и многих столетий шел осторожнейшими шагами, дабы наконец овладеть тем, чем он сейчас владеет? Можешь ли ты вообразить себе, что много и много человеческих жизней трудолюбиво и самоотверженно положено на то, чтобы мир мог сделать хотя бы еще один шаг в науке? Сумеешь ли ты представить себе, что ты легко можешь услыхать здесь какое-нибудь занимательное слово, но для того, чтобы объяснить тебе, что обозначает это слово, нам всем придется положить немало труда? И поверь, что все мы готовы это для тебя сделать, но и ты должен стараться и относиться к каждому нашему слову так вдумчиво и так серьезно, как только позволяют тебе твои способности! Итак, начнем сначала! Я утверждаю, что путешествовать по нашим чудесным краям невозможно без неких мощных вспомогательных аппаратов. Вот первое, что должен я открыть вам, опираясь на всю силу моего прославленного красноречия, сиречь элоквенции. Что же это за аппараты и как ими пользоваться? Во времена великого Архимеда это были палочка и песок, а в наше время - это карандаш и бумага. Хотя, впрочем, никому не возбраняется, находясь на чистом воздухе, пользоваться для тех же целей палочкой и песочком. Кроме того, надо вооружиться самым прочным терпением: если ты чего-нибудь не понял, ты должен тотчас же возвратиться обратно и снова пуститься в путь в том же направлении. Имей в виду, что нет такого маршрута на свете, который не уступил бы твоему упорству. Все, что мы будем говорить и утверждать, должно быть полно совершенно определенного смысла, и все это должно быть выражено в сжатой, ясной, совершенно недвусмысленной и легко запоминающейся форме. Как это делается, понять очень легко: подражайте мне, и всё! Однако я вынужден идти еще далее. Дело в том, что я требую, и ты требуешь, и мы требуем, и все, кто может нас услыхать, требуют, чтобы все вводимые нами новые наименования, способы выражения и обозначения были исчерпывающим образом объяснены, то есть определены. Всякое заключение наше или вывод, то есть равенство, неравенство, какая-нибудь формула, а также всякое словесное или иное (а стало быть, бессловесное!) утверждение, с полной необходимостью должны вытекать из того, что было принято нами ранее в качестве условия или было ранее доказано, то есть из наших предпосылок.

- 51 -

Клянусь вам, что это самый непреложный закон в нашем хитроумном мире, где все подчинено Дедукции, что обозначает, как вам, быть может, известно, "вывод", или "заключение". Надо всегда подумывать и о том, есть ли на что сослаться, если ко мне начнут придираться по этому самому поводу самые хитрые, самые сварливые, самые несговорчивые придиры на всем белом свете?.. Когда ученым приходится удостовериться, что некоторая задача совершенно не разрешима известными им способами, то нередко это ведет к глубоким переменам в самой науке. Кажется, чего уж проще - вычислить диагональ квадрата со стороной, равной единице?

Извлек из двойки квадратный корень - и готово! Но когда в древности ученые греки впервые убедились в том, что в точности они это вычисление проделать не могут, то целая система математических воззрений была ниспровергнута! Наш волшебный мир, видишь ли, это очень серьезный волшебный мир: прошу не забывать!

Тут Магистр Деревьев надменно обвел сверкающим взором своих притихших слушателей и продолжал с новой силой:

- Помните: следует знать и нельзя ни в коем случае забывать о том, что-то, что необходимо, не всегда достаточно, а что достаточно, не всегда необходимо. А потом не забывайте о том, чтобы весь ход ваших рассуждений определялся четко поставленным вопросом, чтобы вы не упускали на каждом шагу поставленную вами цель. С другой стороны, смотрите, не внесли ли вы в суждения ваши чего-либо лишнего, что не было предусмотрено теми условиями или ограничениями, которые вы имели в виду. Помните: раз вам даны для задачи некоторые условия, то все они до одного должны быть использованы в решении так или иначе, а если какое-нибудь условие окажется лишним, то и это должно быть установлено с полной убедительностью, о чем мы еще потолкуем с вами в Схолии Седьмой. При этом надо знать, что это правило касается не только тех случаев, когда речь идет об обычном, или "положительном", решении задачи, которое в то же время должно являться общим решением для многих задач, подобных данной. Оно касается также и тех, нередко гораздо более трудных случаев, когда мы собираемся установить, что у нас нет возможности найти в данной области искомое или выполнить заданное предписанным способом, как заметил один прилежный юноша, подавая своему преподавателю на контрольной работе чистый лист бумаги...

Командор прервал свою речь и задумался.

- 52 -

- Так вот-с... - произнес, помолчавши, доктор Четных и Нечетных Узлов. - Может быть, тебе еще не ясно, почему он такой серьезный, наш волшебный мир? Объяснить тебе? Слушай! При помощи нашего "волшебства" мы можем сделать некоторые довольно трудные вопросы более наглядными для нашего читателя - несколько облегчить их, другими словами.

Это - раз. Второе, и еще более важное, - это то, что наше "волшебство" позволяет нам вводить некоторые требования или, скажем, "условия", нужные для изложения. Такого рода "условия" необходимы и для самой науки. Со времен древности было сделано немало усилий, чтобы изъять из геометрии все неясности или недоказуемости. Однако, невзирая на то, что это повело, в частности, к замечательным открытиям, все это, вместе взятое, оказалось недостижимым. И некоторые определенные условия, или, так сказать, "соглашения", остаются в науке, и без них нельзя. По мере надобности мы и будем прибегать к "волшебству" для того, чтобы показать смысл и выводы из такого рода соглашений.

- Однако, - с трудом переводя дух, гордо воскликнул Кандидат Тупиковых Наук, - однако, хоть я теперь уж уверен, что вы все прекрасно усвоили содержание моей речи, заключающейся в том, в чем она заключалась, и утверждающей именно то, что она утверждала! И хотя все это так, но тем не менее я должен опять начать все сначала...

При этих словах тетушка Розамунда тихо ахнула...

- Да! - во все горло гаркнул совершенно рассвирепевший Доктор Узлов. - Я по той причине должен начать сначала, что ведь дело-то совсем не в этом, а именно в том, чтобы...

Что не дальше разглагольствовал почтеннейший Уникурсал Уникурсалыч, тем речь его становилась все более витиеватой, все более сложной и непонятной. Он сыпал полнозвучными и высокопарными фразами, в которых внимательный слушатель мог обнаружить изрядное количество существительных, прилагательных, глаголов и всего такого прочего, однако что все это вместе значило, понять было - увы! - невозможно.

Сперва тетушка Розамунда слушала доктора внимательно, но теперь на лице ее было написано что-то вроде: "Караул! Помогите!" Язык хозяйки в недоумении завился огромным вопросительным знаком. Три тысячи серебряных колокольчиков вопросительно позвякивали то так, то сяк. Вдруг они все сразу зазвонили, да все громче и громче, заглушая премудрые речи Доктора Четных Узлов.

Розамунда махнула рукой, взяла Илюшу за левую руку и повела к двери. Однако Кандидат Тупиковых Наук вцепился в правую руку Илюши и стал тащить его назад, все время продолжая ораторствовать. Серебряные колокольчики звонили так оглушительно, что, кроме их звона, ничего услыхать было невозможно.

- 53 -

Розамунда тащила Илюшу налево, Магистр Деревьев - направо, и длиннейший язык Розамунды решил, что ему сейчас самое время вмешаться в эту непонятную историю, закрутился вокруг всех трех наших героев, ухватившись за какое-то колечко на потолке, и все они понеслись по кругу с такой невероятной быстротой, что теперь уже не только не было ничего слышно, но и ничего не было видно. Илюша, совершенно оцепеневший от страха и удивления, летал по Розамундину домику в полной уверенности, что сейчас его расшибут вдребезги, искренне удивляясь, как жестоко наказывает его судьба за то, что он забыл про квадратный трехчлен.



- 54 -

И вдруг...

И вдруг он почувствовал, что никто его не держит и он мчится по воздуху с быстротой пикирующего самолета.

"Центробежная сила! - подумал впопыхах Илюша, быстро перевертываясь в воздухе то вниз, то вверх головой и размахивая руками. - Оторвался и лечу по касательной. Вот так история! .."

Тут он почувствовал, что скорость его полета начинает понемногу ослабевать. Вдруг он перевернулся вверх головой и стал сразу на обе ноги.

- Наконец-то! - сказал ему с облегчением Радикс.

- А! - обрадовался Илюша. - Это ты! А я уж думал, что лечу прямо в тартарары. Фу! И как это я жив до сих пор?!

Я видел совершенно удивительные вещи, только вот беда - мало что понял... Кое-что разобрал, да и то, по правде сказать, через пятое на десятое. А в общем... ужас что такое!

Надоело ужасно - слушаю, гляжу и ничего не понимаю. Если бы ты мне рассказал...

- Это можно, - сказал Радикс. - Ну, выкладывай, чего ты не понял.

- Во-первых, - начал Илюша, - часы...

В это время какие-то часы звучно пробили четыре. Илюша обернулся и увидел странный циферблат.



- Что такое? Бьют четыре, а показывают десять!

Илюша внимательно поглядел на часы. Раз-два-три... десять? .. Снова - раз-два-три и опять новый десяток?

- Ох! - воскликнул Илюша, хлопнув себя по лбу. - Другой циферблат! Да это не десяток! Чепуха какая! Это просто другая система исчисления. Четверичная система. Первый класс - единицы, потом второй - четверки класс будет четыре в квадрате, то есть шестнадцать. Как у нас на первом месте единицы, на втором - десятки, а третье место занимают сотни, а это ведь десять в квадрате. У нас число пишется так:

a100 + b101 + c102 + ...

а у них:

a140 + b141 +c142 + ...

причем а, b, с... могут принимать все значения от нуля до девяти, но a1, b1 c1. .. могут принимать значения от нуля до трех. И так далее.

- 55 -

Если, значит, написать девятнадцать по этой системе, будет шестнадцать плюс три, то есть сто три. А если взять сто, то выйдет тысяча двести десять. Экая досада, что я не догадался!

- Штука нехитрая, - сказал Радикс.

- Вот то-то и обидно! - отвечал Илюша.

- Они тебя, - заметил Радикс, - все-таки немножко надули. То есть были приняты меры к тому, чтобы ты не догадался. Ведь перерыв-то у них сдвинут так, что прием кончается раньше перерыва.

- Экая досада! - возмущенно повторил Илюша. - А все-таки я должен был догадаться!

- Разумеется. Зевать не надо. Ну-с, далее?

- Дальше вот что. Часы что - это пустяк, шутка...

- Не всегда, - заметил Радикс, посмеиваясь.

- Ну все-таки. А вот этот невсис... Я о нем даже не слыхал. Прямо удивительно. Поставь на линейке две метки - в сразу готово!

- В том-то вся и сила, что просто. Узнаешь немного погодя.

- А потом все эти мои скитания по коридорам. Ведь это был настоящий лабиринт. Так или нет?

- Не совсем настоящий, но вроде этого.

- Я решил, что если все время буду держаться правой или левой рукой (это все равно, только не менять руку) за стену, то можно дойти до середины и выйти назад.

- Почему ты так решил?

Илюша постарался изложить своему другу все, что придумал о сходстве лабиринта с тупиком.

Радикс выслушал и процедил:

- Да-а... Но я берусь выстроить лабиринт, где твое правило правой руки ни к чему не приведет. В лабиринт надо войти, дойти до некоторой заранее определенной точки, которая будет центром этого лабиринта, и выйти обратно. Не так ли?

Илюша согласился.

- Так вот. Мой лабиринт будет представлять собой то, что ты называешь петлей. То есть тот же тупик, только вместо замыкающей стенки будет еще один кругообразный ход. В середине этого хода находится островок, в нем дверь, за ней коридор, который и кончается той точкой - центром. Далее я утверждаю, что какой бы рукой ты ни пользовался, правой или левой, ты обойдешь мой лабиринт, выйдешь обратно, но не попадешь в центр, и задача не будет решена. Что ты на это скажешь?

Илюша нарисовал чертеж и углубился в его рассмотрение.



Двойной лабиринт Радикса. 

- 56 -

- Да, - сказал Илюша, - действительно, в центр не попаду. Тогда, мне кажется, можно поступить так. При обходе лабиринта по правилу правой руки я убеждаюсь, что в центр не могу попасть, и замечаю, что какой бы рукой я ни пользовался, всегда на противоположной от меня стене, то есть на той, которой я не касаюсь рукой, мне встречается дверь, и я в нее не попадаю. Если в лабиринте есть такая дверь, то я поставлю против нее крестик на моей стене, сменю руку и пойду кругом островка. Когда я попаду в эту дверь, то дойду до центра, выйду из него и, снова дойдя до моего крестика, сменю руку во второй раз. Мне кажется, что это получается лабиринт в лабиринте, и, по-моему, такой лабиринт надо называть двойным. Так можно и тройной построить!

- Можно, - спокойно ответствовал Радикс. - Во-первых, эта система внутренних петель и островков может быть довольно сложной, а во-вторых, именно на такого рода усложнениях и основана путаница лабиринта. Ну, что у тебя еще есть? Выкладывай. А к лабиринту мы вернемся еще.

- Еще про этого противного Доктора Узлов. Почему он так называется?

- Начнем с его рожицы, - отвечал Радикс. - Ее линии, как ты заметил, легко можно обойти, пройдя при этом один раз по каждой линии. Такая фигура называется уникурсальной . Вот почему его так зовут.

Правда, это слово - "уникурсальный" - иногда применяется и в другом смысле, но уж этого мы касаться не будем. Уникурсальную фигуру можно начертить, не отнимая пера от бумаги, как говорится - одним росчерком. Конечно, так начертить можно не всякую фигуру. Попробуй, например, начертить фигуру, нарисованную налево.



Попробуй начертить одним росчерком! 

У тебя ничего не получится, как бы ты ни старался. Эта фигура не уникурсальная.

- 57 -

- В чем же тут дело? - спросил Илюша. - Как узнать, какая фигура уникурсальная, а какая нет?



- Назовем каждый перекресток нашей фигуры узлом. Если от него отходит четное число путей, то это будет четный узел, а если нечетное - нечетный. Если узел четный, то ты можешь прийти к нему и уйти от него по новому пути. Сколько бы ни было четных узлов, они тебе не помешают.



Нечетный узел. 

В каждый из них ты можешь пройти.

Другое дело - нечетный узел. Например, из него три пути...

- Ясно, - подхватил Илюша. - Раз приду и раз уйду - значит, две дороги я уже использовал. А опять приду по третьей - и конец, потому что нехоженых дорог больше нет.

- Совершенно верно, - отвечал терпеливый Радикс. - Ну, а что будет, если ты встретишь два нечетных узла?

- Допустим, что они будут тройные.

- Два нечетных узла? .. - повторил Илюша. - Я сейчас нарисую.

Илюша нарисовал два чертежа.



Один изображал два ромба, соединенных прямой, а другой ромб с одной диагональю (рисунок на стр. 59).

- Ну вот, - сказал он, - две фигуры с двумя нечетными, тройными узлами. Попробую начать с первой. Итак, я выхожу из нечетного узла, то есть из точки А, потом возвращаюсь к нему через В, С и D и выхожу из него опять. Значит, я все его пути уже прошел. Иду по последнему пути, то есть через АЕ во второй узел (в точку Е). Прихожу во второй, выхожу из него по второму пути и через F, G и H возвращаюсь в Е обратно по третьему пути. Значит, выходит так: если у меня два нечетных узла, то я могу из одного прийти в другой, но во втором застряну, и дальше мне уже некуда будет идти...

- Так, - сказал Радикс. - Из этого, я думаю, тебе ясно, что больше двух нечетных узлов в уникурсальной фигуре быть не может, а четных может быть сколько хочешь. Ты можешь нарисовать фигуру с двумя нечетными узлами, а между ними наставить сколько угодно четных. И это будет уникурсальная фигура.

- 58 -

Если есть только одни четные узлы, то ты, обойдя фигуру, вернешься к тому узлу, с которого начал, а если в твоей фигуре есть два нечетных узла, то ты уже вернуться к тому узлу, с которого начал, не можешь, а закончишь путешествие в другом. А теперь изобрази-ка мне схему путей на ордене Уникурсала Уникурсалыча и узлов, в которых эти пути сходятся.

- Как это? - спросил Илюша.

- Ты водишь пальцем по дорожкам и мостам, вот и покажи, по каким линиям ты при этом двигаешься. Поэтому давай изобразим условно оба берега и оба острова точками, а мосты - линиями, соединяющими эти точки.

Илюша начертил фигуру, нарисованную внизу.



- Ну вот, - сказал Радикс. - Это и есть схема путей и перекрестков на ордене Уникурсала Уникурсалыча. Ясно, что вопрос о том, можно ли обойти все мосты, проходя через каждый только один раз, сводится к вопросу, можно ли вычертить эту фигуру непрерывным движением, то есть уникурсальна она или нет.

Илюша начал рассматривать схему, раза два сбился и наконец ответил:

- Тут выходит четыре нечетных узла - А, В, С и D.

- Ну, вот тебе и решение! -усмехнулся Радикс. - Мы с тобой сейчас установили, что в уникурсальной фигуре может быть любое число четных узлов и не более двух нечетных. Если в фигуре есть только четные узлы, то обход фигуры можно начать с любой точки.

- 59 -

Если в фигуре есть два нечетных узла, то нужно начать обход именно с одного из них, а закончить в другом нечетном узле. А теперь представь, что тебе дана очень сложная фигура без нечетных узлов или с двумя нечетными узлами.

Какие основания утверждать, что ты, выйдя из первого нечетного узла, сможешь обойти ее всю, не проходя ни одного пути дважды?

- Если она не состоит из нескольких несвязанных частей, то я, конечно, могу попасть в любую точку, а в четных узлах застрять не могу...

- Таким образом, раньше всего надо сказать, что фигура должна быть связной. А не может ли случиться, что ты, проходя через четные узлы, оставишь в стороне какую-нибудь часть фигуры так, что к ней уже больше нельзя будет добраться, а потом застрянешь во втором нечетном узле и не обойдешь всю фигуру?

- Как же это может случиться? - спросил Илюша.

- А вот, например, если на нашем первом чертеже, где два ромба соединены перемычкой, ты сначала пойдешь не по сторонам одного из ромбов, а по этой перемычке. Однако то же самое может случиться и как-нибудь иначе, если ты незаметно для себя разобщишь две части фигуры и она потеряет связность. Это значит, что свободных, то есть еще не пройденных путей, соединяющих две эти части, уже не останется.

Представь себе, что путь, по которому ты только что прошел, тем самым вычеркнут: ведь второй раз по нему идти нельзя, и, следовательно, он для тебя уже больше не существует.



Вот тебе фигура: если ты пойдешь по пути ABCDEA, то вычеркнешь путь BCDE, а ромб CFDG окажется отрезанным.

- Значит, я шел неправильно. Мне надо было прежде из D попасть не в Е, а обойти сперва ромб DFCG, то есть идти в F или G.

- Это, конечно, верно, но только для данного случая. Вот ты говоришь, что шел неправильно. Но для того, чтобы идти правильно, надо показать, что возможно найти правильный способ обхода и при этом не для какой-нибудь определенной фигуры, а в самом общем виде, то есть для любой заданной фигуры, как бы она ни была сложна. Не забудь, что при этом ты должен будешь рассуждать, не зная ничего об этой фигуре, кроме того, что это фигура связная и что в ней нечетных узлов или совсем нет, или только два. Именно так следует поставить задачу общего математического доказательства.

- 60 -

- Я буду рассуждать так. Раз это фигура связная, то, значит, я имею возможность так или иначе из первого узла попасть в тот, где должно закончиться мое путешествие, то есть либо во второй нечетный узел, либо, если это фигура только с одними четными узлами, вернуться обратно в начальный узел. Чтобы не путаться, я самый простой такой маршрут отмечу красной линией, а остальные оставлю черными. А затем пойду по этой красной линии, но в каждом узле буду останавливаться и проверять, нет ли из него еще черных путей, которые надо обойти раньше, чем отправиться дальше по красному маршруту. Вот это и значит "идти правильно".

- Нет, - ответил Радикс, - это еще не всё. Почему ты так уверен, что можешь обойти каждую из твоих черных фигур?

- Потому что все узлы у них четные. И если в точках, через которые проходят и красные пути, не считать этих красных путей, то для черных путей и эти узлы тоже будут четными...

- Справедливо! Но ведь таким образом мы приходим к той же самой задаче: снова надо доказать, что можно обойти эти фигуры. И вот мы подошли к самому важному пункту нашего рассуждения. Теперь будет не так трудно. Потому, что нам удалось привести задачу об обходе фигуры с некоторым данным числом путей к задаче об обходе фигуры с меньшим числом путей. Понимаешь?

- Понимаю! - воскликнул Илюша. - А эти новые, более простые задачи я опять сведу к таким же, но еще более простым... И так можно каждый раз уменьшать число путей, а ведь нам дано только некоторое определенное число путей...

- Будем говорить - конечное число путей.

- Хорошо. А так как нам дано конечное число путей, то в конце концов все они будут исчерпаны. А следовательно, я доказал, что всякую связную фигуру, у которой нечетных узлов или нет совсем, или их только два, можно обойти непрерывным движением, проходя по каждому пути только один раз, то есть, другими словами, что всякая такая фигура действительно уникурсальна. И при этом я нашел и общее правило такого обхода.

- Попробуй теперь изложить это правило коротко и ясно, то есть сформулировать его.

- 61 -

- Мы начинаем наше путешествие в одном из нечетных узлов, а если их нет, то в каком угодно. Потом наметим какой-нибудь маршрут, который вернет нас в начальный узел или в случае двух нечетных узлов приведет во второй нечетный узел. Затем идем в обход, погашая в каждом узле тем же способом все те черные закоулки, которые не вошли в наш маршрут. Вот и всё.

- Хорошо, - отвечал Радикс. - А как ты полагаешь, надо ли заранее намечать маршрут или можно обойтись и без этого?

- Мне кажется, - начал Илюша, - что нельзя только упускать из виду того, что путь следует выбрать так, чтобы не нарушить связность фигуры. То есть я могу, например, при первой встрече с черным закоулком не обращать на него внимания, но надо обязательно обойти его из того узла, в котором я должен с ним расстаться. На чертеже (стр. 60) вот что получается: я могу пройти мимо черного закоулка - ромба CFGD, когда я дойду до узла С, но нельзя этого делать, когда я буду в узле D. Ну, разумеется, я говорю о том случае, когда мы двигаемся по направлению от В к Е.

- Так, - благосклонно отвечал Радикс, - все это верно.

И, в общем, ты рассуждал довольно мило. Ну, а теперь уж тебе не так трудно будет доказать и еще один пункт, а именно: что всякое путешествие по уникурсальной фигуре, при котором ты, проходя через пути, не нарушаешь связности, приведет тебя к цели. Постарайся теперь это сформулировать?

- По-моему, это уже совсем просто. Мы идем вперед, не нарушая связности. Число путей у нас все время в силу этого уменьшается. Ясно, что в конце концов мы обойдем все пути.

- Точно, правильно, прекрасно! - задумчиво пробормотал Радикс. - А теперь вот что: дана фигура с несколькими нечетными узлами, и если их больше чем два, то она не уникурсальна.

Возникает вопрос: сколько надо сделать в таком случае обходов? Вот тебе фигура с четырьмя нечетными узлами.



Фигура с четырьмя нечетными узлами. 

Рассмотри, сколько надо сделать обходов. Ты увидишь, что обходов надо столько, сколько пар нечетных узлов имеется в фигуре. Это вполне естественно. Вот тебе еще задачка. Возьмем твой первый чертеж - два ромба, соединенных прямой (эту соединительную прямую в фигуре мы называем мостом).

Теперь разорвем наш мост посредине. Подумай над таким вопросом: давай заполним разрыв моста какой-нибудь фигурой, то есть вставим в уникурсальную фигуру с двумя нечетными узлами еще одну связную фигуру, и разберемся, какую фигуру и как можно вставить.

- 62 -



Только с четными узлами или с двумя нечетными (стр. 65)? Это особенная геометрия. Она называется геометрия положения или топология. Вот тебе, кстати, прекрасная фигурка. Попробуй нарисовать ее одним росчерком. Ее придумал когда-то геометр Листинг.

- Так, значит, - сказал Илюша, - на свете есть не одна геометрия? Не только та, которую мы учим в школе?

- Далеко не одна.

- А почему этот ваш командор еще и Кандидат Тупиковых Наук? Что это за науки?

- Ну, в лабиринте ты видел немало тупиков. Это они самые.

- А почему он Магистр Деревьев?

- Если из твоего первого чертежа с двумя ромбами я уберу мост, система путей потеряет связность, будет опять два отдельных ромба - и все. Линию, которая соединяет два узла, мы называем путем, а если путь имеет то свойство, что при удалении его система теряет связность и распадается, то мы такой путь и называем мостом. Может существовать система, состоящая только из тупиков и мостов.



Фигура Листинга. 

- 63 -

Такая система называется деревом. В ней ни одного пути, который можно было бы удалить без того, чтобы система не распалась. Ну, а теперь давай подумаем, нет ли чего-нибудь общего между двумя такими задачами: нарисовать уникурсальную фигуру одним росчерком и обойти лабиринт, у которого только один вход. Ты, я думаю, понимаешь, что любой лабиринт можно считать лабиринтом с одним входом, потому что всякий лабиринт мы всегда можем "обнести" еще одним "забором".



- Уж не знаю, - вымолвил не сразу Илюша. - Правда, быть может, если начертить план лабиринта не так, как мы его чертили до сих пор, а изображать линиями не стенки, а самые пути, как раз и получится такая фигура, которую нужно обойти или начертить...

- Постой, постой минуточку! - прервал Радикс его рассуждения. - А как ты полагаешь, нужно ли в таком случае вычерчивать точный план путей?

- Я должен быть точен в том смысле, чтобы на плане было то число перекрестков, какое есть на самом деле, и то же самое относительно путей между ними. А как именно я нарисую самые пути - это неважно, лишь бы не спутаться, куда какой из них ведет.

- Правильно, - резюмировал его собеседник. - Следовательно, вообще можно сказать, что ты интересуешься топологической схемой путей. Если ты представишь себе, что линии путей изображены нитками, которые связаны в узлах-перекрестках, то можешь как угодно деформировать, или видоизменять, "сетку путей" - топологическая схема останется неизменной.

- 64 -

Ты только не должен рвать нитки, развязывать узлы или завязывать новые. Ну, а как же все-таки начертить такую фи


убрать рекламу




убрать рекламу



гуру?



В фигуру вставлен еще один ромб.

А теперь ромб вставлен по-другому.

- А вот тут, - признался Илюша, - я затрудняюсь: ведь в лабиринте может быть сколько хочешь всяких тройных и вообще нечетных перекрестков, то есть узлов... Как же с этим быть?

- Вот то-то и дело! - отвечал Радикс. - Это значит, что далеко не все лабиринты можно обойти, если ты решишь идти по каждому коридору только один раз. Но ведь это совсем не обязательно...

- Ну конечно! - радостно воскликнул Илюша. - Это как с моим тупиком, то есть я должен пройти именно по два раза по каждому коридору. Значит, и на чертеже лучше всего изобразить каждый коридор двумя линиями. А после этого все нечетные узлы станут четными, потому что они удвоятся: тройной, например, станет шестерным и так далее. И весь план лабиринта превратится в фигуру, у которой есть только одни четные узлы. А такую фигуру, как мы уже доказали, можно нарисовать одним росчерком.

Стало быть, всякий лабиринт можно обойти, проходя два раза по каждому из его коридоров. Вот это действительно замечательное доказательство!



- Нет сомнений, что это действительно доказательство, по только это еще не решение задачи лабиринта. И вот почему. Когда ты чертишь фигуру, тебе необходимо видеть ее всю, а иначе нельзя установить, правильно ли ты идешь и сохраняешь ли все время ее связность.

- 65 -

В лабиринте совсем иное дело: там плана нет и ты не знаешь, каков он в целом, а значит, надо придумать такое правило для его обхода, которое дало бы возможность обойти любой лабиринт, не зная заранее, каковы его нескончаемые коридоры.

- Да, это правда, - согласился Илюша. - Только как?

- Ты что-то толковал насчет правила правой руки? - услышал он в ответ. - А теперь что ты о нем скажешь?

- Когда мне пришло в голову это правило, я думал о тупике, у которого имеются разветвления, а они, в свою очередь, тоже тупики. Если лабиринт построен по этому правилу, то я, конечно, обойдя два раза каждый коридор, обойду весь лабиринт, если нет петель. А если есть петли, то все, что приходится внутри петли, я могу пропустить.

- А что такое "петля", как ее можно обнаружить на схеме путей лабиринта, о которой мы только что говорили?

- Это на схеме будет замкнутый путь, кольцо, то есть круговой маршрут внутри лабиринта. Если я попал на такой маршрут, то могу вернуться к тому месту, где вступил на него с другой уже стороны, причем я приду туда по еще нехоженому пути. В тупиковом лабиринте таких замкнутых маршрутов нет.

- Правильно. Мы можем даже это свойство - отсутствие петель - принять за определение того, что такое тупиковый лабиринт. Теперь от простого случая попробуем перейти к более сложному. Скажи-ка, нельзя ли превратить какой-нибудь лабиринт с петлями в тупиковый и как это сделать?

- Если бы я был строителем этого лабиринта, то отметил бы все петли и перегородил их, чтобы нельзя было больше пройти по ним кругом.

- Превосходно. Ну вот и расскажи мне подробно, как бы ты на месте строителя лабиринта все это сделал.

- Раньше всего, конечно, я бы достал план лабиринта и на нем начертил бы дорогу, начиная от входа и все дальше в глубь лабиринта. Каждый раз у кольцевого маршрута отмечал бы, что здесь ставлю перегородку... Ну, где бы ее поставить? Поставим в том конце кольцевого коридора, где он выводит опять к моим старым следам. Если так сделать, каждая петля станет тупиком, стало быть, я пройду ее всю, дойду до перегородки, поверну обратно, выйду из этого нового тупика и пойду дальше по основной дороге. Да буду посматривать, не набреду ли еще на петлю, которую надо перегородить. Когда я пройду таким образом на плане весь лабиринт...

- А уверен ты в том, что пройдешь таким образом действительно весь лабиринт?

- 66 -

- Кажется, уверен, - отвечал Илюша, размышляя. - Да, разумеется, пройду весь лабиринт и даже дважды, потому что я ведь представляю себе лабиринт в виде хитро завинтившегося тупика с рядом петель. Но если лабиринт представляет собой тупик, то нет сомнений, что я его пройду дважды: один раз двигаясь в глубь тупиковых коридоров, а другой - возвращаясь из них обратно. Каждую петлю я превращаю перегородкой тоже в тупик, а следовательно, каждую петлю тоже обойду дважды. Так что у меня нет сомнении в том, что обойду весь лабиринт и пройду его два раза - туда и обратно.

Ошибиться можно только в том случае, если я пропущу какой-нибудь коридор, что может нарушить связность. Если этого не случится, то я обойду эту самую уникурсальную фигуру двойных путей.

- Молодец! - одобрительно пробурчал Радикс. - Теперь мы подошли к концу наших рассуждений. Подумай: нельзя ли обойтись без плана и ничего не замуровывать? Скажи, пожалуйста, знаешь ли ты древнегреческий миф о Тезее, Ариадне и страшном Минотавре?

- Как будто знаю.

- А ну-ка расскажи мне.

- В то древнее время на острове Крит царствовал жестокий царь Минос. И вот он обложил Афинское царство ужасной данью: афиняне должны были каждый год отправлять Миносу в дар семерых юношей и семерых девушек. А коварный Минос посылал их в лабиринт на съедение чудовищу Минотавру - получеловеку-полубыку. В Афинах тогда царствовал Эгей, и вот его сын Тезей, когда подрос, попросил отца отправить его на остров Крит, к Миносу, в числе семерых несчастных юношей, чтобы положить конец этой ужасной дани критскому царю. Эгей долго колебался, но потом решил исполнить просьбу своего воинственного сына. Тезей поехал на Крит, там его полюбила царевна Ариадна и дала ему путеводную нить. Тезей сразился с Минотавром, убил его своей булавой и вышел из лабиринта. А затем он уехал с острова Крит вместе с Ариадной.

- Верно, - сказал, усмехнувшись, Радикс. - Я вижу, что эта история с лабиринтом тебе понравилась. Ну, а как ты полагаешь, что он сделал с нитью Ариадны, когда пришел к лабиринту?

- Ну разумеется, он укрепил один конец у входа, а с клубочком пошел дальше, разматывая его.

- Значит, ничего не замуровывал и не перегораживал?

- 67 -



Лабиринт УУ.



- Ясно. И плана у него не было. Он просто шел... Ведь нить Ариадны отмечала уже пройденный путь, так что если она попадалась ему поперек дороги - это значило, что он попал в петлю и пришел на то самое место, где уже был. И это, наверно, было сперва довольно жутко! Идешь, идешь и вдруг видишь - твоя нить лежит в новом коридоре. То есть это только так кажется, что он новый, а на самом-то деле ты уже в нем был (иначе откуда бы в нем взялась нить?). Что ж теперь делать?..

- 68 -

- Вот именно! - усмехнулся Радикс.

- Постой! - возразил мальчик. - Ты не торопись надо мной смеяться, это я просто рассуждаю вслух. Я хочу себе представить положение этого Тезея, которому казалось, что он идет вперед, а вдруг нить показывает, что он просто вернулся туда, где уже один раз был. Но ведь это как раз и означало бы, что он попал в петлю и находится в конце ее, там, где я ставил перегородку. Значит, чтобы правильно идти, он должен считать, что тот коридор, по которому он шел, перегорожен, то есть нужно вернуться, сдваивая нить. Тогда бы он шел точно так же, как я, когда превращал лабиринт в тупик. Значит, надо только следить за тем, чтобы идти ни разу не пересекать и не пропускать свободных коридоров, то есть идти как будто по тупиковому лабиринту.

- Отлично, юноша! - ответствовал Радикс. - Теперь ты, очевидно, сумеешь воспользоваться нитью Ариадны. Но у меня есть еще один маленький вопрос: нельзя ли эту нить из лабиринта вытащить обратно, чтобы вернуть ее с благодарностью царевне?

- Да очень просто: взять ее за конец и вытащить.

- Но ведь у тебя у выхода оба конца, то есть и начало и конец. Нельзя ли за оба конца взяться сразу?

- Из тупика можно, конечно, вытащить за оба конца...

Ах да, она и тут ведь лежит как в тупике! Ну разумеется, можно за оба конца тянуть.

- То-то и есть! А если бы ты бродил по лабиринту как попало, то за оба конца мог бы и не вытащить. Положим теперь, что ты уже дошел до центра лабиринта и надо идти назад. Не помогла бы тебе еще раз нить, то есть не смогла ли бы она указать, как сократить обратный путь?

- Если бы я, находясь в центре, натянул нить, прикрепленную у выхода, до отказа, наматывая ее на моток, то вытянул бы ее из всех лишних петель и тупиков и нашел бы самый короткий путь из центра к выходу.

- Самый короткий, ты полагаешь? Нет, братец, это неверно. Ты торопишься. Это не самый короткий, а только наибольшее сокращение того пути, по которому ты двигался и который был отмечен нитью. В центр от входа может вести несколько путей, и ты мог с самого начала попасть не на самый короткий из возможных маршрутов. Теперь мы все это разобрали, и остается только решить, как же обойти лабиринт, если нити Ариадны у нас нет.

- Тогда ничего другого не остается, как отмечать каким-нибудь способом на перекрестках те коридоры, по которым я прошел. Я бы ставил черточку на стенке того коридора, по которому пришел на перекресток, и на стенке того, по которому собираюсь уходить с этого перекрестка, и еще черточку, если я второй раз отправляюсь по уже пройденному, отмеченному коридору.

- 69 -



Топологическая схема его путей.



Уникурсальная фигура обхода.

- Допустим, что ты ставишь эти черточки. Ну, а как же ими надо пользоваться?

- 70 -

- Основное правило такое: каждый раз, когда я прихожу на перекресток, где уже был, я должен возвращаться обратно, если только это возможно. Так будет в том случае, если я пришел по новому коридору, в котором раньше не был (я бы это сразу заметил, потому что на стенке не было бы черточки). А если черточка уже есть, то я сейчас же ставлю вторую, которая запретит мне возвращаться на этот путь, потому что он обойден дважды. Тогда я должен идти по какому-нибудь - все равно по какому - из нехоженых коридоров, а если их больше нет, это означает, что я тут все исследовал и, следовательно, могу смело отправляться обратно по тому самому коридору, по которому пришел на этот перекресток в первый раз.

Этот коридор меня и поведет по правильному пути.

- Верно. Вот это и есть правило для двойного обхода всякого лабиринта. Но все ли случаи ты предусмотрел? Не может ли случиться так, что тебе и обратно идти некуда будет и нехоженых коридоров больше нет, а отмеченных по одному разу - несколько, и ты не знаешь, какой выбрать?

Схема обхода лабиринта УУУ.



Придя в В по пути № 3, я вижу по отметкам, что уже был на перекрестке В, и поэтому возвращаюсь по тому же коридору путем № 4, чем погашается весь участок ВС по пути № 3-4. Так как в С я вижу теперь свободные коридоры, то выбираю один из них (№ 5), избегая пока коридора СВ, по которому я пришел в С первый раз. Из D я выбираю произвольный путь, например № 6, и, наткнувшись в С на свои отметки, возвращаюсь тем же коридором (путь № 7) в D, откуда одним из свободных коридоров (№ 8) попадаю в Е. Избрав путь № 9, я обязан вернуться тем же коридором (путь № 10) и теперь неизбежно попадаю в центр лабиринта (путь № 11 и 12), откуда возвращаюсь ко входу по единственной оставшейся дороге (№ 13, 14, 15, 16).

- 71 -



Схема превращения лабиринта УУУ в дерево.

- Нет, так случиться не может: ведь я пройти сквозь перекресток, придя по свободному коридору, не могу - в этом-то и заключается суть главного правила. Если я стою и размышляю, куда дальше идти, это значит, что я вернулся по тому самому коридору, который выбрал для того, чтобы уйти с перекрестка: теперь он отмечен уже двумя черточками. Значит, надо найти коридор с одной черточкой. Это будет первый коридор, по которому я пришел, и эта одна черточка указывает обратный путь. Если я очень устану прежде, чем обойду весь лабиринт, то могу по этому признаку в любой момент выбрать правильный путь для возвращения к выходу. С нитью это совсем просто: если натянуть ее, она пройдет через каждый перекресток, который мне необходимо пройти при возвращении по своим следам; один конец будет тянуться ко мне, а другой - к выходу.

- А теперь, - сказал Радикс, - рассмотрим еще раз наш способ двойного обхода в несколько иной форме. Ты помнишь, что мы с тобой говорили о дереве, когда толковали об уникурсальных кривых?

- Помню. Дерево - это такая связная фигура, которая состоит только из мостов и тупиков.

- Верно. Ну, а чем же отличается схема путей лабиринта от дерева?

- В лабиринте могут найтись петли, то есть замкнутые пути, а в дереве, как и в настоящем, ветки обратно в ствол его не врастают.

А если мы этот чертеж развернем: 



- Вот именно! Но представь себе, что тебе пришлось повстречаться как раз с таким деревом-уродом, у которого некоторые ветки вросли обратно своими концами в ствол и друг в друга. Что бы ты стал делать, чтобы обратить такого урода в обыкновенное дерево, в смысле расположения его ветвей, разумеется?

- 72 -

- Взял бы пилу или топор, залез на это дерево и стал отделять приросшие концы веток друг от друга и от ствола.

- Правильно. Так ведь это и есть твое первое правило, по которому ты, придя на перекресток, где уже был, возвращаешься обратно.

Именно таким образом ты и превращаешь весь лабиринт в дерево. Если ты возвращаешься снова к своему пути, это означает, что ты пошел как бы по вросшей в ствол ветке и сделал круг. А когда ты не хочешь снова идти по основному пути и идешь вспять, то как раз и "отделяешь вросшую ветку", правда, действуя не топором, а просто запрещая себе перескакивать на основной путь.



- Так, - отвечал Илья. - Теперь как будто все ясно. Действительно, если я должен облазить все Начерти-ка сам схему путей этого лабиринта и схему его обхода! дерево, значит, надо облазить каждую ветку, а спускаться вниз я начну только тогда, когда отмечу все ветки. Именно это я и буду делать в лабиринте, превращенном в дерево или в тупиковый лабиринт, если буду соблюдать второе наше правило, то есть не уходить с перекрестка по первому пути, пока есть другие, еще не пройденные дважды коридоры.

- Вот ты разберись хорошенько во всех наших схемах, особенно в схеме УУУ, и тогда все ясно станет. А потом попробуй сам на досуге поразмыслить вот над чем. Наше правило обеспечивает двойной обход лабиринта. А может быть, можно обходить дважды не все коридоры? Ведь схему коридоров лабиринта все же иногда удается превратить в уникурсальную фигуру, удваивая не все коридоры лабиринта. Ну-ка, попробуй найти какое-нибудь общее правило для этого. Ты сам пробовал ходить по лабиринту и знаешь, что это довольно утомительно. Нельзя ли как-нибудь уменьшить количество этих скучнейших, а быть может - кто знает? - и совершенно лишних хождений взад и вперед по одним и тем же коридорам?

При этом, конечно, надо сделать так, чтобы весь лабиринт обойти, и в центре его побывать, и выйти на белый свет от туда.

- 73 -

Вот тут-то, друг Илюша, тебе и придется вспомнить кое-что из того, о чем мы с тобой толковали. Например, о топологической схеме лабиринта, затем о четности перекрестков-узлов в лабиринте и еще кое о чем...

Илюша посмотрел на Радикса и задумался.

- Вот уж не думал, - сказал он через минутку, - что задача о лабиринтах такое сложное дело! Читал я про них в разных книжках, и мне казалось, что это очень просто[7]. Мне только вот еще что приходит на ум. Мы с тобой разбирали лабиринты на плоскости. А могут существовать лабиринты в пространстве?

- Разумеется! Больше того, ведь только такие лабиринты и существуют в действительности. Коридоры копей, каменоломен, шахт, катакомб, как и сплетение подземных ходов, которые роет крот, можно рассматривать как пространственные лабиринты. И все наши правила отлично годятся и в этом случае, ибо они от числа измерений не зависят. Только твое правило правой руки тут никак не удастся применить.

Лабиринт, который построил специально для любителей элоквенции У. У. Уникурсальян, К. Т. Н., Д. Ч. и Н. У., М. Д., К. и К. О. С. М., П. В. В. М. 



- 74 -

- Уф! - воскликнул Илюша. - Все-таки это все довольно хитро. Но на досуге я все обдумаю и разберу как следует...

- Итак, - заметил Радикс, - мы с тобой не торопясь разобрали подробно две немаловажные задачки, а в продолжение этого разбора коснулись некоторых довольно серьезных вещей.

Не так уж плохо! Чем с большей старательностью ты отметаешь все излишнее, тем скорее приближаешься к решению...

Илюша задумчиво посмотрел на своего всеведущего друга и промолвил:

- Да... пожалуй... Что ж еще осталось мне спросить у тебя? А, вспомнил! Что это за интересный зверек бегал все время через лабиринт то вперед, то назад, точно заводной, у этой страшной тетушки Розамунды?

- А-а, - засмеялся Радикс, - тебе понравилась ее мышка! Она, братец, не простая мышка, а даже очень умная. Эта мышка - электронный робот. У нее превосходная электронная память, и для нее решить задачу лабиринта довольно просто. Она быстро запоминает свои ошибки и во второй раз уже не ошибается, а бежит по лабиринту, как по садовой аллее[8].

- 75 -

- Интересно!.. А кто такая богиня Лилавати, которую тетушка поминает через каждые два слова?

- Лилавати - прекраснейшая и благороднейшая богиня, - сказал Радикс. - Древние индусские математики называли ее "Прекрасная дева с блистающими очами". А попросту сказать, так называется одна глава из старинного сочинения индуса Бхаскара Ачария "Венец Астрономической Мудрости". Слово это в данном случае значит "благородная наука", а речь идет о решении уравнений. Ну, а у тетушки это просто такая поговорка.

- Так, - отвечал Илюша. - Ну, это по крайней мере хоть нетрудно. А древние индусы очень любили математику, если они придумывали для нее такие красивые имена?

- Ну еще бы! - произнес почтительно Радикс. - Ведь это они придумали нуль. А вычислять с нулем гораздо легче. Наши арабские цифры на самом деле индусские цифры. Вот, например, еще пифагоровы числа, - хоть они и называются пифагоровыми, на самом деле их надо называть вавилонские числа, ведь вавилоняне их знали раньше греков.

- А что такое пифагоровы числа? - спросил Илюша.

- Неужели ты не знаешь? - удивился Радикс. - это очень... Тесс! - вдруг сказал он, сделав серьезное лицо - Постой-ка... Ты ничего не слышишь?

Илюша прислушался и услыхал какие-то довольно медленные, ровные и тихие шаги.

- Кто-то идет сюда, - сказал он.

- Тише, тише! - зашептал Радикс. - Давай спрячемся.

Ты сейчас увидишь замечательное зрелище. Только смотри - ни одного звука. Тесс!..

Илюша и Радикс быстро юркнули в темный угол. Тихие шаги медленно приближались. И они звучали так приятно и гармонично, что казалось, будто слушаешь удивительную музыку, которая становилась вся яснее. И вот из мглы показались какие-то стройные, высокие фигуры.

Одна за другой перед глазами удивленного Илюши выходили из неопределенного тумана и двигались вперед высокие прекрасные женщины в легких одеждах, ниспадавших с их стройных фигур. Они смотрели куда-то вдаль, словно не замечая, что делается кругом, и странно улыбались, будто думая о чем-то, что только им одним известно. Илюша смотрел на них и думал, что эти женщины похожи на тех прекрасных мраморных греческих богинь, которых он в прошлом году видел с напой в Московском музее изобразительных искусств на Волхонке.

- Какие красавицы! - прошептал Илюша. - А я-то думал, что у вас здесь только и есть страшилища, вроде Розамунды.

- 76 -

- Тесс! - зашипел на него Радикс. - Говори потише.

Впрочем, это, брат, такие важные особы, что они, конечно, нас с тобой заметить не могут.

Илюша снова посмотрел на медленно двигающихся стройных молодых женщин и заметил, что у первой на платье выткана цифра "6", у другой- "28", у третьей - "496", у четвертой- "8128". У следующих были, кажется, вытканы тоже какие-то числа, но этого Илюша не мог разобрать.

- Да кто же они такие?

- Тесс!.. - прошипел Радикс. - Говори потише... Это - Совершенства.

- 77 -

Схолия Шестая,

 Сделать закладку на этом месте книги

благодаря которой читатель узнает очень простое правило, как из септиллиона, то есть из 1000 000 000 000 000 000 000 000 = 1026,

отобрать восемь бесподобных красавиц, и так как это правило применялось с успехом в течение двух с лишним тысяч лет самыми рассудительными людьми, то на него вполне можно положиться. Однако приятные рассуждения на эту тему неожиданно прерываются появлением довольно солидной особы, которую было бы затруднительно осмотреть обычными средствами, поэтому наши путешественники отправляются за помощью к очень юркому, трудолюбивому и словоохотливому маленькому народцу, и затем Илюша узнает немало неведомых ему до сей поры вещей по вопросу о четных и нечетных числах, их квадратах и о том, чем занимаются, с одной стороны, высшая арифметика, а с другой - разные бездельники.

Илюша поглядел на Радикса недоверчиво и спросил:

- То есть как - Совершенства?

- Тише! Тише! - сказал Радикс. - Впрочем, они уже удаляются. Эти удивительные существа суть совершенные числа великого Евклида...

- Это тот ученый грек, который написал "Начала", про геометрию?

- 78 -

- Он самый, а случилось это за три века до нашей эры. Поистине это был великий человек, - ответил очень серьезно Радикс. - "Совершенство же этих чисел заключается в том, что каждое из них равняется сумме своих делителей, разумеется исключая его самого. Например, число "шесть". Его делители - 1, 2 и 3. Сложи и опять получишь шесть. Или число "двадцать восемь". Его делители - 1, 2, 4, 7 и 14. Сложи их, и снова получается двадцать восемь.

Следующее число будет 496, и оно опять-таки равно сумме своих делителей - 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248. Совершенно так же и с числом 8218, что ты и сам можешь легко проверить.

- И много этих чисел? - спросил Илюша.

- Если по натуральному ряду чисел добраться до десяти в двадцать четвертой степени...

- Это будет, значит единица с двадцатью четырьмя нулями! А как называется такое громадное число?

- Оно называется септиллион. Это будет девятый класс чисел: единицы, тысячи, миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы и, наконец, вот эти септиллионы. Так вот, если до них добраться (а как ты сам понимаешь, это не так просто), то на всем этом протяжении чисел окажется всего-навсего восемь совершенных чисел. Они были найдены триста лет тому назад математиком Мерсенном. Еще Евклид дал общую формулу этих чисел, которая, разумеется, была выведена из наблюдений над ними.

И все же формула выводится на основании общих соображений. Формула очень простая. Но обращаться с ней тоже не очень просто. Вот она какова:

2n (2n+1 - 1).

При этом n может быть любым числом, однако выражение (2n+1 - 1) должно быть обязательно простым числом, то есть не иметь никаких делителей, кроме единицы и самого себя.

- Я знаю эти числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.[9]

- 79 -

- Ясно, - ответил Радикс. - Но если ты сам попробуешь применить эту формулу, то скоро убедишься, до чего это трудная задача. Я назвал тебе четыре совершенных числа. Для них в Евклидовой формуле n = 2, 3, 5 и 7. Если хочешь ознакомиться и с другими, то имей в виду, что для них число и будет равняться 13, 17, 19 и 31. Восьмое число начинается с квинтиллионов. Позже было найдено девятое совершенное число (для него n = 61), а затем - десятое, для которого n = 89. Для одиннадцатого n = 107. Для двенадцатого n = 127; в этом числе больше семидесяти пяти цифр. Ты заметил, что все указанные совершенные числа четные? Так вот, греческий математик Ямвлих говорит (и в правильности этого легко убедиться), что из всех четных чисел совершенными могут оказаться только те, которые подходят к формуле Евклида. Что формула Евклида дает в итоге четное число, это как будто ясно. Не - правда ли?

- Мне тоже так кажется, - отвечал Илюша поразмыслив, - потому что первый множитель - это два в какой-то степени, а степени двух все ведь четные?

- Да. И при этом никто никогда еще не мог найти ни одного нечетного совершенного числа. Однако, с другой стороны, все-таки никому так и не удалось доказать, что совершенное число не может быть нечетным... Сколько их? Тянутся ли они до бесконечности? Или на каком-либо обрываются? Никто сказать не может. В семнадцатом веке Антонио Катальди доказал, что все совершенные числа, кроме "шести", можно представить формулой (9n + 1). Это верно, однако ничего особенного из этого не следует. В двадцатом веке пытались доказать о них хотя бы то, что они могут быть только четными. Однако удалось доказать только то, что нечетные совершенные числа, если, конечно, они существуют, должны делиться по крайней мере на пять различных простых чисел и должны быть чрезвычайно велики.

- Да-а!.. - протянул Илюша. - Действительно, странная задача. А какой, собственно, толк от этих совершенных чисел?

Мне кажется, что какое-нибудь квадратное уравнение гораздо полезнее. При его помощи решаются разные задачи, которые нужны в физике или в технике, ну и в геометрии тоже. Ни химики, ни инженеры, ни астрономы в этих совершенных числах, по-моему, не нуждаются. Они, конечно, очень красивые, эти Совершенства, но только... мне показалось, немножко похожи на кукол. А что с куклами делать? Поиграть да и бросить. И они молчат. Ты вот говоришь со мной, а они нет.

Я не понимаю, зачем ими заниматься. Не все ли равно, четные они или нет? Ведь с их помощью плотину не выстроишь, самолет не сделаешь?

- 80 -

- Конечно, - сказал Радикс, - ими сейчас вряд ли кто занимается, но, видишь ли, так рассуждать тоже нельзя, хотя с первого взгляда кажется, что ты совершенно прав и твое рассуждение тоже в своем роде совершенство. Однако... (АЛ-1, IX).

В эту минуту Радикс чуть было не свалился наземь, потому что откуда-то сбоку подул сильный ветер.

- У-у! - сказал Радикс, причем на его лице изобразилось нечто очень почтительное.

Снова завыл сильный ветер, и наши собеседники вынуждены были забиться в угол, чтобы их не унесло. Илюша всмотрелся в ту сторону, откуда дул ветер (а надо сказать, кстати, что он дул как раз с той стороны, откуда появились эти совершенные красавицы), и различил, что на громадном расстоянии от него двигалось что-то очень большое. Это было нечто вроде облака, вернее, это был левый край облака, и довольно правильно закругленный. Двигаясь, это облако колыхалось толчками, и, по-видимому, от этого-то и возникал такой ветер.

Когда же Илюша поднял глаза, то увидел, что облако и в вышину тянется так далеко, что не поймешь, где у него конец.

А ветер все гудел так громко, что Илюше стало даже страшно.

Эта громадина быстро приближалась.

- Тебе повезло! -крикнул ему Радикс изо всех сил в самое ухо, ибо свист ветра не давал говорить. - Но только отсюда ничего не увидишь. Бери меня за руку. Ты увидишь, какие могучие прыжки могу я совершать. А этот страшный вихрь будет дуть нам в спину и помогать двигаться.

- Бежать, конечно, надо, - сказал ему Илюша, тоже крича во всю глотку. - А то еще раздавит!

- Ничего! - отвечал Радикс. - Мы сейчас добежим до Лежандровой горы, где у нас выстроена замечательная консидератория, и оттуда кое-что увидим.

Радикс схватил Илюшу за руку и прыгнул. Они оба взлетели вверх, порыв ветра подхватил их, и они пронеслись но крайней мере километров пять, и при этом довольно скоро.

- Вот это прыжок! - самодовольно произнес Радикс, опускаясь на землю. - Так не всякий прыгнет. Ну-ка еще раз!

И они снова взлетели.

- А что такое консидератория? - спросил Илюша на лету.

- Ну, это, - отвечал Радикс, снова опускаясь на землю, - вроде обсерватории, только в обсерватории наблюдают, а в консидератории рассматривают.

На этот раз они пролетели не так далеко, так как ветер на этом расстоянии был значительно слабее.

И они прыгнули еще раз.

- А там есть телескопы? - спросил Илюша.

- 81 -

- Нет. Зачем там телескопы? Там куммерскопы.

- Куммерскопы? - повторил Илюша. - А это еще что за штуки?

- Ну, как телескопы - аппараты для наблюдения, так куммерскопы - аппараты для рассмотрения. Между прочим, там ты увидишь очень много моих детей.

- Разве у тебя есть дети?

- И немало! - отвечал самодовольно Радикс. - Один философ назвал их "чудовищами идеального мира", но это сущий вздор, потому что все мои ребятишки очень трудолюбивые и в высшей степени полезные существа.

В продолжение этого разговора они постепенно пр


убрать рекламу




убрать рекламу



иблизились к красивой горе, на которой возвышалась странной формы башня. Очевидно, это и была консидератория. Перед башней стоял большой обелиск, на основании которого были написаны три цифры - 3, 5 и 7, окруженные лавровым венком.

Когда наши путешественники подошли к дверям башни, Илюша увидел, что над этими дверями в два ряда написаны цифры: сперва - 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, а потом - 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97.

- 82 -

Цифры эти были высечены на громадной цельной плите из красивого синевато-зелено-серого камня нефрита и немного светились удивительно приятным, чуть-чуть розовым огнем. При этом цифры 37, 59 и 67 горели более ярко, чем остальные. Вокруг башни было тихо, и только легкие порывы ветра, достигавшие наших путников, давали им понять, что тот колосс, от которого они ускакали, все еще движется в том же направлении.

На дверях башни был вырезан сложный орнамент, где Илюша увидел массу корней разных степеней, и все они извлекались почему-то из единицы.

Тут они вошли в здание, и к ним немедленно подлетел какой-то крохотный человечек, личико которого было чрезвычайно странно устроено. Слева это было лицо как лицо, но правая сторона была до того неопределенная, что когда Илюша смотрел на правую половину лица этого человечка, никак не мог понять, есть ли у него эта правая половина или нет.

- Дорогой папенька! - воскликнул человечек, бросаясь к Радиксу.

Радикс приветливо улыбнулся и сказал человечку:

- Позволь тебе представить одного любознательного юношу, с которым мы сюда зашли на минуточку посмотреть в куммерскоп. Он, видишь ли, осматривает наш мир...

Тут Радикс прошептал что-то человечку на ухо, но что, Илюша разобрать не мог. Человечек быстро закивал головкой.

- Очень-очень рад, милейший Илюша! - сказал он, пожимая мальчику руку. - Позвольте, кстати, представиться: я - комплексное число. Мое имя Мнимий Радиксович. Мы, конечно, с вами встречались. Узнаете?

- Конечно, я вас знаю. Вы получаетесь из квадратного уравнения, когда под корнем оказывается отрицательное число. Слева у вас вещественное число и справа - мнимое.

- Совершенно справедливо! - воскликнул в восторге Мнимий Радиксович. - Именно таким образом, при помощи моего уважаемого папеньки, квадратного корня, я и получаюсь. Поэтому меня и зовут Мнимий. Некоторые думают, что я что-то загадочное и несуществующее, но вы, конечно, этого не думаете, да это и трудно думать, видя меня перед собой воочию!

- Я не буду вам все показывать, - сказал Мнимий Радиксович, - ибо у нас есть здесь аппараты и более сложные, чем куммерскоп, но они требуют не объяснений и даже не лекций, а нескольких годов изучения. Я проведу вас наверх; оттуда в люк вы сможете увидеть общин вид куммерскопа. А потом я отведу вас к экрану. При помощи нашего экрана вы сможете обозреть Великую в доступных нам пределах. А затем я вас сведу в музей, где есть несколько простеньких старинных моделей, доступных почти всякому.

- 83 -

Радикс и Илюша, разумеется, не стали спорить. Они остановились перед маленькой дверью, и через минуту лифт унес их на самый верх высокой башни.

- Пожалуйте! - сказал Мнимий Радиксович.

Все трое осторожно подошли к небольшому балкончику, откуда открывался вид в глубь башни. Все внизу было залито ярким светом. Бесчисленное множество комплексных человечков суетилось там, как муравьи на муравейнике. Бесшумно и неопределенно поворачивались какие-то громадные круги, какие-то знаки появлялись и исчезали в воздухе. Непрестанно проплывали в разных направлениях стрелки. Они появлялись, поворачивались, удлинялись, отражались в громадных зеркалах и исчезали. Несколько бледных фигур легкими движениями рук управляли всей этой сложной и беззвучной суетой. В этом непрерывном, очень быстром, но четком движении была какая-то строгая правильность. Илюша смотрел, затаив дыхание.

- Ну, идемте, - шепнул им Мнимий Радиксович. - Тут ведь идет настолько тонкая работа, что даже наше безмолвное присутствие может ей помешать. Пойдемте к экрану. Он находится в зале Трех Великих Знаков.

Они обошли балкончик и подошли к тяжелым, литым бронзовым дверям, на каждой из которых среди множества узорных украшений были изображены буквы е, π, i. Гости проникли в самую верхнюю часть башни. Это был громадный сумрачный зал со сводчатым потолком. В глубине стояла огромная пустая рама, а неподалеку от двери - несколько кресел.

- Присаживайтесь! Сейчас я приведу экран в действие.

А когда он начнет работать, то вы простым движением руки сможете его поворачивать, куда вам будет удобно.

Свет в зале потух. Громадная пустая рама заполнилась мягким светом. Это и был экран.

- Сейчас, - крикнул откуда-то из глубины Мнимий Радиксович, - сейчас увидите! А когда увидите, тогда уже управляйте сами. Правой рукой. Это очень просто.

Желтоватое сияние на громадном экране начало местами бледнеть, местами разгораться, и тут Илюша стал постепенно разбирать на нем несколько неопределенные формы того колоссального существа, от которого они недавно так поспешно ускакали.

- 84 -

Понемногу эти формы становились яснее. Илюша двинул рукой влево, и изображение переместилось. Тут он ясно увидел тот левый край этого колосса, который он только что видел своими собственными глазами. Теперь ему показалось, что это край платья. Он начал двигать изображение в другую сторону. Край платья, легко колтыхаясь, все двигался и двигался, а конца не видно было. Наконец Илюша заметил какую-то неясную тень громадных размеров, которая мелькнула на экране, напомнив своей формой ногу, обутую в красивую туфлю странного, очень старинного фасона. Затем, все время передвигая экран, чтобы наконец дойти до правого края фигуры, Илюша рассмотрел и другую ногу, которая тоже мелькнула и быстро исчезла. Наконец Илюша добрался и до правого края фигуры.

- Каково же расстояние от одного края до другого? - робко спросил Илюша.

- В точности это вам никто сказать не может, - услыхал он в ответ.

Поднимая экран, Илюша наконец разобрал кое-как, что перед ним, по-видимому, необозримо громадная фигура женщины в старинном платье; он еле-еле мог рассмотреть ее до пояса. Далее шли облака и тучи, сквозь которые ничего не было видно.

- Это какая-то невероятная великанша! - воскликнул Илюша.

- 85 -

- Так ведь она так и называется, - отвечал ему Мнимий - Перед вами Великая Теорема Ферма, одного из величайших математиков мира, жившего в семнадцатом веке. Скоро пройдет три столетия, как он высказал ее, и до сих пор наука еще не нашла ее доказательства, а с другой стороны, и не смогла показать, что эта теорема несправедлива. Проблема эта до такой степени громадна и необъятна, что, как вы сами могли убедиться, нет возможности осмотреть ее целиком. Даже наши исключительно мощные аппараты могут показать вам только часть того, что есть на самом деле. Идемте в музей.

И все они спустились на лифте и вошли в широкую комнату, где по стенам висели различные чертежи и формулы.

- Ну вот, - сказал проводник наших героев, - номер первый. Позвольте вам представить. Вот сама теорема. Рассказать ее - минутное дело. Надо доказать, что если взять вот такую сумму:

an + bn = cn,

причем показатель и равняется любому целому положительному числу больше двух, то невозможно отыскать три таких целых положительных числа, которые удовлетворяли бы этому равенству. Другими словами, только сумма двух квадратов может быть тоже квадратом. Это так называемые вавилонские, или пифагоровы, числа, без сомнения вам известные.

- Да-да... - сказал несколько растерянно Илюша.

- Ну! - произнес Мнимий Радиксович, видя его затруднение. - Ну, например, три в квадрате плюс четыре в квадрате - это будет пять в квадрате. Девять плюс шестнадцать будет двадцать пять.

- А! - вспомнил Илюша. - Это по пифагоровой теореме!

Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы в целых числах. Так ведь это очень просто!

- Разумеется, - отвечал Мнимий, - это несложно. Но если сумма двух квадратов может быть квадратом, то уж сумма двух кубов не может быть кубом. И вообще ни одна степень, кроме второй, не годится. Это еще никому не удавалось опровергнуть. Наоборот, чем дальше идут наши работы, тем больше мы убеждаемся, что это справедливо. Но дело в том, что надо доказать, что это так. Доказать не для отдельного случая, а вообще, то есть для любого случая. И вот до сих пор, несмотря на все труды, это не удавалось. Заметьте, в постановке задачи ничего трудного нет, это любому грамотному человеку можно рассказать. А доказать, что эта задача не решается, все-таки пока еще невозможно.

Комплексный человечек перешел к другой формуле.

- 86 -

- Ну вот, позвольте теперь дать вам некоторые указания об пифагоровых числах. То есть о сумме квадратов. Начнем с того, что мы будем рассматривать всегда три таких числа, чтобы никакие два из них не имели общих делителей. Нам ведь нет смысла рассматривать равенства, вроде вот такого:

62 + 82 = 102,

потому что такое равенство можно сократить на 22, и тогда мы придем к тому, с чего начали, то есть к равенству

32 + 42 = 52.

А с другой стороны, поскольку это сумма, то если какая-нибудь пара чисел делится на некоторое число, то и третье на него делится. Следовательно, нам нет смысла рассматривать такие случаи. Ясно?

- Ясно, - ответил Илюша.

- Прекрасно, - отвечал терпеливый лектор. - Теперь далее. Вы видите, что если взять "три" и "четыре", то одно из этих чисел четное, а другое - нечетное. Может ли быть иначе? Очевидно, нет. Потому что если бы оба эти числа были четные, то у них был бы общий делитель "два", а мы только что выяснили, что это нам не подходит. Теперь: могут ли оба эти числа быть нечетными? Нет, потому что тогда сумма их квадратов должна была бы быть четным числом. Это очень просто проверить. Возьмем два нечетных числа, возведем их порознь в квадрат, а эти квадраты сложим:

(2m+1) 2 + (2n+1) 2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1 =

= 4(m2 + n2) + 4(m +n) + 2 = 2[2(m2 + n2 +2(m+n)+1].

Ясно, что наша сумма есть четное число. Однако если квадрат какого-нибудь числа есть число четное, то само число и подавно четное. Если же это так, то наша сумма должна делиться без остатка на четыре, ибо всякое четное число можно написать в виде 2n, откуда квадрат его есть 4 n2, и он, очевидно, делится на четыре. Попробуем теперь разделить на четыре нашу сумму квадратов двух нечетных чисел:

[4(m2 + n2) + 4(m+n) + 2]/4=(m2+n2)+(m + n)+2/4.

Ясно, что эта сумма на четыре не делится, и мы получаем и остатке "два". Следовательно, наше предположение ведет к противоречию. И два числа в правой части равенства не могут быть оба нечетными. А так как мы видели, что они не могут быть и оба четными, то ясно, что одно из них четное, а другое нечетное. Вы с этим согласны?

- 87 -

- Согласен, - отвечал внимательно слушавший Илюша.

- Теперь очевидно, что третье число должно быть также нечетным, ибо квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного - нечетное. Ясно, что их сумма опять будет числом нечетным. Положим теперь для определенности, что z (сумма) будет нечетным числом, х (первое число) тоже нечетным, а у (второе) - четным. Тогда можно написать, что

y2 = z2 - x2 = (z - x)(z + x)

Отсюда ясно, что выражения (z - х) и (z + x) представляют собой снова четные числа, ибо они суть разности двух нечетных чисел. Следовательно, можно положить:

z + х = 2m; z - х = 2n,

а отсюда

z = m + n; х = m - n.

При этом m и n не имеют общих делителей, и они, как у нас говорят, разной четности, то есть одно из них четное число, а другое нечетное. Но если все это так, то тогда можно написать:

у2 = (z + x) (z - x) = 4mn

и отметить, что, очевидно, m и n суть квадраты. Ибо если бы m содержало какой-нибудь простой делитель в нечетной степени, то недостающий делитель должен был бы входить в n, а в и его не может быть, ибо m и n не имеют общих делителей. Но если это справедливо, то можно написать, что

m = р2; n = q2,

а отсюда окончательно получаем формулы для всех трех наших чисел:

х = p2 - q2; у = 2pq; z = p2 + q2.

Это и есть формулы пифагоровых троек. По этим формулам можно получать любое количество пифагоровых чисел. Например, если у нас р равно пяти, a q равняется четырем, то наши пифагоровы числа будут 40, 9 и 41. Проверим. Сорок в квадрате будет 1600, девять в квадрате - 81, а сорок один в квадрате - 1681. Все в порядке. Ясно?

- 88 -

- Ясно, - скромно ответил Илюша, которому очень правилась эта маленькая лекция.

- Конечно, если наши p и q будут оба нечетные, то наши индусские числа неизбежно будут иметь общий множитель, равный двум. Проверьте, коли не поленитесь! Впрочем... Этими числами даже в древнем Вавилоне занимались! Сохранились таблетки с росписями.

Илюша тщательно проверил вычисления и убедился, что лектор прав.

- Теперь я скажу вам еще несколько слов о судьбе Великой Теоремы. Видите ли, это началось с того, что в семнадцатом веке один из крупнейших математиков всех времен, Пьер Ферма, однажды, читая своего любимого автора - древнего математика Диофанта, записал на полях этой книги свою теорему, о которой мы только что говорили. А записав ее, он добавил следующие слова: "Я нашел поистине удивительное доказательство этой теоремы, но на полях книги слишком мало места, и оно здесь не упишется". И вот с тех пор математики всего мира триста лет бьются и не могут найти это доказательство. Один крупнейший математик, Леонард Эйлер, тот самый, кто впервые обозначил отношение окружности к диаметру греческой буквой π, доказал, что для третьей и четвертой степени теорема Ферма правильна. Но надо вам сказать, что уже для третьей степени его доказательство вводит понятия более сложные, чем те, которые были известны математикам во времена Ферма. В частности, он должен был в этом случае прибегнуть к нашей помощи, то есть к помощи комплексных чисел, частным случаем которых являются обыкновенные числа. И мы ему, разумеется, в этом деле, как умели, помогли. Ведь если посмотреть на все это дело, как говорится, попросту, то легко можно сказать: зачем эти бедные комплексные чудачки возятся в этой башне с такими сложнейшими аппаратами? И все только для того, чтобы доказать, что некоторая задача не может быть решена? И триста лет математики бьются над задачей, от которой никому ни тепло ни холодно! Но это не совсем так. Уже Леонард Эйлер должен был вводить для этой задачи новые числа, то есть расширять понятие числа. А это великое дело. Ибо когда построена новая система чисел, то она работает уже не только для этой задачи, а для всех математиков и для всех проблем. А когда за эту задачу взялся математик Куммер, по имени коего и наш главный аппарат, как вы знаете, называется куммерскопом, то он построил целую теорию, где было очень много нового. И при помощи этой новой теории он доказал нашу Великую Теорему сразу для всех тех показателей степени, которые вырезаны на камне над дверями нашей башни.

- 89 -

Причем для трех чисел, которые светятся над дверями особенно ярко, ему пришлось построить дополнительную теорию. Он расширил наши представления в области математики и дал нам совершенно новые аппараты, которые годятся для очень многих вопросов, в частности и для таких, которые задевают интересы инженеров и других практических деятелей. Я уже не говорю о том, что только благодаря Куммеру вы могли разглядеть на нашем экране Великую хотя бы по пояс. До Куммера можно было рассмотреть разве что бахрому ее мантильи, ибо теорема была доказана только для чисел 3, 5 и 7. В настоящее время теорема доказана вплоть до очень больших показателей степеней.

Вычисления для этого понадобились не шуточные! Чтобы вы могли себе составить представление о том, с какими громадными числами в таком случае приходится иметь дело, укажу, что если возвести число "два" в степень "семьсот", то в результате мы получим число, в котором будет двести с лишком знаков, а если возвести "три" в ту же степень, получим число, в котором будет более трехсот знаков. Я слышал, как вы недавно говорили, что септиллион кажется вам довольно внушительным числом, а ведь в нем всего-навсего только двадцать пять знаков! Вопросами такого рода занимается высшая арифметика, которая называется теорией чисел. Исследования в этой области раскрывают очень много серьезных проблем, с которыми приходится сталкиваться математику.

Вы знаете, что существуют иррациональные числа, как, например, √2, которые не могут быть выражены никаким конечным числом десятичных знаков. Но √2 может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например:

х2 - 2 = 0.

Однако есть числа, еще более сложные по своему строению.

Таково, например, число π, которое мы называем трансцендентным числом. Оно уже не только не может быть выражено конечным числом десятичных знаков, но не может быть, кроме того, и корнем никакого алгебраического уравнения с целыми или вообще рациональными коэффициентами. И вот это в высшей степени важное его свойство и доказывается способами теории чисел. Кстати, когда наконец это доказательство было получено (а ведь это случилось не так давно, в конце девятнадцатого века), то тем самым был положен конец всем решительно попыткам найти квадратуру круга, то есть построить равновеликий данному кругу квадрат при помощи циркуля и линейки. Об этом, я думаю, вы слышали?

- 90 -

- Конечно, - отвечал Илюша.

- Так что с этой задачей, которая долгое время занимала умы людей просвещенных... (правда, к сожалению, не только просвещенных!), было покончено.

- Это вроде как с "вечным двигателем", то есть с perpetuum mobile? - вставил Илюша.

- Н-да, - согласился Мнимий, - в этом роде.

- Но ведь теорема Ферма - это все-таки не квадратура круга и не perpetuum mobile?

- Ну конечно, нет! - воскликнул Мнимий. - Это все же серьезная проблема, хотя и частного характера. Заметьте, что теория чисел славится среди математиков тем, что постановка ее задач на первый взгляд кажется очень несложной, но зато решение их дается ученым с таким трудом, что, пожалуй, в этом отношении с теорией чисел не может поспорить никакая другая отрасль математики. Из наиболее важных проблем этой науки я укажу вам на проблему распределения простых чисел в ряду целых чисел. Ясно, что среди всех этих чисел самое важное значение имеют именно простые, ибо все остальные суть произведения простых, а они в силу этого, очевидно, являются элементами, из которых образовано каждое целое число. Вопросом о том, сколько этих чисел, занимался с успехом еще Евклид, показавший, что простых чисел в ряду целых имеется бесконечное множество. Гораздо позже над вопросом о распределении простых чисел трудился Эйлер, а затем важнейшие результаты были получены крупнейшим русским математиком П. Л. Чебышевым уже в девятнадцатом веке. На решение многих проблем теории чисел нередко требуются не то что годы, а целые столетия. Например, в конце восемнадцатого века английский математик Варинг предложил одну задачу по теории чисел. На первый взгляд она совсем не хитра: надо доказать, что всякое целое число можно представить в виде суммы ограниченного числа энных степеней целых чисел. Для n, равного двум, это сделать не очень трудно, и вывод гласит: всякое целое число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов.

Например:

2519 = 432 + 252 + 62 + 32.

Но доказать надо не только для квадратов, а для всех степеней. И только уже в начале двадцатого века было дано решение этой труднейшей задачи с помощью самых тонких средств математического анализа.

- 91 -

Вот еще пример. В середине восемнадцатого века академик X. Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что всякое целое число больше трех может быть разложено на сумму не более чем трех простых чисел. Задача эта оказалась до такой степени трудной, что еще в начале нашего века на международном математическом конгрессе один из видных ученых заявил, что она "превосходит силы современной математики". Оказалось, впрочем, что это не так. Основные результаты в решении этой задачи были достигнуты советским математиком Л. Г. Шнире Аьманом, который доказал, что, составляя суммы достаточно большого (но заранее ограниченного) числа слагаемых, каждое из которых есть простое число, можно получить все натуральные числа. Уже это было достижением, которое вызвало удивление математиков всего мира. Но, конечно, еще труднее было доказать, что для разложения четных чисел достаточно двух, а для разложения нечетных чисел - трех слагаемых, каждое из которых есть простое число. Это последнее утверждение удалось доказать замечательному советскому математику И. М. Виноградову, которому и принадлежит, таким образом, помимо ряда блестящих работ в других областях теории чисел, решение этой никому не покорявшейся проблемы Гольдбаха (для нечетных чисел; для четных метод Виноградова дает четыре слагаемых). Решение Виноградова быстро облетело весь мир и увенчало советскую математику заслуженной славой...

Однако должен добавить ко всему сказанному вот еще что.

Допустим, что завтра найдется гениальный математик и докажет теорему Ферма[ I ]. Конечно, это не будет переворотом всей математики. И возможно, что разговоров будет больше, чем дела. Все это так. Однако нельзя сомневаться в том, что методы, которыми действует математика, благодаря этому обогатятся, и даже очень. Ну вот, теперь, мой милый гость, мне кажется, что я, насколько мог, удовлетворил вашу любознательность.

- Я даже не могу выразить, до чего я вам благодарен!

Мне кажется, я никогда еще не слыхал ничего такого интересного. Я всегда очень любил математику, а теперь... теперь мне кажется, что это самая интересная вещь на свете!

- Что ж, молодой человек, - ответил ему Мнимий Радиксович, приветливо улыбаясь, - я, конечно, в этом деле не судья, но возможно, что вы не так далеки от истины.

После этого Илюша и Радикс сердечно распрощались с гостеприимным хозяином и не спеша, стали спускаться с Лежандровой горки. Радикс пояснил Илюше, что горка эта называется так, но имени математика Лежандра, который высказал о теореме Ферма некоторое очень тонкое замечание.

- Как все это интересно! Что за прелесть, эти комплексные человечки! - воскликнул Илюша.

- 92 -

- Не забудь, однако, - заметил Радикс, - что все это довольно трудно. Мир этих человечков отличается рядом свое образных и неожиданных особенностей, которые не так-то просто изучить. А без такого изучения ты от них не многого добьешься!

- Пусть трудно, но, по-моему, лучше заниматься трудным делом, только чтобы оно было интересное. Ты как думаешь?

- Точно! - сказал Радикс.

- Вот бы, - сказал мечтательно Илюша, - мне все это выучить, стать математиком и доказать эту теорему!..

Услыхав это, Радикс посмотрел на Илюшу так странно и пристально, что Илюше на минутку стало не по себе. Радикс смотрел на него не отрываясь. Илюша хотел было спросить, чего это он на него так уставился, как вдруг что-то громко ухнуло сзади, точно громадная хлопушка, и Радикс со страшной быстротой полетел вверх. Илюша не успел и ахнуть, как все, что было вокруг него, тоже понеслось вслед за Радиксом ввысь. И тут только Илюша сообразил, что это он сам куда-то провалился и падает с ужасной скоростью. В ушах у него свистело, все неслось вверх с треском и грохотом, и он совсем было потерял голову. Вдруг все неожиданно остановилось и разом утихло.

Илюша осмотрелся и увидел, что стоит почти впотемках на гнилых досках каких-то очень грязных сеней. Перед ним облезлая дверь, в которую кое-как вколочен ржавый гвоздь вместо ручки. Где-то жалобно пищит кошка. Илюша растерянно потянул за гвоздь. Дверь с унылым скрипом распахнулась, и Илюша попал в убогую каморку с подслеповатым окошечком, завешенным густой паутиной. Было холодно. И стало вдруг ужасно скучно. Илюша оглядел каморку в величайшем унынии. Радикса и след простыл! Перед Илюшей стоял колченогий столик, а за ним на старом ящике сидел какой-то старикашка в порыжевшем от времени пальто, подпоясанном веревкой. Перед ним стояла старая жестянка с водой, на ней лежал кусок заплесневевшего хлеба. Старичок что-то старательно чертил циркулем. Илюша нерешительно кашлянул.

- Сейчас, - сказал старичок, - сейчас, голубчик! Вот только начерчу еще одну окружность - и готово. Только одну.

Одну-единственную.

- А что вы делаете? - спросил Илюша.

- А видишь ли, - отвечал тот, - я заслуженный специалист по Великой Теореме Ферма, а сейчас это так, забава, пустяк - трисекция угла с помощью циркуля и линейки.

Пустяки! Очень легко сделать.. Надо только начертить двести двадцать две окружности, провести сто одиннадцать хорд и секущих, и все готово. Очень просто!

- Как так? - жалобно спросил Илюша.

- 93 -

- Очень просто. Ну, совершенно так же, как делается с циркулем и линейкой квадратура круга.

- Квадратура круга?! - повторил в ужасе Илюша.

- Ну да. Это тоже очень просто. Только надо переставить числа хорд и окружностей. Хорд надо двести двадцать две, а окружностей сто одиннадцать. В общем, то же самое...

- Как у вас холодно! - сказал Илюша, надеясь переменить разговор.

- Машина не в порядке, - с огорчением ответил старичок. - Она, понимаешь ли, требует керосина для смазки. То есть теперь требует. Потом, когда я ее еще усовершенствую, этого тоже не будет нужно. Все время работала, а без керосина никак не выходит.

- Какая машина? - спросил Илюша.

- Для отопления. Это perpetuum mobile...

- Perpetuum mobile? .. - еле прошептал Илюша. - У вас и perpetuum mobile есть?

- А как же! - гордо сказал старичок. - Она у меня вертит крыльями. В жестянке. Воздух от этого нагревается, а потом я открываю жестянку, теплый воздух выходит, и в комнате становится теплее. Да я вот сейчас доделаю, потом закончу еще одно доказательство теоремы Ферма...

- Как так "еще одно"? Разве у вас уже есть доказательство?

- Доказательство! - усмехнулся старичок. - У меня, их есть уже пятьсот пять штук. Это будет пятьсот шестое.

- А зачем же так много? - спросил Илюша.

- Зачем так много? - задумался старичок. - Вот уж не знаю. Всё говорят - нехороши! Будто бы неверные. А уж такие хорошие доказательства! Одно другого лучше! Оставайся у меня. Будем вместе доказывать. У меня есть еще одна идейка. Доказательств на двадцать хватит. Вот посмотри мое четырехсот второе доказательство теоремы Ферма.

Илюша взял в руки замусоленный кусочек бумажки, начал разбираться в выкладках и вдруг с ужасом обнаружил, что почтенный ферматист был уверен, что если некоторое число делится на каждое из двух чисел а и b порознь, то оно должно разделиться и на их произведение. Илюша опустил бумажку и начал дуть себе на замерзшие пальцы.

- Но хочу я доказывать вашу теорему! - вдруг вскрикнул Илья в отчаянии. - Пустите меня отсюда, я замерз!

- Ах, так ты не хочешь? Вот как! - сказал, ядовито ухмыляясь, ферматист. - А ты ведь сказал, что хочешь? Поворачивайся! Нечего рассуждать! Раньше надо было думать.

И снова все засвистало, и Илюша помчался обратно вверх.

- 94 -

Все кругом трещало, ухало, грохало, а Илюша мчался наверх с такой скоростью, о которой раньше даже и понятия не имел.

Вдруг снизу, сквозь страшный грохот, раздался зычный крик:

- Вот он! Держи его! Стой! Поймать! Остановить! Изловить!

Илюша чуть не лишился чувств от страха. Он узнал страшный голос, взглянул вниз и увидел, что за ним с криком несется ужасный Уникурсал Уникурсалыч, Кандидат Тупиковых Наук, Д. Ч. и Н. У.

- Лови его! Держи! Он забыл про тысяча семьсот семьдесят пятый!.. Я ему покажу, как такие вещи забывать!..

"Что такое? - подумал Илюша. - Что это такое за тысяча семьсот семьдесят пятый? .."

- Не помнишь! - кричал снизу Доктор Четных и Нечетных. - Я тебе покажу! Я тебе напомню! А вот я сейчас!..

И вдруг перед Илюшей, откуда ни возьмись, появился старинный том, на переплете которого было вытиснено золотыми буквами: "Решения и постановления Парижской Академии Наук за 1775 год". Кинга открылась, несколько страниц перевернулось, и Илюша прочел:

"Академия постановила: отныне и впредь не рассматривать представляемых ей разрешений задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение".

- Вот что, друг любезный, - вымолвил довольно сурово встретивший его Радикс, - имей в виду, что у нас здесь очень не любят, когда люди, плохо знакомые хотя бы с тем, что в теории чисел называется "арифметикой целых алгебраических чисел", и с тем, какие возникают затруднения при рассмотрении делимости на "алгебраические числа", начинают заглядываться на теорему Ферма. И не следует так быстро решать, что ты будешь делать в областях, которые тебе пока еще очень мало известны. А насчет теоремы Ферма надобно быть особо осторожным. Дело в том, что формулировка этой теоремы очень проста, и на первый взгляд неопытному человеку кажется, что и вся проблема проще простого, что надо только не быть "ученым педантом" и обладать в небольшой степени тем, что именуется "здравым смыслом", чтобы разобраться и покончить со всей проблемой одним махом. В дальнейшем ты и сам увидишь, что на свете существует немало задач, которые очень просто формулировать, но которые отнюдь не просто решить, и что никакой связи между простотой формулировки зада


убрать рекламу




убрать рекламу



чи и простотой ее решения не имеется.

Укажу тебе еще вот на какое обстоятельство. Я совершенно уверен, что ты забрался в эту книжку главным образом для того, чтобы в дальнейшем ознакомиться с другими, более трудными книжками...

- 95 -

- Да-да! - перебил его Илюша. - Конечно! Вот из-за этого-то...

- Хорошо, - спокойно отвечал ему Радикс. - Я понимаю это. И вполне тебе сочувствую. Но имей в виду, что когда ты доберешься до этих более трудных книжек, то очень скоро убедишься, что в теории чисел, науке вообще очень трудной, существуют уже решенные задачи - кстати сказать, тоже на первый взгляд не очень сложные, - но разобраться в том, как они решаются, и усвоить, какова основная идея решения, может только человек с куда более основательной, подготовкой, чем у тебя, и то не сразу, а после долгих и упорных трудов, измеряемых для отдельного случая не часами, а неделями. Осмелюсь тебе еще доложить, что на свете было, есть и будет несметное число всяких бездельников, которые отравляют жизнь настоящим ученым, заваливая их своими творениями по вопросу о квадратуре круга и доказательствами теоремы Форма и требуя не только внимания и помощи, но и тысячных премий, и поднимают дикие вопли о бесчеловечности, когда их просят по-хорошему не приставать с чепухой и отвязаться. Я, конечно, не думаю, чтобы ты в будущем пристал к этому стаду, потому что сам видел сейчас, что эту задачу голыми руками не возьмешь, но все-таки, дружок, надо быть поосторожнее! Ты должен понять вот что, милый друг: если ты подходишь к теореме Ферма всерьез, как подобает ученому, то надлежит вооружиться всеми средствами современной науки, иначе ничего не сделаешь. А чудаки, которые надеются одолеть ее с помощью элементарных средств, напоминают того дурачка, который, увидав в первый раз телескоп, наведенный на луну, решил, что только заведомые глупцы могут пользоваться таким сложным аппаратом, а он, умник, поступит попроще: просто сколотит большую деревянную лестницу, залезет на небо, достанет оттуда луну, поставит ее к себе на стол, разглядит и всем желающим расскажет.

Вот как!

- 96 -

Схолия Седьмая,

 Сделать закладку на этом месте книги

где Илюша открывает еще кое-что насчет обычаев и нравов веселого карликового народца, у которого он был в гостях, и, в частности, узнает о том, как можно натянуть нос одному неуклюжему существу, причем натягивание это мнимое, а нос-то получается совершенно вещественный. После этого наш герой пытается играть с зеркалом в "Дразнилку", а затем наши добрые друзья встречаются с тремя недогадливыми испанцами и тремя храбрыми дипсодами, то есть людьми из Страны Жаждущих (которая подробно описана в знаменитой истории Гаргантюа и Пантагрюэля, неутомимых острословов, великанов и мудрецов). И только благодаря этой встрече Илюша узнает, сколько врагов надо уложить, когда на тебя нападают со всех сторон, ибо до сих пор он думал, что сторон в три раза меньше, чем это оказывается на самом деле. Тут же выясняется, почему любители чужого добра вдруг становятся такими кроткими, когда им растолкуют наконец, какие симпатичные треугольнички для них приготовлены в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

Илюша и Радикс продолжали свой путь в самом приятном расположении духа. Однако через несколько времени Илюша задумчиво промолвил:

- Эх! Я забыл спросить у этого человечка еще одну штуку.

- Что именно? - вопросил Радикс.

- 97 -

- Я никак не пойму: какое отношение эти комплексные человечки могут иметь к такой задаче, в которой есть только вещественные, да еще притом целые числа?

Тут Илюше показалось, что на него кто-то смотрит сзади.

Он обернулся и к своему неописуемому удовольствию увидел, что невдалеке позади, под синей стеной, в креслице сидит Мнимий Радиксович собственной персоной.

- Могу, - сказал любезный человечек, - вам рассказать о некоторых наших хитроумных проделках. Это вам кое-что пояснит. Вы, конечно, помните, что разность двух квадратов распадается на два множителя - на сумму и разность первых степеней.

- Ну еще бы, - отвечал Илюша.

- А мы, - продолжал словоохотливый человечек, - умеем делать то, чего вещественные числа делать не умеют: мы можем разложить на множители сумму квадратов. Это очень просто. Смотрите.

И на стене около кресла сейчас же появилось следующее:

x2 + у2 = (х + iy) (x - iy).

- Буква i, как всегда, обозначает √-1. Перемножьте, и вы убедитесь, что это равенство справедливо. Кстати сказать, формулы для пифагоровых троек я мог бы получить тоже не без помощи этого выражения, а именно вот как. Если нам нужно, чтобы х2 + у2 = z2,

то положим, что оба множителя, то есть (x + iy), а также (х- iy), суть квадраты каких-то чисел, разумеется тоже комплексных, так что, например:

x + iy=(p + iq) 2 = p2 - q2 + 2pqi.

Теперь я сравниваю левую часть с правой и заключаю, что

х = p2 - q2; y = 2pq,

откуда уже сразу следует, что

z = р2 + q2.

- 98 -

Это, правда, не совсем строго, хотя бы потому, что из a•b = z2 не следует, что а и b непременно квадраты, но формулы получаются как раз те, какие нам нужны. Обратите, кстати, внимание еще на то, что одно равенство комплексных чисел заменяет собой два равенства обычных чисел. Это тоже ведь преимущество немалое! Теперь позвольте вам указать еще и на то, что если мы возьмем не разность квадратов, а разность кубов (а ведь куб-то как раз и является первой из тех степеней, о которых идет речь в Большой теореме Ферма!), то вещественные числа умеют разлагать эту разность только на два множителя, то есть на разность первой степени и неполный квадрат суммы. Не так ли?

Илюша утвердительно кивнул. И тотчас на стене появилось:

3 - 1) = (x - 1) (х2 + х + 1).

- Ну, а мы можем разложить вам эту разность не на два, а на три множителя, и получится вот что...



- Вы легко можете убедиться в справедливости этого равенства, либо просто перемножив эти три скобки, либо решив квадратное уравнение, которое представляет собой ваш неполный квадрат суммы.

х2 + х + 1 = 0.

- Ну вот, - продолжал Мнимий, - отсюда вы легко можете видеть, что мы вполне можем иметь прямое отношение к задачам, в которых есть только вещественные числа. С этим несложным, но очень полезным разложением мы еще встретимся в дальнейшем, когда займемся вопросами довольно хитрыми (но при этом замечательно интересными) через каких-нибудь двенадцать Схолий. Причем мы способны делать то, о чем вещественные числа и понятия не имеют. А так как наша арифметика очень похожа на арифметику вещественных чисел, то вы можете прийти к нам, а потом вернуться к вещественным числам, и никаких недоразумений у вас не получится. А мы будем вам с удовольствием помогать теми своими способностями, которых у вещественных чисел нет. Мало того, мы еще вам что-нибудь подарим на память, чего вы даже у нас не просили. Вот, например, разложим разность кубов на три множителя, а если вы внимательно присмотритесь к этому разложению, то увидите, что наше решение имеет непосредственное отношение к геометрической задаче о том, как вписать в окружность равносторонний треугольник. И это потому, что мы друзья с синусами и косинусами, а коэффициенты, которые мы вам вывели, равны: один - синусу тридцати градусов, а другой - косинусу тридцати градусов.

- 99 -

Илюша не мог сразу сообразить, при чем тут равносторонний треугольник, но, вспомнив, что синус 30° действительно равен одному из приведенных Мнимием Радиксовичем коэффициентов (то есть половине), не решился спрашивать и дал себе слово, что на досуге возьмет геометрию и сам все разберет.

- Теперь, - сказал Илюша, - я, кажется, начинаю понимать, как вы помогаете. Это замечательно!

- Милый юноша, - отвечал ему Мнимий Радиксович, - все, что вы здесь увидите, все вам будет помогать. Только надо научиться пользоваться нашей помощью. Это кажется трудным, но ведь вы когда-то и читать не умели, однако научились! Так и здесь то же самое. А если вы меня спросите теперь, почему мы с такой охотой беремся помогать вам в чужой задаче, то я вам отвечу, что, во-первых, всякому охота показать, на что он способен, ну, а потом, знаете, это все-таки довольно забавно - натянуть нос этим неповоротливым вещественным числам, чтобы они не важничали, потому что они народ ужасно спесивый, но совершенно не могут быть такими юркими, догадливыми и любезными, как мы! Однако, не всякий сразу с нами освоится. Вот, например, число шесть - поговорите о нем с вещественными числами, и они вам скажут, что это просто "дважды три". Справедливо, разумеется! Но с нашей точки зрения его можно еще немного иначе написать:

2 • 3 = 6 = (1 + √-5)(1 + √-5).

Попробуйте проверьте! Надо, видите ли, еще иметь в виду, что вопросы делимости могут касаться даже и алгебраических выражений, а ведь это очень важно, ибо алгебра-то и учит нас решать вопросы в общем виде. Вот задачка: дано выражение

m3 + 6m2 + 11m +6.

Спрашивается, делится оно на три или нет? Что вы на это скажете?

- Не знаю, - ответил смутившийся Илюша, - может быть, попробовать разложить на множители?

- 100 -

И мальчик получил:

(m + 2) (m + 3) (m + 4).

- А теперь заменим (m+ 2) на n. И тогда?

Илюша написал, а затем ответил нерешительно:

- Три натуральных числа подряд. Произведение! Коли так... то должно делиться на три! Вот странная задачка! Сразу не разберешься. А ведь мне нужно еще узнать про Дразнилку, - обратился Илюша к Радиксу, ибо Мнимий уже исчез. - Ты расскажешь?

- Отчего же! - ответил Радикс, беря со стола три картоночки, каждая величиной с почтовую карточку, и протягивая их Илюше. - Мы с тобой сначала рассмотрим самый простенький случай - тройного Дразнилку, который у тебя назывался "икс". Помнишь?

- Помню! - сказал Илюша, разглядывая карточки. На каждой стояла цифра: 1, 2 и 3.

- Так вот, - продолжал Радикс, - положи их на стол в обычном порядке. Запиши мелом на стене эту первую комбинацию, исходный порядок, то есть 1-2-3. А теперь перекладывай их так: ту, которая стоит спереди, клади в самый конец и повторяй дальше тем же порядком. Это круговая, или циклическая, перестановка.

Илюша переложил несколько раз, потом сказал:

- Больше не выходит. Опять то же самое получается.

- А теперь разложи их в обратном порядке: 3-2-1 и перекладывай опять так же.

- И тут то же, - ответил Илюша. - Опять я пришел к тому же, с чего начал, то есть к 3-2-1.

- Ну, теперь запиши.

Илюша записал так:

А)

1 - 2 – 3

2 – 3 – 1

3 – 1 - 2

Б)

3 – 2 - 1

2 – 1 - 3

1 – 3 - 2

- Вот они и все, - сказал Илюша, - их всего шесть штук.

- Попробуй, - посоветовал Радикс, - взять опять комбинацию 1-2-3 и перекладывать не переднюю назад, а заднюю вперед.

- Не стоит, - отвечал Илюша, - это я уже пробовал там, у Розамунды. То-то и дело, что они ходят друг за дружкой гуськом. И все равно в какую сторону двигать.

- 101 -



- Правильно, - сказал Радикс. - А теперь положи карточки рядом в порядке 1-2-3 и посмотри в зеркало, что у тебя получится.

Илюша посмотрел в зеркало и увидел, что из его комбинации 1-2-3 в зеркале получается 3-2-1.

- Как раз наоборот! - сказал он. - Из "А" получается "Б".

- Ну, теперь переставляй их вкруговую. И смотри, что выходит в зеркале.

Из 2-3-1 в зеркале вышло 1-3-2; из 3-1-2 получилось 2-1-3.

- Ну, как ты думаешь, - спросил Радикс, - можно ли уложить карточки так, чтобы и перед зеркалом и в зеркале получилось одно и то же расположение?

- Н-нет, - сказал в недоумении Илюша. - Ну как же это возможно? Нет, нельзя!

- Так, - отвечал его наставник, - Значит, там один круг, а здесь другой. Ну, вот и всё. Весь секрет Дразнилки в том, что там при наличии одной пустышки, в сущности, возможны только круговые перестановки. Игра в Дразнилку, как ты и сам понимаешь, это игрушка, почти безделка, но вот именно из-за того, что в этой игре участвуют эти круговые перестановки, о которых мы еще наговоримся впоследствии, игрушка эта получает довольно серьезный смысл. А перевести 1-2-3 в 3-2-1 циклической перестановкой нельзя, как нельзя добиться, чтобы в зеркале было то же, что перед зеркалом. Значит, если у тебя стоит с самого начала какая-нибудь комбинация из круга "А", то ты можешь прийти к основной комбинации 1-2-3.

- 102 -

Это будет четный круг. Но если у тебя стоит комбинация из круга "Б", то ее перевести в основную комбинацию невозможно. Но это - круг нечетный. Попробуй теперь в основной комбинации 1-2-3 переставить две какие-нибудь рядом стоящие цифры.

Илюша переставил. Из 1-2-3 получилось 1-3-2, потому что он переставил 2 и 3.

- Вот теперь получился круг "Б".

- Переставь еще двух соседей.

Илюша поменял местами 3 и 1 и получил 3-1-2.

- А теперь получился круг "А".

- Ну, вот и всё! - сказал Радикс. - Ты, я думаю, и сам видишь, что если переставляешь соседей четное число раз, то получается тот же круг. А если переставишь нечетное число раз любых соседей, причем неважно - этих ли самых или каких-нибудь других, то ты переводишь все расположение во второй круг, и тогда вернуться к первому кругу, не вынимая шашек из коробочки, невозможно. А теперь возьмем какую-нибудь комбинацию шашек в самом маленьком Дразнилке. Ответь мне: можно ли сказать сразу, выйдет у тебя в данном случае или не выйдет?

- Сказать я могу, - отвечал мальчик, - потому что помню, какие комбинации относятся к какому кругу.

- Та-ак... - довольно кисло протянул Радикс. - Однако не в числе шашек дело, потому что всего интереснее располагать правилом, которое было бы пригодно для любого числа шашек. Разумеется, мы начнем с того, что выясним, какие комбинации относятся к какому кругу, но в дальнейшем нам придется рассуждать уже по-иному. Не так ли? Как тебе кажется?

- Мне кажется, что нам нужно найти правило, по которому можно было бы сразу установить, выйдет данная комбинация или нет. Ты говорил, что все дело в том, сколько раз я переставлял соседние шашки...

- Так. Ну и что же?

- По-моему, можно так рассуждать. Каждый раз я меняю местами две шашки, то есть одну пару. Значит, надо сосчитать, сколько есть таких пар, которые поменялись местами.

Так как я не знаю, как именно они переставлялись, то надо пересмотреть все пары, которые стоят не в том порядке, который нужен. Вот, например, я начинаю с комбинации 1-2-3, затем идет комбинация 2-1-3. Тут только одна пара нарушает порядок: единица и двойка.

- Можно сказать, - вставил Радикс, - что эта пара образует беспорядок, инверсию.

- 103 -

- Хорошо. Значит, у нас здесь одна инверсия. Каждую пару я буду считать только один раз. Дальше беру комбинацию 2-3-1. Здесь есть две пары, образующие инверсии. Первая пара - единица и двойка, вторая - единица и тройка.



Двойка и тропка стоят относительно друг друга в порядке. Значит, здесь две инверсии. Беру еще одну комбинацию: 3-2-1. Здесь три пары шашек нарушают порядок. Первая пара- тройка и двойка. Вторая пара - тройка и единица. Третья пара - двойка и единица. Всего здесь три инверсии. Как ты и говорил, при четном количестве инверсий задачка решается...

- А если нет ни одной?

- Если нет ни одной, то и делать нечего, все и так в порядке.

- А если нечетное число инверсий, то задачка не может быть решена. Если подсчитать число инверсий в любой комбинации, то можно сразу сказать, выйдет или не выйдет. Если инверсий четное число, то выйдет; если нечетное, то не выйдет.



- Хорошо, - сказал Радикс, - а теперь перейдем к большому Дразнилке. Как там надо считать число инверсий и какой установить порядок?

Илюша задумался.

- Да, - промолвил он, - они просто по кругу не располагаются.

Это ясно. Сейчас я попробую во всем разобраться. Ты не торопи меня. Ага, кажется, я начинаю кое-что понимать.



Начальный порядок там идет змейкой (верхний рисунок).

- Правильно. Так вот мы и будем далее считать, "змейку" как нормальное начальное расположение в Дразнилке. Если двигаться по "змейке", то инверсий не получится. Вдоль нашей "змейки" мы и будем отсчитывать число инверсий.

Теперь посмотрим, как вообще будет изменяться число инверсий, если мы возьмем какое-нибудь - любое - расположение (рисунок средний) и в нем передвинем на пустое место (оно у нас во втором столбце и во второй строке) одну из шашек той же строки, то есть "три" или "восемь".

- 104 -

- Если идти вдоль по "змейке", - отвечал внимательный Илюша, - то число инверсий не изменится. Только разрыв в "змейке", который образует пустышка, перейдет на другое место, а в остальном расположение останется такое же.

- Прелестно! - отметил Радикс. - Ну, а если я на это место подвину одну из шашек того же столбца, то есть "десять" или "шесть", тогда что случится?

- Можно сосчитать! - сказал Илюша. - В первом случае мы перейдем к положению нижнего рисунка, то есть от ряда (по "змейке")

1, - , 15, 14, 12, 8, 10, 3.

Раньше "десять" образовывало инверсию с "восемью", а теперь этого не будет, но зато появятся инверсии "пятнадцати", "четырнадцати" и "двенадцати" с "десятью"; в общем, окажется на три инверсии больше и на одну меньше - в итоге на две инверсии больше. Если же передвинуть не "десять", а "шесть", то в средних строчках вместо ряда мы получим ряд

12, 8,-, 3, 11, 6, 7, 5

мы получим ряд

12, 8, 6, 3, 11, - , 7, 5:

значит, "шесть" перескочит через "три" и "одиннадцать" и будет теперь образовывать новую инверсию с "тремя", потеряв свою старую с "одиннадцатью", - число инверсий совсем не изменится.

- Вообще, - сказал Радикс, - где бы ты ни оставил пустышку, каждый раз, когда на ее место подвинешь соседнюю шашку сверху или снизу, число инверсий или вовсе не изменится, или изменится на четное число.



Большая стрелка показывает, как идет "змейка". 

- 105 -

- Да-а, - протянул Илюша. - Из этих примеров выходит так. Но я не пойму: как надо рассуждать, чтобы убедиться в том, что всегда так будет выходить?

- Ну хорошо! - примирительно сказал Радикс. - Давай теперь соберем все наши наблюдения над Дразнилкой. И попробуем подытожить все вместе. Итак - шашка может обойти только четное число других шашек: две, четыре и шесть. Это и есть основа всей системы Дразнилки: если есть возможность, комбинируя друг с другом такие четные обходы, достигнуть желаемой позиции - задачка решается. Если нет, то и нет решения. Надо сравнить заданную позицию с желаемой: если между ними четное число инверсий - все в порядке! Если нечетное, ничего добиться нельзя. Вот и все! Любая позиция из круга иной четности переходит в обратный круг при перестановке с места на место одной-единственной (но не двух!) шашки. Если внимательно посмотреть на зеркальное отображение самого маленького трехшашечного Дразнилки, то ясно, что один круг переходит в другой как раз через зеркальное отображение. Но если это так, то всегда из задачи, которая "не выходит", можно сделать другую, которая "выходит". Это будет та же искомая позиция, но в зеркальном отображении.

Конечно, как это в каждом случае сделать - уж вопрос другой (АЛ-1, VIII).

- Понимаю, - сказал Илюша. - Выходит верно, но как-то не очень складно. Ведь должна же быть какая-нибудь общая причина, благодаря которой число инверсий всегда меняется на четное число при скачке через четное число шашек...

- Ишь какой хитрец! - воскликнул, рассмеявшись, Радикс. - Причина-то как раз в том и заключается, что ты перескакиваешь через четное число шашек, а ведь всякое четное число состоит из двоек. А если взять две шашки, то уже мы с тобой установили... Впрочем, можно этого отдельно и не рассматривать. Будем рассуждать так. Пусть шашка перепрыгивает по "змейке" через четное число 2n шашек. Причем есть р шашек, с которыми у нее были инверсии, и q = 2n - р шашек, с которыми инверсий не было. Ясно, что 2n - четное число. Но если это так, то числа р и q, как говорится, одной четности, то есть либо они оба четные, либо оба нечетные, иначе их сумма не могла бы быть четной. Если же я теперь вычту эти два числа одной четности, р и q, друг из друга, то я обязательно получу четное число, так как разность двух четных, как и двух нечетных, чисел неизбежно четная. Можешь проверить, коли тебе не лень. Другими словами, разность двух чисел всегда одинаковой четности с их суммой.

- 106 -

Иначе говоря, алгебраическая сумма некоторого числа единиц с любыми знаками всегда будет одной четности с числом этих единиц. Вот в чем тут сила! Ну, вернемся к нашей задаче. Изложи мне коротко и ясно: что же мы доказали этим рассуждением?

- Мы доказали, что при всякой перестановке шашки на пустое место число инверсий меняется на четное число. Значит, здесь, как и в маленьком Дразнилке, вернуться к исходному положению (то есть к такому, в котором нуль инверсий) можно только из расположения, в котором подсчет вдоль по "змейке" показывает четное число инверсий.

- Великолепно! - отвечал, вздохнувши, чтобы перевести дух, Радикс. - Вот теперь мы можем сказать, что установили необходимое условие того, чтобы Дразнилка вышел. А то, что это условие еще сверх того и достаточное, можно доказать совершенно строго, но мы этим заниматься не будем.

- Ну! - произнес огорченно Илюша. - Это мне не очень нравится. Ведь выходит, что мы только полдела сделали.

И, наверно, это самое интересное и есть, потому что мы не получили правила, как приводить шашки в порядок.



- Конечно. Хотя одно общее доказательство вовсе и не должно указывать, как добиться цели скорей всего. Но только дело в том, что это доказательство не простое, и я не уверен, захочешь ли ты его слушать.

- Захочу, захочу! - обиженно сказал Илюша. - Мне очень нравится, когда я наконец начинаю разбираться в таких вещах, которые сперва кажутся такими уж хитрыми, что не знаешь, с какой стороны и подойти.

- 107 -



- Хорошо, - покорно отвечал Радикс. - Давай попробуем. Начнем вот с чего: убедимся в том, что с помощью перемещения шашек на пустое место мы всегда можем перепрыгнуть через любые две шашки по линии "змейки". Это совершенно ясно, если они обе стоят по соседству с пустышкой у того края, где "змейка" переходят из строки в строку. Но если они стоят где-нибудь рядом в одной строке, то мы можем поступить так: переместим их на край, не нарушая циклического расположения трех шашек (третья - та, которую надо перевести), так, чтобы они стали на краю друг под другом; затем, освободив место для переводимой шашки, перемещаем ее через них и вернемся, не нарушая циклического расположения трех шашек, к исходному порядку, но с перемещенной уже шашкой. Приведем пример, и все станет ясно (верхний рисунок, стр. 107). Шашку "восемь" переведем через "девять" и "десять". Сперва мы передвинем шашки в двух нижних строках (нижний рисунок на стр. 107). Затем, как показывают три рисунка рядом, мы постепенно передвигаем шашки, потом перескакиваем и возвращаемся обратно. Как видишь, все осталось на месте, только шашка "восемь" перепрыгнула через двух своих соседок.

А теперь нам осталось доказать еще, что все шашки можно поставить на место такими скачками при любом исходном положении, содержащем четное число инверсий. Для этого давай поставим сначала шашку "единица" на первое место, если она еще на нем не стоит. Ясно, что, перескакивая через две шашки, мы ее доведем либо до второго, либо до первого места. Но если "единица" попадет не на первое, а на второе место, мы заставим шашку, которая стоит на первом месте, перепрыгнуть через две шашки направо. Тогда шашка "единица" очутится на первом месте.



Восьмерка перепрыгивает через две шашки ("2" и "11") 

Поступим затем тем же порядком и с шашкой "двойка", то есть поместим ее на второе место, и так далее.

Но когда мы дойдем до предпоследнего места, то поставить на него шашку, которая стоит на последнем месте, не удастся, потому что ей ведь для этого надо перепрыгнуть через одну, а не через две шашки. В таком случае в самом конце "змейки", в четвертой строке, мы получим расположение 13-15-14 вместо 13-14-15, и если все остальные шашки уже стоят по местам, то получается только одна инверсия, между "четырнадцатью" и "пятнадцатью". Однако это может случиться только в тех расположениях, где уже с самого начала было нечетное количество инверсий.

- 108 -

Следовательно, при четном числе инверсий все шашки в конце концов неизбежно станут на свои места.



Восьмерка перепрыгивает через четыре шашки ("14", "15", "11" и "2") 

Как видишь, мы попутно еще доказали, что когда Дразнилка "не выходит", то на свои места можно поставить все шашки, кроме двух последних, что ты, как я полагаю, и сам не раз замечал. Если ты пожелаешь разобрать это доказательство на примере, расставь все шашки для упрощения в одну шеренгу и перепрыгивай через две, как указано. Конечно, в квадратике Дразнилки ты можешь для ускорения дела иногда перепрыгивать и через четыре или шесть шашек, как мы выяснили раньше. Ну вот, а теперь поставь нашу "змейку" в ее натуральном порядке.

Илюша поставил (см. рис. на стр. 110).

- Погляди, как в зеркале отражается, и запиши.

Илюша глянул в зеркало и написал то, что видно на рисунке на следующей странице внизу.

- В первой строке "четыре" дает инверсии с "тройкой","двойкой" и "единицей", "тройка" - с "двойкой" и "единицей", наконец, "двойка" - с "единицей".

Всего в первой строке одна плюс две плюс три - шесть инверсий. Во второй строке столько же. В третьей тоже столько же. Всего восемнадцать. А в последней строке только три инверсии. В конечном счете получается двадцать одна инверсия.

- То есть в итоге нечетное число. Значит, если зеркальное расположение "не выходит", его можно перевести в натуральное расположение с одной инверсией. Но раз так, значит, и расположение с одной инверсией можно перевести в зеркальное. А поэтому всякое расположение, которое "не выходит" (и которое, как мы доказали, можно свести к одной инверсии), ты можешь перевести в зеркальное. Так вот, когда у тебя "не выйдет" (возьми-ка поставь в большом Дразнилке пример с перестановкой только двух шашек - "единицы" и "пятнадцати"), то ты можешь для утешения стремиться не к натуральной расстановке шашек, а к зеркальной.

- Вот это так! - вскричал Илюша. – Беспроигрышный Дразнилка! Здорово! Знаешь, это мне напоминает то странное слово, которое язык тетушки написал в Схолии Четвертой.

- 109 -

Илюша попробовал прием и убедился в его доброкачественности.



- Мне потому нравится Дразнилка, - заявил Илюша, - что все у него выходит просто. Только торопиться не надо!

Радикс усмехнулся.

- Как сказать! - проворчал он. - Как сказать! Если ты уж так хорошо все понял, то возьми-ка переверни шашки. На них ведь сзади, как ты помнишь, написано "Тетушка Дразнилка".

Вынь одну шашку... Ну, для памяти вынем ту, на которой стоит буква "ша". Потом перепутай шашки и проверь на буквах, как получается насчет правила "выйдет-не-выйдет". А коли заметишь какие-нибудь особенности, не поленись дать исчерпывающее объяснение. Да, кстати, вот еще что. Скажи, пожалуйста: известно ли тебе, что бывают уравнения со многими неизвестными?



- Ну еще бы! - отвечал Илюша - Конечно, известно.

Так вот, представь себе, что Дразнилка имеет довольно близкое касательство к решению систем уравнений со многими и даже весьма многими неизвестными.

- Да что ты? - удивился мальчик.

- Дело в том, - продолжал Радикс, - что если тебе, допустим, придет в голову точно определить, как можно вывести общие формулы, определяющие значения неизвестных в зависимости от коэффициентов в уравнениях, то придется заняться тем же самым, чем мы сейчас с тобой забавлялись, а именно - подсчитать число инверсий. Если не струсишь, то советую проверить это. Давай напишем систему уравнений:

a1x + b1y + c1z = d1

a2x + b2y + c2z = d2

a3x + b3y + c3z = d3

и найдем, чему равняется у.

- Это что-то трудновато, - неопределенно заметил Илюша.

- Для простоты положим, что х и z уже известны и нам надо определить через них у. Ну-ка попробуй, что получится.

- 110 -

Илюша взял карандаш, зад


убрать рекламу




убрать рекламу



умался на минутку и написал следующее выражение для у:

y = (d1 - a1x - c1z) / b1

- Очень мило! Ну, а еще чего-нибудь ты не придумаешь?

- Можно подставить это значение у в остальные два уравнения, тогда останутся неизвестными только х и z.

- Можно. А далее?

- А далее поступаю подобным же образом. Определю из одного из уравнений z и подставлю его в последнее оставшееся уравнение. Получу, очевидно, значение для х. А его можно подставить в предыдущую формулу для z и так далее.

Все определится очень просто. Только бы не запутаться во всех этих подстановках.

- Так, - закончил Радикс, - верно. Придется тебе еще подумать, кстати, о том, чтобы у этих твоих дробей, которые определяют неизвестные, знаменатели не обращались в нуль.

Но если оставить это пока в стороне, то формулы ты получишь верные. О них-то я и хотел тебе сказать несколько слов.

Займись-ка, выпиши, что получается окончательно в знаменателе дробей. Если ты нигде не напутал, то получится алгебраическая сумма произведений:

a1b2c3; a1b3c2; a2b1c3; a2b3c1; a3b1c2; a3b2c1;

А что касается знаков перед ними, то они как раз тем и определяются, какое число инверсий, четное или нечетное, образуют числа "один", "два" и "три" в подписных значках у букв a, b и с, если мы будем писать эти три буквы каждый раз в их алфавитном порядке, как это у нас и сделано. Если при четном числе инверсий брать знак плюс, а при нечетном - минус, то получится алгебраическая сумма, которая называется определителем, или детерминантом, данной системы уравнений. Ты можешь еще заметить, что и числители дробей построены так же, только там вместо одной из букв а, b или с (в зависимости от того, какое ты неизвестное определяешь) поставлена буква d (для икса d заменяет букву а, для игрека - букву b, для зета - букву с). Если мы захотим определить знак перед каждым произведением, то для этого достаточно того, что мы вывели, когда разбирали маленького Дразнилку. А дальше дело пойдет, разумеется, похитрее. Мы еще вспомним нашего друга Дразнилку, когда будем разбирать одну довольно сложную задачу в Схолии Девятнадцатой.

- 111 -

- Теперь уже я буду относиться к Дразнилке посерьезнее. Вот какая он, оказывается, знатная персона!

- Кстати, - задумчиво произнес Радикс. - Ты, кажется, уверял меня по поводу младшего Дразнилки, что из трех элементов можно образовать всего шесть комбинаций?

- Разумеется, - уверенно ответил Илюша.

- Как это мило! .. - еще более задумчиво произнес его приятель. - И ты уверен, что больше шести не может быть?

- Конечно, уверен!

- Так, значит, шесть! И все разные. Это очень важно.

Ровно шесть, говоришь ты?.. Это приводит мне на память один престранный случай. В архиве одного нотариуса города Толедо, в Испании, была обнаружена следующая запись, относящаяся к началу восемнадцатого столетия:

"После кончины достопочтенного дона Диего дель Кастильо в его доме было найдено завещание, согласно которому три драгоценных ларчика - бронзовый, серебряный и золотой - были оставлены трем его друзьям юности: дону Альваро, дону Бепито и дону Висенте, причем условие завещания гласило:

"Означенные предметы переходят во владение моих друзей по их выбору, который должен происходить в следующем порядке:

1)тот, кто видел меня в зеленом плаще, не может выбирать раньше дона Альваро;

2)если дон Висенте не был в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году, то, значит, тот, кто будет выбирать первым, никогда не давал мне своей табакерки;

3)дон Альваро и дон Бепито могут выбирать во вторую очередь только в том случае, если дон Бепито будет выбирать раньше того, кто первый стал носить шпагу..."

Когда вышеупомянутые лица, как того требует закон, были вызваны в суд, то они показали, что завещание это было составлено лет пятнадцать назад и поэтому сейчас никто из них не может вспомнить, о каком зеленом плаще идет речь, какое имела табакерка отношение к городу Саламанке, и так далее. Однако им известно, что в то давнишнее время дон Диего не раз говорил о том, что он имеет намерение оставить каждому из них хороший подарок. Тогда судья прочел им заключительные строки этого удивительного завещания, где говорилось:

"Настоящим я, завещатель, торжественно утверждаю во всеобщее сведение, что три вышеприведенных условия, которые определяют, кто и в какую очередь должен выбирать ларчики, вполне достаточны для этой цели, и ни одно из них не является лишним".

- 112 -

Однако и это не помогло тропы наследникам, вслед за чем судья, дон Базилио, закрыл заседание суда, а через неделю он, призвав к себе наследников, объявил им порядок выбора, определенный доном Диего в его завещании, сообщив им одновременно, кто видел завещателя в зеленом плаще, кто давал ему свою табакерку, кто первым стал носить шпагу и был ли дон Висенте в Саламанке в тысяча шестьсот девяносто четвертом году".

- Так вот, - продолжал Радикс, - ты теперь знаешь об этом деле столько, сколько знал судья. Представь себе, что к тебе обратились за решением того же вопроса, и ответь, каков же назначенный доном Диего порядок выбора.

- Не знаю, - сказал Илюша.

- Ну, брат, это не решение! - ответил ему Радикс. - Вспомни своего друга младшего Дразнилку и все шесть его переодеваний, хорошенько подумай и давай-ка решать...

Говорят, Илюша впоследствии все-таки нашел это решение. И, как это ни удивительно, в дальнейшем выяснилось, что туманные речи Радикса насчет шести переодеваний младшего Дразнилки, волшебника Икса, оказались в высшей степени полезными для этого. Пришлось еще припомнить и знаменитую речь У. У. Уникурсальяна из Схолии Пятой, о которой забывать вообще не советую... Очень странная история! ..

- Ну хорошо, - пробурчал, немного помолчав, Радикс - А слышал ли ты, кстати, когда-нибудь знаменитую историю с девятью бутылями вина Атоса, Портоса и Арамиса?

- Трех мушкетеров? - изумленно спросил Илюша.

- 113 -

- Ну да. История эта заключается в следующем. Однажды, после путешествия в Пино-Гри, Медок, Барзак, Грав, Шато-Икем, Бургундию и прославленную Шампанью, трое друзей съехались вместе, и между ними произошел следующий великолепный разговор. "Пусть меня подведут к единственным воротам славного города Кагора, - вскричал Арамис, - и повесят на них три раза подряд! Пусть шесть шпаг и десять пистолетов разом будут направлены в мое неустрашимое сердце! Пусть меня разорвут на двести пятьдесят три куска бешеные гиены из проклятых ущелий! Пусть мне в глотку немедленно вобьют ровно двести семьдесят шесть каленых пушечных ядер! Клянусь Геркулесом, Вулканом и самим длиннохвостым Вельзевулом - я не паду духом и не отступлю! Даже если бы я сам был пушечным ядром и на меня напали сразу все мои соседи справа, слева, сзади и спереди, еще с двух сторон, а кроме того, сверху и снизу, то и тогда бы я не дрогнул, а доблестно сразился бы со всеми этими двенадцатью врагами!" Услыхав эту бесподобную клятву, Портос и Атос мигом вскочили со своих мест, выхватив свои шпаги, и грозно гаркнули: "Мы готовы немедленно вступить в бой с миллионом горилл и людоедов, если кто-либо из них усомнится в том, что то, что ты сейчас сказал, чистая правда!"

Но Арамис грустно посмотрел на своих друзей и тихо промолвил: "И все же есть одна чудная сила, перед которой я слабею и падаю ниц..." Портос и Атос так были удивлены этим признанием, что не могли вымолвить ни слова. "Да, дорогие соратники, - повторил Арамис, - такая сила существует, клянусь моей непобедимой шпагой, и эта сила - жажда". Тут Портос и Атос, подумав недолгое время над этой фразой, сообразили, что все это было очень веселой шуткой, и, повалившись на диваны, начали хохотать. "Клянусь жареной головой кабана, начиненной говорящими попугаями, - вскричал в восторге Портос, утирая радостные слезы, - этот кавалер может уложить одной шуткой целый эскадрон королевских кирасир! Но что же нам делать с этим чудовищем - жаждой? Как же нам одолеть его?" Тут друзья отправились втроем в погреб гостеприимного дома, и там судьба послала им девять бутылей с вином. В первой было девять кварт вина, во второй - восемь, в третьей - семь, и так далее до девятой, в которой была только одна кварта. Вино было во всех бутылях разное, и одно только утешало наших мудрецов: все эти девять сортов вина отличались одним общим удивительным качеством - все они превосходно утоляли жажду. Дело было только за тем, чтобы откупорить бутыли и выпить все это вино. Но тут начались очень шумные пререкания. Затруднение заключалось в том, что Атос уважал сладкие вина,

- 114 -

Портос отдавал предпочтение кисленьким, в то время как Арамис пил только такие вина, которые были до того крепки, что уже невозможно было разобрать, кислые они или сладкие, и ни о каких других слышать не хотел. Мало этого, никак нельзя было догадаться, как бы поделить это вино, не смешивая его. А так как всем было до смерти некогда и их мучила жажда, а никто не хотел пить то вино, которое он не любит, то ты можешь вообразить, какая там поднялась суматоха! Однако отважный Арамис вдруг хлопнул себя по лбу и воскликнул: "Да здесь не без черта!

Мне даже кажется, что я слышу некий адский серный запах.

Ясно, что в это дело запуталось какое-то ужасное колдовство.

Но так как я прошел с большим успехом полный курс магии всех цветов, начиная с черной, то сейчас же я разрешу это дьявольское недоразумение при помощи таинственного заклинания, сообщенного мне под страшным секретом знаменитым волшебником Чу-Син-Чьеном, который подарил мне драгоценное "Зерцало Четырех Стихий". Вслед за этим Арамис быстро разрешил вопрос о том, как поделить безобидно эти девять бутылей, не смешивая вина, а -при этом еще предложил друзьям несколько решений, чтобы бутылки не только можно было поделить поровну, но всякий мог отобрать себе те вина, которые ему больше нравятся. Вот что гласит эта замечательная история. Не скажешь ли ты мне теперь, как поделить эти бутылки и как получить несколько решений задачи?

Илюша быстро сложил все кварты вина и получил "сорок пять". Значит, каждый кавалер мог рассчитывать на пятнадцать кварт вина. Несомненно, этого было вполне достаточно, чтобы утолить их благородную жажду, принимая во внимание, что кварта - это литр с лишним. Но как поделить эти девять бутылей, чтобы в каждых трех было пятнадцать кварт?

- В этой задаче, - произнес Радикс, - тебе бы мог помочь средний Дразнилка. Поставь-ка в коробочку все девять шашек, а потом подбери их так, чтобы...

- Понял! - воскликнул Илюша. - Так, чтобы каждый столбец из трех цифр давал в итоге "пятнадцать".

При помощи шашек Илюша быстро нашел решение.



- Получаются сразу два решения, - заявил Илюша, - потому что и по столбцам сумма дает "пятнадцать" и по строкам тоже выходит "пятнадцать". Постой-ка! Эта штука, кажется, называется магическим квадратом? Я где-то читал о них. Вот, значит, почему Арамис вспоминал о магии! А что же это за волшебник?

- 115 -

- Был такой волшебник математик в тринадцатом веке, и книга его действительно носит такое странное название.

Квадраты эти иногда называют "серебряными", так как в старину некоторые чудаки так их любили, что вырезали их на серебряных дощечках и были уверены, что эти квадраты прекрасное предохранительное средство против чумы. Европейцы узнали их из сочинения ученого византийца Мосхопулоса, который жил в четырнадцатом веке. Но на Востоке их знали много раньше, чем была написана книга Чу-Син-Чьена. Магические квадраты были найдены на стене развалин одного индийского храма, построенного в одиннадцатом веке. Арабы писали о них в девятом веке. А потом ими занимались многие, включая Ферма.

- А ну-ка, - воскликнул мальчик, - я попробую найти еще одно решение этой головоломки!

И довольно быстро Илюша получил его.



- Вот еще! - сказал он весело. Но, присмотревшись, добавил: - Впрочем, это тот же самый квадрат, который у меня получился в первый раз, только переставленный. Левый столбец, начиная снизу, стал третьей строчкой, средний столбец сделался второй строчкой, третий - первой.

Тут Илюша случайно взглянул в зеркало и увидел, что там его квадрат отражается еще по-иному[10].

- А вон, - весело воскликнул Илюша, - в зеркале еще решение! Ну-ка, я попробую теперь с большим Дразнилкой.



Но с большим Дразнилкой Илюша застрял основательно. Он высчитал, что должна получиться сумма столбца или строки, равная 34. Однако задачка оказалась довольно головоломной. Все-таки наконец он одолел этот упрямый квадратик. Его столбцы или строки тоже можно было переставлять и ловить отражение в зеркале со всех четырех сторон. Кроме того, оказалось, что если магический квадрат вращать вокруг точки, находящейся между четырьмя средними шашками, то есть вокруг центра коробочки, поворачивая каждый раз на 90°, то можно получить еще несколько квадратов.

- 116 -

При первом повороте магического квадрата на четверть круга в положительном направлении, то есть против часовой стрелки, первая строка превращалась в первый столбец, поворачиваясь так, что последняя ее шашка становилась верхней шашкой первого столбца, и так далее...



- Все-таки долго делать! - сказал Илюша. - А что будет, если взять квадрат побольше? Например, в двадцать пять клеток или в тридцать шесть. Совсем пропадешь!

- Как ты скоро пропадаешь! - отвечал Радикс. - Есть несколько способов составлять такие квадраты. Вот, например, как строится серебряный квадрат с нечетным числом клеток по старинному индийскому способу. Представь себе, что твой квадрат со всех сторон окружен такими же квадратами; их всего будет восемь, то есть к каждой стороне твоего квадрата приставлен такой же квадрат и к каждому его углу тоже. Начинаешь ты с того, что ставишь единицу в среднюю клеточку первой строки. Затем дальше ты всегда двигаешься по диагонали снизу вверх и, следовательно, слева направо. Если пойдешь по диагонали от единицы, ты попадаешь в тот приставной квадрат, который стоит сверху, и двойка попадает на его последнюю строку. Ты ее сейчас же переносишь в ту же самую клетку основного квадрата. Затем опять идешь по диагонали. Если ты снова попадешь в приставной квадрат, то опять переносишь цифру в соответствующую клеточку основного квадрата. Если же, когда ты двигаешься по диагонали или переносишь цифру из приставного квадрата в главный, попадаешь в клеточку, которая уже занята, то ты ставишь эту цифру как раз под той же клеточкой, которую только что заполнил. Для тройного квадрата ты получаешь то, что нарисовано на этой странице.

Илюша попробовал сделать по этому способу серебряный квадрат с двадцатью пятью клетками и убедился, что индийский способ очень прост[11]. Он отодвинул бумажку с цифрами и сказал:

- А все-таки хорошая книжка про мушкетеров! Он был молодчина, этот Арамис! Двести семьдесят семь пушечных ядер!..

- Положим, - заметил Радикс, - не двести семьдесят семь, а двести семьдесят шесть.

- Хм... - задумчиво протянул Илюша. - Ну, пусть двести семьдесят шесть. Это не так важно. На единицу больше, на единицу меньше...

- 117 -

- Значит, в таком случае, ты но будешь спорить, когда тебе скажут, что одиннадцать равно двенадцати? Там ведь тоже на единицу разница.

- Ну, это совсем другое дело!.. Но я вот про что. А как он собирался быть пушечным ядром и сражаться сразу с двенадцатью врагами со всех сторон? Я что-то не пойму.

- Он был человек военный, - отвечал Радикс, - и, конечно, любил вспоминать о ядрах. Попробуй-ка сообразить: когда ядра уложены на земле в кучу, со сколькими ядрами соприкасается каждое ядро, лежащее внутри кучи?

- Я где-то видел такую кучу, - припомнил Илюша, - кажется, во фруктовом магазине... Значит, я - ядро и лежу внутри кучи ядер. А все соседи нападают на меня. И сверху, и снизу, и со всех сторон! Сколько же их будет?.. Постой-ка!

Ведь наверху лежит только одно ядро?

- Одно.

- Хорошо. Мне кажется, что об этом очень трудно рассуждать...

- Постой! - перебил его Радикс. - А если я тебе предложу несколько превосходных ядер?

Илюша обернулся и увидел, что на полу уже лежит ровная треугольная куча ядер. Ему показалось, что теперь он уже не запутается.

- Значит, - сказал он, - наверху одно ядро. Так! Теперь я его снимаю. Сколько во втором слое? Куча ядер треугольная, следовательно, и каждый ее слой - треугольник. Так?

- Конечно.

- Следовательно, самый малый треугольник, на котором лежит верхнее ядро, составлен из трех ядер. В нем есть только одна-единственная лунка, и в ней-то и лежало верхнее ядро. Теперь следующий слой, третий. Сбоку у него с каждой стороны по три ядра. Конечно, этот второй ядерный треугольник тоже равносторонний, и сторона его равняется трем ядрам. В нем всего шесть ядер. Как он устроен? Очень просто.

Взят второй слой из трех ядер, и к нему добавлено с одной стороны еще три ядра. В этом третьем слое есть четыре лупки, но из них идут в дело только три, потому что для четвертого ядра уже места нет. Теперь четвертый слой. Он получается из третьего путем добавления с одной из сторон еще четырех ядер. В нем всего десять, ядер и девять лунок, по заняты только шесть - для остальных трех ядер нет места.

- Расскажи-ка мне подробно про эти лунки, - предложил Радикс.

- Дело вот в чем: если я на чертеже соединю центры ядер прямыми, то из каждых трех ядер получу равносторонний треугольник, сторона которого равна диаметру ядра.

- 118 -



Среднее черное ядро в четвертом слое - первое из тех, которые нельзя увидеть сбоку. 

В четвертом ядерном слое всего десять ядер. Они образуют на чертеже (стр. 120) шесть заштрихованных ("черных") треугольничков. Эти треугольнички соответствуют тем лункам, на которые можно положить ядра третьего слоя. Центры шаров (ядер) этого третьего слоя придутся как раз над средними точками этих треугольничков, и расстояния между ними опять будут теми же самыми.

Но есть еще треугольнички, которые не заштрихованы ("белые"): их три. Они-то и дают еще три лунки, на которые нельзя положить ядра, потому что расстояния от их средних точек до средних точек заштрихованных треугольничков вдвое меньше, чем требуется. Но можно было бы, разумеется, поступать и наоборот, то есть пропускать "черные" лунки и класть ядра только на "белые".

- Хорошо, - отвечал Радикс, - пусть будет так. Но как же ты решил насчет двенадцати ядер, с которых начался наш разговор?

- Сейчас подумаю. Для этого я возьму тот же четвертый слой. В схеме треугольничков я оставляю без внимания три крайние точки - А, В, С. Тогда, если обвести жирной линией периметр оставшейся фигуры, получится шестиугольник, правильный, разумеется. В нем один шар (то есть одно ядро) посредине, а кругом шесть точек для ядер.

- Значит?

- Значит, кругом ядра, находящегося внутри кучи, лежат по сторонам шесть ядер.

- Ясно. А сколько лежит сверху его и снизу? Ну-ка, подсчитай!

- Так как мой шестиугольник состоит из трех "черных" треугольников, то, значит, он образует три лунки для ядер (остальные будут лишними), а следовательно, сверху можно положить m р и ядра. Снизу же седьмое, то есть центральное, ядро, о котором мы толкуем с тобой, тоже опирается на три ядра, что ясно из тех же самых соображений. Итого: шесть, да три, да еще три - выходит двенадцать. Так оно и есть. Вот так здорово вышло!

- 119 -



Шесть треугольников четвертого слоя. 

- Здорово-то здорово, но дело в том, что ты все это делал с ядрами в руках. А как бы это нам с тобой рассудить вообще, не касаясь ядер? Вот что интересно.

Илюша задумался. Ему казалось, что и без того все ясно, но высказать эту храбрую мысль он почему-то не решился. Радикс немного поморщился и произнес:

- Вот передо мной кучка ядер в два слоя: в первом слое, как обычно, одно ядро, во втором - три. Ясно?

- Вполне.

- Прелестно и очаровательно! Теперь пусть фигура не разрушается, пусть линии, соединяющие центры ядер, не расплываются и не укорачиваются, а ядра уменьшатся почти до размеров точки, только чтобы можно было заметить глазом.



Тетраэдр. 

Немедленно все совершилось как по-писанному. И вскоре перед Илюшей на полу стояла некая геометрическая фигура, очень похожая на те проволочные модели, с которых рисуют начинающие живописцы. Ядра стали толстыми "точками" в углах фигуры, а центры ядер соединились тонкими линиями.

- 120 -

- Это, - сказал Радикс, - не что иное, как тетраэдр, один из правильных многогранников, каждая грань которого есть равносторонний треугольник. Их всего четыре, столько же у него и вершин (вспомни, что в той фигуре, с которой мы начали, было тоже четыре ядра), а ребер у тетраэдра шесть. Пять правильных многогранников были известны еще грекам, в частности о них писал Платон, почему их нередко называют Платоновыми телами. Вот они каковы: тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольниками; октаэдр, ограниченный восемью правильными треугольниками; икосаэдр, ограниченный двадцатью правильными треугольниками; куб - известное тебе тело, ограниченное шестью квадратами, и додекаэдр, ограниченный двенадцатью правильными пятиугольниками. Так вот, перед тобой здесь тетраэдр. Рассматривая его, можно легко понять, как лежат ядра в куче. Надо иметь в виду, что нужно уложить ядра так, чтобы они располагались наиболее плотно. Чтобы нам в этом разобраться, начнем с более простой задачи. Как уложить на плоскости возможно больше кругов, которые должны частично соприкасаться, но нигде не перекрываться? Рассуждение приводит нас к выводу, что наиболее плотное (решетчатое) расположение кругов на плоскости получается, если центры трех кругов, из которых только два лежат в одном ряду, образуют равносторонний треугольник, сторона которого, очевидно, равна диаметру круга.

Когда мы теперь переходим к расположению не кругов на плоскости, а шаров в пространстве, то очевидно, что пока речь идет о расположении шаров в одни слой, остается верным правило равностороннего треугольника, которое мы формулировали для кругов на плоскости. Но когда дело касается наиплотнейшего расположения шаров в пространстве, тут задача несколько усложняется. Как ты уже отметил (и совершенно правильно), мы не имеем возможности укладывать шары в следующем слое в каждую лунку - для этого шары слишком велики, - следовательно, нам надо выбирать те или иные лунки. Ты сам это заметил, когда говорил о шестиугольнике. Помнишь?

- Конечно, помню.



Октаэдр. 



Куб. 



Икосаэдр. 

- 121 -



Додекаэдр. 

- Так вот. Для изображения двух слоев ядер ставим рядом три тетраэдра, чтобы их соприкасающиеся точки слились.

Немедленно перед Радиксом стали на полу три тетраэдра, и указанные точки слились.

- Так, - сказал Илюша, - теперь я как будто понимаю.

Точки в углах тетраэдров - это ядра. В нижнем ряду шесть ядер, в верхнем - три. Все правильно. Основание каждого тетраэдра - это те треугольнички, которые мы называли "черными". А треугольник, который лежит в глубине впадины между тремя тетраэдрами, назывался у нас "белым". Его мы пропускаем. То есть здесь среди шаров и будет та лунка, которую мы не заполняем. А если я сверху, на вершины этих трех тетраэдров, поставлю еще один так, чтобы три точки его основания слились с тремя вершинами нижних трех тетраэдров, то ясно, что на трех шарах будет лежать один. Я получу тогда один большой тетраэдр. Теперь я понял.

- Но это еще не все, - добавил Радикс. - Дело в том, что наиплотнейшее расположение шаров в пространстве, даже в три только слоя, зависит от того, в какие лунки ты кладешь ядра и какие ты пропускаешь. Чтобы это стало совершенно ясным, составим тетраэдры в два слоя так, чтобы соприкасающиеся углы их совпали, и допустим, что эти два слоя тянутся безгранично далеко. У каждого из тетраэдров есть вершина, которая изображает в нашей схеме шар второго слоя. Теперь я хочу добавить еще третий слой, но добавить его не сверху, а снизу. И при этом я могу действовать двумя способами. Либо я к каждому основанию моего тетраэдра приклею основание еще одного (чтобы они совпали и слились воедино), и тогда вершина второго тетраэдра будет стоять симметрично относительно вершины первого. Это первый способ наиплотнейшего расположения шаров в пространстве.



Наиболее плотное расположение кругов на плоскости. 

- 122 -



Четыре тетраэдра (план). Заштрихованные треугольники - основания трех нижних тетраэдров; кружки - вершины этих тетраэдров (А, В.С); звездочка - положение верхнего шара, то есть вершины четвертого тетраэдра, основание которого совпадает с пунктирным треугольником ABC. 

Однако можно действовать и по-другому, то есть приложить основание второго тетраэдра к той впадине, которая образуется менаду двумя рядом стоящими тетраэдрами. Тогда третий, нижний слой шаров будет расположен так, что его можно перевести в первый при помощи того же смещения, которое переводит первый ряд во второй. Комбинируя эти два основных способа укладки, можно получить различные расположения шаров в пространстве. Так вот, куча из ядер, о которой мы с тобой сейчас толкуем, построена по...

- Второму способу! - закончил Илюша. - Ну, теперь ясно, что на Арамиса должны нападать трое сверху, трое снизу и шесть человек со всех сторон! Выходит не так, как всегда говорят: "со всех четырех сторон", а со всех двенадцати сторон! Интересно, сколько же в куче будет всего ядер? Наверху - одно, в следующем слое - столько, сколько видно сбоку в первом треугольнике, то есть три, а в следующем - столько, сколько во втором треугольнике; это будет еще на три ядра больше, значит, шесть. Потом будет уже на четыре больше - десять. Как же считать?



Четыре тетраэдра (вид сбоку). 

- Об этом ты узнаешь в Схолии Одиннадцатой, а пока продолжай складывать.

- В первом и втором слоях вместе: один да три - четыре.

- Квадрат двух, - подсказал Радикс. - А во втором и третьем?

- 123 -



Первый способ наиплотнейшего расположения шаров. Шары верхнего слон (кружки) закрывают шары нижнего слоя (крестики). опять квадрат. А шесть и десять-шестнадцать, опять квадрат. 

- Три и шесть - девять, опять квадрат. А шесть и десять - шестнадцать, опять квадрат.

Как интересно! Значит, очень просто эти слои считать: вычти число последнего слоя из следующего квадрата и получишь то, что надо. Следующий квадрат будет двадцать пять. Вычитаю десять, и выходит пятнадцать. Так?

- Твое наблюдение правильно. Это треугольные числа.

- Как интересно! - воскликнул Илюша. - И для всякого числа есть свое название! А выходит, что шесть - это очень знатное число: оно и совершенное и треугольное! Теперь: сколько же всего ядер выходит в куче?

Один слой - одно. Два слоя - четыре. Три слоя - десять. Четыре слоя - двадцать. Пять слоев - тридцать пять.



Строение селитры по М.В. Ломоносову (1763 г.) 

- А это пирамидальные числа.

- Ну да, потому что выходит пирамида из ядер.

- 124 -

- Конечно, - сказал Радикс. - Такое расположение имеет важное значение при изучении места отдельных атомов или молекул в кристаллах. Они там тоже так уложены. Представь себе, что математики пришли к этой мысли раньше, чем физики! И все эти числа получить очень просто. Возьми-ка мел и пиши. В первом столбике напиши одну под другой пять единиц; во втором - те числа, которые ты видишь в пирамиде ядер сбоку; в третьем столбике - треугольные числа, а в четвертом - пирамидальные.



Илюша взял мел и написал то, что изображено справа.

- Смотри, какая у тебя получилась табличка. Каждое число в любой строке равно сумме того числа, которое стоит над ним, и того, которое стоит слева от него. Видишь?

- Верно, - отвечал Илюша. - Например, десять равно шести плюс четыре!

- А теперь, - продолжал его друг, - ты видишь, что эту табличку очень легко продолжить по этому правилу.


убрать рекламу




убрать рекламу



>

Добавь-ка еще четыре единички в первой строке и три в первом столбце и заполни таблицу. И в каждой строке пиши одним числом меньше, чем в верхней. Ну-ка, пиши поскорей!

Илюша написал единицы, и у него получилась табличка, изображенная слева.

- Эта замечательная табличка называется треугольником Паскаля, - сказал Радикс, - потому что она была составлена французским математиком семнадцатого века Блезом Паскалем.

- Это тот самый, про которого ты вспоминал, когда Великий Змий пришел пробирать нас? - спросил Илюша.

- 125 -



- Он самый, - торжественно произнес Радикс. - Эту табличку до Паскаля, веком раньше, построили итальянские математики. Но в то время известия о новых открытиях распространялись не так быстро, как теперь. Мало того, что этот треугольник дает натуральные числа, треугольные, пирамидальние и многие другие, которые в общем называются фигурными числами, он дает еще более полезные и важные указания. Вот я его сейчас перепишу по-другому.

Радикс взял мел и написал то, что изображено слева.

- Посмотри, - сказал он. - Тебе эти цифры ничего не напоминают?

Илюша внимательно посмотрел новую табличку, подумал, потом сказал:

- Один, два, один - это похоже на сто двадцать один, то есть на квадрат одиннадцати.

Потом Илюша взял мел и начал что-то старательно множить.

- Четвертая строка, - сказал он, - это будет куб одиннадцати, а пятая - четвертая степень одиннадцати.

- Правильно, - отвечал Радикс. - Ну, а кроме этого, ты ничего не замечаешь?

- Нет, - сказал Илюша, подумав, - больше, кажется, ничего.

- А помнишь ты формулу квадрата и куба суммы?

- Конечно!

- А как там идут коэффициенты?

Илюша помолчал, посмотрел на Радикса, потом на табличку и затем написал:

(а + b)2 = а2 + 2ab + b2.

(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3ab2 + b3.

Внимательно посмотрев на эти хорошо знакомые формулы, а затем снова на табличку Радикса, Илюша сказал:

- А ведь верно! Если взять квадрат суммы, то при а2 коэффициент единица, при ab-двойка, а при b2-снова единица, то есть коэффициенты идут, как в третьей строке: 1-2-1.

И в кубе суммы тоже идут, как в четвертой строке: 1-3-3-1.

Илюша умножил куб суммы на первую степень суммы и, довольный, сказал:

- Ну это просто замечательно! И в четвертой степени у нас получается:

и, значит, коэффициенты идут опять, как здесь, в последней строчке: 1-4-6-4-1.

- 126 -

- Ну, так вот, - продолжал, улыбаясь, Радикс, - значит, с помощью этого треугольника, если ты его продолжишь (а как ты видел, это очень просто), ты можешь написать сумму в любой степени. Ты должен только запомнить еще одно нехитрое правило: степени первого слагаемого уменьшаются от той степени, в которую ты возводишь сумму, до нулевой, а степени второго слагаемого идут как раз в обратном порядке- от пулевой до старшей.

- Действительно так, - сказал Илюша, посмотрев на четвертую степень суммы.

- И это еще не все, - сказал Радикс. - Ты еще немало узнаешь в дальнейшем про эти числа. Они многое могут делать. Узнаешь также, что у Арамиса были весьма серьезные основания интересоваться этим треугольником (AJI-I, XII).

- Вот почему он и сказал про двести семьдесят шесть ядер?

- Двести семьдесят шесть и двести пятьдесят три - это два пирамидальных числа. Но тут есть вещи и посерьезнее.

Дело в том, что этот треугольник учит храбрых пушкарей не только складывать ядра в кучи: он учит их еще и стрелять из пушек! А самое главное, он учит их попадать этими ядрами как раз туда, куда следует, чтоб отвадить непрошеных гостей, которые падки на чужое добро!

- 127 -

Схолия Восьмая,

 Сделать закладку на этом месте книги

из которой любезный читатель узнает о том, как некий скромный знак препинания отправляется прогуляться по бережку весьма живописной речки, но никто из присутствующих никак не может понять, по какому берегу он идет - по этому или по противоположному. Наши друзья пытаются разрешить это небывалое затруднение при помощи карманных часов, но из этого ничего не выходит, потому что эти часы ведут себя не только весьма двулично, но, сверх того, еще находятся в самой тесной дружбе с одним несговорчивым зверьком, по имени спрут. Однако доблестный Илья Алексеевич, не теряя присутствия духа, бросается на своего страшного врага с ножницами и после пятикратного боя выходит из этой борьбы победителем. Естественно, что ему дается награда за этот знаменитый подвиг, благодаря чему он и получает возможность потрогать собственными руками ту самую таинственную бутылку, в которой сидел ужасный джинн из арабской сказки, причем талисман, которым был на тысячи лет запечатан в этой бутылке джинн, оказывается троюродным внуком одного нашего хорошего знакомого.

- Вот что, - сказал Радикс, забираясь в кресло, - ты ведь еще спрашивал насчет двери в домик Розамунды. Понравилась? А ведь признайся: в качестве двери в волшебное царство - устройство самое подходящее! А между тем эту дверь очень легко сделать.

- 128 -

Он протянул Илюше ровную четырехугольную полоску бумаги. На четырех углах ее стояли буквы А, В, С, D.

- Ну-ка, сверни ее кольцом.

Илюша свернул.

- А теперь поверни один конец на сто восемьдесят градусов, то есть обратной стороной, так, чтобы буква С пришлась против А и В - против D. Нажми хорошенько, и концы склеятся.



Илюша так и сделал. И у него в руках оказалась бумажная фигурка, которая нарисована внизу.

- Ну, вот и дверь, - сказал Радикс.

- Как так? - спросил Илюша в недоумении, разглядывая бумажную фигурку.

- А очень просто, - отвечал ему его приятель. - Это односторонний Мебиусов лист. (Вырежи скорее себе полоску бумажки, склей ее, как показано на картинке. Бери полоску в 25 см длиной и в 3 см шириной.)

- Вот какая странная бумажка! - сказал Илюша. - Действительно ты прав, - эта дверь как раз так и была устроена.

Теперь я как будто понимаю, как я очутился с другой стороны, не переходя через край. Какая интересная поверхность!

- Ну, - сказал Радикс, - это еще что! Наш Бушмейстер еще и не такие чудеса может показывать.



- А кто такой Бушмейстер?

- А это такая змея водится в Гвиане. Страшно ядовитая, а хитра, как сам сатана.

Правда, она двусторонняя.

Но наша поверхность тоже очень хитрая, мы ее и прозвали Бушмейстером.

Однако с бумажкой нам будет не очень удобно.

Лучше мы попросим нашего Бушмейстера явиться к нам сюда собственной персоной. А вот и он! Прошу любить да жаловать.

- 129 -

И перед Илюшей повисла в воздухе Мебиусова поверхность, но довольно большая, около метра с лишним, а ширина ленты была сантиметров тридцать. Сделан был милейший Бушмейстер не из бумаги, а из почти совершенно прозрачного стекла. Илюша обошел его со всех сторон и заметил, что лента, из которой сделана односторонняя поверхность, была совершенно лишена толщины, как и полагается настоящей геометрической поверхности, однако была очень крепкая.

- Ну-с, - сказал Радикс, - надо тебе с ним познакомиться. Вот тебе карандаш. Проведи-ка вдоль всего Бушмейстера линию, но только с одной стороны. Начни, например, отсюда.

Попросим его на минуту сделаться непрозрачным.

- Попробую, - сказал Илюша и взял карандаш. - Вот.

И линия у меня сомкнулась, совсем как на обыкновенной ленте.

- Ты думаешь? А ну-ка, покажи мне теперь ту сторону Бушмейстера, на которой ты не проводил линию.

Илюша посмотрел снизу и воскликнул:

- Я вел линию все время с одной стороны, по она оказалась и там тоже! Выходит, что у него одна только сторона и есть. Он действительно односторонний!

А Бушмейстер мгновенно полинял и снова стал прозрачным.

Однако когда мальчик через минуту взглянул на Бушмейстера, он заметил, что теперь по самой середине поверхности течет речка из темной, непрозрачной жидкости. Речка текла в одном направлении и представляла собой движущуюся ленту из жидкости, вставленную в эту стеклянную ленту. Почему эта жидкость не проливалась? Однако если в этом мире Бушмейстер может сам по себе висеть в воздухе, то почему бы не висеть и речке?

Затем Радикс положил на ладошку Илюше что-то совсем крошечное и черненькое.

- Что это такое? - удивленно произнес мальчик.

В ответ с его ладошки раздался тоненький, еле слышный писк:

- Я - Точка! Геометрическая Точка. Неужели не узнал?

Илюша начал было рассматривать свою новую знакомку, но Радикс сказал ему:

- Ну-ка, брось Точку в эту речку.

Илюша бросил Точку, и она поплыла по течению вокруг по всей ленте, вернулась на старое место и опять поплыла в том же направлении. Так что Илюша еще раз мог убедиться, что конца у этой поверхности, как и у окружности, пет.

- Ну, а теперь, - продолжал Радикс, - выуди ее оттуда и положи на бережок, который около тебя.

- 130 -

Илюша выловил Точку и положил ее на берег речки.

- На какой берег ты ее положил? - спросил Радикс.

- Если я стану лицом по течению реки и буду смотреть на ленту сверху, - отвечал Илюша, - то, значит, она лежит на правом берегу.

- На правом? - переспросил Радикс.

- Да, - ответил Илюша.

- Так, - ответил Радикс, - на правом так на правом. Так и запишем: Точка находится на правом берегу речки.

Точка легла на плоскость. Однако лента была настолько тонка, что Точка прошла ее всю насквозь, как чернильная клякса на промокашке, и ее на ленте было отлично видно как сверху, так и снизу.

- Готово! - пискнула Точка из плоскости.

- Прелестно! - отвечал ей Радикс. - А теперь я попрошу тебя, любезная Точечка, двигаться по берегу вниз по течению речки, но, пожалуйста, двигайся как можно медленнее.

Точка послушалась и медленно поплыла внутри ленты.

Илюша отлично видел ее.

- А ты, Илюша, - сказал Радикс, - следи за ней. И как только ты ее снова увидишь сверху, скажи ей, чтобы она остановилась. Понял?

- Понял, - отвечал Илюша.

Точка медленно подошла к тому месту, где лента Бушмейстера поворачивала вниз, исчезла на миг, появилась на сгибе и опять исчезла. Затем Илюша увидел, как она появилась с другого края и начала двигаться вверх. Когда она подошла к нему поближе, Илюша скомандовал:

- Точка, стоп!

Точка остановилась.

- Ты ее видишь? - спросил Радикс.

- Вижу, - ответил мальчик.

- Ясно видишь?

- Совершенно ясно. Она ведь прошла насквозь через ленту.

- Можешь ты мне ответить, на каком она берегу? Только посмотри повнимательней.

Илюша посмотрел и ответил:

- Я смотрю опять сверху. И берег определяю так же, то есть по течению речки. Но только... только... хм... Вот уж я не знаю...

- Чего ты не знаешь?

- Она сейчас на другом берегу!

- На каком другом?

- На левом.

- А ты не ошибаешься?

- 131 -

- Да нет, - ответил Илюша, - я не могу ошибиться, потому что даже поставил мелом крестик на том месте, куда ее положил. И вот крестик остался на правом берегу, а она на левом. .. Послушай, Радикс, а можно, чтобы она еще раз пошла?

- Прошу, - отвечал тот.

- Точка, - сказал Илюша, стараясь говорить как можно более внятно и определенно, - продолжай двигаться в том же направлении, в каком ты двигалась, и так же медленно. Поняла?

- Как не понять! - раздался тоненький писк, и Точка поплыла вдоль по ленте.

Через некоторое время она появилась на правом берегу, около крестика. Илюша не остановил ее, она пошла дальше и снова появилась на левом берегу.

- Значит, - сказал в раздумье Илюша, - ей надо обойти плоскость эту два раза, чтобы попасть на то же самое место.

- Точно! - отвечал Радикс.

- А когда она плыла по поверхности речки, ей надо было обойти плоскость только один раз, - сказал Илюша.

- В этом роде, - рассеянно отвечал Радикс. - Однако это еще не все. Ну, ты, Точка, можешь теперь исчезнуть! Благодарю.

Точка немедленно исчезла, вслед за ней исчезла и речка.

- Вот тут у меня часики есть, - продолжал Илюшин друг, - посмотри-ка!

Илюша взял со стола обыкновенные карманные часы.

Впрочем, при ближайшем рассмотрении они оказались не совсем обыкновенными, потому что были плоские и очень тонкие, примерно в миллиметр толщины, и совершенно прозрачные, так что стрелки можно было видеть с обеих сторон. Шли они очень быстро, и поэтому Илюша ясно видел, как бежит большая, минутная стрелка. Часовая двигалась медленнее, во и ее движение было заметно.

- Положи их на Бушмейстера около твоего крестика, предложил Радикс.

Илюша положил их на самый крестик.

- Ну-ка, часики, - сказал Радикс, - прошу вас, принимайтесь за работу.

Часы сразу ушли в ленту так же, как это сделала Точка.

Они медленно двинулись в путь вдоль ленты вперед, по тому же направлению, по которому раньше текла речка, словно они были вставлены в ленту. Илюша внимательно следил за ними.

Часики плыли, плыли и наконец показались около самого крестика.

- Стойте! Стойте! - закричал Илюша вне себя от удивления,

- 132 -



Часики остановились около крестика, а Илюша смотрел на них и ничего не понимал. Циферблат был виден как будто отраженный в зеркале. Стрелки бежали с прежней быстротой, но уж теперь в обратную сторону, следуя движению переставленных цифр: против часовой стрелки!

- Теперь уж я совсем ничего не понимаю! - воскликнул Илюша в отчаянии. - Ну, идите дальше!

Часы послушались и через некоторое время снова появились у крестика. Теперь у них опять был обычный циферблат, и их стрелки двигались нормально. Затем они вновь появились около крестика, и тут стрелки опять бежали в противоположную сторону.

- Нет, - сказал Илюша, - этого я не могу понять. Они где-то меняют направление движения стрелок.

- Ты думаешь? - спросил Радикс. - Ну хорошо, постарайся проследить, где именно это происходит. Вот тебе вторые часики, такие же. Оставь одни часы около крестика, а сам следи за теми, которые будут плыть в ленте.

Илюша послушался и заметил, что часы, за которыми он следил не отрываясь, ведут себя обычно. Но когда часы добрались до крестика и оказались рядом с теми часами, которые там оставались, Илюша с удивлением обнаружил, что теперь те часы, которые не двигались, идут в противоположную сторону.

- Может быть, - произнес в недоумении Илюша, - я просто смотрю теперь на них с другой стороны ленты?

- С другой стороны? - спросил Радикс. - А когда же ты успел перебраться на "другую сторону"? И что это за "другая сторона"? Ты ведь, кажется, убедился, что у этой поверхности только одна сторона и есть.

- Но мне кажется, что на часы я смотрю с другой стороны!

- Хм... - иронически промолвил Радикс. - Но вот то-то и удивительно, что, оставаясь с той же стороны поверхности, ты ухитрился на часы посмотреть "с другой стороны". Нет, тут дело немножко похитрее. Если эти часы принадлежат ленте, вделаны в нее, то и о них уже нельзя сказать, где у них одна сторона, где другая.

- 133 -

- Да, - сказал Илюша. - Но если лента и часы непрозрачные, они будут в том же месте с другой стороны ленты, и я их не увижу.

- Это так, но если ты хочешь рассуждать о поверхности, у которой нет никакой толщины, то лучше представлять себе ее прозрачной, как мы с самого начала и сделали. А ты рассуждаешь о листке бумаги - это уже, собственно говоря, удвоенный Бушмейстер или, если хочешь, Бушмейстер "в чехле". Но и на нем происходят удивительные вещи: не пересекая края, ты можешь непрерывным движением перейти из точки, которая находится с одной стороны и тебе видна, в точку противоположной "в этом месте" стороны, от тебя закрытой. Ты совершенно правильно выразился сейчас, сказав "в том же месте с другой стороны". Если вырезать маленький кружок из Бушмейстера, то этот кружок будет такой же двусторонний, как и кружок, вырезанный из самой обыкновенной ленты. Но если его окрасить в разные цвета с разных сторон (например, с одной - в синий, а с другой - в красный), потом вставить обратно в ленту и закрасить соседние части ленты в цвет, одинаковый с цветом примыкающей стороны кружка, то может сначала показаться, что закрашены в разные цвета разные стороны поверхности. Но это можно сделать именно только "в данном месте". Если раскрашивать ленту дальше, то синий и красный цвета столкнутся. Где это случится? Сразу "на обеих сторонах"? Или "на одной из них"? Значит, у Бушмейстера, если взять его в целом, действительно нет возможности разграничить одну и другую стороны. Вот поэтому-то мы и называем его односторонним!

Радикс посмотрел на Илюшу, улыбнулся и промолвил:

- Можно проделать еще один интересный опыт с Бушмейстером, который, я надеюсь, покажется тебе более понятным. Пусть снова вдоль всего Бушмейстера, посредине, будет течь широкая речка.

Немедленно на Бушмейстере снова появилась речка.

- Выстроим на речке плотину, - сказал Радикс, - то есть превратим речку в пруд.

Речка сейчас же сделалась спокойной, как пруд, а на Бушмейстере появилась плотина, образовавшая широкую перемычку между тем берегом речки, у которого стоял Илюша, и противоположным.

- Теперь, - продолжал Радикс, - я беру двое обыкновенных на вид карманных часов. Одни я положу в виде островка в пруд слева от плотины, а другие - справа. Сейчас и те и другие часики стоят, а идти они начнут по команде нашей старой приятельницы - Точки.

Немедленно недалеко от плотины на поверхности Бушмейстера показалась и Точка.

- 134 -

- Теперь, - сказал Радикс, - мы пустим нашу Точку в обход пруда, причем она отправится с нашей стороны плотины на другой берег, а затем повернет направо и отправится в обход по берегу. Позволим ей кружиться вокруг нашего пруда в одном и том же направлении столько, сколько ей вздумается. А теперь слушайте меня, вы, часики ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!



Стрелки показывают, как двигалась Точка. 

- Тик-так. Слу-тик-ша-так-ем-тик-так! - ответили двое часиков. - Тик-так. Вот-как! Тик-так.

- Ну-ну! Потише! - заворчал на них Радикс. - Идти еще вам не полагается. Но вы должны пойти, когда каждым из вас скомандует Точка, проходя мимо. И при этом каждые из вас должны пойти так, чтобы ваши стрелки побежали в том же направлении, в котором вас огибает Точка, как будто она зацепила концы стрелок и увлекла их за собой.

Часики в один голос отвечали, что они поняли и так и сделают.

- Точка, вперед! - скомандовал Илюша.

Точка двинулась вперед, перешла через плотину и скомандовала правым часикам: "Шагом марш!" Первые часики немедленно пошли в обычном направлении - "по часовой стрелке", так как Точка, пройдя плотину, повернула направо по берегу пруда и проследовала дальше по изгибу ленты Бушмейстера. Через минуту она появилась снова: Илюша увидел ее слева от плотины, но, к своему удивлению, не на противоположном берегу, а на том самом, с которого она ушла. Точка снова скомандовала, на этот раз левым часикам: "Шагом марш!" Часики затикали, а Точка, пройдя через плотину и продолжая огибать левую сторону пруда, повернула налево и продолжала свое движение в том же направлении по ленте Бушмейстера.

Илюша наклонился над левыми часиками и убедился, что они идут полным ходом, но в направлении "против часовой стрелки", то есть в том направлении, которое в математике называется положительным направлением вращения.

- Вот так история! - сказал Илюша - Часики идут в разные стороны, а Точка обходит пруд все время в одном направлении. Как же это так выходит?..

Илюша еще раз проследил за Точкой и за часиками, посмотрел на все это очень растерянно и почесал в затылке.

- А здорово получается! - произнес наш герой. - Сперва Точка по моей команде идет вперед и пруд у нее справа.

- 135 -

А когда она снова, объехав всего Бушмейстера, подходит к запруде, то пруд оказывается от нее слева... И если даже я просуну голову снизу и буду смотреть как бы "с другой стороны", то опять получается, что сначала пруд у нее слева, а потом справа! А где она меняет свое "правое" на "левое", я найти не могу...

- Вот видишь, - промолвил Радикс наставительно, - на нашей поверхности не только нет "двух различных сторон", на ней нельзя установить и определенного "направления вращения". Одно и то же движение ты можешь воспринимать как вращение в обычном направлении часовой стрелки и одновременно в противоположном. Ведь ты, например, не можешь сказать, как твоя Точка обходит пруд: по часовой стрелке или против? Одно направление непрерывно переходит в другое, когда Точка обегает вокруг ленты.

- Это ужасно трудно понять! - сказал Илюша. - Кажется, просто кусочек бумажки, а показывает какие чудеса!

- То-то и дело! Вот ты и мотай на ус! Ну, теперь еще одно крохотное чудо. Друг сердечный, Бушмейстер, а ты не мог бы немного уменьшиться?

Бушмейстер послушался и уменьшился примерно вдвое.

- Так-с, - сказал Радикс Илюше, поглядывая на него немного иронически. - Вот что: возьми ножницы. Как ты думаешь, можно нашего друга Бушмейстера разрезать вдоль по самой серединке?

- Наверное, можно, - сказал не совсем уверенно Илюша.

- А что из этого получится?

- Ну... получатся... два Бушмейстера. Вот и все.

- И больше ничего?

Илюша задумался и посмотрел внимательно на Бушмейстера.

- Ах нет! - сказал он. - Не только... будет, конечно, два Бушмейстера, но они друг за друга зацепятся... ну, как кольца в цепочке.

- Та-ак-с... - протянул Радикс. - Давай попробуем!

Возьми-ка ножницы и разрежь его, беднягу, вдоль всего брюха, которое в то же время служит ему спиной. Посерединке. Как есть на свете головоногие существа, так и Бушмейстер есть существо спиннобрюхое. Ну-ка, режь!

Посмотрим, что он запоет.

Оказалось, что стекло, из которого был сделан Бушмейстер, прекрасно режется обыкновенными ножницами.

- 136 -

Илюша резал, держась самой середины ленты, добрался до того места, с которого начал резать, и сделал последнее движение ножницами. Разрезы сомкнулись. Илюша вскрикнул и отскочил в сторону. На мгновение он испытал то же самое, что испытывает хорек, около которого мелькнут стальные челюсти капкана, или то, что испытывает водолаз, который глубоко под водой встретится внезапно со спрутом. Он глядел на то, что получилось, и глазам не верил. (А что получилось? Этого рассказать нельзя! Бери скорее ножницы и попробуй разрезать своего маленького бумажного Бушмейстера, как разрезал Илюша. И ты все узнаешь!)

- Ну? Как тебе это нравится? - спросил, улыбаясь, Радикс. - Ты, кажется, этого не ожидал?

- Нет, никак не ожидал.

Илюша обошел около того, что получилось из разрезанного Бушмейстера, постоял, подумал, а потом сказал:

- Теперь я, кажется, понимаю, почему Точке надо было его обойти два раза, чтобы попасть на старое место.

- Да, - сказал Радикс, - наш Бушмейстер до того лукав, что сразу не скажешь, что он выкинет.

- Какая хитрая штука! И я все-таки не совсем понял.

Я, кажется, догадываюсь, что так должно быть, но не могу объяснить, как это происходит и почему. Только ты не смейся.

- Так бывает, - отвечал Радикс, - и нередко. В этом нет ничего смешного. Но только этого еще мало. Надо все разобрать до конца и понять. Значит, ты за какую-то ниточку ухватился. А что это за ниточка? Где ее конец? Надо добиться, чтобы никаких сомнений не осталось.

- Я вот еще хотел что спросить: нельзя ли из Бушмейстера вырезать такую фигуру, чтобы опять получился Бушмейстер?

- Почему нельзя? Можно! Только в таком случае нужно действовать по-другому, - ответил Радикс. - Если ты хочешь вырезать из бумажного кружка другой кружок, поменьше, который, естественно, будет подобен первому, ведь ты не станешь резать первый кружок поперек, по диаметру?

- Ну конечно, нет! Что же это будет за подобие?

- А как же ты поступишь?

- Очень просто! Проколю кружок ножницами, а потом вырежу из серединки маленький кружок. Вот и все. Будет колечко и маленький кружок.

- Так... А теперь сообрази, как можно сделать нечто в том же роде и с нашим другом Бушмейстером.

Илюша задумался, стараясь сосредоточиться.

- Постой! - сказал он. - Ведь Бушмейстер очень похож на цилиндр, открытый снизу и сверху, то есть я хочу сказать, что Бушмейстер похож на цилиндрическую трубу. Но только один край у него перевернут на сто восемьдесят градусов.

- 137 -



Радикс кивнул.

- Если я у него отрежу край... Нет, так не выйдет! Если я буду отрезать у него край, это опять будет то же Самое, как если резать посерединке, только поближе к боку.

Никак не поймешь, как с ним быть! Если я отрежу у цилиндрической трубы край, то это будет опять цилиндрическая труба, только покороче.

А здесь так нельзя.

- А если ты отрежешь у твоей цилиндрической трубы еще другой край?

- Тогда будет три коротенькие трубы, вот и все.

- Хм... - неопределенно промычал Радикс.

Опять Илюша замолчал и задумался.

- Нет, - сказал он наконец, - надо попробовать разрезать Бушмейстера не один раз вдоль, а два раза, то есть разрезать его не надвое, как я пытался сделать, а натрое?

Я буду резать так, чтобы разрезы шли вдоль всего Бушмейстера параллельно, на равном расстоянии друг от друга.

И начну так, чтобы отрезать от него ровно треть его ширины.

- Попробуй.

Илюша подошел к Бушмейстеру и начал резать[12].

- 138 -

К удивлению Илюши, хотя он, по его расчету, уже отрезал один край, разрез не сомкнулся. Когда дело подошло к концу, Илюша последний раз нажал на ножницы и отскочил в сторону.

Бушмейстер метнулся своими петлями сразу во все стороны и неподвижно повис в воздухе.

Илюша подошел, посмотрел очень внимательно, потому что разобрать сразу, что вышло, было не так-то просто, а потом воскликнул:

- Ура! Получился маленький Бушмейстер! Маленький Бушмейстер!

Илюша даже подпрыгнул от удовольствия.

- Но только он зацепился за свой собственный край. Как интересно!

Илюша долго ходил вокруг того, что у него получилось, а затем сказал:

- Слушай, Радикс, мне хочется еще одну штуку попробовать. Попроси его, чтобы он опять сложился.

Но Бушмейстер не заставил себя долго просить и через секунду снова уже висел в своей первозданной красоте.

- Я хочу его теперь разрезать так, как я резал первый раз, - промолвил Илюша. - А потом еще раз тем же способом. Я его делил на две части, потом на три, а теперь хочу поделить на четыре.

Илюша разрезал Бушмейстера надвое. Бушмейстер снова заплясал в воздухе, завинтившись петлями, а потом успокоился и повис неподвижно, по своему обыкновению.

- Теперь-то я уж знаю, что будет! - сказал Илюша, принимаясь резать разрезанного надвое Бушмейстера снова вдоль, во второй раз. - Он теперь еще длиннее станет!

Когда Илюша кончил резать, причудливые петли Бушмейстера снова бурно заплясали в воздухе. А когда танец торжествующего Бушмейстера окончился, мальчик подошел и начал внимательно его рассматривать.

Оказалось, что хитрый Бушмейстер опять обманул Илюшу!

- Да как же это так выходит? - размышлял Илюша вслух.

- Ну, - сказал Радикс, - помоги ему, Бушмейстер! Что ж ты его мучаешь? Разве так с гостями поступают?



- 139 -

В ответ Бушмейстер возмущенно зашипел, точь-в-точь как шипит змея, и весь - заходил ходуном от негодования, но потом все-таки начал медленно прибирать свои петли. Через минуту он был целехонек.

Илюша подошел и заметил, что Бушмейстер несколько изменился в цвете. Если смотреть на него сверху, то левая половина его ленты стала красной, а правая - синей. При этом Бушмейстер стал непрозрачным, а лента его стала потолще.

Илюша посмотрел, провел по Бушмейстеру пальцем и обнаружил, что если идти по красной полосе, то и придешь на красную, а если по синей - только и будешь ходить по синей.

Илюша снова взял ножницы и опять начал старательно резать Бушмейстера, ведя разрез как раз по границе между синей и красной половинками. Когда он кончил, Бушмейстер в полном восторге заплясал в воздухе, а потом опять успокоился. Мальчик начал внимательно разглядывать все его петли, которые так напугали его в первый раз.

Долго он рассматривал эти загадочные причуды Бушмейстера и вдруг воскликнул:

- А-а! Вот оно что! Да, действительно, он мне помог.

Спасибо тебе, Бушмейстер! Теперь мне понятно, в чем дело.

Он перестал быть односторонним.

Действительно, одна сторона разрезанного Бушмейстера была вся синяя, а другая - вся красная. Правда, сразу это было очень трудно заметить из-за сложных петель, но когда Илюша провел по красной стороне пальцем, он убедился, что так действительно и есть.

- Но все-таки, - опять запутался мальчик, - почему же он удваивается, если резать еще раз?

Илюша потер лоб в недоумении и наконец догадался.


убрать рекламу




убрать рекламу



'spacing 9px;' src="/files/books/2017/11/08/377684/i140png.jpg">

- 140 -

- Ну да, - медленно произнес он, - значит, когда его разрежешь, он превращается в цилиндрическую трубу, только перекрученную, потому что у него теперь две стороны. А если разрезать трубу, то, конечно, получится две трубы. Теперь ясно. Я прямо замучился с этим Бушмейстером!

- А почему же он превращается в цилиндрическую трубу? - спросил Радикс.

- Потому что ведь у Бушмейстера один край, или, скажем, ребро...

- Верней сказать, - поправил его Радикс, - у него один берег. А если ты его разрезаешь и твой разрез смыкается, то, следовательно, ты прибавляешь ему еще берег. И тогда он перестает быть односторонним.

Бушмейстер снова свернулся по-старому. И опять стал прозрачным и тонким.

- Ну, теперь, - удовлетворенно произнес Илюша, - я попробую разрезать его вдоль на пять частей. И теперь я уж уверен, что он утроится. И две его части будут двусторонними, а третья будет маленький Бушмейстер.

И Бушмейстер и Радикс оба промолчали. Мальчик взял снова ножницы и опять принялся за свою хоть и не трудную, но зато полную всяких неожиданностей работу.

Наконец он кончил. Бушмейстер плясал на этот раз даже дважды. Илюша с удовлетворением посмотрел на то, что у него получилось после того, как Бушмейстер отплясал второй раз, и убедился, что все так и вышло, как он решил заранее.

- Молодцом! - сказал Радикс. - Ты рассудил правильно.

Бушмейстер страшно зашипел, потом громоподобно захохотал, сложился еще раз по-старому и мгновенно исчез.

- Счастье твое, - сказал Радикс, - что он был сегодня в таком хорошем настроении и был до того любезен, что окрасился даже в разные цвета.

- Да, - подхватил Илюша, - без этого я бы никогда не догадался.

- Это только для тебя, - наставительно произнес Радикс, - а то его нипочем не упросишь. Дело в том, что в самой своей сущности он ведь пленка, вроде мыльного пузыря.

И в этом-то вся его сила. А это уж только для того, чтобы ты догадался, что происходит, когда его режешь[13]. Мы уже упоминали в Схолии Пятой о топологии. Теперь я могу тебе еще сказать, что наш Бушмейстер имеет к этой науке касательство самое непосредственное. Знай, что наука эта весьма была обогащена трудами советских топологов, из числа которых следует назвать П. С. Александрова, Л. С. Понтрягина и П. С. Урысона.

- 141 -

- Только вот еще что, - не совсем уверенно начал Илюша (видно было, что Бушмейстер сильно озадачил его и не выходил у него из головы). - Разве нельзя все-таки как-нибудь из Бушмейстера вырезать двух Бушмейстеров?

Радикс снопа подал Илюше маленького бумажного Бушмейстера, которого они склеили в начале разговора.

- Посмотри, - сказал он, - внимательно. Если мы начнем делать его ленту все шире и шире, то, как ты думаешь, что из этого получится?

- Очень скоро придется остановиться, потому что изгиб мешает расширять ленту.

- Другими словами, - продолжал- Радикс, - если мы будем расширять ленту, то Бушмейстер пересечет самого себя.

Не так ли?

Илюша не мог не согласиться с этим.

- Скажи, пожалуйста, - начал снова Радикс, - ты помнишь арабскую сказку о том, как один рыбак закинул однажды сеть в море и вытащил мертвого осла, а затем судьба послала ему кувшин, набитый песком, а на третий раз - бутылку, запечатанную волшебной печатью Сулеймана, и когда он ее откупорил, из нее пошел дым до самых облаков, который превратился в грозного джинна?

- Ну еще бы! - сказал Илюша. - Я даже в кино эту сказку видел.

- А бутылку ты видел?

- Видел. Бутылка самая обыкновенная. А вот джинн, когда он вылез...

- Да нет! - сказал Радикс. - Ты, верно, не разглядел. В том-то вся сила, что эта бутылка не совсем обыкновенная. Вот она! Пожалуйста, посмотри.

- 142 -

Илюша обернулся и увидел, что на столе стоит очень красивая бутылка прозрачного лилового стекла, самой странной формы. Сперва Илюше даже показалось, что это кувшин, но, посмотрев внимательней, он заметил, что ручка этого "кувшина" была наглухо приделана к его горлышку, так что отверстия, при помощи которого бутылку наполняют жидкостью или выливают из нес жидкость, в этой бутылке не было. Между тем внутри бутылки что-то находилось. Илюша осторожно взял бутылку (вот она нарисована на картинке, смотри!), перевернул ее вверх дном и обнаружил, что в донышке бутылки находится отверстие и в него вставлена довольно широкая пробка, а на ней печать с каким-то таинственным знаком. (И печать нарисована, погляди!)

- Вот так бутылка! - невольно произнес Илюша, рассматривая печать. - А можно ее открыть?

- Сделай милость, открывай.

Илюша осторожно ухватился за выступавший немного краешек пробки. Оказалось, что, несмотря на таинственную печать, пробку очень легко вынуть. Но когда он вытащил пробку, за ней потянулось что-то еще, что напомнило Илюше паука.

- Фу! - сказал Илюша, бросив пробку на стол. - Тут уж пауки завелись!

Однако то, что он бросил на стол, вдруг встало на свои паучьи ножки и оказалось крохотным колченогим человечком, который очень недовольно пробормотал сквозь зубы:

- Разрешите представиться: Салуникур Салуникурыч Салуникуриади. Нельзя сказать, чтобы вы были очень вежливы!

Илюша удивленно взглянул на человечка. Оказывается, пробка была его головой, а таинственная печать - его странным личиком.

- Извините, - растерянно пробормотал Илюша, - я не знал...

- Так что же вам, собственно, от меня угодно? - недовольно спросил Салуникур Салуникурыч.

- Я, - произнес Илюша, кинув взгляд на совершенно равнодушную мину Радикса, - просто хотел посмотреть, что это за бутылка.

- Самая обыкновенная волшебная бутылка джинна, - еще более недовольно произнес колченогий карлик. - Ну, а поскольку джинны теперь повывелись, в ней живу я. Бутылка как бутылка.

Но с этим Илюша не мог согласиться. Он заметил, что отверстие, из которого он вытащил Салуникура Салуникурыча, сужается воронкой, уходя в глубь бутылки, а потом сворачивает куда-то вбок.

- Престранная бутылка! - вымолвил наконец Илюша.

А как же вы в нее влезаете?

- Могу вам показать, - сердито произнес необыкновенный человечек.

- 143 -



Илюша держал бутылку вверх дном. Человечек быстро прыгнул со стола и попал как раз на край ее донышка. Засим он взмахнул ручонками, принял позу пловца, который собирается прыгнуть в воду, протянул руки вперед, прыгнул, попал как раз в воронку, а затем начал углубляться дальше.

При этом он вытянулся и стал похож на червяка. Илюша поспешно приподнял бутылку и стал смотреть на свет. Червеобразный человечек добрался до самой стенки бутылки по трубке, которая шла вбок от воронки, а потом попал во внутренность ручки и по ней стал спускаться вниз. По ручке он добрался до горлышка бутылки, там он выпрямился и оттуда раскланялся с Илюшей. Илюша положил бутылку набок в ожидании, что же будет дальше. Человечек обошел всю свою бутылку и снова через горлышко и ручку вылез вон. Затем он быстро прополз по внешней стороне бутылки, снова дошел до донышка, опять влез в бутылку, опять через внутренность ручки добрался до внутренности бутылки, а потом снова выбрался вон, как и в первый раз.

- Ах! - воскликнул Илюша. - У вашего жилища, значит, тоже только одна сторона, как у Бушмейстера?

- Вот потому-то, - медленно и раздельно произнес Радикс, - она и пересекает самое себя. То есть эта ручка, которая ведь есть не что иное, как горлышко бутылки, проникает внутрь ее и смыкается с ее отверстием снизу, изнутри! Вот как хитро!

- Замечательно! - воскликнул Илюша. - Но я сразу не догадался!

- И поэтому-то, - продолжал Радикс, - если ты ее теперь разрежешь надвое, так, чтобы разрез проходил как раз вдоль всей ручки, ты получишь две плоскости, которые будут очень похожи на Бушмейстера.

Илюша поглядел на чудесную бутылку, а потом на личико колченогого карлика. Затем он взглянул на донышко бутылки А увидел, что вокруг отверстия написано странное слово "Салуникур".

- О! - весело сказал Илюша. - Вот тут какая штука!

Если начать читать с буквы "у" (посмотри на картинку на странице 142), то выйдет Уникурсал... Опять циклическая перестановка! Да! Да! Вы, наверное, знаете Уникурсала Уникурсалыча?

- 144 -

- Это мой троюродный дедушка, - ответил человечек. - Как не знать!

- Позвольте-ка, - весело сказал Илюша, - рассмотреть ваше личико.

И, посмотрев, Илюша быстро убедился, что на таинственной печати джинна нарисована уникурсальная фигура, потому что все узлы ее четные.

- А вот, - добавил Радикс, - тебе еще одна фигурка (см. чертеж на стр. 144). Надо ее склеить так, чтобы совпали точки А и Е, В и F, С и G, D и Н. Попробуй-ка!

- 145 -

Схолия Девятая,

 Сделать закладку на этом месте книги

из которой на миг показывается страшное древнее чудовище, но в это время нашим друзьям приходится выводить из большого затруднения одного беспамятного краснобая, впавшего в полное отчаяние после того, как он увидал самое обыкновенное колесо. Из чувства признательности сей последний сообщает Илюше несколько новых и очень удобных способов сокращения дробей. Непонятливость Илюши приводит его в великое негодование, и он пытается поправить дело назидательной легендой о том, как одного живого слона разделили на три части к полному удовольствию не только делителя, но даже делимого и частного. Естественно, что в силу этого он узнает еще более поучительную историю царевича Аритамвары, который питал непреодолимое отвращение к небесным светилам, по-видимому путая их с кубическими корнями. Нелишним, однако, будет заметить, что именно в этой увлекательной схолии с полной необходимостью и достаточной убедительностью выясняется, чего именно недоставало в рассуждениях не слишком догадливого юноши, который не мог разобрать крайне важный вопрос об изумрудно-золотистом плаще, о доблестной шпаге и о пресловутом, многоученом городе Саламанке.

- Так, - сказал Илюша. - Ну, теперь я, кажется, кое-что разобрал. Не то чтобы совсем, а все-таки! Конечно, я бы без тебя здесь пропал. Самому бы нипочем не додуматься. Ну, Дразнилка - это еще туда-сюда! А остальное уж очень хитро.

- 146 -

Очень... Слушай-ка, а когда же ты мне расскажешь, кто такой был Бриарей?

- Бриарей? - повторил Радикс, немного понизив голос. - Это, по-видимому, был неглупый дядя, если судить по тому, что у него было пятьдесят голов...

- Пятьдесят? - переспросил Илюша, решив, что Радикс смеется над ним.

- Именно пятьдесят! Он один представлял собой целую академию, и, кроме того, с ним связываться но стоило еще и потому, что у него было сто рук.

- Как - сто рук?

- Ну, а как же иначе? На каждую голову две руки! Самое простое умножение. Это, видишь ли, относится еще к тем стародавним временам, когда существовали те сказки, которые называются мифами, и люди верили им.

Но в эту минуту совсем рядом раздались такие пронзительные, протяжные и горькие вздохи, что Радикс остановился и посмотрел в ту сторону.

Перед ними стоял Уникурсал Уникурсалыч, и на его личике было написано полное уныние.

- Я, - произнес Командор Ордена Семи Мостов, ломая руки, - в полнейшем отчаянии... я...

- Надеюсь, - прервал его обеспокоенный Радикс, - ты не собираешься произнести перед нами речь?

- О черствые сердца! - отвечал Доктор Четных и Нечетных Узлов. - Я пришел за утешением и не собираюсь произносить речь. Но я сочинил речь, полную удивительных цветов красноречия. И вот она-то и привела меня в отчаяние...

- Хорошо, что только тебя! - пробормотал Радикс.

- О пресветлая богиня Лилавати! - воскликнул Магистр Деревьев. - Не перебивай меня, неблагодарное чудовище, а выслушай своего собрата, попавшего в беду.

- В чем же дело? - нерешительно спросил Илюша.

- В том, - произнес похудевший от огорчения Уникурсал Уникурсалыч, - что я сочинил замечательную речь. Она была посвящена... Чему это она была посвящена? .. Вот не могу припомнить! Впрочем, не в этом дело... Речь была обдумана, переписана. Мало этого, все было в замечательном порядке, то есть, во-первых, каждое слово из моей замечательной речи состояло из одиннадцати букв. Затем в каждой строке было тринадцать слов. Наконец, на странице было тридцать семь строк. Возможно, что это было несчастное число.

- А встретил ли ты хоть одно счастливое число? - спросил Радикс.

- 147 -

- Где там! - отвечал, опустив голову, Кандидат Тупиковых Наук. - Слушай, что было дальше. Я обдумывал эту речь три дня. Я ее переписывал трижды. Я произнес ее трояко, то есть три раза по-разному, в смысле выражения, логических ударений, ораторских жестов и соответственного выражения лица...

- А перед кем же ты ее произносил?

- Перед зеркалом, - отвечал, горестно вздыхая, командор. - Это-то, может быть, и была моя главная ошибка, но дело в том, что я никого не мог застать дома...

- Еще бы! - опасливо вставил Радикс.

- Но опять-таки не в этом дело. Скажи мне, пожалуйста, сколько же это выйдет, если у меня в каждом слове одиннадцать букв, в строке тринадцать слов, на странице тридцать семь строк, а я обдумывал ее три дня, переписывал трижды и произнес вслух трояко?

- Что выйдет? - изумленно воскликнул Илюша, не веря ушам своим.

- Всего! - воскликнул в отчаянии Уникурсал Уникурсалыч.

- Я думаю, - сказал после краткого размышления Радикс, - что он хочет уверить нас, что обдумывал каждую букву. И теперь, по-видимому, спрашивает, сколько всего различных операций было произведено над каждой буквой.

- Дай мне руку! - вскричал магистр. - Ты угадал!

Илюша взял мел и перемножил 27 • 11 • 13 • 37. Вышло 142857.

Уникурсал Уникурсалыч горестно взглянул на Илюшин результат.

- Вот именно. И у меня то же самое получилось.

- Ну, так в чем же дело? - спросил Илюша. - Чем же вы так огорчаетесь?

- Дело в том, - начал снова замогильным голосом командор, - что я имел в виду напечатать ее, дабы всякий мог прочесть эту речь, трактующую о значении... Вот не могу только вспомнить, о значении чего там говорилось!.. Я решил сперва напечатать ее в трех экземплярах, ибо я обдумывал ее три дня, переписывал трижды и произносил трояко. Но мне показалось, что, пожалуй, это будет слишком однообразно, и я отнял от этого числа единицу. Но когда у меня таким образом получилось два экземпляра, я подумал, что самое умное - перемножить два и три, и вышло шесть экземпляров. Потом я рассудил, что ведь можно поступить и проще, то есть умножить два на два, и тогда получается четыре экземпляра.

Затем я добавил к получившейся цифре для красоты единицу, и вышло пять экземпляров. Но тут я догадался, что все это было неправильно, а на самом деле надо возвести два в третью степень. И я решил напечатать восемь экземпляров.

- 148 -

И вот только тут я сообразил, что молено поступить гораздо умнее, другими словами - умножить три на три, так как девять, несомненно, будет самым подходящим числом экземпляров, ибо ведь девять - это трижды три, а я обдумывал мою речь три дня, переписывал ее трижды и произносил трояко, как это я вам только что повторил в четвертый раз и, по-видимому, опять без всякого толку!.. Когда же я дошел до девяти, то тут мне стало ясно, что десять гораздо более круглое число.

Тогда я не понял, какое это было страшное предзнаменование! .. Вы сейчас и сами увидите, до какой бездны отчаяния может довести человека круглое число! Однако мне что-то шепнуло, что это очень опасно, и я из осторожности решил добавить к десяти единицу, просто для симметрии. Когда же я это сделал, то из-за какого-то неопределенного опасения решил еще удвоить это число, а для красоты добавить еще единицу. Однако, когда я сосчитал, сколько раз менял решение, оказалось, десять раз, а так как круглое число внушало мне смутный ужас, то я решил отнять у последнего числа единицу, потом умножить его на четыре, а затем снова добавить для красоты единицу...

Тут Уникурсал Уникурсалыч остановился, вытер пот со своего измученного столь сложными расчетами чела и еле вымолвил:

- Уф, прямо замучился! Так вот, весь вопрос заключается в том, сколько же теперь должно получиться...

- Понять все равно ничего не возможно, - сказал Радикс. - Его загадочная речь состоит из одних "отчего" и "почему", а о том, "что" здесь имеется в виду, он ни словом не упоминает, поэтому не стоит и голову ломать. В общем, он хочет умножить сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь еще на что-то. Попробуем понять хоть это.

- Не на "что-то", а на множители -

3, 2, 6, 4, 5, 8, 9, 10,11, 23 и 89. И всё!

- Что же тут трудного? - спросил Илюша.

- Трудного ничего нет. Но самое ужасное заключается в том, что на что ни множь это проклятое число, получается все то же самое. В нем есть какой-то центр. Какой? Не могу понять. И вот вокруг него-то это заколдованное число и вертится, как колесо!

Тут Уникурсал Уникурсалыч на минутку выскочил и быстро прикатил здоровенное колесо, на котором было написано злополучное число.

Против начальной единицы командор поставил на стене мелом крестик.

- О ты, очаровательный отрок, постигший таинства умножения! Ну-ка, давай умножать.

- 149 -

Илюша начал множить 142 857 на три. Получилось 428 571.

Командор повернул влево свое колесо на одну цифру. Действительно, против крестика теперь стояла четверка, а все остальное шло тем же порядком.

Илюша посмотрел недоуменно на колесо и начал множить на два. Вышло 285 714. Командор передвинул колесо еще на одну цифру. И опять дальше все пошло в том же порядке.

Илюша помножил на шесть. Вышло 857142. Колесо подвинулось еще на одну цифру. Помножили на четыре. Получилось 571428. Колесо снова повернулось на одну цифру.

Помножили на пять. Вышло 714 285.

- Видишь! - вскричал, вытаращив глаза, Уникурсал Уникурсалыч. - Разве это число? Ты множишь, стараешься, обливаешься потом, а оно вертится да вертится!

- Ну, дальше ему уже вертеться некуда, - заметил Илюша.

- Как бы не так! Ты посмотри, что дальше будет.

Илюша умножил на восемь. Вышло 1142 856.

- Ну, - сказал магистр, - возьми эту лишнюю единицу, которая торчит спереди, и прибавь к последней цифре.

Илюша прибавил, и вышло опять 142857.

- Теперь на девять, - потребовал командор.

Умножили на девять. Получилось 1285713. А когда первую единицу прибавили к последней цифре, вышло 285714.

- 150 -

- Та же самая история, что с двойкой! - сокрушенно сказал командор.

Умножили на десять. Вышло 1428570. А когда прибавили сзади первую единицу, то снова получилось 428571, как было с тройкой. Умножили на одиннадцать. Получилось 1571427.

Опять прибавили переднюю единицу к последней цифре, получилось 571428, как с четверкой. Когда умножили на двадцать три, вышло 3285711, но когда переднюю тройку прибавили к последней цифре, опять вышло 285714, как с двойкой.

Умножили на восемьдесят девять, получилось 12741273.

А когда 12 взяли спереди и прибавили обычным образом к тому, что осталось, вышло 741 285.

- Ну вот, - сказал Илюша, - теперь уже не то.

- Невелика разница! - мрачно ответил магистр. - Только дне цифры перескочили. А в остальном все то же самое.

Илюша начал внимательно осматривать умножения. Все было верно.

- В чем тут дело? Можешь ты выяснить, есть у этой нелепой штуки если не смысл, то по крайней мере хоть начало?

- По-видимому, - сказал неторопливо Илюша, - здесь получается тоже циклическая перестановка.

- Что?! - произнес словно насмерть перепуганный командор. - Что за чудные речи достигли моего скромного слуха?

Илюша посмотрел на него. Командор стоял подбоченясь, высоко задрав голову. Он мгновенно исцелился от своего отчаяния и обрел снова прекрасное настроение.

- Какая прелесть! - сказал он. - Вот какой замечательный юноша! И как остроумно - назвать это мое убогое, нескладное колесо... циклом! И моя бедная речь... О чем я там писал? Ах, вспомнил! О способах произношения цикловидных слов. Как раз!

Илюша беспомощно оглянулся на Радикса, но, кроме равнодушия, на его личике абсолютно ничего нельзя было прочесть.

А доктор продолжал:

- В жизнь мою не слыхал я ничего столь ученого. А скажите, великий победитель Бушмейстера, к чему вы изволили произнести эти таинственные слова? Даже в допущении, что вы правы, что из этого следует?

Но Илюша стоял красный как рак и молчал как рыба.

Увы, он не знал, что отвечать! Перестановка была, конечно, циклическая, это верно, но почему? Об этом-то Илюша не мог ничего сказать. И, в общем, получилось, что Уникурсал Уникурсалыч прав: произнести эти слова Илюша сумел, а объяснить, что хотел сказать, не мог. Мальчик решил не сдаваться.

- 151 -

Поэтому стал снова рассматривать все свои умножения: на два, на три, на четыре, на пять, на шесть... Так. А на семь?

Нет, на семь он не множил. По-видимому, Кандидат Тупиковых Наук не заставлял его множить на семь. А ну-ка попробуем! Илюша умножил 142 857 на семь и получил 999 999.

"Вот странная история! - подумал он. - Все цифры давали один и тот же фокус, а если на семь помножить, получается совсем не то..."

Илюша снова начал внимательно осматривать результаты своих умножений и обратил внимание на то, что если написать число два раза подряд, то есть 142 857142 857, то при умножении на семь получится не шесть, а уже двенадцать девяток, и, следовательно, повторяя этот порядок цифр, можно получить умножением на семь любое число девяток... Что же это значит? Илюша обратил внимание на то, что получалось при умножении на два и на одиннадцать. Мальчик вдруг храбро схватил мел и написал:


1571427
* 2
--------
3142854

В это время Радикс пробормотал себе под нос очень неразборчиво: "Слюнки капали с усов..." Тут Илюша воодушевился и начал делить единицу на семь. Как он и ожидал, получил в результате 0,142857142857... При этом он заметил, что остатки шли следующим образом: 3, затем 2, потом 6, вслед за этим 4 и, наконец, 5, что и объяснило всю загадку командорского колеса. И он написал рядом с делением еще столбик цифр:



- 152 -

Илюша обернулся и увидел, что Уникурсал Уникурсалыч смотрит так, будто потерял всякий интерес к проблеме колеса.

- Это одна седьмая, - сказал Илюша, - вот и все. Цикл в данном случае - это период дроби. А множители вы называли в том порядке, в котором идут остатки при делении, чтобы ваше колесо после каждого умножения поворачивалось как раз на одну цифру.

- Одна седьмая! Одна седьмая! - сердито повторил Уникурсал Уникурсалыч. - А что, если я возьму колесообразное число и разделю его пополам, по три цифры в каждой половинке. У меня будут теперь два числа - 142 и 857.

Если я их сложу, то получу 999. Могу разбить и на три: 14, потом 28 и 57. Сложу и получаю снова 99. А это что означает?

Илюша внимательно посмотрел на свою табличку и ответил:

- Если я возьму 0,142, то это будет одна седьмая с точностью до одной тысячной, а если возьму 0,857, это будет шесть седьмых с той же точностью. Если их сложить, будет семь седьмых, то есть единица. Так как мои дроби не очень точные, то я получаю вместо единицы 0,999. То же и с тремя числами.

- А зачем ты множил 1 571427 на два?- спросил Радикс.

- Потому что мне показалось, что это похоже на половину архимедова числа. Я перемножил, получил 3,14 с лишним, и тут-то я убедился, что это одна седьмая[14].

- 153 -

- А кстати, скажи, умеешь ли ты сокращать дроби? Сократи шестнадцать шестьдесят четвертых.

Илюша пожал плечами, написал дробь, сократил ее на четыре, потом еще раз на четыре. Вышла одна четвертая.

- Какая невероятная канитель! - сказал с отвращением командор. - Выспаться можно, покуда ты тут возился. Вот, как я сокращаю.

Командор взял мел и написал:

16 / 64 =

... и вычеркнул шестерки...

= 1 / 4

- Это случайно так у вас вышло, - ответил Илюша.

- Как это случайно? - возопил командор. - Пожалуйста!

И он написал следующее равенство:

19 / 95 =

... а теперь девятки ...

= 1 / 5

А затем еще и еще:

29 / 95 = 2 / 5; 49 / 98 = 4 /8

- А тут уж не вышло, - сказал Илюша. - Еще можно сократить.

- Неважно! - воскликнул Командор Ордена Семи Мостов. - Это не может опорочить самый принцип моего способа. Например, до сих пор ты полагал, что число "сорок девять" можно разбить лишь на две семерки, а я доказал последним примером, что это просто предрассудок.

- Семерки - это множители, - ответил Илюша, - а девятка - одно из слагаемых.

- Так вот в том-то и дело! Ты должен слушать и внимать, а не тараторить как сорока.

Илюша совсем уж готов был ему ответить, что если кто-нибудь и тараторит, то, во всяком случае, не он, но решил, что лучше не стоит злить эту ехидную личность, и промолчал.

- Я уверен, - продолжал Магистр Деревьев, - что ты вполне способен оценить необыкновенные преимущества моего способа, ибо ты только что доказал мне поразительную быстроту твоего ума, сразу заметив, что дробь четыре восьмых относится к классу сокращаемых дробей.

- 154 -

Подумайте только, какая ученость в столь нежном возрасте! Догадаться самому, безо всякой посторонней помощи, что восемь делится на четыре! Великолепно! Мы выхлопочем тебе орден не Семи Мостов, а Семидесяти Семи Слонов и Пятидесяти Пяти Ослов!

Я потом расскажу тебе историю этого необыкновенного ордена, который довольно легко получить, но от которого потом не так-то просто отвязаться...

- Что это еще за история о слонах и ослах? - мрачно спросил Радикс.

- Очень поучительная история, - с готовностью отвечал командор. - Дело было очень давно, во времена Великого Могола, царство коего отличалось необыкновенной пышностью.

Некогда к драгоценному дворцу Великого Могола подъехали три прекрасных принца из дальней страны. Когда они были допущены перед очи повелителя Вселенной (таков был титул этого могущественного властителя), старшин принц попросил позволения говорить и сказал так: "О владыка владык, ты, перед которым дрожит подлунная, преклони слух твой к нашему горю! Наш отец, повелитель Высокой области, над которой парят облака (да будет благословенна память его!), соизволил покинуть сей бренный мир и оставил нам богатое наследство.

Но в стране у нас нет такого человека, который помог бы нам разделить эти богатства так, чтобы воля отца нашего, как требуют обычаи нашей страны, была исполнена слово в слово, и поделить так, чтобы люди не смеялись над нами". Повелитель Вселенной спросил их, каково наследство. Старший принц отвечал, что самая трудная часть наследства заключает в себе семьдесят семь могучих слонов, гордость и украшение их прекрасной страны, над которой парят облака.

Отец же их повелел, чтобы старший сын взял себе треть всех слонов, средний - одну шестую, а младший - одну двенадцатую.

- 155 -

Однако никто в их великой, прекрасной стране не может решить, как исполнить это странное повеление, ибо для того, чтобы взять от семидесяти семи слонов одну треть, следует взять двадцать пять слонов и еще две трети слона, но от живого слона невозможно отделить две трети, без того чтобы прекрасное это животное не превратилось в бездыханную тушу, тогда как о тушах в завещании почему-то ничего не сказано. Надо сказать, что некоторые вельможи Великого Могола, стоявшие у трона своего повелителя, при этих словах начали как-то странно отворачиваться в сторону, будто чем-то поперхнулись. В эту минуту мальчик, который держал павлинье опахало над головой повелителя Вселенной, опасаясь, как бы сей грозный владыка не приказал внезапно отделить некоторую часть от каждого из гостей для скорейшего разрешения этой трудной задачи, попросил слова и сказал так:

"Если повелитель Вселенной даст мне на две недели пятьдесят пять царских ослов, то я поделю наследников без обиды и вернусь с пятьюдесятью пятью царскими ослами обратно". Великий Могол поглядел на мальчика и опустил свои царские веки в знак согласия... Когда они прибыли с пятьюдесятью пятью ослами в дальнюю страну, над которой парят облака, Помаватель царского опахала поставил на большой площади столицы в ряд сперва семьдесят семь слонов, которые были причиной этого беспримерного смятения умов в дальней стране, а потом пятьдесят пять царских ослов, которые пришли с ним. Слоны стояли слева, а ослы справа. "Вот, - сказал Помаватель опахала, - здесь перед вами стоят сто тридцать два прекрасных животных. Треть их составляет сорок четыре. Они пойдут старшему принцу. Начнем слева". И тотчас же погонщики слонов подняли свои бодила, и сорок четыре слона ушли с площади.

- 156 -

А мальчик продолжал: "Одна шестая часть ста тридцати двух животных есть двадцать два, и они пойдут среднему принцу".

И двадцать два слона тоже ушли с площади. "А младшему принцу полагается одна двенадцатая, и это будет одиннадцать животных". И последние одиннадцать слонов ушли с площади. "А теперь, - сказал в заключение юный Помаватель, - все видят, что здесь остались только пятьдесят пять ослов, которые и пойдут со мной обратно, ибо мне сдается, что ослов в вашей стране имеется и без того достаточное количество".

Вот какова эта поучительная история. В ее честь и был учрежден этот чудный орден, который ты, разумеется, вполне заслужил...

Илюша хоте


убрать рекламу




убрать рекламу



л было сказать, что это совершенно детская задачка: стоит только привести эти дроби к одному знаменателю и... но, опасаясь выслушать еще одну похвальную речь своему глубокомыслию, вздохнул и прикусил язык.

- Надо тебе пояснить, - продолжал командор, - что на лицевой стороне этого ордена изображены две трети слона, мирно пасущиеся на травке, причем эта правдивая картинка окружена павлиньими перьями, а на обратной стороне изображено доброе личико скромного ослика, который...

- Фу! - вздохнул почти в изнеможении Радикс.

- Итак, - вымолвил, покосившись на него и переведя дух, неутомимый командор, - я не стану уверять тебя, любезный друг, что ты заслужил это отличие, ты и сам, полагаю, не станешь с этим спорить... Но вернемся к моему удивительному изобретению: самый важный пункт его заключается в том, что оно доказывает, что можно сокращать слагаемые...

- Как это так? - не выдержал Илюша. - Из-под знака суммы нельзя сокращать!

- Заблуждение! - возопил Доктор Четных и Нечетных Узлов. - Глубочайшее заблуждение! И я сейчас тебе это докажу. По-твоему, значит, такое вот выражение нельзя сократить:

(a + bc) / (a + b)

- 157 -

- Конечно, нельзя, - отвечал немедля Илюша. - Что тут сокращать!

- А я сейчас тебе докажу, что поскольку это вполне возможно, то я вправе написать:

(a + bc) / (a + b) = (a + c) / a

- Чепуха, и больше ничего! - пробормотал Илюша.

- А я сейчас тебе докажу, что это не чепуха. Подставляю в эти выражения числа и получаю:

(6 + 2•3) / (6 + 2) = (6 + 3) / 6 = 3/2

А коли тебе этого мало, я могу подставить и другие числа.

Пожалуйста:

(2 + 3•6) / (2 + 3) = (2 + 6) / 2 = 4

Вот тебе и все. Просто и ясно. В первом случае сокращаю двойки, во втором - тройки. Совершенно новые горизонты в арифметике! Ну, что же ты на это скажешь, будущий кавалер Ордена Семидесяти Семи Слонов?

- Ну, что тут говорить! - возразил мальчик.

- Как что говорить? Ты оспариваешь мой метод, но ты не можешь оспорить мои бесподобные примеры! Однако в таком случае докажи: каким образом случилось, что примеры мои не противоречат твоей старушечьей арифметике, а мои удивительные принципы находятся с ней в непримиримом противоречии?

Илюша постоял, подумал, поглядел искоса на ехидное личико командора и неуверенно произнес:

- Ну, это вроде того, как доказывается, что два равняется пяти или что-нибудь в этом роде.

- Два равняется пяти?- изумленно повторил командор - В первый раз в жизни слышу! Это неверно. А вот, что одиннадцать равняется двенадцати, - это уж точно.

- Как так? - спросил Илюша, вдруг вспомнив с досадой, что он уже слышал от Радикса что-то про это нелепое равенство.

- 158 -

- Чрезвычайно просто! Чтобы доказать эту несомненную истину, я беру квадраты этих чисел, то есть 121 и 144, затем беру их разность, которая будет 23, и составляю следующее простенькое равенство:

144-121 = 276 - 253,

с которым ты, надеюсь, спорить не будешь. Затем я вычитаю из каждой его части по 155, от чего справедливость равенства не нарушается:

144 - 121 - 155 = 276 - 155 - 253,

делаю частично указанные действия и получаю:

144 - 276= 121-253.

Затем я прибавляю к каждой части получившегося равенства одну и ту же дробь, что опять-таки не нарушит справедливости моего равенства:

144 - 276 + 529/4 = 121 - 253 + 529/4.

Далее я замечаю, что теперь и левая и правая части равенства представляют собой полные квадраты, а следовательно, я могу написать:

(12 – 23/2)2 = (11-23/2)2

Теперь я извлекаю квадратный корень из обеих частей равенства:

12 – 23/2 = 11-23/2

Минус двадцать три вторых слева и справа взаимно уничтожаются, и мы получаем...

Командор снова схватил мел и написал громадными цифрами:

11 = 12

- 159 -

- Что и требовалось доказать. Просто и ясно!

Хотя Илюша уже сообразил, что спорить с командором довольно накладно, ибо каждое лишнее возражение ведет только к тому, что он тебе подсовывает еще новую головоломку, однако тут он догадался наконец, что надо не просто отрицать, а доказать, и всерьез, что командорские россказни просто враки. Он внимательно просмотрел весь ход вычислений этого "доказательства" и сказал:

- Так можно доказать все, что хочешь. А в скобках у вас разные знаки! Вот и вся хитрость. Очень просто.

- Хм... - произнес разочарованно командор, - знаки!

Знаки! Подумаешь, какая важность! Ну, допустим, что знаки. .. Ну, а как же насчет моих дробей?

Илюша вздохнул и уставился снова на командорские дроби.

Наверно, он стоял так молча, не отрывая глаз от них, минут десять. Потом сказал:

- Конечно, это можно сделать. Если записать вот этот первый пример с дробью – 16/64, положив, что шесть равняется а, тогда как четыре равняется b, то получим:

(10 + а)/( 10a + b) = 1/b

А теперь я буду действовать так:

10b + ab = 10а + b;

9b = 10а - ab;

9b = а(10 - b),

и следовательно,

а = 9b / (10 - b)

и теперь получается неопределенное уравнение. Не очень, конечно, удобное уравнение, потому что оно второй степени, но все-таки решить в целых числах можно. В крайнем случае, я буду подставлять цифру за цифрой вместо b, пока а не получится целым числом, не больше девяти. Вот вы это и сделали. И все остальное тоже делается совершенно так же. Вот и все.

- Хм... - протянул Уникурсал Уникурсалыч. - Вот как! Странная история!

- 160 -

- Я знаю гораздо более странную историю, - возразил Радикс, - которая касается того, каких блестящих результатов можно добиться с помощью красноречия.

- Это, наверно, очень интересная история! - воскликнул Илюша, у которого отлегло от сердца, когда он смекнул, что, кажется, на этот раз отделался от командорских ехидств. - Расскажи-ка ее, пожалуйста!

- Дело это тоже происходило довольно давно, - начал Радикс, - и, может быть, это было в той самой стране, о которой нам только что рассказывал Уникурсал Уникурсалыч.

Но только это было еще несколькими веками раньше, чем история со слонами. Итак, некогда прекрасный и светлый юноша, царевич Аритамвара, сын света и радость мира, захотел ввести в дом свой юную жену. Он пришел к отцу своему, который владел подлунным миром и кротко управлял им.

"О царь и повелитель! - сказал царевич. - Я хочу ввести в дом мой молодую и прекрасную царевну, дабы она была супругой моей". - "Хорошо, - отвечал ему царь, - пусть дворцовые женщины введут девушек, и пусть придет наш царский звездочет, владеющий числами: он даст нам добрый совет". Когда все повеления были исполнены, царь сказал:

"Пусть владеющий числами даст нам совет". - "О царь, - отвечал ему мудрец, - пусть будет так: я задам семи девушкам один и тот же простой вопрос, а по их ответам ты, покровитель мудрейших, и ты, благородный Аритамвара, сын света, вы сами увидите, как надобно будет поступить". - "Это поистине мудрые речи, - ответил царь звездочету. - Да будет так". Тут дворцовые женщины избрали из сонма девушек тех, которые были прекраснее всех, самого доброго нрава и чьи речи были сладким медом для храбрецов. А владеющий числами приказал подводить их по одной к трону владеющего подлунной. И вот к трону подошла первая. Звездочет спросил ее: "Скажи мне, цветок зари, сколько будет три и три?" - "Шесть", - ответила ему девушка и засмеялась. Тогда владеющий числами приказал увести ее и привести другую. И он задал ей тот же самый вопрос. "Это будет шесть, если я сложу их, - отвечала она, - и это будет тридцать три, если написать их рядом". Третья ответила: "Это будет шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; это будет ничего, если вычесть". Четвертая сказала: "Шесть, если я сложу; тридцать три, если напишу рядом; ничего, если вычту; девять, если умножу". Пятая отвечала: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если умножить; единица, если их разделить друг на друга". Шестая сказала так: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если их перемножить; единица, если их поделить друг на друга, и это будет двадцать семь, если возвести три в третью степень. Так учит великая богиня чисел". Седьмая отвечала звездочету: "Пусть великая богиня чисел откроет сыну света свои прекрасные тайны! Вот как говорит она: это будет шесть, это будет тридцать три, это будет ничего, это будет девять, это будет единица, это будет двадцать семь и это будет тридцать шесть двадцать пятых с небольшим, если я из трех извлеку корень третьей степени. Вот как говорит пресветлая богиня чисел, та, которая улыбается, когда земледелец считает свою скотину, царь свои сокровища, а звездочет светила небесные, что сияют кротким светом и проходят свои небесные пути по чудным законам, которые любезны великой богине. Вот каковы слова благодатной богини чисел, но это еще не все, ибо ее речи суть многие, и все они прекрасны". Тогда звездочет сказал: "О великий царь, и ты, сын света! Вы слышали разные ответы на мой вопрос, и теперь вы можете решить сами, которая из девушек достойна стать супругой царевича". Царь сказал: "Я вижу, что милые и прелестные красавицы моей страны недаром провели свою нежную юность, они знают мудрость, и сердце мое радуется. Пусть сын мой, царевич Аритамвара, выбирает теперь сам, ибо это будет его супруга".

Царевич низко поклонился своему отцу и премудрому звездочету и сказал: "Я выберу первую. Она очень хорошо смеется.

- 161 -

И мне нравится, что она говорит коротко и ясно".

Илюша захлопал в ладоши от восторга, а Уникурсал Уникурсалыч как-то рассеянно повернулся на одной ножке и втихомолку исчез. А Илюша посмотрел на Радикса и спросил:

- Есть еще такие дроби, из которых получается колесо, вроде вот этого из одной седьмой?

- Как не быть! Например, одна семнадцатая. Только там число будет подлиннее, потому что

1/17 = 0,0588235294117647...

То же самое будет и с одной двадцать девятой, только там после запятой будет уже целых двадцать восемь цифр. Для этого знаменатель дроби должен быть простым числом, а период его должен заключать в себе на единицу меньше цифры, чем единиц в ее знаменателе. У тебя была одна седьмая, а в периоде было шесть цифр. Для одной семнадцатой в периоде будет шестнадцать цифр. Такой период называется "полным периодом", или "совершенным".

Илюша помолчал и вдруг сказал с жаром:

- А все-таки он ужаснейший человек, этот командор!

- 162 -

- Да что ты! - усмехнулся Радикс. - Конечно, он насмешник, а все-таки сознайся: если бы он так тебя не запутал и не разозлил, ты бы, пожалуй, не догадался насчет неопределенного уравнения и насчет одной седьмой? А?

Илюша посмотрел на своего приятеля с негодованием. Он хотел ему сказать, что тут ничего трудного нет и что он все равно бы догадался, но почему-то покраснел и ничего не сказал.

- Н-да... - неопределенно промычал Радикс. - Все это, конечно, очень приятно, трогательно, всепохвально, умно, тонко, глубоко и широко. А скажи, пожалуйста, кстати, не знаешь ли ты, как поживают наш почтенный судья дон Базилио и трое друзей дона Диего?

Илюша как-то странно смутился и сказал, что он не совсем понял эту странную задачку из Схолии Седьмой.

- А-а-а... - протянул Радикс. - Вон оно в чем дело-то!

А еще на Уникурсала Уникурсалыча рычишь. А сам, значит, насчет завещания дона Диего ни так ни сяк...

После долгих и, надо признаться, довольно нелегких размышлений Илюша наконец пришел к целому ряду важных выводов, которые позволили ему решить эту хитрую задачку.

Когда Илюша взялся за дело как следует, то скоро ему надоело писать имена друзей дона Диего, и он обозначил дона Альваро, дона Бенито и дона Висенте начальными буквами их имен: А, Б и В. Он решил, что надо рассмотреть в качестве возможных порядков выбора все шесть возможных перестановок трех букв этих, то есть:

АБВ АВБ БАB БВА BАБ ВБА.

Очевидно, что три данных условия должны исключить из этих комбинаций ровно пять, так чтобы могла остаться только одна единственная комбинация, которая уже не будет противоречить ни одному из трех условий завещания. Вместе с тем, как было указано в завещании дона Диего, ни одно из этих условий не является лишним, то есть невозможно исключить те пять комбинаций, которые должны быть отброшены, только на основании одного условия или каких-нибудь двух из трех условий.

Когда, таким образом, было выяснено и решено, что именно надо делать, Илюша начал решать задачу.

"Надо, - сказал он себе, - выяснить, о ком из троих друзей мне следует предположить, что именно этот человек видел дона Диего в зеленом плаще, а о ком - что тот именно давал ему табакерку и прочее, ибо только таким образом можно найти основания для того, чтобы отвергнуть пять комбинаций из шести. Притом надо внимательно следить, чтобы ни одно из трех условий не оказалось лишним. Если это случится, то, значит, я пошел по неверному пути.

- 163 -

Раньше всего выясняется, что кто-то, и ни в коем случае не дон Альваро, должен был видеть дона Диего в зеленом плаще, иначе первое условие было бы лишним. Значит, первое условие указывает нам, что дон Альваро не может оказаться на последнем месте, то есть мы можем совершенно отвергнуть порядки БВА и ВБА. Кроме того, первое условие может еще исключать порядок БАВ, если дон Бенито видел завещателя в зеленом плаще, и может исключать порядок ВАБ, если его видел дон Висенте.

Далее очевидно, что дон Висенте не мог быть в Саламанке в 1694 году, так как иначе второе условие ничего не сообщало бы нам о порядке выбора и, следовательно, было бы лишним.

Кроме того, это условие может исключать порядки АБВ и АВБ, если дон Альваро давал табакерку, порядки БАВ и БВА, если табакерку давал дон Бенито, и порядки ВАБ и ВБА, если это сделал дон Висенте.

Наконец третье условие может исключать порядки АБВ и ВАБ, если дон Альваро первый стал носить шпагу, и порядки ВАБ и ВБА, если первым нацепил шпагу дон Висенте".

Чтобы можно было соединить воедино все эти выводы, Илюша немедленно составил небольшую табличку (которую можно увидеть на следующей странице); в ней он отметил, на основании какого условия может исключаться каждый из шести возможных порядков выбора.

"Легче всего, очевидно, - рассуждал Илюша, - может остаться неисключенным порядок АВБ, который можно отвергнуть только на основании одного условия - именно второго - в том случае, если А давал табакерку. Но тогда вместе с АВБ отвергается одновременно и порядок АБВ. Если же допустить еще, что Б видел дона Диего в зеленом плаще, то первое и третье условия вместе исключат и все остальные комбинации и у нас ничего не останется. А если допустить, что завещателя видел в зеленом плаще не Б, а В, то тогда все три последние комбинации отвергаются с помощью первого условия, то есть третье условие окажется лишним. Следовательно, и это предположение неверно".

Таким образом, обе Илюшины попытки исключить порядок АВБ привели его к противоречию. А если это так, то очевидно, что это-то и есть тот самый порядок, который имел в виду дон Диего: первым должен был выбирать дон Альваро, вторым - дон Висенте и последним - дон Бенито.

Когда Илюша наконец это выяснил, ему захотелось разобраться и в остальных подробностях и проверить, каким же образом должны были исключаться все порядки выбора, кроме назначенного.

- 164 -



Он уже догадался, что табакерку давал не А, но если это так, то отделаться от порядка АБВ можно только при помощи третьего условия. И в таком случае первым должен был нацепить шпагу А.

Дальше, если допустить, что табакерку давал В, то тогда второе условие окажется лишним в том случае, если порядок БАВ исключать на основании условия первого, а если его отвергать на основании условия второго, то первое окажется лишним. Поэтому приходится прийти к выводу, что табакерку мог дать дону Диего только Б. Но если при этом тот же Б видел завещателя в зеленом плаще, то окажется, что второе условие лишнее. В таком случае только один В мог видеть дона Диего в зеленом плаще.

В итоге Илюша пришел к следующим выводам:

1)дон Альваро первый стал носить шпагу;

2)дон Бенито давал табакерку;

3)дон Висенте видел завещателя в зеленом плаще и не был в Саламанке в 1694 году.

Вернувшись к своей табличке, Илюша смог восстановить, как должен был рассуждать сам дон Диего в то время, когда все друзья помнили указанные в завещании обстоятельства.

- 165 -

Он записал аккуратно:

"АБВ исключается условием третьим, так как А первый стал носить шпагу.

АВБ не противоречит ни одному из условий.

БАВ исключается условием вторым, так как табакерку давал Б.

ВБА по той же причине исключается тем же условием, а кроме того, еще и условием первым.

ВАБ исключается условием первым, так как В видел дона Диего в зеленом плаще, а кроме того, и условием третьим, потому что А первый стал носить шпагу.

ВБА исключается первым условием".

Когда Илюша все это рассмотрел, то убедился, что нельзя отбрасывать ни одного из условий дина Диего, потому что тогда сейчас же вновь оживет по крайней мере еще одна из комбинаций, кроме АВБ. Илюша заметил еще и то, что хотя в третьем пункте и говорится о случаях, когда А или Б выбирают во вторую очередь, но на самом деле этого не получается, так что из третьего условия вовсе не следует, что А или Б должны выбирать во вторую очередь, - оно только исключает те порядки выбора, которые завещателю не правились.

Когда Радикс просмотрел таблички Илюши, он отнесся к ним с одобрением и сказал:

- Если ты понял, как решаются подобного рода задачи, могу тебе предложить еще две задачки в том же роде. Вот они:

I. В читальном зале главной научной библиотеки ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА за квадратным столом, стороны которого были расположены по странам света, работали четверо ученых: математик, физик, филолог и историк.

Каждый из них в своем спортивном клубе был чемпионом: один по плаванию, другой по теннису, третий по шахматам и четвертый по конькам.

При этом:

а)когда случайно погас свет, то сидевший с северной стороны отказался проверять пробки, так как он боялся удара током;

б)математик сидел против чемпиона по теннису, а историк против чемпиона по шахматам;

и) сидевший с западной стороны утверждал, что



г)чемпион по теннису уверял физика, что битва при Калке произошла в 1322 году;

д)чемпион по плаванию сидел по правую руку историка.

- 166 -

Кто где сидел и кто каким видом спорта занимался?

II. У каждого из пяти офицеров, имена которых начинались буквами А, Б, В, Г и Д и которые по чинам были полковник, майор, капитан, старший лейтенант и младший лейтенант, среди четырех остальных было два ближайших друга.

Один из друзей офицера В был выше его по чину. Старший лейтенант никогда не бывал в Крыму. Оба друга Б и оба друга Г воевали на территории Германии, однако друзья полковника в Германии совсем не были. Офицер Г воевал на Северном Кавказе вместе с обоими своими друзьями, а младший лейтенант там не бывал. Майор служил на Дальнем Востоке с обоими своими друзьями, а офицер Г был тоже на Дальнем Востоке, но только с одним из своих друзей. Полковник вместе с обоими друзьями воевал в Крыму, но не был па Дальнем Востоке. Д не бывал ни в Крыму, ни на Северном Кавказе. Разбери-ка: кто чей друг и кто какой имеет чин?

- Хорошо, - сказал Илюша, - постараюсь решить. Но скажи мне, пожалуйста, какие это задачи? Ведь это же но алгебра?

- Нет, это наша математическая логика.

- Мне казалось, что до сих пор я понимал, что такое логика; это чтобы рассуждать основательно и разумно... А что такое эта твоя математическая логика? Какая разница с обыкновенной?

- Разница в том, что математическая логика представляет собой некоторый род исчисления. Это своего рода алгебра, у которой имеются собственные правила, которые и точнее и шире правил обыкновенной логики[15]. Многое в силу ее алгебраичности может быть превращено в ряд обыкновенных вычислительных правил. Поэтому современные электронно-счетные машины получили возможность доказывать, например, теоремы.

- И трудные теоремы?

- Да, не легенькие...

- Все это очень странно! - сказал Илюша. - Неужели можно поверить, что машина может думать?

- Трудно ответить, конечно, на этот вопрос. Думать, как человек, машина, возможно, и не может, но решать задачи, над которыми человек размышляет иной раз очень долго и это ему нелегко дается - вот это она может. Конечно, не всякие задачи, но некоторые удается. И совсем неплохо! Ты, кажется, ничего не имеешь против шахмат?

- 167 -

- Решительно ничего!

- Тогда позволь показать тебе одну позицию на шахматной доске, которая была предложена электронно-счетной машине. Смотри:



Белые: Kpgl, Фdl, Ла1 и е2, Ch6, Kh5, а2, b2, сЗ, f2, g2, h2.

Черные: Kpg8, Фf5, Лd8 и h8, Kf7, a7, b7, b4, c7, c4, d3, h7.

В этой позиции белые начинают и дают мат в три хода.

Попробуй найди-ка решение!

А когда найдешь, сам увидишь, что в легкой партии можно не только его не найти, а даже и прозевать эту победу. А потом скажи мне, надо думать, чтобы решить эту задачу, или нет? Машина решила эту задачу мигом.

- Так-то оно так, - задумчиво вымолвил мальчик, рассмотрев шахматную диаграмму, - а все-таки это очень похоже на трехходовую задачу, которой только нарочно придана видимость живой партии... То есть мне так кажется. Потому что черный король стоит в пату - никуда двинуться не может, - и белым надо только отвести черного ферзя с того места, где он защищает поле f6... Вот они это и делают в два хода. Но все-таки интересно! Если разобрать как следует, то этот пример не очень убедителен... А вот насчет доказательства трудных теорем - другое дело!

- Почитай специальные книжки, - ответил Радикс, - в двух словах это все рассказать нельзя, потому что эта логика довольно своеобразная и нелегкая наука. Могу привести еще один хороший пример. Как будто у твоего папеньки стоит на письменном столе электрическая лампа? Скажи, пожалуйста, как она зажигается?

- У лампы в цоколе, - отвечал мальчик, - есть такая кнопочка. Нажал - лампа зажглась, нажал еще раз - потухла.

- Так-с, - ответствовал Радикс, - давай попробуем все это выразить на языке нашей логики. Пусть зажженная лампа обозначается единицей, потухшая - нулем. А эту операцию нажатия кнопки мы будем тоже именовать единицей. Разумеется, ничего иного под этими символами теперь понимать нельзя.

Но если мы так условились, то будет справедливо равенство:

- 168 -

(1 + 1 = 0), ибо если ты дважды нажал кнопку, то лампа гореть не будет. И вообще всякая сумма четного числа единиц будет равна нулю, а нечетного - единице. Например, если ты нажал кнопку три раза подряд, то (1 + 1 + 1 = 1), то есть лампа будет гореть. Единица в левой части равенства - это нечто вроде отрицания "не": нуль в правой части говорит, что ничего не изменилось. Если лампа не включена, то, прибавляя "не", получаем "не не включена", то есть включена, и наоборот.

- Вот как... - недоуменно пробормотал Илюша.

- И представь себе, что такого рода равенства ныне имеют немалое значение для замечательных современных электронно-счетных машин.

- 169 -

Схолия Десятая,

 Сделать закладку на этом месте книги

замечательная как своей непревзойденной краткостью, так и весьма скромными размерами сообщаемых ею фактов, на один из коих потребовалось всего-навсего: одна странная вещица, которую Илюша второпях принимает за бильярд, три шахматные доски, одно маковое зернышко, восемьдесят квадриллионов нулей и очень миленькая девушка, некая Альфа Ц. (известная тем, что когда бы на нее ни поглядели, всегда кажется, что она на пять лет моложе того, что есть на самом деле), после чего читатель узнает кое-что о славе Архимедовой, которой не были страшны долгие века, и об одной отважной путешественнице.

Радикс опустил свой длинный нос пониже и довольно лукаво посмотрел на Илюшу. Тому после испанской задачки ничего другого не оставалось, как сделать вид, что он этого не замечает.

- Нет, - сказал мальчик, - ты мне все-таки лучше про Бриарея...

- 170 -

- Про Бриарея рассказ будет не очень длинный. Бриарей был, по древнему греческому мифу, одним из детей Урана - неба и Геи - земли, от которых родились титаны, гекатонхойры (что значит сторукие) и одноглазые циклопы. С одним из этих последних встретился Одиссей, как ты, вероятно, знаешь (а не знаешь, так возьми "Одиссею" в переводе Шуковского и узнаешь). Бриарей и был одним из гекатонхейров, которые в мифах олицетворяли грозные силы разбушевавшейся морской стихии. Титаны олицетворяли собой первобытные силы природы в их совокупности, а циклопы - явления небесной грозы: гром, молнию и заодно уж извержения вулканов и землетрясения. Все эти титаны были до того страшны, что собственный отец заточил их в Тартар. А потом, когда титаны восстали против Зевса, он победил их с помощью гекатонхейров и циклопов. Миф этот связан с осадой Сиракуз римлянами, потому что Марцелл, предводитель римского войска, однажды сказал, объясняя своим воинам причины неудачных штурмов Сиракуз, что победить Архимеда, "этого Бриарея геометрии", почти невозможно. Вот поэтому-то мы иногда здесь о нем и вспоминаем.

- Значит, - сказал Илюша, - Бриарей был великан?

- В этом роде, - отвечал Радикс. - Но мы здесь видали и не таких великанов.

- Это ты про Великую Теорему?

- Нет. Есть великаны и попроще, но такого удивительного роста, что невольно диву даешься. Мы с тобой сейчас говорили о мифах. Эти прекрасные, поистине высокопоэтические создания народного гения сохранили нам не только образы древнего искусства, но и замечательные мысли. Возможно, мы снова вспомним нашего сиракузского Бриарея. Люди с давних времен всегда интересовались большими числами. В трудах индийских математиков, поскольку они отразились в легендах и поэмах древней Индии, мы встречаем не просто упоминания о больших числах, но суждения о том, как их строит мысль человеческая, какие числовые громады можно построить, исходя из довольно простых принципов. Так, в одной из древнейших книг Индии рассказывается, каким образом могут быть уложены камни при постройке некоей стереометрической фигуры. Счет начинается с десяти тысяч, затем это число последовательно увеличивается путем умножения его на десять, и девятое число из этого ряда уже довольно велико: десять в двенадцатой степени. Мы теперь называем его триллионом- это миллион миллионов. Чтобы как-нибудь представить себе эту "крошку", вспомним вот о чем. Самая близкая к нам звезда, не принадлежащая к нашей Солнечной системе, называется Альфа Центавра. Ты, наверное, знаешь, что обычно отдельные звезды созвездия называются греческими буквами.

- 171 -



Так вот, Альфа Центавра находится от нас на расстоянии сорока триллионов километров. Свет в одну секунду пролетает триста тысяч километров. В году свыше тридцати миллионов секунд; следовательно, свет этой звезды должен идти к нам примерно четыре с половиной года. Довольно долго, не правда ли? Допустим, что у нас с тобой будет самолет, который летает со скоростью тысяча километров в час.

Для КРУГЛОГО счета будем считать, что в году девять тысяч часов. Тогда за год он пролетит девять миллионов километров, за сто лет – девятьсот миллионов километров, то есть еле приблизится к биллиону. Таким образом, чтобы пролететь триллион километров, нашему самолету придется лететь, не останавливаясь, сто тысяч лет с лишним. Ты видишь, что триллион- это довольно почтенное число.

- Да уж действительно! А скажи, пожалуйста, ведь биллион не редко называют еще миллиардом, так нельзя ли на этом основании назвать триллион биллиардом?

- Нет, такого названия не существует. Ну, слушай дальше. Мысль древнеиндийских математиков и поэтов на этом не остановилась. В поэме Рамаяна описывается воинственный бог Сугрива, который ведет страшное обезьянье войско. Число хвостов в этих ужасающих полчищах начинает исчисляться обезьяньими дивизиями, в каждой из которых ты находишь, ни много ни мало, сто миллионов непобедимых мартышек. Затем эти дивизии объединяются во все более и более крупные соединения, и в конце концов во всей этой бесподобной армии насчитывается 1038 мохнатых богатырей. Что такое 1038 по нашей системе? Если мы назовем с тобой 1033 децильоном, то дальше счет пойдет так:

1033 ....... децильоны

1036 ....... тысячи децильонов

1039 ....... миллионы децильонов

1042 ....... биллионы децильонов

Как видишь, хвостов в распоряжении этого индийского вояки было вполне удовлетворительное количество.

Кстати, скажу тебе вот еще что. В старинных русских рукописях тоже имеются рассуждения о весьма больших числах.

В одной рукописи приводится число, о котором говорится, что "больше сего числа несть человеческому разуму разумети".

- 172 -

Оно именуется "колодой" и равняется 108, то есть сотне миллионов. Однако это еще не всё. В другой рукописи есть указание на то, что, кроме обычной системы, которая заканчивается колодой, существует еще и иная система, называ


убрать рекламу




убрать рекламу



емая "числом великим словенским", и там уже "последнее" число равняется 1048. А теперь обрати внимание на то, что эти индийские поэмы, как и их отражения в старинных русских рукописях, никогда не называют большое число сразу, а показывают, как путем постепенного увеличения вполне обозримого числа мы получаем числа, которые уже превосходят наше воображение. Есть еще одна замечательная индийская легенда о том, как царевич Бодхисатва сватался к дочери царя Дандапани и какими вопросами испытывал царевича премудрый Арджуна. Речь идет о системах счисления и о том, каковы примерно размеры получаемых при этом чисел. Эта прекрасная сказка очень напоминает одно замечательное творение нашего с тобой любимца Архимеда. Оно построено по тому же принципу, как и сказка об индийском царевиче. Хочешь послушать?

- Да-да! - сказал Илюша. - Про Архимеда мне все очень интересно.

- Отлично. Дело было в третьем веке до нашей эры. Архимед в этом сочинении, которое написано в форме послания к сиракузскому царю Гелону, идет примерно тем же путем, каким шли индийские математики. Он показывает на очень хорошем примере, что человек в рассуждениях может составить числа, превышающие всякий, даже самый необъятный на первый взгляд пример. Архимедов "Счет песчинок" (так называется это его сочинение) начинается следующими словами: "Некоторые - о царь Гелон! - думают, что число песчинок бесконечно. Не только тех песчинок, что находятся вблизи Сиракуз и по всей Сицилии, но и всех тех, что рассеяны по всем обитаемым и необитаемым странам земли. Другие полагают, что число это не бесконечно, но невозможно определить словесно количество, которое превышало бы число всех этих песчинок". Архимед утверждает, что мнения эти неправильны, и опровергает их таким образом. Возьмем песчинку и предположим, что в одном маковом зернышке находится 104, или десять тысяч таких песчинок. Не правда ли это будет довольно маленькая песчинка?

- Ясно, - отвечал Илюша, прямо пылинка.



- 173 -

- Далее Архимед говорит, что один палец равен сорока диаметрам макового зернышка, а стадия (греческая мера длины, которая равна примерно ста шестидесяти метрам) меньше десяти тысяч пальцев. Затем он говорит, что если мы возьмем шар с диаметром в одну стадию, то объем его будет меньше, чем объем куба, ребро которого равно одной стадии, что очевидно, ибо такой шар можно вписать в такой куб. Из этого он заключает, что в шаре с диаметром в одну стадию не может заключаться песчинок более нежели 1021, то есть более секстильона. Ясно, что объем этого шара менее, чем 104 кубических пальцев, он меньше, чем 403 • 1012 зернышек мака, а следовательно, меньше, чем 104 • 403 • 1012, или 64 • 1019, песчинок, а стало быть, он меньше, чем секстильон, равный 1021.

Далее он полагает, что если построить шар с диаметром, равным диаметру Солнечной системы, который, как он полагает, меньше 1010 стадий, то объем этого шара будет менее 1030 кубических стадий, а следовательно, в нем будет заключаться менее, чем 1051 песчинок, или, по нашей с тобой системе, менее квинтильона децильонов. Наконец, Архимед строит шар с радиусом, равным расстоянию от Земли до неподвижных звезд, которое, по его мнению, менее десяти тысяч диаметров Солнечной системы, и утверждает, что в таком шаре будет заключаться менее 1063 песчинок, или, по нашим с тобой обозначениям, менее нонильона децильонов. Может быть, тебе эта величина станет немного яснее, если я скажу, что в переводе на современные меры объем этой сферы Архимеда менее нежели 5 • 1054 кубических сантиметров.

Но Архимед не употреблял позиционной системы, как не пользовался он и показателями степени. Он строит для этого рассуждения свою систему чисел, начиная с греческого числа "мириада", которое равно десяти тысячам, то есть 104. Тогда числа до мириады он называет первыми числами, затем идет мириада мириад, или 108, которая будет единицей вторых чисел. Мириада мириад вторых чисел, или 1016, будет единицей третьих чисел, и так далее. И вот теперь оказывается, что для того, чтобы определить, сколько песчинок будет в сфере, радиус которой равен расстоянию от Земли до неподвижных звезд, достаточно взять число, которое будет менее тысячи мириад восьмых чисел Архимеда.

Таким образом, Архимед на очень несложном и очень ярком примере показал, что человеческая способность последовательно строить числа легко справляется с величинами, для которых трудно подобрать пример, который что-нибудь говорил бы нашим чувствам. Заметь, что Архимед нигде не определяет точно своих чисел. Он ограничивается тем, что указывает только на то, что искомое число не может превышать некоторой определенной величины. Таким образом, он нам указывает на то, что называется порядком величины. Мне кажется, да ты и сам можешь легко догадаться (уже не маленький!), что большего в таком рассуждении и не надо.

- 174 -

- Да, уж действительно! - промолвил Илюша. - Я раньше думал, что это ужасно большое число, знаешь, вот в этой задаче, где надо сосчитать, сколько зерен будет лежать на шахматной доске в шестьдесят четыре квадрата, если на первый квадрат положить одно зернышко пшеницы и на каждую следующую клетку класть в два раза больше. Но там совсем не так много получается.

- Да. Для обыкновенной шахматной доски получается число порядка десятков квинтильонов. Если взять стоклеточную доску, на которой играют в так называемые "польские шашки", то тогда число зерен доберется до нонильонов. А если взять доску еще побольше, у которой не десять полей с каждой стороны, а четырнадцать, и всего будет сто девяносто шесть полей, то вот тогда мы как-нибудь уж доползем до сотен септильонов децильонов.

- Как скоро все-таки растет! - воскликнул Илюша.

- Да, - отвечал Радикс, - растет недурно. Что же касается Архимеда, то он останавливается на числе, которое можно записать так:

108•1016

и которое представляет собой единицу с восьмьюдесятью квадриллионами нулей. Если это число написать на бумажной ленте, умещая по пятисот нулей на одном метре, то есть писать очень мелко и убористо, то на одном километре ленты мы напишем пятьсот тысяч нулей и на двух километрах один миллион. А так как нулей восемьдесят квадриллионов, или восемьдесят биллионов миллионов, то ленточка наша будет длиной в сто шестьдесят биллионов километров! Ленточка не маленькая: она в четыре с лишним раза длиннее орбиты, по которой несется планета Плутон. Свет, как ты знаешь, двигается довольно быстро. Однако все-таки, если бы на одном конце нашей ленточки мелькнула яркая звезда, на другом конце ее увидали бы не сразу, а только через шесть суток.

Но ведь это еще только изображение архимедова числа, а не само число!

- Удивительно! - сказал Илюша.

- Работы Архимеда были удивительны не только для тебя, но и для людей недюжинных способностей и великих знаний.

- 175 -

----------------

Первые архимедовы числа.

Единицы ...... 10°

Тысячи ...... 103

Миллионы ..... 106

----------------

108 - вторые архимедовы числа (мириады мириад).

----------------

Биллионы ..... 109

Триллионы ..... 1012

Квадриллионы .... 1015

----------------

1016 - третьи архимедовы числа.

----------------

Квинтильоны .... 1018 *

Секстильоны .... 1021

Септильоны .... 1024

----------------

1024 - четвертые архимедовы числа.

----------------

Октильоны .... 1027

Нонильоны .... 1030 **

Децильоны .... 1033

----------------

1032 - пятые архимедовы числа.

----------------

Тысячи децильонов ..... 1036

Миллионы децильонов .... 1039

Биллионы децильонов .... 1042

----------------

1040 - шестые архимедовы числа.

----------------

Триллионы децильонов . . . 1043

Квадрильоны децильонов . . 1048

Квинтильоны децильонов , . 1051

----------------

1048 - седьмые архимедовы числа.

----------------

Секстильоны децильонов . . 1054

Септильоны децильонов . . . 1057

Октильоны децильонов . . . 1060 ***

----------------

1056 - восьмые архимедовы числа.

----------------

Нонильоны децильонов . . . 1063

Децильоны децильонов . , . 1066

----------------

1064 - девятые архимедовы числа.

----------------

* Здесь стоит число, равное сумме зерен пшеницы на шахматной доске в шестьдесят четыре клетки. Примерно оно равно 1019 • 1,8447.

** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто клеток. Примерно оно равно 1030 -1,2677.

*** Здесь стоит число, равное сумме зерен на шахматной доске в сто девяносто шесть клеток. Примерно оно равно 1059 • 1,0039.

Древний историк Плутарх так говорил об Архимеде: "Во всей геометрии нет теорем более трудных и более глубоких, нежели теоремы Архимеда. Мне самому всегда казалось, когда я впервые знакомился с его математическими предложениями, что они до того трудны, что ум человеческий не в состоянии найти им доказательства. Однако когда узнаешь, как сам Архимед их доказывает, то тебе кажется, будто ты сам нашел это доказательство - до того оно просто и легко".

- 176 -

- Ты знаешь, я иногда сам что-то в этом роде чувствовал! .. Только не но отношению к Архимеду, а вообще по отношению к математике. Я очень хорошо понимаю, что хочет сказать этот древний историк!

- Так оно и должно быть, - с улыбкой ответил Радикс. - Ты испытываешь это светлое чувство радостного удивления перед могуществом человеческого разума, когда встречаешься с элементарными положениями, а люди, более тебя начитанные, испытывают то же, когда видят более сложные построения. Это вполне естественно. Один из самых крупных математиков семнадцатого века, Лейбниц, который очень много сделал для развития высшей математики, так сказал об Архимеде: "Когда внимательно разбираешься в творениях Архимеда, то постепенно перестаешь удивляться новейшим открытиям современных геометров". Два других великих математика - французы Лагранж и Даламбер - в восемнадцатом веке тоже немало потрудились над созданием высших разделов математики. Они писали об Архимеде: "Ни один из геометров древности не сделал таких многочисленных и важных открытий. Поэтому какими бы важными преимуществами ни обладали новые методы и как бы это ни было общеизвестно, тем не менее каждый математик должен поинтересоваться, какими тонкими и глубокими размышлениями Архимед сумел достигнуть таких сложных результатов". А замечательный английский математик Валлис, современник Ньютона, даже называл его "человеком сверхъестественной проницательности". Да и в гораздо более раннее время, когда ни Лейбница, ни Валлиса, ни Даламбера с Лагранжем не было еще на свете, крупнейшие ученые, которые впервые начали снова двигать вперед математику после долголетнего застоя, такие люди, как, например, Иоганн Кеплер (шестнадцатый-семнадцатый века), прямо говорили, что они пытаются продолжать дело Архимеда, а Бонавентура Кавальери (современник Кеплера и ученик Галилея) с гордостью утверждал, что ему удалось проникнуть в тайны того аналитического метода, которым Архимед пробивался через самые неприступные проблемы. Вот какой это был замечательный человек! Кавальери гордился тем, что сумел восстановить его методы. Мы еще поговорим с тобой об этом замечательном ученом. Ньютон однажды сказал, что он совершил свои открытия, так как "стоял на плечах гигантов". Кто же эти гиганты?

Это раньше всех Кеплер и Галилей.

- Да! - отвечал в почтительной задумчивости мальчик. - Только ведь это сочинение Архимеда о счете песка никаких особенных задач не решает. Правда?

- Ошибаешься! - отвечал Радикс. - Это сочинение имеет необыкновенно важное значение, и даже гораздо более важное, нежели решение какой-либо частной проблемы. Оно ставит такие серьезные вопросы, которых никто еще до Архимеда на практике не решался касаться; если же и касался, то, так сказать, несознательно, не представляя себе всей важности этой задачи. Она, в частности, заключается в доказательстве положения, утверждающего, что ум человеческий способен легко строить числа, превышающие любую заранее заданную величину.

- 177 -

Сам Архимед определял задачу этого сочинения так: оно должно доказать, что данное число песчинок не бесконечно и что возможно построить число, превышающее его. Но ведь песчинки - только частный пример, поэтому я настаиваю на моем первом определении задачи "Псаммита" (так называется по-гречески это сочинение Архимеда).

- Это очень интересно, - ответил Илюша поразмыслив. - Но ведь это только для того, чтобы посмотреть, к чему приведет такая странная задача? Не правда ли?

- Напрасно ты так думаешь, - ответил, нахмурясь, Радикс, - совершенно напрасно!.. "Псаммит" был сочинен Архимедом не для праздной забавы, отнюдь. Чем более серьезные задачи ставил перед собой человек в те древние времена (задачи из области физики, механики, астрономии и так далее), тем более сложный математический аппарат ему был нужен. И вот, чтобы начать строить этот аппарат, ему, человеку, и понадобились очень большие числа. Громадные! Необъятные! И "Псаммит" Архимеда был первым серьезным шагом в этой области. После того как содержание этого сочинения Архимеда было усвоено, можно было ставить себе и иные задачи. Например: что мы будем получать, если начнем последовательно делить единицу на ряд чисел Архимеда и дойдем до самых больших из названных им чисел?

- По-моему, - сказал Илюша, - это будет история путешествия синьориты Одной Энной по натуральному ряду.

- Недурно сказано! - воскликнул Радикс. - Недурно!

- По-видимому, эта особа будет все уменьшаться в объеме.

- А не найдешь ли ты такого числа, на которое она все более и более будет походить?

- Не знаю, - произнес мальчик осторожно, - какое же это может быть число. Ну, разве что нуль? То есть я хочу сказать, что чем дальше будет продолжаться прогулка синьориты Одной Энной по натуральному ряду, тем труднее ее будет отличить от нуля.

- Это разумный вывод, - отвечал одобрительно Радикс. - Так, конечно, и будет. Ну, а что случится, по-твоему, если я возьму все значения твоей приятельницы, госпожи Одной Энной, и начну теперь делить единицу на каждое из ее значений? Ну-ка!

- Ясно, - отвечал Илюша, - что ты снова получишь все те целые числа, с которых я начал, когда мы заговорили и синьорите Одной Энной.

- 178 -

- Прелестно! Рад от души!.. Но скажи на милость, а нет ли такой величины или даже такого математического образа, на который все более и более будут походить эти все растущие и растущие обратные величины значений синьориты Одной Энной?

Илюша не знал, что ответить на это, и только высказал предположение, что числа эти будут невообразимо громадны, так что вскоре даже и слава пресловутого "последнего" архимедова числа сильно потускнеет.

- Послушай, Илюша, - промолвил" Радикс, - ты только что сказал: что ни далее, тем значения синьориты Одной Энной все менее и менее будут отличаться от...

- От нуля.

- Правильно. Следовательно, перед нами будет ряд частных, делители которых все приближаются и приближаются к нулю. Прекрасно! А к чему же будут приближаться частные?

Илюша призадумался. Затем он сказал так:

- Видишь ли, я слышал, что есть такое слово "бесконечность". Только я не знаю: правильно ли будет, если мы сейчас о нем вспомним? Как ты скажешь?

- Это дело серьезное. И даже весьма. Тут есть над чем голову поломать. А в общем, чтобы подвести итог нашему разговору о "Псаммите", попробуй скажи мне в одной фразе, что там говорится.

Илюша подумал и ответил так:

- Какую бы мой собеседник величину ни назначил, я немедленно сооружу число во много раз больше.

И Радикс улыбнулся, на этот раз вполне удовлетворенный ответом Илюши.

- 179 -

Схолия Одиннадцатая,

 Сделать закладку на этом месте книги

которая, во-первых, довольно длинная, а во-вторых, не так уж проста, так что читателю придется проявить если не упрямство, то немалое упорство, коли он хочет и дальше играть в схолии. Однако если не читать этой схолии, то и вообще больше ничего читать в этой книжке не придется. Поэтому тот, кто хочет читать далее Одиннадцатой Схолии, должен запастись мужеством. Тогда он узнает кое-что новое о яблоках, о кружочках и прутиках одного не очень послушного и даже упрямого мальчика, который жил неподалеку от одной большой горы. Именно тут Илюша слышит превосходные арифметические рассуждения, но как только дело чуть-чуть касается геометрии, поднимается невероятная кутерьма, вызванная появлением некоего неуклюжего авиадесанта, одолеть который только и можно с помощью вышеупомянутого упрямства.

- Ну-с, уважаемый Илья Алексеич, - произнес важно Радикс, - изложите мне вкратце, как вы себя изволите чувствовать.

Илюша посмотрел на него немного подозрительно, припомнив не совсем приятный разговор с командором, но потом решил, что вряд ли Радикс вспоминает именно об этой истории.

- 180 -

- Во-первых, - начал Илюша, - мне никогда в голову не приходило, что у нас здесь столько чудес. Во-вторых, я никогда не думал, чтобы такой пустяк, как, например, Дразнилка, мог привести к таким серьезным и сложным выводам.

Правда, мне папа раз прочел две строчки из стихов, которые написал поэт Баратынский про Ньютона, но только я... если уж по совести сказать... пропустил эту штуку мимо ушей...

- А ты помнишь эти строчки?

- Помню, - ответил Илюша. - Вот как там сказано:



Плод яблони со древа упадает,
Закон небес постигнул человек.


Ну, это в том смысле, что человек, увидавши вещь самую простую, которую все видали миллионы раз, подумал над ней, как следует размышлять настоящему ученому, и открыл, что такое всемирное тяготение. Только я не знаю, так я рассказываю или нет.

- Приблизительно так, - сказал его друг. - Как будто и на самом деле с Ньютоном случилось нечто в этом роде, но в данном случае ведь не это самое важное. Ты ведь вспомнил об этом стишке потому, что теперь ты заметил, как размышление над предметами самыми простыми и обычными может привести нас к очень важным и глубоким заключениям. Так я тебя понял?

- Да, - ответил Илюша, - я как раз это и хотел сказать.

- Хорошо, что ты это заметил. Надо только еще вспомнить вот о чем. Эти стихи неправильны и в другом смысле.

Дело в том, что один человек никогда бы не смог путем размышления открыть столь сложный закон. Нужна была работа целых поколений мыслителей, чтобы постепенно подвести человечество к такому состоянию знаний, когда стало возможно такое открытие. Законы падения тел были впервые научно определены великим Галилеем, жившим в Италии в шестнадцатом и семнадцатом веках. Ньютон родился в Англии как раз в год смерти Галилея. И все работы Галилея были к его услугам. Вот как было на самом деле. Однако, конечно, даже и такого великого мыслителя, как Галилей, было еще мало для этого. На самом деле работа великого Ньютона была гениальным итогом работы гораздо большего числа людей. В их числе нельзя не назвать еще астронома-наблюдателя Тихо де Браге и великого его последователя Иоганна Кеплера. А к этому надо еще добавить, что как Галилей, так и Кеплер - оба они опирались на замечательные труды Николая Коперника...

- Как интересно!..

- 181 -

- Конечно! По этому поводу мне припомнились сейчас еще и другие стихи, которые высказывают примерно ту же самую мысль, но, пожалуй, в более удачной форме, потому что стихи, которые ты прочитал, вспоминают Ньютона, на мой взгляд, совершенно не к месту. С другой стороны, однако, возможно, что первая, еще не совсем ясная идея о всемирном тяготении, как это иногда бывает в таких случаях, действительно могла возникнуть у ученого, когда он услыхал, как стукнулось о землю упавшее яблоко. Кажется, что это случилось внезапно, но на самом деле ученый давно уж размышлял об этом. Был еще такой английский поэт Александр Поп. Жил он в восемнадцатом веке, пользовался в свое время большой известностью, и его сочинения до сих пор высоко ценятся на его родине. Так вот, однажды он написал такие стихи:



Был скрыт закон небес во мгле, но бог сказал:
"Да будет Ньютон!" - И свет просиял над миром.


В этих стихах Поп подражает Библии, где рассказывается, что бог сотворил мир из ничего, просто путем заклинаний. Ты, я полагаю, прекрасно понимаешь, что эти древние сказки ни в малой мере не объясняют происхождения мира и его устройства, что нужны были миллионы лет постепенного развития, чтобы мир стал таким, какой он есть, и что это может выяснить только наука, а не сказки. Совершенно то же возражение мы должны высказать и стихам Попа: "Вы, дорогой поэт, придумали очень занимательно о Ньютоне, с этим мы не спорим, но, по существу, вы неправы, ибо творения Ньютона не с неба свалились, а есть результат упорной и долгой работы людей ученых, как и он, его предшественников, плод постепенных и отнюдь не легких усилий всего мыслящего человечества. С другой стороны, мы хорошо понимаем, что Ньютон был не человек, а истинное чудо, но тогда надо сделать оговорку, что это не какое-нибудь сверхъестественное чудо, а одно из таких чудес, которые всегда делало, делает и будет делать человечество". Можно еще добавить, что нередко очень важные открытия появляются на белый свет как бы неожиданно, и люди им удивляются. Но затем обычно выясняется, что это удивительное открытие давно уже где-то потихоньку вызревало, только не все это замечали.

Илюша долго молчал, затем сказал:

- А еще меня очень удивил треугольник Паскаля. Кажется, просто - сложение, и больше ничего, - а какие замечательные вещи получаются из него!

- А ты никогда не слыхал, как учился математике этот Паскаль, когда он был совсем маленьким?

- Нет! - воскликнул Илюша. - Расскажи, пожалуйста!

- 182 -

- Ну, слушай. Дело было в семнадцатом веке. Блез Паскаль родился во французском городе Клермонте. Сейчас этот город называется Клермон-Феран и находится в департаменте Пюи-де-Дом, где имеется одна довольно большая гора, около полутора километров высотой, с таким же названием.

Я вспоминаю о ней потому, что некоторые работы Паскаля, были связаны с этой горой. То, что я тебе сейчас расскажу о детстве Паскаля, основано на свидетельстве его сестры и очень похоже на правду. Отец Паскаля был по тем временам очень образованный человек, недурной математик, переписывался с Ферма. Этьен Паскаль хотел дать своему сыну хорошее образование. Так как в то время все научные труды писались главным образом на латинском языке, то отец Паскаля считал, что мальчик раньше всего должен изучить латынь и знать ее настолько хорошо, чтобы свободно читать как современные ему ученые сочинения, так и сочинения древних математиков. Отец Паскаля был человек строгий и требовательный.

Он сам занимался с сыном древними языками. И вот однажды во время урока мальчик спросил своего сурового отца: "Что такое геометрия?" Отец ответил ему, что сейчас не время об этом говорить, потому что они занимаются латынью. Однако, услышав такой вопрос, отец решил, что не следует говорить так, чтобы мальчик подумал, что геометрия это нечто такое, о чем ему не следует знать, и добавил, что геометрия учит нас, как нарисовать совершенно точную фигуру и как узнать, в каких отношениях находятся части этой фигуры друг к другу. При этом отец сказал, что сыну сейчас рано еще не только заниматься этим, но даже и думать об этом. Математические сочинения хранились у отца Паскаля под замком, и говорить при мальчике о математике избегали. И все-таки мальчик Блез начал думать над тем, что ему сказал отец, не зная о геометрии ничего, кроме этой фразы отца. Затем при помощи кусочка угля он стал рисовать на полу детской геометрические фигуры и размышлять над тем, каким образом можно вычертить точный круг или равносторонний треугольник. Так как он не знал, как геометры называют свои отрезки, углы и прочее, то он выдумал им свои названия. Отрезок он называл прутиком, окружность - кружком. Ему было всего двенадцать лет.

И вот однажды его отец, случайно зайдя в эту комнату, застал его за этим занятием. Отец в удивлении спросил, что это он делает. Мальчик смутился, ибо ему было запрещено даже и думать о геометрии, и отвечал, что он играет... и вот сейчас только что он пришел к одному очень смешному заключению, а именно: заметил, что из прутиков у него выходят разные уголки - маленькие, средние и большие.

- 183 -

- Постой-ка! - воскликнул удивленный Илюша. - То есть он сам додумался до того, что существуют острые, прямые и тупые углы?

- Вот именно. Но слушай, что было дальше. А когда он стал рассматривать свои "треуголки" (то есть треугольники), то заметил, что если взять все три уголка и сложить их вместе, то получается каждый раз не больше и не меньше, как два средних уголка.

- Послушай! - воскликнул Илюша. - Да может ли это быть? Выходит, что он сам, один, своим умом дошел до утверждения, что сумма углов треугольника равна двум прямым?

Как же это возможно?

- Представь себе, что это для него оказалось возможным!

Отец его был удивлен этим не меньше тебя. Он пошел к одному своему другу, рассказал об этом и прямо заплакал от радости. История эта хорошо известна. Есть даже статуэтка, изваянная французским скульптором Моро-Вотье, изображающая, как маленький Блез рисует треугольник на полу. После этого случая Этьен Паскаль дал сыну "Начала" великого Евклида, причем Блез получил позволение читать их только в свободное время. Надо тебе еще знать, что "Начала" Евклида, хотя в них говорится о планиметрии примерно то же самое, что и в твоем школьном учебнике геометрии, изложены очень сложно, по-старинному. Чтобы дать тебе представление об этом, укажу хотя бы на то, что Евклид в своих четырехстах семидесяти предложениях, составляющих около шестисот страниц, не всегда ссылается на ранее доказанные теоремы, а когда дело доходит до какого-нибудь уже доказанного положения, которое ему надобно по ходу рассуждения, он часто доказывает это положение опять с самого начала. Все пропорции записаны словами, так как тогда ни знаки действий, ни алгебраические обозначения еще не употреблялись. Хорошо известная тебе алгебраическая формула квадрата суммы, которую мы получаем простым умножением, у Евклида доказывается геометрически, и это доказательство содержит в себе без малого триста слов! Вот и представь себе, какими же способностями и каким трудолюбием должен был обладать этот мальчик, чтобы одолеть такую книгу! А он одолел ее самостоятельно так хорошо, что шестнадцати лет написал работу по геометрии, которая была одной из первых новых работ по геометрии со времен великого Архимеда. А через три года Паскаль построил первую в мире счетную машину, которая в те времена казалась самым настоящим чудом.

- Вот здорово! А мы-то в школе хнычем, что наша геометрия трудная!

- 184 -

- Разумеется, - отвечал Радикс, - не всякому природа дает такие способности. Но трудолюбие такое может развить в себе всякий, если только он действительно любит науку и хочет быть полезен людям, когда вырастет.

- Ах! - воскликнул Илюша. - Конечно, это ужасно неприятно, когда тебе тыкают в нос, что вот, дескать, у Сеньки Золотарева всегда чистая тетрадка, а у тебя вечно клякса на кляксе! Терпеть не могу! Но вот когда ты мне рассказываешь такие замечательные вещи про Паскаля, мне самому хочется все делать так, как он делал.

- Заметь, - прибавил Радикс, - что сейчас это гораздо легче, потому что твои учебники - это просто настоящие шоколадки по сравнению с тем, что представляют собой "Начала" Евклида.

- Да, - сказал Илюша, - вот уж я не думал услыхать от тебя такие удивительные истории, после того как ты спел песенку про сов и мышей!

- Одно другому не мешает, - отвечал, улыбаясь, Радикс. - Почему бы нам и не пошутить? Это только лентяи думают, что у нас здесь скучно. Но, чтобы шутить, надо кое-что знать. А когда ты что-нибудь узнал, ты должен вспомнить хоть на минутку, сколько замечательных людей положили всю свою жизнь для того, чтобы ты мог все это узнать.

- Нет, - сказал Илюша, - теперь я всегда буду помнить об этом!

- Смотри! - сказал Радикс. - Есть ведь такая поговорка: "Давши слово, держись, а не давши - крепись".

- Нет, нет, - сказал горячо Илюша, - нечего тут крепиться! Я не забуду. Только мне бы хотелось еще кое-что узнать про Паскалев треугольник и про гору Пюп-де-Дом.

- Про горку эту мы поговорим в свое время. А насчет треугольника я вот что хотел у тебя спросить. Ты обратил внимание на его второй столбец?

Илюша посмотрел на табличку

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

1 5

1

и сказал:

- Во втором столбце просто стоят цифры по порядку: раз, два, три, четыре, пять... Что же тут интересного?

- Кое-что любопытное есть и тут. Скажи-ка, пожалуйста, а как бы ты определил этот ряд, если бы тебя спросили, как он устроен?

- 185 -

- Устроен он, по-моему, очень просто. В начале с


убрать рекламу




убрать рекламу



тоит единица, а каждый следующий его член получается путем прибавления той же единицы к предыдущему члену.

- Правильно. А знаешь ли ты, как называется ряд, устроенный по этому правилу? Он называется арифметической прогрессией.

- Ах да! - ответил Илюша. - Это я знаю. Я только не догадался, что ты именно об этом спрашиваешь.

- Значит, ты, наверное, знаешь и то, что такое геометрическая прогрессия?

- Конечно, - ответил мальчик. - Она очень похожа на арифметическую, только там каждый член получается не прибавлением какой-нибудь величины, а умножением на что-нибудь.

- А помнишь ли ты, как называется величина, которая прибавляется к каждому члену арифметической прогрессии, и та, на которую умножается каждый член геометрической?

- Помню. В арифметической эта величина называется разностью прогрессии, а в геометрической - знаменателем прогрессии.

- Ну-ка, - сказал Радикс, - напиши мне арифметическую прогрессию. Первый член у нее, конечно, будет единица, а разность - два.

Илюша взял мел и написал:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

- А теперь геометрическую.

Илюша написал:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512...

- Прелестно! - заметил Радикс. - Это какие у тебя прогрессии?

- Возрастающие.

- В высшей степени очаровательно! Ну, а давай-ка теперь убывающие.

Илюша написал следующее:

1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13 ...

а затем:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 ...

- Ну-с, юноша, - сказал после этого Радикс, - а способны ли вы дать мне определение той и другой прогрессии?

- 186 -

- Способен. Арифметической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое получается из предыдущего прибавлением постоянного положительного или отрицательного числа, которое называется разностью прогрессии. Геометрической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое равняется предыдущему, умноженному на постоянное число, целое или дробное, которое называется знаменателем прогрессии. Да это ты мне целый экзамен устраиваешь!

- Терпи, казак, - отвечал Радикс. - Без этого дальше и носа сунуть не дадут. Впрочем, может быть, тебе хочется, чтобы тебя не я, а Уникурсал Уникурсалыч экзаменовал?

- Нет уж, спасибо! - воскликнул испуганный Илюша. - Ну его совсем! Начнет опять нести свою околесицу да язвить, пока в голове полная каша не получится, а потом изволь в этой путанице разбираться.

- Раз мы с тобой вспомнили о нем, так не хочешь ли ты, кстати, решить две его задачки, не то что очень трудные, но все-таки над которыми надо немножко призадуматься? Вот что гласит первая: "В ночь на восемнадцатое июля тысяча пятьсот десятого, если не ошибаюсь, года большой корабль знаменитого флорентийского мореплавателя Америго Веспуччи вошел в устье некоторой большой реки за океаном и стал на якорь. Ночью же с борта корабля была спущена веревочная лестница с пятнадцатью деревянными перекладинами, доходившая как раз до адмиральской шлюпки, на которой Америго и отправился немедленно на берег. Расстояние между смежными перекладинами равнялось одному с четвертью английскому футу, который примерно равен тридцати с половиной сантиметрам. На рассвете начался прилив, вследствие которого вода в реке стала подниматься, будем считать с шести часов утра, со средней скоростью одного метра в час. Спрашивается: на сколько ступеней должен был подняться по веревочной лестнице в четверть девятого утра восемнадцатого июля тысяча пятьсот десятого года знаменитый и отважный мореход Америго Веспуччи, как раз в это время вернувшийся на своей адмиральской шлюпке с берега?"

- Одну минуту, - сказал Илюша. - Я запишу.

- Запиши! Это в таких случаях первое дело!

Илюша начал было записывать, потом остановился.

- Так ведь это... - воскликнул он. - Фу, какая ерунда!

Ха-ха-ха!

- 187 -

- Ну ладно! - засмеялся в ответ Радикс. - А вот и другая задачка: "В старину некий министр должен был выбрать одного из своих подчиненных, чтобы послать его за границу с очень важным порученьем. Так как этот старик министр был уверен, что для этого дела требуется быстро соображать и решать, то, выбрав троих самых способных молодых людей, он велел им стать посредине его кабинета на ковре, так, чтобы они стояли в трех углах некоего равностороннего треугольника. Затем он сказал им: "У меня есть здесь шесть бумажных колпачков: три белых и три зеленых. Сейчас слуги унесут отсюда свет, и я в наступившей темноте надену на голову каждого из вас один из этих колпачков. Затем слуги вновь внесут зажженные канделябры, и тогда каждый из вас, кто увидит у кого-нибудь зеленый колпачок, должен поднять руку. После этого тот, кто догадается, какого цвета колпачок у него на голове, должен опустить руку. Это и будет тот, кому я дам важное поручение". Слуги унесли свет, министр ощупью надел на каждого из испытуемых колпачок, и свет принесли снова. Как только в кабинете министра стало светло, все трое немедленно подняли руки. Прошло еще секунды две, и один из них опустил руку. Спрашивается: какого цвета были на каждом из троих колпачки и как догадался о цвете своего колпачка самый догадливый, то есть тот, кто опустил руку?"

- Постой-ка, - сказал Илюша, - я так понимаю: если на всех были бы белые колпачки, то ведь никто не поднял бы руку?

- Так! - отвечал Радикс.

- Если только на двоих будут белые колпачки, а на третьем зеленый, то совершенно ясно, что руки поднимут...

А если на двоих зеленые, то какая же будет разница с тем случаем, когда... Ах, догадался! Ясно! Ты понимаешь, я было запутался, потому что мне показалось, что два последних случая совершенно одинаковы. Но когда я подумал о том, что тот, самый догадливый, посмотрев на остальных, тут же и опустил руку, я сообразил, в чем дело. Хорошая задачка!

- Задачка недурная, - усмехнулся Радикс - Однако пора нам вернуться к нашим прогрессиям, где все так ясно и просто. Может быть, ты еще припомнишь, чему равняются их суммы?

- Помню, - сказал Илюша не очень решительно, - только мы еще не проходили прогрессий... И я, понимаешь ли, сам... то есть забрался в учебник, ну и... немного покопался. Так что насчет суммы...

- Как же теперь быть? - спросил его, состроив очень сочувственную мину, Радикс. - Положение получается прямо жуткое! Давай попробуем?

- Давай, - отвечал Илюша, упорно глядя не на своего друга, а на пол.

Но он тут же вскинул в удивлении голову, ибо сбоку раздался быстрый топот маленьких ножек и к ним вбежала целая толпа пресмешных карликов в пестрых колпачках. За ними шла вперевалку какая-то толстая особа, довольно невзрачного вида, жалобно подпиравшая щеку рукой.

- 188 -

Один из карликов выбежал вперед, подбежал к Радиксу, стащил с головы свой пестрый колпачок, выставил вперед правую ножку в красном сафьяновом сапожке и весело воскликнул:

- Привет, Радикс Кристофович! Привет вам, славная Сторона! Арифметическая прогрессия имеет честь явиться по вашему глубокомысленному пожеланию в полном составе! Dixi!

- Молодцы ребята! - ответствовал им Радикс.

Тут из толпы карликов выскочил еще один очень худенький человечек, все тело которого, казалось, состояло из одной тоненькой черты. Вместо головы у него тоже была черточка, вместо рук и ног - тоже по черточке. Он стал в очень важную позу, строго и серьезно взмахнул своей черточкой-ручонкой.

Сейчас же карлики, которые стояли сзади, вытащили из-за спины свои охотничьи рога и заиграли очень веселый марш, а остальные мигом пустились в пляс, а затем пропели очень звонко и весело своими тоненькими, словно флейта, голосами:

- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

Илюша смотрел как очарованный на этот превосходный балет, а когда они умолкли, очень вежливо сказал человечку черточке:

- Вы, если я не ошибаюсь, разность этой прекрасной прогрессии?

Человечек в знак согласия поклонился Илюше.

- У вас прекрасный хор. И танцоры замечательные!

И оркестр тоже очень хороший! Но почему вы назвали Радикса Кристофовичем да еще славной Стороной? И что значит слово dixi?

- А видите ли, - произнес человечек Разность, - ведь нашему другу недавно стукнуло от роду четыреста сорок лет, ибо именно столько лет прошло с тех пор, как математик Кристоф Рудольф в шестнадцатом веке ввел знак радикала.

В Индии его называли корнем, а в Европе нередко еще стороной, разумея, что подкоренное количество знаменует собой площадь квадрата, сторону какового надлежит найти. Могу еще указать, что в "Арифметике" Леонтия Магницкого, напечатанной в Москве в тысяча семьсот третьем году (в книге, по которой учился сам Ломоносов), корень обозначался прописной латинской буквой R и именовался "радикс" или "бок", то есть "сторона". A "dixi" значит: "Я сказал все, что собирался сказать".

- Ах вот как! - сказал Илюша.

- 189 -

Он хотел еще спросить кое о чем у этого любопытного человечка, но в это время Радикс произнес:

- Ну, друзья, будьте так любезны!

Карлики мигом выстроились в одну линию, причем человечек Разность суетился, мелькая между ними и расставляя их по порядку. Толстая женщина уныло стояла в сторонке, не принимая в этой веселой толкотне никакого участия.

Когда карлики выстроились, на их красивых кафтанчиках вдруг появились блестящие буквы:

a1, a2, a3, a4, a5, ... , an-1, an.

- Это обозначения членов прогрессии. Можно было бы, конечно, их пометить просто буквами а, b, с и так далее, но азбука ведь довольно коротенькая, а номеров у нас сколько хотите, - пояснил человечек Разность - Энный член-это последний, "зн минус первый" - предпоследний, "эн минус второй" - третий с конца. Вот и все.

Тут же все буквы исчезли, а на кафтанчиках карликов появилась та самая прогрессия, которую недавно писал Илюша:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

Потом карлики вдруг быстро стали парами. Единица стала в пару с девятнадцатью, тройка с семнадцатью, пятерка с пятнадцатью, семерка с тринадцатью, а девятка с одиннадцатью.

Илюша посмотрел с удивлением и тут же заметил, что если взять некоего карлика от начала ряда, а потом найти ему пару, отсчитав то же число с другого конца, то сколько таких пар ни составляй, все они дадут в сумме одно и то же число. Снова у карликов цифры заменились буквами, и Илюша увидел, что к первой паре стоят a1 и an, во второй - a2 и an-1, в третьей - a3 и an-2, и так далее. Когда он это рассмотрел, из толпы карликов вылез какой-то невзрачный лилипут в длиннополом сюртуке, который тащил такие большие конторские счеты, что они были чуть не больше его самого, хотя, в сущности, и лилипут и счеты были очень маленькие. Он подошел к Илюше и пробормотал:

- Я - Число членов прогрессии. Понятно?

Илюша кивнул ему. Тогда карлики снова выстроились в ряд, а за ними появился совершенно такой же ряд, но только расположенный в обратном порядке. Карлики обоих рядов приблизились друг к другу и an, опять стали парами: a1 с an, a2 с an-1 и так далее. Но только теперь это произошло очень быстро, потому что им не пришлось перебегать от начала ряда к его концу, так как второй ряд уже был расположен в обратном порядке.

- 190 -

Снова буквы сменились у всех на кафтанчиках цифрами, а рядом со счетоводом появились два маленьких человечка, совершенно таких же, как первый и последний члены ряда. Счетовод Числочленов вытащил откуда-то знак равенства, весьма важно оправил свой долгополый костюм, на котором появилась цифра "10", взял под руку двух маленьких человечков и стал рядом с ними по левую сторону знака равенства. Справа же стояли парами два ряда карликов. Счетовод взмахнул рукой, и один из рядов исчез, но одновременно крайние карлики взяли в руки скобки и рядом появился человечек с надписью "2". Получилось равенство:

10•(1 + 19) =2•(1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+ 15+ 17+ 19)

Илюша посмотрел и сообразил: из каждой пары членов получается 20, членов всех десять - выйдет 200. Это с правой стороны. А с левой счетовод Числочленов равен десяти, а сумма пары 1 и 19 (которая равна сумме любой пары, если пары подбираются, как было сказано выше) дает 20. Десять умножим на двадцать - опять получим 200. Все правильно!

Затем счетовод Числочленов вытащил из своего долгополого сюртучка предлинную черту, посмотрел на нее, расправил, потом положил на пол, и все трое из левой части равенства стали на нее. Засим он поманил пальцем человечка-двойку, который подлез под длинную черту и, оказавшись замечательным силачом, приподнял всю левую часть над собой.

Толстая женщина подошла к ним, а карлики отошли в сторону. Илюша хотел было спросить у этой толстухи, кто она такая, но она проскрипела:

- Я - Сумма. А ты и не признал!

И на ее платье показалась цифра "100".

Илюша сильно покраснел, но ничего не сказал. Перед ним стояло равенство:

[10•(1 + 19)] / 2 = 100.

- 191 -

Все было правильно. Затем цифры быстро сменились буквами, и получилась формула:

S = [ n (a1 + an) ] / 2

Илюша внимательно посмотрел на нее и уверенно произнес:

- Сумма членов арифметической прогрессии равняется половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.

Счетовод Числочленов немедленно с большой поспешностью соскочил вниз и стал засовывать свою черту в карман, страшно гремя костяшками счетов, которые он боялся выпустить из рук. Карлики крикнули все хором:

- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

И тотчас же все исчезло, будто вовсе не бывало.

- Ясно? - спросил его с улыбкой Радикс.

- Ясно, - ответил Илюша.

Но в это время снова раздались многочисленные шаги, и появилась новая толпа маленьких пузатеньких человечков, однако эти вели себя гораздо более важно и церемонно, чем первые. Изумительное равнодушие и важность были написаны на их толстеньких сморщенных личиках. Из толпы отделился тощий, длинный человечек в высоком цилиндре, за ленту которого была засунута буква q. Он подошел к Илюше, кивнул и показал двумя длинными пальцами на букву q на своем цилиндре. "Наверно, это знаменатель прогрессии!" - подумал Илюша, решив, что это к ним явилась геометрическая прогрессия в полном составе. Человечек с буквой q посмотрел на него и немедленно кивнул, точно он услыхал, что подумал Илюша. Человечки неторопливо стали в ряд. На их жилетках появились сперва буквы, точь-в-точь такие же, какие были у карликов; a1, a2, a3 и так далее до an. А затем буквы исчезли и появились цифры: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192.

Долговязый человечек Знаменатель вытащил из-за ленты своего цилиндра букву q, что-то к ней приладил и опять вставил за ленту, где теперь появилось:

q = 2.

"Знаменатель равен двум!" - подумал Илюша.

- 192 -

Потом человечек достал из своих необъятных карманов две скобки, поставил их с обеих сторон прогрессии, а между человечками поставил по плюсу. Затем подошел к первому члену прогрессии, без труда приподнял его и понес за скобки. Но маленький человечек сопротивлялся и вырывался из рук. По-видимому, что-то было не по правилам. Человечки в скобках тоже волновались.

Тогда Знаменатель пожал плечами и отпустил человечка с надписью "3", и тот побежал вдоль ряда. На его месте появился другой - худой, с надписью "1", и каждый из членов прогрессии, мимо которого он пробегал, моментально сменялся другим, так что, когда человечек, запыхавшись, закончил свои бег и стал рядом, вне скобок, получилось:

3•(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64).

"Ага! - подумал Илюша. - Значит, он их все сложил, а первый член вынес за скобку".

Человечек Знаменатель утвердительно кивнул Илюше.

Мальчик подумал, что этот безмолвный учитель, который обладает столь тонким слухом, что слышит даже и то, чего ты не произносил, - довольно интересная новость!

Тут же цифры на жилетках человечков заменились буквами:

a1(1 + q1 + q2 + q3 + q4 + q5 + q6 + ... + qn-2 + qn-1).

"Правильно! - решил про себя Илюша. - Просто он заменил цифры алгебраическими обозначениями. Тут в конце стоят qn-2 и qn-1 - в том смысле, что прогрессию по тому же правилу можно тянуть вправо до любого члена. А почему членов у нас n, а старший показатель q не n, а (n-1)? Ах да!

Ведь впереди есть еще единица, то есть q°. Значит, один и еще (n-1) - вот и выйдет опять ровно n. Ясно! Значит, в сумме всякой геометрической прогрессии Можно взять первый член за скобку, а в скобках останутся степени знаменателя".

Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.

- 193 -

Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.

(1 + q + q2)

Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:

(q2 + q + 1)

Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.

"Э! - подумал Илюша. - Да это просто неполный квадрат суммы!"

Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:

- Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!

Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:

(q2 + q + 1) (q - 1) = ?

"Неполный квадрат суммы, - подумал Илюша, - если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?"

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: "Сейчас узнаешь!" - и перед мальчиком появилось:

(q2 + q + 1) (q - 1) = q3 - 1.

"Ну конечно!" - подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

(q3 + q2 + q + 1) (q - 1) = q4 - 1.

- 194 -

"Ишь ты! - подумал Илюша. - Как же так выходит?" Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. "Действительно, - подумал он, - когда я умножу q3 на q, то выйдет q3; когда умножу 1 на (- 1), то получится -1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов, кроме первого, я получу q3, q2, q и все будут с плюсом, от умножения на (-1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q3, q2, q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q4 и - 1. Все верно!"

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q4 + q3 + q2 + q + 1) (q - 1) = q5 - 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(qn-1 + qn-2 + ... + q4 + q3 + q2 + q + 1) (q - 1) = qn - 1.

"Так, - подумал Илюша. - Тут начинается с qn-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени".

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q-1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

qn-1 + qn-2 + ... + q4 + q3 + q2 + q + 1 = (qn - 1) / (q - 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q2+ q3 + q4+...+qn-2+ qn-1 = (qn - 1) / (q - 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

"Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы".

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра "3". Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a1 = 3.

"Так! - подумал Илюша. - Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке".

- 195 -

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого - к правой, и вышло:

a1(1+ q + q2+ q3 + q4+...+qn-2+ qn-1 ) = a1 (qn - 1) / (q - 1).

"Обе части он умножил на первый член прогрессии, - подумал Илюша. - Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!"

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. "Сумма!" - подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

"Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!"

И получилось следующее равенство:

S = a1(1+ q + q2+ q3 + q4+...+qn-2+ qn-1 ) = a1 (qn - 1) / (q - 1).

= а, с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a1 (qn - 1) / (q - 1)

- 196 -

Илюша громко и отчетливо произнес:

- Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a1 [qn / (q - 1) - 1 / (q - 1)]

а потом открыл скобки:

S = a1qn / (q - 1) - a1 / (q - 1)

А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.

На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.

Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.

Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.

- Значит, ты число членов прогрессии?

- Угадал! - пискнул Мишка.

Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.

- 197 -

Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:

S = a1qn / (q - 1) - a1 / (q - 1)

Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой ланкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:

- Я буду больше единицы!

В ответ на это плюшевый Мишка, очень удобно примостившийся на краю цилиндра Знаменателя, начал пыхтеть и понемножку толстеть, а дама начала понемногу расти вверх.

Илюша подумал: "Эн увеличивается, и сумма растет.

Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!"

А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться, как он умещается на цилиндре, уцепившись за него задней лапой. Длинная дама уже даже начала как-то странно покачиваться, точно малейший ветерок мог ее свалить. А Мишка стал как настоящий Топтыгин.

Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.

Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.

- 198 -

- Эта упавшая на бок восьмерка, - пояснил тот, - есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.

Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:

- Так это, значит, и будет бесконечность?

- Н-да... - отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это "н-да"...

Он, видимо, был сильно не в духе.

- Послушан, - сказал Илюша как только умел любезно, - мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи.

Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?

Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.

- Начнем с того, - заявил Радикс, - что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. "Она, - говорил Аристотель, - существует только в возможности". Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.

Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.

Илюша посмотрел на формулу:

- Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала "бесконечностью", а это только значит что она становится все больше и больше?

- Да. И это потому, что Мишка наш растет.

Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.

- 199 -

- Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, - подсчитал Илюша.

- Это очень просто, - ответил Мишка. - Ты требуешь, чтобы сумма

S = 3 • (2n - 1) / (2 - 1) = 3 • (2n - 1)

стала больше 1033. Но 210 больше, чем 103, значит, 2110 уж наверно больше, чем 1033, а у нас там еще множитель "три" в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.

- Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?

- Тогда мне придется еще подрасти, - отвечал Мишка. - Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 1066. Можешь проверить, коли не лень.

- И так будет, - сказал Радикс, - всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число членов прогрессии со знаменателем, большим единицы или даже равным единице, неограниченно возрастает, сумма стремится к пределу, равному бесконечности.

- Вот тут уж я не понимаю, - ответил Илюша. - Как это - стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит - равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?

- Ты совершенно прав, сказал Радикс - Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется... Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.

- 200 -

Вспомни синьориту Одну Энную: при неограниченном


убрать рекламу




убрать рекламу



возрастании "эн" она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.

Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они "стремятся к бесконечности".

- Да... - задумчиво протянул Илюша. - Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?

- Так, - ответил Радикс. - Но что же ты хочешь этим сказать?

- Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.

Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом - наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности...

Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее:

- О величайшая и пресветлая Лилавати, богиня волшебного мира! Кровь сохнет в жилах моих и уши увядают, когда я слышу эту беспросветную чепуху, что льется из уст этого непросвещенного отрока!

Засим грозный доктор Уникурсальян обратился к Илюшей возопил:

- Отвечай мне: во-первых, что же это будет за х? Стоит только достигнуть параллельности, и наклонная перестанет быть наклонной. И останутся два перпендикуляра, которые, как, может быть, и тебе известно, ни в какой точке пересекаться не умеют. А ведь, по-твоему, х, как это донеслось до слуха моего, есть именно расстояние от основания перпендикуляра до точки, которой нет?

- 201 -

- Ну хорошо, я скажу иначе, - возразил Илюша. - Просто возьму перпендикуляр и буду двигать по нему точку, начиная от какой-то начальной - той, которая была основанием перпендикуляра, - все дальше и дальше так, чтобы расстояние х от начальной точки стремилось к бесконечности. Так вот, когда я вместо отрезка перпендикуляра до удаляющейся точки возьму всю эту часть перпендикуляра, то есть весь луч, идущий в одном направлении от начальной точки, то тогда можно уж сказать, что этот луч имеет длину, равную бесконечности, то есть что расстояние х уже стало действительно бесконечностью.

- Сказать можно все, что угодно, - сердито отвечал командор, - а какой в этом будет смысл? Что вы разумеете под словом "длина", юноша? Если я вас правильно понял, то вы имели в виду длину отрезка, а ведь это не что иное, как число, которое можно получить, если этот отрезок измерять, откладывая на нем единицу длины. Но перед вами не отрезок, а луч, и откладывать на нем единицу можно сколько угодно раз, но от вашей цели вы при этом будете все так же далеки, как в самом начале, хотя бы вы и отложили единицу децильон децильонов раз. Ибо попробуйте, сделав это, удалиться на столь же почтенное расстояние от вашей работы и посмотреть издали: вам покажется, что вы еще с места не сдвинулись. Конечно, можно сказать, выражаясь, однако, совершенно условно, что "длина луча равна бесконечности", по и это опять будет иметь только тот смысл, что сколько бы раз ни откладывал ты единицу меры вдоль луча, этому не будет конца, то есть какое бы число ни назначить, единицу можно отложить еще большее число раз.

- А почему же, - спросил Илюша, - нельзя просто сказать, что единица отложится "бесконечное число раз"? Ведь мы говорим же, что число всех чисел бесконечно или что на отрезке умещается бесконечное число точек...

- И здесь эти выражения имеют тот же самый смысл, - отвечал Радикс (ибо Магистр Деревьев уже исчез). - Сосчитать все точки на отрезке невозможно. Когда ты говоришь, что число точек на отрезке бесконечно, то только признаешься в том, что сколько бы точек ты ни отметил, всегда можно найти на отрезке еще одну, не отмеченную, и так дальше, без конца. Недаром же мы произносим слово "бес-конечность".

Вспомни Архимеда: ведь как раз его задачей и было доказать современникам, что какое бы большое число ни назвать, всегда можно построить еще большее.

- 202 -

- А все-таки непонятно: почему же мне не называть бесконечность числом? - спросил Илюша. - Ведь если говорить, что длина луча равна бесконечности или что число точек на отрезке равно бесконечности, то ведь всякому будет ясно, что это значит...

- Ну что ж, - ответил Радикс, - если употреблять эти выражения в том смысле, в каком мы с тобой только что говорили, то в этом ничего плохого нет. Но когда ты говоришь:

"Что-то превратилось в бесконечность", нельзя забывать, что это имеет определенный смысл, ибо то, что "превращается" во что-нибудь, перестает уж быть тем, чем оно было до этого: отрезок превращается в луч, множество чисел, каждое из которых ты можешь рассмотреть и назвать в отдельности, "превращается" в бесконечное множество всех чисел, в котором пересмотреть до конца элементы один за другим уже не удастся. Это "превращение" - очень хитрая штука. Ты можешь, конечно, вообразить, что тянул, тянул отрезок да и растянул его в луч, как делал с перпендикуляром, поворачивая наклонную до параллельности с ним. Но это ты только воображаешь себе. На самом деле бесконечный луч построить нельзя, а можно только представить себе бесконечный процесс удлинения отрезка. И то, что ты представляешь себе в качестве результата этого процесса, это уж совсем не отрезок, а нечто существенно отличное от отрезка.

- И затем, - сказал Илюша, - я вот еще что хотел спросить. Ты говоришь, что количество точек на отрезке прямой бесконечно, то есть эти точки нельзя исчерпать, перебирая их одну за другой. Ну хорошо, а если сказать, что бесконечность есть именно такое число, которое выражает количество точек на отрезке или вообще количество каких-либо вещей, процесс пересчитывания которых закончить невозможно?

- В некотором, строго определенном смысле можно и так говорить. Но как только ты скажешь, что бесконечность - число, то сейчас же возникает новая опасность. Числа ты можешь сравнивать по величине, складывать их, вычитать, а с бесконечностью в том смысле, как ты ее только что определил, нельзя обращаться, как с числами...

- Ты расскажи, отчего нельзя, - попросил Илюша.

- Вот отчего. Если луч удлинить на десять сантиметров, присоединив к нему в его начальной точке отрезок именно этой длины, то станет ли после этого длина нового луча действительно больше на десять сантиметров или останется прежней? Ведь если снова измерять новый луч, не зная, прибавляли ли к нему еще что-нибудь или нет, то обнаружить разницу по сравнению с тем, что было, ты не сможешь. И в том и в другом случае ты получишь бесконечную последовательность отложенных единичных отрезков и можешь даже их наложить друг на друга: первый на первый, второй на второй и так далее. Поэтому говорить, что второй луч на десять сантиметров длиннее первого, - это значит произносить фразы, не имеющие никакого смысла. Вот что получается со сложением.

- 203 -

А с вычитанием еще того хуже: накладывая два луча друг на друга, я могу сдвинуть при этом их начальные точки так, чтобы между ними образовался отрезок любой длины. А следовательно, если ты напишешь, что бесконечность минус бесконечность есть нуль, то и в этом не будет никакого смысла.

Значит, такое равенство может привести к грубым ошибкам.

Мало того, я из одного луча могу соорудить два точно таких же, так что и с делением и с умножением тоже получается неладно. Поэтому раз с бесконечностью нельзя обращаться, как с числом, то уж лучше совсем и не называть ее числом.

- Постой, как же так: из одного луча два? - спросил Илюша.

- А это тебе объяснит Мишка в следующей схолии, - ответил Радикс.

- 204 -

Схолия Двенадцатая,

 Сделать закладку на этом месте книги

где читатель снова встречает Мишеньку, который показывает талисман, замечательный своей полной неистребимостью, а Радикс рассказывает поучительную сказку об одном остроумном директоре гостиницы, а также о том, как Галилей подсчитал однажды, сколько всего есть на белом свете полных квадратов, и о том, как на школьном вечере все танцевали вальс. Тут наш герой проявляет необычайный интерес к прядильному делу, однако с этой проблемой приходится обождать, ибо в это время Илюша должен срочно разрезать одно яблоко на семнадцать миллионов частей. Далее идет очень сложное обсуждение вопроса о том, существует ли особая форма для кривых и какова она. А после того, когда все по этой части благополучно разрешается при помощи прямого угла, так что Илюше удается даже выяснить, какие у этих кривых корни, друзья наши отправляются в лес, где их встречают очень странные существа, наперерыв расхваливающие свой товар, сообщая, кстати, Илюше рецепт, с помощью которого жизнь человека удлиняется ровно вдвое. Наконец друзья приходят в прелестную столовую, где один подслеповатый повар принимает Илюшу в своем кулинарном рвении за гриб.

- Все это может быть и так, - начал снова Илюша, - но мне все-таки хотелось бы узнать у тебя еще кое-что об этой бесконечности. Как ни удивительны те числа, о которых мы говорили с тобой раньше, все-таки это ужасно странное число...

- 205 -

- Фф-у! - в величайшем негодовании воскликнул Радикс. - Я же тебе говорил, что это не число! Запомни это раз навсегда! Если ты не хочешь сейчас же и немедленно поссориться со мной, то лучше и не заикайся об этом.

- Хорошо, хорошо! - торопливо согласился Илюша. - Я только...

- Только что? - раздался тоненький голосок.

Илюша обернулся и увидел старого знакомого - плюшевого Мишку. Мишка хихикнул и сказал:

- Я страшный! Я удивительный! Я очень страшный! Это потому, что у меня есть талисман. Замечательная штучка!

Тут Мишка засунул лапку куда-то за спину, и Илюша увидел, что у этого смешного зверька в его плюшевой шубе сзади устроен еще карманчик. Мишка вытащил большую новенькую серебряную монету и с торжеством показал Илюше.

- На-ка! - важно провозгласил Мишка. - Это, по-твоему, что? Это, брат, неразменный рубль.

Илюша с удивлением взял в руки монету. На ней посреди узора из лежащих на боку восьмерок было выгравировано:

"НЕРАЗМЕННЫЙ РУБЛЬ. Отчеканен высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА и в силу оного имеет дивное хождение и чудное взлетание наравне с чудесами и дивами, каковые при его помощи очень легко приобрести. Беспрепятственно разменивается, нимало не размениваясь, на страх и удивление самым непослушным задачкам".

- Так... - нерешительно произнес Илюша, прочитав эту странную надпись и не зная, чему тут можно верить.

- А знаешь ли, как этот аппарат действует? В этом-то весь секрет! - С этими словами Мишка разломил рубль пополам.

И обе половинки вдруг стали целыми рублями! Самое странное было, однако, в том, что Илюша отлично видел, как Мишка разламывал рубль, но уследить, когда и как обе половинки снова стали целыми рублями, он не мог. Может быть, в этом и заключается секрет неразменного рубля?

Потом Мишка положил эти два рубля друг на друга, и они снова превратились в одну целую монету.

- Видал? - победоносно сказал Мишка. - Вот рублик!

Вот так Мишкина монетка! Вот меня все и боятся! А почему?

Потому что у меня есть неразменный рублик.

Илюша посмотрел с удивлением на равнодушную мину Радикса.

- Что это значит?

- 206 -



- Вот как? - с подчеркнутым удивлением сказал Радикс. - Значит, ты ничего не понял? Достойно сожаления, молодой человек! Ну, в таком случае я расскажу тебе другую историю, не менее поучительную, но, быть может, более понятную... В некотором царстве случилось великое празднество, на каковое съехалось несметное число гостей. И накануне праздника они явились в столицу этого царства и все стали толпой около гостиницы. Выходит директор гостиницы. Спрашивает: "Скажите, пожалуйста, дорогие гости, сколько вас?"

Ему отвечают: "Нас бесчисленное множество. Вот наши делегатские билеты. На них стоят номера от единицы до бесконечности". Директор говорит: "Так как в моей гостинице бесконечное число номеров и как раз они перенумерованы от единицы до бесконечности, то я размещу вас всех. Прошу вас, входите!" И все разместились. Не прошло и часа, как снова на площади перед гостиницей собралась такая же толпа. Снова выходит директор. Снова спрашивает: "Сколько вас, дорогие гости?" И опять ему отвечают: "Столько же, сколько было и в первой партии!" Директор говорит: "Так как в моей гостинице как раз бесконечное число номеров, то я размещу вас всех. Пожалуйста, входите!" Они входят. И что же он делает?

Он перемещает всю свою первую партию гостей. Гостя из номера первого он переводит в номер второй, из номера второго в четвертый, из номера третьего в шестой, из номера четвертого в восьмой, из номера пятого в десятый и так далее. Таким образом, у него все нечетные номера оказались свободными, и там-то он и разместил вторую партию гостей, которая, как и первая, заключала в себе несметное число приезжих.

Понял?

- Ничего не понял! - воскликнул Илюша.

- Прекрасно! - отвечал Радикс. - Начнем сначала. Ты знаешь, что такое четные числа?

- Ну конечно. Это те, которые делятся на два.

- Верно. А нечетные?

- 207 -

- Ну, которые на два не делятся: три, пять, семь и так далее.

- Приятно слышать. Какой милый, догадливый мальчик!

Так вот, Мишкина задачка, а также задачка с бесконечной гостиницей заключаются вот в чем. Если взять все числа, то есть четные и нечетные, ведь это будут все натуральные числа, не правда ли?

- Ну конечно, потому что, кроме четных и нечетных, больше никаких нет. Так они и идут одно за другим: нечетное, потом четное, потом опять нечетное и так далее без конца.

- Одно за другим, по очереди?

- Конечно! Что ты меня спрашиваешь о таких вещах?

Уж это, кажется, до того просто, что малое дитя знает!

- Ах, так это просто, по-твоему? Ну посмотрим, что ты дальше скажешь! Так, значит, выходит, что четных и нечетных чисел одинаковое количество.

- Конечно, - ответил Илюша. - Если взять, например, до какого-нибудь четного числа, ну хоть до этого нонильона децильонов, то будет поровну и четных и нечетных.

- Так и запишем. Попробуем только взять еще немножко подальше, а то для Мишкиной задачки это крохотное числишко - нонильон децильонов - не подходит. Возьмем до бесконечности. Так вот, ответь мне, пожалуйста: если мы возьмем все числа, а потом выберем только одни четные и напишем в два ряда - в одном ряду будут все: и четные и нечетные, а в другом одни четные, - так в котором ряду будет чисел больше, в верхнем или в нижнем?

- Ну конечно, во втором ряду будет вдвое...

Но тут почему-то Илюша замолчал, и на его лице изобразилось полнейшее недоумение.

- Ну-с, - сказал Радикс, - я вас слушаю! В котором ряду будет больше, в верхнем или в нижнем?

Илюша грустно вздохнул и сказал:

- Должно быть во втором ряду вдвое меньше, а на самом деле...

- А на самом деле? - повторил вопросительно Радикс. - Да что тут долго думать! Вон они, посмотри-ка!

Илюша обернулся, посмотрел на стену и увидел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14...

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28...

Оба ряда тянулись вправо ужасно далеко, но как ни заглядывал Илюша вправо, как он ни напрягал зрение, оба они шли совершенно вровень, а конца им не было.

- Так как же? - опять спросил Радикс.

- 208 -

- Выходит, что их - и тех и других - одно и то же количество.

Илюша пожал плечами.

- Не понимаю! - сказал он. - Вижу, что одно и то же количество, и соображаю, что сколько ни тяни верхний ряд, нижний от него отставать не будет, потому что нижний - это тот же верхний, только умноженный на два, но понять не могу.

Не могу, потому что нижний в то же самое время есть часть верхнего. Но ведь часть меньше своего целого?

- Меньше, покуда речь идет о числах, о конечных величинах. А раз ты имеешь дело с бесконечностью, то, как ты сейчас сам видишь, это не так. Там вовсе не обязательно, чтобы часть была меньше своего целого. В данном случае часть совершенно такая же, как и ее целое. И это странное целое можно еще по-разному разбить на части, и опять получится то же самое. Великий Галилео Галилей в книге, которая называется "Беседа о двух новых науках" и которая вышла б свет в тысяча шестьсот тридцать восьмом году, задает примерно такой вопрос: "Верно ли будет, если я скажу, что количество правильных квадратов, как "четыре", "девять", "шестнадцать", "двадцать пять" и так далее, меньше количества всех чисел, поскольку число правильных квадратов непрерывно и очень скоро убывает по мере того, как мы двигаемся вперед по натуральному ряду чисел по направлению ко все большим и большим числам? Для примера укажу, что в первой сотне я насчитываю десять квадратов, что составляет одну десятую всех чисел до сотни включительно; затем до десяти тысяч их будет сто, то есть одна сотая, а до миллиона их будет одна тысячная и так далее". Поскольку это так, то несомненно правильно, что в любом конечном числе квадратов будет гораздо меньше, чем всех чисел, и чем оно будет больше, тем относительно их будет меньше. Однако, как только мы переходим к бесконечности, оказывается, что я могу все это рассмотреть совершенно с другой точки зрения. Напишем вот таких два ряда:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12...

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144...

Под каждым числом натурального ряда я подписываю во втором ряду его квадрат, и оба ряда будут тянуться вровень без конца. "Поэтому, - говорит далее Галилей, - нельзя сказать, которых чисел больше, которых меньше. Можно только сказать, что их бесконечное множество - и тех и других". Свойства конечных чисел, таким образом, на бесконечные множества распространять невозможно.

- 209 -



Из этого луча можно сделать два луча. 



- Все это так, - медленно произнес Илюша, - а понять все-таки очень трудно.

- Ничего удивительного здесь нет, - отвечал Радикс, - что тебе вся эта задача кажется такой трудной.

Современные ученые полагают, что она была настолько трудна для современников Галилея, что не столько привлекла их внимание к этим тонким вопросам, сколько отпугнула их своей необычностью и необъяснимостью. Но не торопись, кое-что можно будет тебе разъяснить в дальнейшем.

- Хорошо бы... - отвечал наш герой.

- Трудность здесь заключается в том, что мы не можем пересчитать числа в том и другом ряду. Так как это невозможно, то нам остается только подумать, нельзя ли найти какой-нибудь способ сравнивать друг с другом бесконечные множества.

И вот что тут можно предложить.

Представь себе, что ты пришел в школу на вечер. Собралась масса мальчиков и девочек. Зал большой, страшная толкотня, а тебе хочется узнать, кого больше: мальчиков или девочек? Сколько тех и других, тебя не интересует. Ты хочешь только выяснить, кого больше. Как это сделать? Самое простое - попросить оркестрантов, чтобы они заиграли вальс. Тотчас же все станут парами, и тут ты увидишь, кого больше. Теперь ты видишь, что я и применяю этот самый способ к бесконечным множествам, например ко множеству всех чисел и множеству квадратов: сопоставляю их попарно, а раз это удается, значит, что никакой разницы между множеством всех чисел и множеством квадратов в отношении количества их элементов нет.

- 210 -

Но только математики говорят в таких случаях не "количество" элементов, а так: эти два множества имеют "одинаковую мощность"[16].

- А теперь уже мне кажется, что всякие два бесконечных множества будут иметь одинаковую мощность! - сказал Илюша. - Если я, например, начну располагать в ряд элементы одного из них, а ты в это время будешь делать то же самое с другим, то выйдет, что мое и твое множества одинаковой мощности, как если я буду перебирать подряд все числа, а ты одновременно со мной только все четные.

- Нет, - ответил Радикс, - не все бесконечные множества можно так исчерпать. Например, если взять множество всех точек на отрезке прямой, то его таким способом исчерпать нельзя. У нас говорят, что оно имеет "более высокую мощность", чем множество, например, всех натуральных чисел.

- По поводу точек на отрезке я вспоминаю, - сказал Илюша, - что ты мне говорил, будто из одного луча можно сделать два.

- Даже не два, а бесконечное множество. И это очень просто. Представь себе, что на твоем луче отложен отрезок, равный единице, потом еще один, и так до бесконечности. Перенумеруй по порядку эти отрезки, а затем, как хозяин Мишкиной гостиницы, из четных, сдвинув их вместе, сооруди один луч, а из оставшихся нечетных - другой. Потом можешь повторить это с каждым из них, и так столько раз, сколько тебе угодно. А если догадаешься, можешь и сразу начать так перераспределять эти единичные отрезки, чтобы получилось бесконечное число лучей.

- Но если конечный отрезок разделить пополам, в каждой части будет вдвое меньше точек, чем в целом отрезке?

- Нет! - ответил Радикс. - Это снова тот же самый Мишкин неразменный рублик. В смысле "мощности" количество точек в целом отрезке и в его половине одинаково. Ты можешь в этом убедиться хотя бы так. Помнишь, что средняя линия треугольника равна...

- Половине основания!

- Вот именно. А теперь проведи из вершины противоположного угла прямые, соединяющие ее с точками основания.

Каждая из этих прямых пересечет и среднюю линию в какой-нибудь точке. Вот и получится, что каждой точке основания отвечает при таком построении точка на средней линии.

- 211 -



- И все-таки основание вдвое длиннее! Как это объяснить?

- Ты забываешь, что точки "не имеют длины" и длина отрезка вовсе не слагается из "длин" составляющих его точек.

Поэтому к длинам отрезков сравнение мощностей здесь никакого отношения не имеет.

- Я не пойму, - сказал Илюша. - Ведь отрезок состоит из точек, а точка не имеет длины. Откуда же берется в таком случае длина отрезка?

- Ты не понимаешь потому, что ты привык изображать точки маленькими пятнышками, которые, конечно, имеют протяженность. Если бы ты изображал точки маленькими отрезками, расположенными вдоль этого отрезка, то на тех же основаниях ты мог бы сказать, что "направление" отрезка "слагается" из "направлений" составляющих его точек. Но ведь ты этого не скажешь: тебе ясно, что точка "не имеет направления". Говорить о направлении можно, только если есть по крайней мере две различные точки. Согласен?

- Выходит, так, - со вздохом признался Илюша.

- Вот теперь ты знаешь секрет Мишкиного неразменного рубля. И ты видишь, что эти его хитрые фокусы с рублем совсем не пустяк, а связаны с очень серьезными вещами. Вот тебе и сказка. Знаешь, как говорится в одной сказке:



Сказка ложь, да в ней намек,
Добру молодцу урок!


- 212 -

- Знаю! - засмеялся Илюша. - Это у Пушкина в "Золотом петушке". Но теперь, когда я еще и это узнал, то уже совсем не понимаю, на что может быть нужна такая чудовищно громадная величина, которую и представить себе невозможно и с которой не знаешь, как обращаться, потому что она даже и правил наших никаких знать не хочет.

- Когда-нибудь ты еще много чудес узнаешь об этом удивительном чудовище. Узнаешь, может быть, и то, что это еще не самое большое из наших чудовищ...

- Как так?

- А очень просто, - коротко ответил Радикс. - Что же касается странных свойств нашего чудовища, то какими бы они странными тебе ни казались с первого раза, они тем не менее в высшей степени полезны. Если обращаться с ними с должной осторожностью, то они нам помогут в таких случаях, когда никто другой помочь не может. Разумеется, никаких обычных действий, которые мы производим с числами, с бесконечностью производить нельзя, ибо это ведь не число.

Она служит нам для рассуждения о процессах измерения таких величин, которые невозможно измерить, так сказать, "попросту". А рассуждения эти позволяют нам установить соотношения между этими трудными для измерения величинами (вроде длины окружности) и обыкновенными линейными мерами.

- Значит, есть задачи, в которых участвует бесконечность?

- Сколько хочешь! Вот тут-то и выступает перед нами мощный и совершенный Великий Змий, победитель веретен, развертыватель спиралей, покоритель бочек, великий механик центра тяжести, слагающий скорости, тот, кто открывает законы природы и записывает их простыми и понятными знаками.

И неясный облик Великого Змия мелькнул перед глазами Илюши.

- Тсс! - таинственно зашипел Радикс, подняв свой единственный указательный палец.

Но призрак уже исчез.

- Вот ты опять говоришь про спирали, бочки и законы природы!.. А я ничего не понимаю!

- В свое время ты все узнаешь. А сейчас нам надо еще потолковать с Мишенькой.

Плюшевый Мишка немедленно проснулся и начал играть со своим рубликом.

- 213 -

Он подкидывал его в воздух, и рубль, взлетая, рассыпался в мельчайшую серебряную пыль, которая потом спускалась сверкающим облачком в лапки Мишки. Мишка прыгал вверх ей навстречу, на миг исчезая в этом красивом облачке, а когда он падал обратно, то уже облачка не было, а у Мишки в лапках опять сверкал новенький неразменный рублик, отчеканенный (не забудь об этом, мой милый!) высоким повелением ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА.

- Вот что, - вымолвил Радикс, - давай-ка возьмем убывающую геометрическую прогрессию. Пусть первый ее член будет половиной, а знаменатель одна вторая. Ну-ка, давай рассчитаем сумму.

Илюша написал формулу суммы.

- Давай переменим знаки в числителе и знаменателе, так будет попроще, - предложил Радикс.

Илюша послушался, и формула стала такая:

S = a1 (1 - qn) / (1 - q)

Потом Илюша стал подставлять данные. Вышло так:

S = 1/2 • (1 - (1/2)n) / (1 - 1/2)

- Внизу, - произнес Илюша, - получается половина, и я ее сокращаю с половиной, которая стоит спереди множителем.

Значит, у меня остается штука нехитрая:

S = 1 - (1/2)n)

Ну вот-с! - сказал Радикс. - Теперь давай-ка разберем, сколько выйдет, если мы опять возьмем шахматную доску, на первую клетку положим половину... Чего бы нам взять?..

Ну, возьмем половину яблока! На вторую клетку кладем четверть яблока, на третью восьмушку и так далее. Сколько же выйдет на восьмой клетке?

- На восьмой будет единица минус половина в восьмой степени, то есть

1 - (1/2)8

- 214 -

Впрочем, можно ведь и так написать:

1 - 1/28

- Можно, - сказал Радикс. - А сколько будет два в восьмой степени?..

- Двести пятьдесят шесть! Значит, из единицы надо вычесть одну двести пятьдесят шестую. Получится двести пятьдесят пять двести пятьдесят шестых.

- Так! Это мы прошли первый ряд клеток. В конце второго ряда...

- Будет единица минус одна вторая в шестнадцатой степени.

- То есть знаменатель шестьдесят пять тысяч пятьсот.

- Можно сказать, сумма равна единице минус одна шестидесятипятитысячная. Вот как ловко! В конце третьего ряда двойка возводится уже в двадцать четвертую степень.

- Это будет примерно семнадцать миллионов.

- Значит, в сумме будет единица минус одна семнадцатимиллионная! А к концу четвертого ряда - это уж половина всей доски - одна вторая в степени тридцать два...

- Знаменатель дроби будет примерно равен четырем биллионам.

- Как быстро растет! Мастерица она, оказывается, расти, эта прогрессия! - воскликнул Илюша. - Значит, к половине доски мы уложим все яблочко, исключая одну четырехбиллионную. Уж не знаю, как же разрезать яблоко на четыре биллиона частей? Ведь биллион - это тысяча миллионов! Ну, а что же будет дальше? Когда мы доберемся до конца доски, то возведем нашу половину в шестьдесят четвертую степень, то есть это будет одна восемнадцатиквинтиллионная! Вот так дробь! Но как же отрезать от яблочка такой малюсенький кусочек?

- Дело не в этом, - отвечал Радикс. - Допустим, что мы уж сумеем отрезать.

- Охотно допускаю! - воскликнул Илюша.

- Но скажи: каким образом ты отличишь целое яблоко от яблока, у которого не хватает... ну, хотя бы одной шестидесятипятитысячной доли, чтобы быть целым? Я уже не говорю о еще более крохотных долях единицы.

- Да-а! Ни в какой микроскоп не усмотришь!

Тут Мишка подошел к Илюше и гордо спросил:

- А если я буду опять расти, как рос раньше, тогда что будет?

- 215 -

- Тогда, - сказал Илюша, - мне кажется, что эта дробь почти совсем не будет отличаться от нуля.

- Верней, - сказал Радикс, - было бы сказать так: если и будет расти до бесконечности, то эта дробь


убрать рекламу




убрать рекламу



, изменяющая свое значение по закону геометрической прогрессии, может стать сколь угодно малой, то есть, проще сказать, меньше всякой наперед заданной величины. Вот такого-то рода изменяющиеся, переменные величины, которые бесконечно уменьшаются, и называют бесконечно малыми. Но если это так, то, следовательно, нам, чтобы получить нашу сумму, придется вычитать из единицы величину бесконечно малую. Что ни дальше мы двигаемся по нашему ряду, то есть по убывающей геометрической прогрессии, тем ближе подходим к некоторой границе нашего движения. Ясно это тебе или нет?

- Не очень, - признался Илюша.

- Припомни, - сказал Радикс, - припомни-ка хорошенько, как мы с тобой толковали насчет того, что будет происходить с частными от деления единицы на все большие и большие числа. Ясно, что величина частного будет изменяться, то есть это будет величина переменная. Не так ли?

- Так, - согласился Илюша.

- Хорошо, - продолжал Радикс. - И как величина переменная и безгранично уменьшающаяся она имеет в данном случае некоторый предел, к которому она приближается...

Ну, как ты скажешь?

- Ясное дело, - отвечал мальчик, - что таким пределом будет нуль. Если взять очень большой делитель, то частное от деления единицы на него станет таким малым, что его от нуля, пожалуй, и не отличишь.

- Совершенно очевидно! - воскликнул Радикс. - И запомни: мы называем бесконечно малой величиной такую переменную величину, которая имеет своим пределом нуль.

Бесконечно большая и бесконечно малая тесно связаны друг с другом в том смысле, что если делить единицу на бесконечно большую величину, то получится бесконечно малая, и наоборот. Ну, так что же из всего этого следует в отношении нашей задачи о яблоке и шахматной доске?

- По-моему, вот что: если вычитаемое стало бы нулем...

- Чтобы нам не сбиваться, - поправил его Радикс, - давай говорить так: "Если вычитаемое в пределе превратится в нуль". Тогда все будет ясно.

- Хорошо, - согласился мальчик, - будем говорить так.

Значит, если вычитаемое в пределе превратится в нуль, то, следовательно, я буду вычитать из единицы чистый нуль, и останется единица.

- 216 -

- Так! - промолвил Радикс. - Значит, мы выяснили таким образом, что сумма нашей прогрессии все приближается и приближается к единице, так что разность между суммой и единицей может быть сделана меньше любого сколь угодно малого числа. Другими словами, эта разность как угодно близко подходит к нулю. Можно сказать, что когда число членов стремится к бесконечности, сумма стремится к пределу, равному единице. Но у нас, в царстве ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА, говорят, что сумма всех членов убывающей геометрической прогрессии

1/2 + 1/22 + 1/23 + ...

равна единице.

- Хмм... - промычал недоуменно Илюша. - Все это, конечно, так, но мне пока еще не верится... Вот чего я не пойму: что значит "сумма всех членов"? Ведь их у нас бесконечное множество. Как же их все сложить? Складывать-то я начну, а как и когда я эти все сложения кончу?

- Замечание, не лишенное смысла! - усмехнулся Радикс. - Однако в этом случае нельзя понимать сложение так, как это ты понимал, когда складывал конечное число слагаемых столбиком в первом классе школы. Здесь надо складывать все большее и большее число слагаемых и при этом проследить, найти и определить, к какому ты пределу приближаешься. Вот этот-то предел мы и называем результатом сложения бесконечно большого числа слагаемых, или их суммой.

- 217 -

В этом смысле мы и говорим, что если просуммировать все члены убывающей геометрической прогрессии:

1/2 + 1/4 + 1/5 + 1/16 + 1/32 + ...

то в результате и получится сумма, равная единице. Вот тебе еще пример. Возьмем отрезок, равный единице. Разделим его пополам. Затем правую половину раздели опять пополам, правую четверть дели снова пополам, потом правую восьмую еще раз пополам и так далее. Теперь давай складывать. Если возьмем два слагаемых - половину и четверть, - то до единицы нам не будет хватать четверти. Если возьмем три слагаемых, нам не хватит одной восьмой; если четыре - не хватит одной шестнадцатой и так далее. Ну вот, когда ты будешь



увеличивать число слагаемых до бесконечности, то в пределе ты и получишь единицу, то есть тот самый отрезок, равный единице, с которого ты начал. Знай, что одним из первых, кто просуммировал бесконечную убывающую геометрическую прогрессию для решения сложной геометрической задачи, был не кто иной, как Архимед. Вот теперь ты и сам видишь, что мы недаром познакомились с Мишенькой: он помогает нам иной раз сосчитать сумму все уменьшающихся дробей. При этом обрати внимание: сумма получается вовсе не бесконечная, а самая обыкновенная! Как видишь, наше бесконечное чудовище, если оно возьмется за иную задачу, может нам помочь узнать самое обыкновенное конечное число,, с которым мы уже можем действовать как нам заблагорассудится.

- Значит, когда Мишенька растет, в одних случаях может получиться бесконечный предел, вот как первый раз с суммой, в других - нуль, как для синьориты Одной Энной, а в третьих - просто какое-нибудь число, не равное нулю, как только что у нас получилось? - спросил Илюша.

- Совершенно "верно, - отвечал его друг. - Чтобы подтвердить тебе это на знакомом уже примере, вспомним построение с перпендикуляром и наклонной из предыдущей схолии.

Если откладывать вдоль перпендикуляра один за другим равные отрезки и соединять получающиеся на перпендикуляре точки с другим концом основного отрезка, к которому восстановить перпендикуляр, то каждая следующая наклонная будет образовывать с основным отрезком все больший и больший угол. Проследи за углами, на которые поворачивается наклонная при переходе от одной точки на перпендикуляре к следующей, и ты увидишь, что эти углы будут все время уменьшаться и стремиться к нулю. Сумма откладываемых отрезков на перпендикуляре будет стремиться к бесконечности, а сумма углов, о которых мы говорим, будет стремиться к прямому углу, как к пределу.

- 218 -

- Но в результате этого процесса угол ведь станет прямым, - сказал Илюша.

- Ну вот, ты опять за старое! - недовольно промолвил Радикс. - Если поворачивать наклонную, то, конечно, можно повернуть ее на такой угол, чтобы она стала параллельной. Однако и здесь тоже замешана та же бесконечность. И ты легко убедишься в этом, если рассмотришь все промежуточные положения ее. И это очень хорошо понимали греческие ученые времен Архимеда. Если говорить о бесконечном процессе удаления точки по перпендикуляру, то, разбивая этот процесс на бесконечное число последовательных этапов, тем самым вводится и бесконечное число этапов в изменении угла, и мы говорим только о том, что происходит при самом этом процессе; при неограниченном удалении точки по перпендикуляру угол неограниченно приближается к прямому как к своему пределу.

- И никогда его не достигает! - воскликнул Илюша.

Ахиллес, и некая безвестная черепаха состязаются в беге. Черепаха находится вначале на расстоянии ста шагов впереди Ахиллеса, а ползет она в десять раз медленнее его. Все очень просто. Когда Ахиллес пробежит указанное расстояние, черепаха успеет проползти еще десять шагов. Когда Ахиллес пробежит эти десять шагов, черепаха окажется еще на один шаг впереди. Когда Ахиллес пробежит этот шаг, то черепаха, очевидно... Ну, ты и сам видишь - процесс бесконечный, а следовательно, как ты это только что сказал, Ахиллес "никогда" но догонит черепаху.

- Как так? - спросил Илюша. - Ясно, что Ахиллесу надо будет пробежать... сколько же это выходит? .. всего сто одиннадцать шагов, чтобы догнать черепаху...

- Твое слово "никогда", видишь ли, нехорошо в этом случае по той причине, - пояснил Радикс, - что на самом дело ты ведь не имеешь в виду времени, а хочешь только сказать, что в разложении процесса на этапы придется иметь дело с бесконечным числом этих этапов. К фактическому осуществлению вращения наклонной, протекающему в конечный промежуток времени, или к движению Ахиллеса это прямого отношения не имеет. Нас здесь интересует не время, а именно последовательные этапы процесса. Их удобнее всего было бы просто нумеровать: первый этап, второй и так далее, вовсе не упоминая о времени. Если тебе придет в голову разлагать какой-нибудь действительный процесс движения на такого рода этапы, то это будет только воображаемая операция.

- 219 -

И при подсчете времени, например, надо будет учесть, что действительное движение вовсе не обязано считаться с этим разложением и может проскочить через все твои этапы за конечный промежуток времени. Конечно, это все не очень простые вещи. Здесь есть над чем подумать, но мы пока ограничимся этим...



- Ограничимся? То есть как это ограничимся? - снова окрысился командор. - Ведь молодой человек сказал же, что переменная величина (помнится, там шла речь об угле) никогда не достигает своего предела...

- Но теперь я буду это понимать в том смысле... – заторопился Илюша.

- Ни в каком смысле это не верно, молодой человек! Вот рассмотри такое движение наклонной.

Из ее основания по другую сторону основного отрезка я восстановлю к нему перпендикуляр, а около него построю полуокружности одинакового радиуса, с центрами на этом перпендикуляре: одну по одну сторону от него, а следующую, соседнюю с ней снизу, - по другую, и так змейкой все дальше и дальше. Теперь вообрази себе прямую, которая все время проходит через основание этого перпендикуляра и через меняющую свое положение вторую точку, а та, в свою очередь, пробегает построенную тобой змейку сверху вниз. Что будет происходить с этой прямой?

- 220 -

- Она начнет поворачиваться сначала в одну сторону, потом немного меньше в другую, потом опять в ту...

- Вот теперь и проследи, хотя бы для сравнения с наклонной, за верхней частью этой твоей прямой: она будет колебаться около перпендикуляра. И, как ты думаешь, в пределе, когда точка по змейке будет удаляться все дальше и дальше, что же ты сможешь сказать об угле, который образует эта прямая с основным отрезком?

- Этот угол будет стремиться к прямому как к своему пределу, - отвечал Илюша. - Каждый раз, когда точка на змейке будет попадать на перпендикуляр, этот угол будет прямым... Но в конце концов...

- Если точка будет двигаться по змейке, то никакого конца концов тут нет. Только колебания около перпендикуляра будут, как говорится, затухать. Но ты мог бы прекратить строить змейку в каком-нибудь месте и заставить точку бежать дальше по перпендикуляру. Тогда у тебя прямой угол появился бы на соответствующем этапе процесса. И дальше он так бы и оставался прямым на всех дальнейших этапах бесконечного удаления точки вниз по перпендикуляру. И в этом случае ты можешь сказать, что в пределе угол, за изменением которого ты следил, будет равен прямому. В последней нашей схолии мы еще покажем тебе нечто в этом роде.

А вслед за этим командор улетел в неизвестность.

- Только вот чего я еще не понимаю, - сказал, вздыхая, Илюша.

- Ты говоришь, что в случае с Ахиллесом и черепахой мы только воображаем разложение процесса на бесконечное количество этапов и что действительное движение происходит непрерывно, без всяких этих этапов. Тогда зачем же такие разложения рассматривать?

- Видишь ли, - ответил Радикс, - на этот вопрос я тебе сейчас коротко ответить не могу. Дальше мы познакомимся с очень важными задачами, в решении которых бесконечные процессы играют основную роль. Тебе дана некоторая конечная величина; ты начинаешь как бы "исчерпывать" ее, и при этом столь ничтожными частицами, что в пределе действительно приходишь к полному ее "исчерпанию". Такое "исчерпание" конечной величины как раз и является одним из самых сильных средств математики, владея которым она и справляется с вопросами, относящимися к непрерывно изменяющимся переменным. Сейчас я могу только привести еще один, уже немного знакомый тебе пример, в котором оказывается полезным способ представления конечной величины в виде предела суммы неограниченно возрастающего числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю.

- 221 -

- Как это может быть? - спросил Илюша. - Если каждое слагаемое стремится к нулю, то, по-моему, и их сумма...

- Ты забываешь, что их число неограниченно возрастает.

Начнем с простейшего случая. Представь себе, что единицу ты разделишь сначала на две части, возьмешь сумму этих двух дробей и получишь опять единицу. Но совершенно такой же результат получится, если разделить единицу на три части и сложить полученные три дроби, и так далее. Если ты произведешь деление на и равных частей, то каждая из них выразится дробью 1/n, а при неограниченном возрастании n будет бесконечно малой. Но если при каждом значении и составлять сумму и таких дробей, то все время будет получаться единица.

- Единица и есть единица. К чему же разбивать ее на части и потом опять собирать ее в целое из этих частей? - спросил Илюша.

- Представь себе, что часто, и притом в очень важных вопросах, именно этот способ и оказывается чрезвычайно мощным средством, но только, конечно, он применяется не в слишком уж простом виде. Вот послушай, я приведу тебе пример немного посложнее. Ты, конечно, помнишь, что отношение длины окружности к ее диаметру равно числу π. Так что длина круга с радиусом r будет выражаться числом 2πr. Представь себе, что формула для нахождения площади круга тебе неизвестна. Разбей весь круг на большое число - назовем его опять n - маленьких секторов, разделив окружность на n равных маленьких дужек и соединив точки деления с центром.



Каждый из этих секторов будет при неограниченном увеличении и все больше и больше напоминать равнобедренный треугольник, основание которого очень мало и почти сливается с дужкой, ограничивающей этот сектор. А сумма их площадей будет ведь все время оставаться равной все той же площади круга, совсем как в нашем первом примере.

- 222 -

Однако смысл всего этого в том, что площадь очень узенького сектора можно со все большей и большей точностью вычислять по формуле для площади треугольника, умножив основание - длину дужки - на половину высоты, то есть на половину радиуса. А если теперь собрать снова все это в одно целое, то достаточно умножить сумму длин всех дужек, то есть 2πr, на половину радиуса, и получится выражение для площади круга - πr2. Если ты интересовался не всем кругом, а только каким-нибудь его сектором, ограниченным дугой длиною l, то можно найти площадь такого сектора, умножив l на половину радиуса. Выходит, что ты действительно можешь совершенно точно получить площадь сектора по формуле площади треугольника, принимая длину дуги за основание, а радиус за высоту. Но сектор с большим центральным углом совсем не похож на треугольник, и ты смог прийти к этому результату здесь только потому, что предпринял то самое деление площади, которое казалось сперва совершенно бессмысленным. Разумеется, эти рассуждения мы провели схематично, в общих чертах; если их немного уточнить, то мы могли бы сказать, что площадь круга определяется нами как предел суммы площадей бесконечно возрастающего числа треугольников, боковые стороны которых равны радиусу, а основания равны неограниченно уменьшающейся хорде маленьких секторов. Ну, а теперь уж, - промолвил в заключение Радикс, - можно, пожалуй, сказать, что у нас в этом трудном вопросе в первом приближении все более или менее в порядке...



- В порядке! Ха-ха-ха! - раздалось откуда-то из-под облаков страшное громыхание плюшевого Мишки-великана.

- Хм! .. - грустно заметил Радикс. - Он, кажется, еще сомневается, все ли ты уразумел?

- Н-не знаю... - неуверенно признался Илюша.

- А не попробовать ли нам сначала? - крикнул Мишка.

- Давай попробуем! - робко сказал Илюша.

И снова вдруг сбежались знакомые человечки, составили формулу, опять Мишка стал маленьким и мирно сидел на тулье цилиндра, но справа появилось много человечков-малюток:

- 223 -

S = a1 (qn - 1) / (q - 1) - a1 / (q - 1) = a1 + a2 + a3 + ... an

- Ну? - вопросительно заявил Мишка.

Мгновенно человечки справа исчезли все, кроме первого, у которого на груди появилась цифра "1". Немедленно в лапке Мишки тоже оказалась единица, а на груди у тощей Суммы появилась та же самая единица.

- Вперед, друзья! - энергично скомандовал Мишка.

Сейчас же вслед за первым человечком появился второй, у которого на груди было число "1/2", в лапке Мишки оказалась уже двойка, а на груди у Суммы появилось не "1", а "1 1/2". Затем появился третий человечек, имя которого было "1/4", и Мишка показал своей лапкой, что это номер третий, а Сумма сложила все три члена, и вышло 1 3/4. Появился еще новый член прогрессии, его звали "1/8". Мишка засвидетельствовал, что это был четвертый номер, а Сумма заявила, что теперь всего выходит 1 7/8. Все было правильно, как заметил Илюша. Затем человечки стали появляться все дальше и дальше, быстро и равномерно выпрыгивая на сцену и мелькая один за другим. Казалось, будто прямо перед тобой проходит лента кинокартины и все понемножку меняется, точно толчками. А вместе с тем все быстрее мелькали номера у Мишки в лапке и менялось число на груди у Суммы. Но самое интересное заключалось в том, что человечки, что ни дальше, стали появляться все скорей и скорей, и наконец глаз почти перестал замечать эти толчкообразные изменения картины, а просто казалось, что длинная-предлинная вереница членов прогрессии все удлиняется и удлиняется. А дальше уже стало казаться, что просто куда-то очень-очень далеко вправо растет длинненькая тоненькая ниточка, и уж нельзя было разобрать, что она состоит из человечков, которых делается все больше и больше... Наконец Мишка взмахнул лапкой и сказал: "Всё!"

Сумма с облегчением вздохнула. На груди ее красовалась цифра "2".

Илюша засмеялся.

- А теперь, - сказал он, - обязательно расскажи мне про бочки, про Великого Механика, про яблоки и веретена и вообще...

- Постой, постой! - сказал Радикс. - Не все сразу! Я должен указать еще тебе, наконец, - и прошу это запомнить всерьез и как следует! - что эта картина приближения к пределу не является единственным объяснением явления предела, есть и другие, не менее, а даже более важные. Но она сравнительно проста и для нас с тобой вполне удовлетворительна. А теперь мне нужно задать тебе еще два-три вопросика, а потом мы пойдем с тобой в гости к двум моим приятелям, которые нас угостят, накормят и напоят чудным кваском.

- 224 -

Скажи, пожалуйста: тебе никогда не приходило в голову, для чего применяются в геометрии формулы?

- Чтобы вычислить что-нибудь, ну, например, длину какого-нибудь отрезка или площадь какой-нибудь фигуры...

- Ты говоришь мне о том применении формул в геометрии, с которым тебе до сих пор приходилось иметь дело. Это естественно. Геометрия ведь и родилась из задач по измерению земли, как указывает ее название. Но ведь, кроме размеров фигуры, нас может интересовать и ее форма. Не правда ли?

- Да, конечно.

- А ты никогда не думал, - продолжал его наставник, - нельзя ли с помощью формул определить также вид или форму какой-нибудь линии?

- Не знаю, - ответил Илюша. - Я не совсем понимаю: как это так определить форму? В каком смысле?

- Вот, например, так. Ты, конечно, знаешь, что такое прямая? Попробуй определи мне прямую как геометрическое место.

- Ну, это нетрудно, - отвечал Илюша. - Вот, например, биссектриса. Она прямая, и вместе с тем она есть геометрическое место точек, лежащих внутри данного угла и равноотстоящих от двух его сторон.

- А если рассматривать окружность?

- Окружность есть геометрическое место точек, равноотстоящих от центра, то есть от данной точки.

- Правильно! Но вот ты видишь, что эти два определения дают тебе две линии различной формы. Следовательно, при помощи старинного понятия геометрического места ты можешь определять кривые, различные по форме. Так как на свете очень много кривых линий, а прямая только одна, то мы ее тоже будем причислять к кривым, а потом выясним, как выделить ее из них. Ты узнаешь далее, почему люди так заинтересовались определением именно формы кривых. Но вот еще что: давай нарисуем прямой угол и проведем его биссектрису.

Илюша нарисовал.

- Будем теперь рассматривать этот чертеж как диаграмму, или график. Разделим обе стороны угла на равные промежутки и дадим делениям номера по порядку.

Илюша сделал и это.

- 225 -

- Теперь посмотрим, как расположена относительно сторон угла биссектриса. Когда на горизонтальной стороне мы найдем четвертую точку деления и восстановим из нее перпендикуляр, то он пересечет биссектрису в точке, которая по вертикальной стороне прямого угла соответствует...



- Тоже четвертому делению, - сказал Илюша. - Да ведь так и должно быть, потому что это биссектриса и обе стороны угла расположены симметрично по отношению к биссектрисе. По-моему так!

- Верно, - отвечал Радикс. - Но если так, значит, деления на сторонах угла позволяют нам определить положение точки внутри угла с помощью двух чисел, выражающих расстояния точки от сторон угла. Раз мы это выяснили, то тем самым мы сделали первый шаг к формулам, потому что формулы относятся именно к числам. Эти два числа называются координатами точки. Расстояние от вершины угла до основания перпендикуляра, опущенного на горизонтальную сторону угла, обычно обозначают буквой х и называют абсциссой точки. Горизонтальную сторону угла называют при этом осью иксов, или осью абсцисс. Другую сторону угла называют осью ординат, или осью игреков. Вторую координату точки - ее расстояние от оси абсцисс - обозначают буквой у, называя это число ординатой точки. Ось иксов и ось игреков называют осями координат, а точку их пересечения - началом координат. Очевидно, что для точки, лежащей в начале координат, и х и у равны нулю. Если двигать точку вправо, то значение х будет увеличиваться, а если ты будешь двигаться вверх, то будет расти значение у.

- Ясно. Если я пойду в левую сторону от оси ординат, то мне уже придется значения х считать отрицательными, а если пойду вниз, ниже осп абсцисс, то там надо значения у считать отрицательными.

- Совершенно верно. Теперь ты сможешь определить положение любой точки на плоскости с помощью двух чисел. Ну, а теперь подумаем, нельзя ли нам как-нибудь записать с помощью формулы то свойство биссектрисы, о котором мы только что говорили. Какую бы точку ни взять на биссектрисе, для нее длины перпендикуляров, опущенных на обе стороны угла, должны быть равны...

- 226 -

- То есть абсцисса и ордината всякой точки на биссектрисе равны между собой! - воскликнул Илюша. - Это я понимаю, но как же это записать, если абсцисса и ордината могут принимать какие угодно числовые значения? Когда, например, х равен единице, то и у должен равняться единице; когда х равен двум, то и у равен двум...

Илюша внимательно посмотрел на чертеж, потом на своего друга, немного поколебался и написал:

у = х.

- Правильно! - сказал Радикс. - Если ты будешь искать на плоскости те точки, координаты которых удовлетворяют этому условию, то ты как раз и получишь твою биссектрису.

Мы будем называть такие равенства, переводящие свойства геометрических образов на алгебраический язык, уравнениями кривых. Такие уравнения определяют положение точек по отношению к выбранным координатным осям. Кстати сказать, угол между осями необязательно нужно брать прямой. Вообще можно определять положение точки на плоскости и другими способами, то есть можно применять, как говорят, различные системы координат. Некоторые элементы такого рода системы употреблялись еще в Древней Греции, у Аполлония Пергейского (эллинистическая эпоха, время Архимеда).



- 227 -

А у нас здесь самая простая система прямоугольных координат на плоскости. Она потому так называется, что угол между осями прямой. Их называют также декартовыми, по имени замечательного француза, крупнейшего математика и философа Ренэ Декарта, жившего в семнадцатом веке, который впервые ввел их в науку. Их называют еще картезианскими, ибо ведь в то время ученые сочинения писали по-латыни и имена авторов тоже переделывали на латинский лад, а по-латыни Декарт называл себя Картезием. Однако надо тебе знать, что впервые метод координат был предложен тем самым удивительным математиком Пьером Ферма, с чьей замечательной теоремой ты недавно познакомился. Это было в тридцатых годах семнадцатого столетия, хотя некоторые схожие с этим методом приемы были известны еще древним. Ферма много и плодотворно занимался вопросом о значении понятия геометрического места, и вот в результате этих его размышлений и опытов родился на белый свет метод координат. В одной из своих работ великий французский геометр говорил, что он придумал этот метод специально для изучения вопроса о геометрических местах и что он уверен, что благодаря этому новому способу анализа изучение этой отрасли геометрии станет для всех доступным.

Теперь мы можем хорошо оценить, какова была тонкая проницательность этого гениального ума. Действительно, Ферма, а за ним и Декарт придали учению о геометрических местах такую простоту и ясность, что этот очень мощный метод мог быть применен целым рядом ученых к труднейшим задачам с великой пользой для дела. Некоторые историки полагают, что во всем этом интереснейшем и полезнейшем перерождении математики ученым очень помогло то, что Декарт ввел в употребление метод графиков, таких, какие мы сейчас рассматривали. И этот наглядный способ очень помог ученым в их новых рассуждениях. Вслед за Декартом над той же задачей работал Исаак Ньютон, исследуя очень сложные кривые, и в его работах все основные трудности нового метода уже были преодолены. Самое замечательное следствие этих плодотворных работ Ферма, Декарта и Ньютона заключается в том, что благодаря им в математике удалось объединить и обобщить целый ряд различных сведений из геометрии, а вслед за этим привести их и в некоторую вполне стройную систему. Кстати сказать, именно Декарт стал обозначать переменные величины последними буквами латинского алфавита: х, у, z.



- 228 -

- Меня немного удивляет, - произнес в ответ Илюша, - что ты так много говоришь о системах. Мне кажется, что самое важное в математике - это уметь решить какую-нибудь задачу или, скажем, целый ряд каких-нибудь похожих друг на друга задач. Разве это не так?

- Почему не так? - возразил Радикс. - Конечно, это так, но я говорил о том, что когда ты решаешь целый ряд схожих между собой задач, то имеет смысл собрать воедино все способы их решения, а затем рассмотреть, что в них есть общего и чем они друг с другом связаны. В других случаях ты берешь какой-нибудь один способ решения задач и рассматриваешь, какого рода задачи можно при его помощи решать.

При этом ты нередко находишь связующие нити между задачами различного рода, и тем самым они объединяются. Постепенно путем таких объединений и обобщений строится общая теория. Вот что я имел в виду... А теперь посмотрим, что получится на чертеже, если мы вместо у = х напишем такое уравнение:

у = 2х.

Давай иксу различные значения, начиная с нуля, и следи, что будет происходить с игреком. А потом нарисуй, что у тебя получится.

Илюша составил табличку.

x | 0 1 2 3 4 5

y | 0 2 4 6 8 10

Когда он попробовал нанести точки на график и соединить их, то у него получилась снова прямая, но только теперь она не была уже биссектрисой, а шла гораздо ближе к вертикальной оси, как это показывает рисунок на странице 228.

- Опять прямая, - сказал Радикс, - только она наклонена по отношению к оси абсцисс под другим углом. Изменив коэффициент у икса в уравнении, ты изменил наклон прямой. Значит, этот коэффициент определяет наклон прямой. Ясно?

- Как будто ясно. Если увеличить коэффициент, то она будет еще скорее подниматься.

- И поэтому этот коэффициент называется угловым коэффициентом прямой. Ну, а теперь, - продолжал Радикс, - давай прибавим к правой части уравнения постоянную величину, например "три".

Илюша написал уравнение, а затем составил табличку:

у = 3 + 2х.

- 229 -

x 2xy

0

1

2

3

4

5

3

3

3

3

3

3

0

2

4

6

8

10

3

5

7

9

11

13

Когда теперь он нарисовал две последние прямые, то оказалось, что вторая прямая идет параллельно первой, но всюду проходит выше ее на три деления, как на рисунке на стр. 228.

- Ну вот, - заключил Радикс, - ты получил две параллельные прямые. Значит, по уравнению прямой ты очень легко можешь судить о том, как она расположена. Коэффициент этих прямых определяет наклон прямой, а свободный член говорит о том, выше или ниже прямая расположена. Теперь продолжим оси. Ось иксов продолжим влево за нуль; там мы будем наносить, как уже ты сказал, отрицательные значения х. Ось игреков продолжим ниже нуля, и там мы будем наносить отрицательные значения у. Теперь вот что: дадим у значение нуль в уравнении

у = 2 + х.

Илюша написал:

2 +


убрать рекламу




убрать рекламу



х = 0.

- Ну, чему равен икс? Это ведь уравнение первой степени.

- Икс равен минус два.

- Справедливо. А что это будет обозначать на графике?

Илюша составил табличку, потом график; взял линейку и продолжил прямую влево за ось игреков. Оказалось, что прямая пересекла ось иксов как раз в точке - 2.

- Да, это графический способ решения уравнений.

И он чрезвычайно полезен, когда дело идет об очень кропотливом решении уравнений высших степеней. Таким образом, ты видишь, что с геометрической точки зрения корень уравнения есть не что иное, как абсцисса точки пересечения кривой с осью абсцисс.



- Как интересно! - сказал Илюша. - Значит, этим способом можно решать уравнения?

- 230 -

- Слушай-ка, - сказал Илюша, - а что получится, если мы возьмем квадратное уравнение?

- Давай попробуем. Пиши:

y = x2 - x - 2

Теперь подставляй значения икса. Начнем с минус четыре и дойдем до плюс четыре.

Илюша составил табличку и нанес точки на график.

xx2-x y

-4

-3

-2

-1

0

+1

+2

+3

+4

+16

+9

+4

+1

0

+1

+4

+9

+16

+4

+3

+2

+1

0

-1

-2

-3

-4

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

-2

18

10

4

0

-2

-2

0

4

10

- Когда будешь соединять точки, - сказал Радикс, - имей в виду, что это не ломаная кривая, она гнется очень плавно.

Илюша нарисовал кривую. Получилась дуга, открытая сверху и симметричная, как на рисунке (стр. 232).

- А ну-ка, напиши вместо игрека нуль и реши уравнение!

Илюша получил два корня:-1 и +2. Когда он взглянул на график, то убедился, что его кривая как раз и пересекает ось иксов в этих точках -1 и +2.

- Вот как хорошо! - сказал Илюша. - И как просто!

А что получится на чертеже, если под корнем будет отрицательная величина?

- То есть если квадратное уравнение имеет комплексные корни? Тогда кривая будет на графике вся находиться или ниже или выше оси иксов...

- Вот как удобно! Начертил - и готово. И все видно.

- Ясно! - отвечал, посмеиваясь, Радикс. - Ну, а теперь пойдем к моим друзьям. Это премилые старички. Они, правда, большие чудаки, но ты уж не удивляйся. Да, вот еще...

Радикс взял Илюшу за руку и остановился.

- Ты должен еще запомнить, - добавил задумчиво Радикс, - что Ренэ Декарт был одним из самых замечательных мыслителей нового времени. Его влияние на умы образованного мира было огромно и необыкновенно глубоко. Многие его мысли имели решающее значение для развития человеческого общества, а некоторые и поныне не утратили этого значения для каждого из нас. Суровый, трезвый и прямодушный мыслитель, он заставил человека размышлять над собой и своей мыслью, исследовать то, о чем ты мыслишь, и то, в чем сомневаешься. Ведь, зная, как ты судишь о мире, можно вывести, что ты в состоянии сделать.

- 231 -

Декарт был первым, кто тогда утверждал, что разум человеческий сам по себе способен постичь истину и овладеть ею.



Декарт придавал громадное значение методу (то есть способу либо способам) мышления, рассуждения и вообще умственной работе, а его математические труды носят глубокий отпечаток этого его убеждения. Именно потому его философия и внесла в науку и жизнь столько прямого здравомыслия, что он опирался на математический способ рассуждения. А в математике он вместе с Ферма, как мы уже говорили, создал новую, так называемую аналитическую геометрию, то есть такой метод изучения геометрических кривых, который объединил геометрию и алгебру, связал геометрические кривые с алгебраическими уравнениями. Это дало позднейшим ученым возможность построить еще более мощные математические методы, раскрывшие перед человечеством совершенно необыкновенные возможности и обеспечившие дальнейшее развитие цивилизации и технической культуры.

- Как это все интересно!

- Мало того, - продолжал Радикс, - одно из главных достоинств труда Декарта состоит в том, что до него заниматься теорией таких кривых могли только люди с исключительными дарованиями, а после него эту возможность получили многие.

Так что Декарт дал в руки большому числу людей способ изучать и применять очень тонкие методы, поэтому и число ученых увеличилось. Узнай еще, что известные тебе из географии широта и долгота тоже координаты данной точки на глобусе.

Исторически это самые первые координаты, которые были придуманы во времена Эратосфена (эллинистическая эпоха).

Тут Радикс огляделся и важно скомандовал:

- К прыжку приготовились!.. Полный вперед!

- 232 -

И тут они прыгнули и тотчас помчались по воздуху с необычайной быстротой. Наконец они долетели до весьма симпатичного леска, где в изобилии росли красивые деревья с темной блестящей листвой. Небо над лесом было синее-синее, а откуда-то доносился глухой ритмичный гул морского прибоя.

Удивительно, как легко и привольно дышалось в этом чистом и прозрачном воздухе! Где-то довольно далеко на пригорке, едва заметное в утренней дымке, стояло очень красивое здание с колоннами. Издали доносился тоненький голос пастушьей свирели.

- Ах, как мне здесь нравится! - воскликнул мальчик.

Вдруг из-за деревьев выскочил очень странный человек. Он был голый, а ниже пояса покрыт густой серо-черной шерстью.

Ноги у него были козлиные, а на лбу - маленькие рожки, как у козленка. Он хитро поглядел на наших путешественников, вытащил из-за спины странный музыкальный инструмент, составленный из дудочек разной величины, связанных ремешками, быстро провел им перед губами сперва в одну сторону, затем в другую и сыграл какую-то мелодию, которая показалась Илюше и приветливой и веселой.

- Кто это? - спросил Илюша. - Похож на лешего, правда?

- 233 -

- А это и есть такой здешний леший. Его зовут Фавном.

Фавн еще раз сыграл на своих флейтах что-то очень славное и снова исчез за деревьями. А наши друзья отправились дальше.

Наконец они прошли лесок. Едва они миновали последние деревья, как увидели громадную вывеску на двух больших столбах. Илюша остановился и прочел:


-------------------------------------------

ВАЖНО ДЛЯ ЗВЕЗДОЧЕТОВ!


КУШАЙТЕ НАШ ПРЕВОСХОДНЫЙ ШОТЛАНДСКИЙ СЫР!

ПРИЯТНО! ВКУСНО! ПОЛЕЗНО!

НЕТ НИЧЕГО ВКУСНЕЕ ШОТЛАНДСКОГО СЫРА!

по последним данным медицинской науки наш

ПРЕВОСХОДНЫЙ И ОЧЕНЬ ВКУСНЫЙ


СЫР!


УВЕЛИЧИВАЕТ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬ ЧЕЛОВЕЧЕСКОЙ ЖИЗНИ

РОВНО В ДВА РАЗА

ВАЖНО ДЛЯ ЗВЕЗДОЧЕТОВ!


замечательный, вкуснейший, прогрессивный,

астрономический

СЫР!

-------------------------------------------


- Что это? - весело спросил Илюша. - Что это за сыр, который увеличивает человеческую жизнь? Из чего он делается? Он творожный?

- Не совсем, - ответил, улыбаясь, Радикс. - Он не столько творожный, сколько двурожный.

И они пошли дальше. Вдруг над их головами что-то зашипело, захрипело, защелкало, и гнусавый голос громкоговорителя произнес совершенно оглушительно:

"Внимание! Говорит Эллада! Говорит Эллада! Внимание! Рекомендуем путешественникам наш превосходный древний козий сыр, который представляет собой истинное совершенство по форме, а следовательно и по содержанию, и имеет вкус общеизвестного голландского сыра. По желанию может быть уложен пирамидальными числами! На вид очень приятен и напоминает солнце или апельсин. Внимание! Рекомендуем всем попробовать наш прелестный древний козий, совершенно голландский сыр! Не сыр, а объеденье!"

- 234 -

Громкоговоритель опять зашипел, защелкал и умолк. В это время веточка зацепила Илюшу за рукав, но когда он попробовал отцепиться, то, к своему крайнему удивлению, обнаружил, что его держит за рукав не ветка, а смуглая рука какой-то юной девицы. Ее черные волосы были перевиты лавровыми ветками, глаза сияли, а губы улыбались. Одета она была довольно легко. Но самое странное было в том, что эта милая девушка росла из дерева. Она еще раз улыбнулась Илюше и подала ему маленькую бумажку, свернутую в трубочку. Илюша недоуменно взял бумажку, а девушка немедленно спряталась в густых ветвях.

- Кто это? - спросил Илюша.

- А это здесь такие есть, ну... вроде русалок. В деревьях живут. Их зовут Дриады.

Илюша развернул трубочку и прочел:



Древней дубравы Дриады так говорят тебе, отрок:
Кушай себе на здоровье наш замечательный сыр!
Кушай, гуляй и резвись по нашей привольной дубраве!
Сыр называется наш "Радость Большого Кита".


- Еще сыр! - сказал Илюша. - Какие странные названия у сыров! А разве киты любят сыр? Они, кажется, планктоном питаются?

- Питаться - это одно, - возразил Радикс, - а любить - это совсем другое. Один мой приятель любил папу с мамой, а питался преимущественно двойками...

Илюша совсем было уже ответил, что он понятия не имеет, о ком повел речь его спутник, но в это время из-за густой зелени, приплясывая и ловко перебирая своими тоненькими копытцами, снова выскочил козлоногий человечек. Он быстро сыграл на своих флейточках что-то веселенькое, а потом подбежал к Илюше и шепнул ему на ухо:

- Не верь! Не верь! Выдумывают! Самый замечательный сыр - это тот, из которого делаются морские камушки. Вот это сыр!

Снова засвистали и запели флейточки, и музыкант быстро исчез между деревьями.

- Из сыра камушки? - повторил в недоумении Илюша. - Совсем запутаешься!

- 235 -

Тут наши друзья вышли на светлую полянку. В глубине между деревьями стоял маленький домик. На ном внесла огромная вывеска, а на ней настоящими греческими буквами было изображено:

-------------------------------------------

СЫРОВАРНЯ АПОЛЛОНИЯ ПЕРГЕЙСКОГО

И ПАППА АЛЕКСАНДРИЙСКОГО

НЕТ ЛУЧШЕ НАШИХ СЫРОВ!

-------------------------------------------

- Ну вот, мы и пришли! - заявил Радикс.

Они теперь приблизились к тому самому домику с колоннами, который Илюша заметил еще издалека. Вместо двери у этого домика висела пурпуровая занавесь. Радикс откинул ее, и они вошли.

В большой светлой комнате, у которой не было потолка и свет лился прямо с неба, у самого входа бил маленький фонтанчик, от которого очень вкусно пахло - то полежалыми яблоками, то вином, то лимоном, то айвой, а то еще чем-то вроде оливкового масла. Подальше сидели по-турецки два сморщенных бородатых старичка в длинных белых мантиях, подпоясанных красивыми золотыми шнурами. Они что-то уплетали за обе щеки. А сзади них на громадной тарелке возвышался большой, метра в два ростом, конус. На тарелке по краешку было написано: "Вот вам и сыр!"

Илюша хотел было спросить про это у Радикса, но в это время один из старичков произнес:

- Приятно пожевать хорошенького сырку! Дай-ка мне, Асимптотос, друг дорогой...

Но когда Асимптотос обернулся к своему приятелю, он вдруг весело воскликнул:

- Смотри, Коникос, гости! Сторона ль моя, сторонушка!

Кого я вижу!

- Привет! - отвечал Радикс.

- А что это ты привел? - спросил, прищурившись, Коникос. - Что-то микроантропоидное?

- 236 -

- По-видимому, сыроежка, - заметил Асимптотос.

Илюша с трудом перевел дух и огляделся.

- Может быть, это просто шутка? - спросил он сам себя, но невольно произнес эти слова шепотом.

- А может быть, и не просто? - укоризненно отозвался Коникос.

- И даже не совсем! - ворчливо откликнулся Асимптотос.

- А возможно, что именно так! - раздался чей-то сердитый голос сбоку, и Илюша поморщился, увидав доктора У. У. Уникурсальяна, гордо скрестившего руки на своей могучей груди и состроившего одну из самых своих замысловатых и невероятных гримас.

- 237 -

Схолия Тринадцатая,

 Сделать закладку на этом месте книги

из которой читатель легко мог бы узнать, как высоко стояло в древнее время искусство резать сыр и к каким удивительным последствиям мирового значения ведет то или иное положение сырного ножа при этой церемонии, если бы в эту схолию не ворвался несносный К. Т. Н. доктор Уникурсальян и не воспретил все сие. Зато тут говорится о том, как сотни разноцветных парабол улетели в небо, приветствуя свою прародительницу и угрожая врагам серьезнейшими неприятностями.

Далее излагается, почему невозможно понять, что такое восход солнца, если ты предварительно не покушал сырку, что ведет к ряду очень грустных воспоминаний о древних царях и калифах, из коих некоторые просто не хотели учиться, а другие поступали более решительно и сажали педагогов в очень сырые и темные места, дабы те к ним поменьше приставали. Затем читатель узнает, как считать планеты, начиная с собственных ушей, и как опасно соглашаться со специалистами по подобным подсчетам. Вслед за этим читатель знакомится с тремя инженерами, которые ехали с запада на юг в очень скором поезде.

Илюшу не очень-то обрадовал такой прием. Однако он поклонился старичкам. "Микроантропоидное? - подумал он. - Как будто это должно значить нечто ничтожно человекоподобное? .. Хм... А сыроежка?"

- 238 -

Это было, конечно, обидно, но тут Илюша подумал, что, может быть, это просто обозначает, что о", Илюша, хотел покушать сырку, и больше ничего?..

А когда он обернулся, то увидел знаменитого Командора Ордена Семи Мостов, который смотрел на всех собравшихся с величайшим презрением.

- Страшно подумать! - шепнул на ухо Илюше Радикс. - Ей-ей, мне кажется, что он сейчас речь произнесет.

Однако Доктор Четных и Нечетных лишь надменно покосился на Радикса, хотя было ясно, что он отлично понял, о чем тот перешептывается с мальчиком.

- Отменить! - воскликнул неожиданно командор. - Какой такой сыр? Что это за баловство? Не разрешается! Воспрещается!

Легкое и странное посвистывание в воздухе привлекло внимание всех присутствующих.

И невозможно описать всеобщее смущение, когда наши друзья заметили, что над зловеще скрестившим руки Уникурсалом Уникурсалычем вьется в полной боевой готовности бесконечно сердитый и неограниченно длинный язычок прелестной Розамунды.

- 239 -

- Эге! - промолвил, почесывая затылок, Коникос. - Да тут что-то действительно не того!..

И, грустно ковыляя, он ушел в глубину своих апартаментов. Он недолго повозился там с чем-то, и вдруг громадная тарелка с его сыром покачнулась, внезапно куда-то провалилась и исчезла. Он позвал себе на помощь Асимптотоса, и вместе они выволокли вперед престранный аппарат, состоявший из большой круглой подставки с прямым тонким стержнем в середине.

Уникурсал Уникурсалыч осмотрел аппарат очень внимательно, обошел со всех сторон, потрогал стержень и, не без огорчения сообразив, что больше ему сердиться не на что, медленно растворился в воздухе, а за ним, посвистывая, исчез и язык Розамунды.

- Сей аппарат, - грустной скороговоркой, как заученный наизусть урок, забормотал Коникос, - есть наша неутомимая Центрифуга. В высшей степени полезное изобретение сие представляет собой механический станочек для получения поверхностей вращения. Так-с... Начнем с начала, как в таких случаях и полагается. Знаешь ли ты, дружок, как делается конус?

Асимптотос приволок откуда-то огромный прямоугольный треугольник, прикрепил его большой катет к стержню Центрифуги и подобострастно сказал станочку:

- Будьте добры, матушка-кормилица, не откажите!

Стержень Центрифуги начал вращаться, и при этом все скорее и скорее. Вместе с ним вращался и прямоугольный треугольник, пока наконец быстро мчащаяся по кругу гипотенуза треугольника не обратилась в серенький туман, действительно напоминавший конус. Тут Асимптотос подмигнул Центрифуге, и аппарат немедленно остановился. А конус остался стоять. В этом, по всей видимости, и заключалось волшебство.

Тут Асимптотос поднял конус и поставил его на пол. Конус был красивый, отменно тонкий, внутри пустой, и высота его была два метра.



Коникос принес громадный, широченный нож, нерешительно посмотрел на собравшихся и сказал, опасливо покосившись в ту сторону, где исчез доктор Уникурсальян:

- 240 -

- Это у нас будет как бы секущая плоскость.

Тут Коникос стал на табуретку и срезал самую верхушку конуса, причем его широкий нож двигался в точности параллельно основанию конуса.



Затем он показал Илюше, что получилось на месте среза, и спросил:

- Круг?

- Круг, - отвечал Илюша.

И тут мальчик вспомнил, что ему как будто не зря толковал громкоговоритель про голландский сыр. Так как доктор Уникурсальян У. У. запретил поминать о сыре, то он молча поглядел на Асимптотоса, потом на Коникоса, потом на Радикса, потом на то самое место на полу, куда бесследно провалился конический сыр. Тогда Коникос знаками пояснил ему, что голландский сыр обычно имеет форму шара и, значит, как его ни режь, в сечении обязательно получится круг - фигура, которая у древних мудрецов символизировала нечто совершенное.

- Теперь, - сказал, Асимптотос, - следующий разрез. Тоже предмет, достойный внимания!

И он начал резать конус, который уже опять был целый, поставив свой широченный нож параллельно образующей конуса. Затем он поднес Илюше отрезанный кусок.

Теперь срез имел форму дуги и показался Илюше знакомым.

С большой опаской и поминутно оглядываясь туда, где расплылся и исчез свирепый и неумолимый Доктор Четных и Нечетных, Асимптотос при помощи мимики и жестов дал понять Илюше, что именно об этом-то срезе - то есть об этом-то сечении конуса! - ему и говорила лесная девица Дриада, поминая какую-то "Радость Кита". Когда же Илюша шепотом спросил его, при чем же здесь, собственно, сыр, Асимптотос, весь дрожа от страха, снова знаками пояснил ему, что если бы У. У. Уникурсальян, К. T. Н., Д. Ч. и Н. У. и проч., не был таким сердитым, то они бы ему показали, что их сыр (тот, который провалился) менял свой дивный вкус в зависимости

- 241 -

от того, как его резали, и что, разрезанный параллельно образующей, он и есть "Радость Кита", которая смертельна для врагов. Не успел Илюша спросить, при чем тут враги и киты, как Радикс уже состроил кислую мину и сказал:

- Слушай! Ну... не надо. Ну, зачем так делать? Ведь нехорошо! ..

Асимптотос густо покраснел и подал кусок конуса Илюше.

Как только Илюша взял в руки этот кусок, откуда-то раздался громкий треск и в воздух полетели сотни разноцветных ракет.

- Это в честь нашего сечения! - сказал Асимптотос. - Как ты видишь, ракеты летят в воздух по кривым, которые очень похожи на форму нашего среза. Когда снаряд летит из пушки, то он тоже двигается по этой кривой. Вот почему наш сыр так страшен врагам. Когда бьет фонтан, его струя летит вверх и падает так же, как ракета. Вот почему этот сыр так любят киты - это ведь они выдумали фонтан! Когда твои современники строят прожектор, то его отражательное зеркало тоже делается по этой кривой.

- Я ее где-то недавно видел! -воскликнул Илюша.



- Все может быть, - отвечал Коникос. - Может быть, ты видел большой бетонный железнодорожный мост? Может быть, ты видел кривую квадратов натурального ряда? Может быть, ты видел, как льется вода из Сочки?

- Не-ет, - сказал Илюша. - Постой-ка! Радикс!

А вот та кривая, которую мы рисовали в Схолии Двенадцатой?

- 242 -

- Мы их много рисовали...

- Вот та, которая получается из квадратного уравнения.

- Ах, эта! - воскликнул Асимптотос. - Она самая! Она называется параболой.

Однако Илюша успел уже сообразить, что сыр (тот самый, запрещенный, который провалился!), будучи параболически разрезан, приобретал особый, необыкновенный вкус и об этом-то и вспоминал милый Асимптотос.

- Итак, - продолжал Асимптотос, - срез помер третий! Внимание!

Теперь, когда Илюша взглянул на конус, то он увидел, что тот удвоился. Из вершины конуса вырос на той же самой оси еще один конус, стоящий вверх дном. Асимптотос снова начал резать. Теперь широкое лезвие ножа двигалось сверху вниз параллельно высоте нижнего конуса, то есть общей оси двух конусов. Как и следовало ожидать, Асимптотос отрезал сразу два кусочка от конусов.

- Необычайной формы! - заявил Асимптотос. - Идет главным образом на подтверждение закона Бойля-Мариотта, потому что объем газа обратно пропорционален давлению. В самом простом виде это сечение дает нам кривую обратных величин чисел. Если же эту кривую подвергнуть таинственной обработке[17] при помощи Знаменитого и Всемогущего Змия, то получается нечто совершенно неожиданное: продолжительность жизни астронома увеличивается ровно в два раза, так как новая кривая дает ему в руки логарифмы, а они очень сокращают длиннейшие астрономические вычисления. Кривая эта называется гиперболой. И если ты вспомнишь синьориту Одну Энную, то есть возьмешь за ординаты числа, обратные абсциссам, то эту кривую и получишь.

Затем Асимптотос улыбнулся и произнес:

- Срез номер четвертый!

- 243 -

Он снова подошел к конусу, который опять принял свой прежний вид, и начал его резать наклонно к основанию, но не настолько, чтобы сечение прошло через основание конуса.

Кривая квадратов натурального ряда.

- Кривая этого поразительного сечения, - произнес Асимптотос торжественно, - называется эллипсом. Она имеет самое непосредственное отношение ко Вселенной, потому что Земля ходит вокруг Солнца именно по эллиптической орбите! И мы еще поговорим об этом, когда угостим тебя тем прелестным напитком, который бьет у нас из фонтана. Кривая эта долго занимала самые просвещенные умы, ибо длину ее страшно трудно было вычислить. Как вычисляется длина окружности, ты знаешь. Длину дуги параболы вычислить тоже не так уж трудно, если ты, конечно, заручишься помощью Величайшего Змия. Совсем другое дело с этой эллиптической дугой.

Еще Бонавентура Кавальери пытался вычислить ее длину, но ошибся и признался, что это ему не удалось. Тут даже сам Многомощный Змий был некоторое время в недоумении. Ты, наверно, знаешь, что на свете есть тригонометрические функции?

- Синус, косинус, тангенс... - начал Илюша.

- Вот именно. Скажу тебе под большим секретом, что у нашей приятельницы гиперболы тоже есть свои "синусы", и "косинусы". Они так и называются - гиперболический синус, гиперболический косинус. А у эллипса есть свои эллиптические функции. Штука это довольно-таки хитрая...

- Один из основателей нашего дивного домика, - продолжал Коникос, - великий Аполлоний Пергейский, как и все его современники, называл эти кривые коническими сечениями, ибо ты сам видел, что мы их все получили, рассекая конус.

- 244 -

- Эллипс, впрочем, - добавил Асимптотос, - ты можешь получить и из цилиндра, рассекая его наклонно к основанию.

Наверное, ты уж это не раз и делал, когда отрезал себе ломтик вкусной колбаски. Надо тебе кстати сказать, что ко времени возрождения наук и искусств в Европе - примерно в шестнадцатом веке - интерес к этим замечательным кривым возник раньше всего у зодчих, которым приходилось при проектировании и возведении колонн иметь дело с цилиндрическими сечениями. Но Папп Александрит в свое время излагал учение об этих кривых как об особых геометрических местах.

Тут Асимптотос поднял свой корявый указательный палец, чтобы Илюша оценил по достоинству все значение этого важного открытия. А Илюша мгновенно вспомнил, что ему рассказывал Радикс в Схолии Двенадцатой насчет геометрических мест.

- Так вот слушан, что он придумал! Первое коническое сечение - круг - есть известное тебе геометрическое место точек, лежащих на равном расстоянии от одной точки, которая является его центром. Возьмем теперь на плоскости прямую АС и точку F, лежащую вне этой прямой. Опустим из точки С перпендикуляр, возьмем на нем некоторый отрезок, а конец этого отрезка Е соединим с данной точкой F, и если теперь линии EF и СЕ будут равны, то тогда точка Е лежит на параболе. Другими словами, парабола есть геометрическое место точек, равноотстоящих от данной прямой АС, которая называется директрисой, и данной точки F, которая называется фокусом.

Если ты спросишь, почему точка F носит такое странное наименование, то я тебе открою, что слово "фокус" по-латыни обозначает "очаг" (а поэт Вергилий употреблял его даже в смысле "костер"), то есть место, где раскладывают огонь и откуда исходит свет. А при этом знай, что парабола имеет еще одно чудесное свойство. Если ты поместишь в точку F источник света, то каждый луч, дойдя до параболы и отразившись от нее, будет двигаться в направлении, параллельном оси симметрии параболы.



Вот почему луч прожектора такой узкий и длинный. Конечно, он в небе, как ты, наверное, замечал, тоже немного расширяется, уходя от прожектора, но это оттого, что источник света - не точка и, кроме того, изготовить математически точное параболическое зеркало слишком трудно.

- 245 -

И Аполлоний и великий Архимед горячо любили эту кривую, но только уж время Греции уходило, а с ним уходило и время их любимой и поистине прекрасной науки...



- Но ведь теперь, - осторожно возразил Илюша, - даже мы, дети, учим про вашу параболу. Чего же вам огорчаться?

- Теперь да, - отвечал Коникос за своего пригорюнившегося друга. - Но знаешь ли ты, что после того, как рухнула древняя культура, Рим погрузился в такую бездну невежества, что в восьмом веке вашей эры во всей Западной Европе было, может быть, только несколько человек, которые могли правильно вычислить площадь треугольника или делить дроби?

- Я не слыхал об этом, - ответил Илюша. - Неужели же европейским математикам пришлось все начинать сначала?

- Нет, - ответил Коникос. - Нашлись люди, которые сохранили и нашу науку и наши книги. Это были ученые арабы.

Ведь даже слово "алгебра" - арабское слово и означает некий способ решения алгебраических задач.

- Про слово я слыхал, - ответил Илюша. - Но мне хотелось бы узнать, как математике пришлось бежать из Европы и искать приют у арабов.

- Ах, - сказал грустно Коникос, - это невеселая история! Великая наука философия и искусство древней Эллады были истинным чудом, и никогда люди не перестанут удивляться им и восхищаться ими! Но я, глядя на тебя, мальчик, из глубины тысячелетий, считаю тебя, а не древних греков, настоящим чудом! Ты еще совсем птенец желторотый и все-таки уже прочел несколько книг Евклида, и при этом никто даже не порол тебя, как это полагалось в темное время после падения Рима.

- А зачем же пороть? - удивленно спросил Илюша.

- Не зачем, а отчего! Изучение науки было до того трудным, что на него без жесточайшего принуждения были способны только исключительно одаренные люди. Уже гораздо позже восьмого века в обычай вошло давать ученую степень "магистра математики" студенту, который с грехом пополам сумел добраться до теоремы Пифагора. Вот до чего все это было трудно и как упало образование!

- 246 -

В самом начале пятнадцатого века в университете итальянского города Болоньи (а это в то время был довольно крупный центр по части изучения математики) наша наука изучалась как один из разделов курса астрологии (как ты, вероятно, знаешь, это была лженаука, посвященная способам гадания по звездам). Вся программа преподавания математики заключала в себе действия с целыми числами и первые три книги Евклида, то есть начала планиметрии. А теперь студент второго курса знает много больше Архимеда.

- Но ведь так и должно быть, - возразил Илюша, - потому что ведь все развивается.

- Не в этом дело. А вот что мне припоминается. Однажды в Александрии, где пышно цвели науки, царь Птолемей, чья держава была громадна и могущественна, беседовал с Евклидом. И царь сказал так: "Скажи мне, о мудрец, нет ли иного способа изучить твою дивную науку и проникнуть в ее удивительные тайны, чем при помощи книги твоих труднейших "Начал"?" Ты сам понимаешь, что царям перечить не очень-то удобно. А Птолемей был великий царь и покровитель наук.

И все-таки Евклид поглядел на владыку мрачно и ответил:

"Есть только один путь в геометрии. И нет там особых путей даже и для великих царей".

- Вот это здорово! - вскричал Илюша. - Так ему и надо, хоть он и царь!

Коникос грустно покачал головой.

- Нет, - отвечал он, - разве мудрец думает о том, чтобы сказать острое словцо, чтобы насмешить людей? Мудрец не помнит об этом, нет.

Это были гордые слова, а в то же время и немощные. Потому что этой фразой Евклид признался, что он не в силах научить своей науке человека со средними способностями. И вот в этом-то и было самое трудное.

Луч света отражается от точки Е и уходит по прямой, параллельной оси параболы (угол падения а=углу отражения). 



Источник света в фокус


убрать рекламу




убрать рекламу



е.
 

Пока великое государство цвело, пока у царей было богатство в избытке, они ласкали науку, и она развивалась.

- 247 -

Чтобы ты мог себе представить, каково было это развитие, я скажу тебе, что уже во времена римлянина Цезаря (первый век до нашей эры) в Александрийской библиотеке насчитывалось семьсот тысяч свитков-книг! А когда наступили трудные времена, когда пришли легионы римлян, математика захирела.

У нее было слишком мало друзей. А простой народ думал, что мы колдуны. И не только простой народ, некоторые римские императоры держались того же мнения. Один из них издал страшный закон, где говорилось о том, каким наказаниям должны подвергаться "математики и прочие злоумышленники", которых они считали просто гадателями по звездам.

- Что за чепуха! - сказал Илюша. - Как это так выходит? Значит, если человек знает, что такое медиана, он злодей?

- Если ты не можешь объяснить людям просто, что такое твоя наука и зачем она нужна, то возникают неразрешимые недоразумения. А так как у тебя мало друзей, то некому тебя защищать. И ты становишься жертвой невежества. И ты и твоя наука. Грозный Рим ничего не мог дать нашей великой науке. Даже повторить ее начатки он не мог толком. А когда рухнуло и колоссальное Римское государство, светоч знания еще теплился в Византии. Учебник геометрии шестого века представлял собой маленькие выдержки из "Начал" великого Евклида - то, что вы теперь называете "конспектом". Теоремы приводятся без доказательств. Следовательно, ты получаешь ряд таинственных правил, выведенных неведомо как. Ты можешь их выучить наизусть. Но как же можно с такими "знаниями" двигаться далее? А долгое время в течение средних веков такие книжки считались венцом математической премудрости! Как плохо умели управляться с основными понятиями своей науки ученые старого времени, ты можешь судить вот по какому примеру. Итальянский математик пятнадцатого века Тальенте, желая определить, что такое круг, говорил буквально следующее: "Круг есть нечто круглое".

И вот эту почти непонятную фразу повторяют вслед за Тальенте почти все учебники того времени! Другой итальянский математик того же времени, Лука Пачиоли, рассказывая в своей книге о совершенных числах, уверяет своего читателя, что разница между совершенными и несовершенными числами точно такая же, как между здоровым и больным человеком, и что, кроме того, совершенные числа потому кончаются четной цифрой, что все люди хорошего поведения обычно умирают хорошей смертью, то есть, подобно совершенным числам, имеют "хороший конец". Ты сам можешь судить, как были полезны для учеников эти пустые бредни и болтовня!

- А как же арабы восприняли вашу науку?

- 248 -

- Когда эти воинственные кочевники завоевали у ослабевшей Византии богатые и плодородные долины Египта, Сирии и Северной Африки, то там образовались могущественные и роскошные государства арабов. И великолепные калифы, так же как и владыки из дома Птолемеев, помогали ученым. Арабы стали собирать, изучать и переводить греческие рукописи. Среди их новых подданных, особенно в Сирин, оставались образованные люди, которые им помогали в этом.

Наука Индии тоже пришла к ним на помощь. Они изучали труды греческих геометров и философов, устраивали библиотеки, обсерватории, мощные и величественные развалины которых еще и теперь вызывают удивленно. Арабы вели долгие войны с ослабевшей, но не раз выстаивавшей Византией, и до нашего времени дошли тексты мирных договоров арабских калифов с византийскими базилевсами, по которым побежденные византийцы обязывались передать своим победителям - арабам - некоторое количество драгоценных греческих математических манускриптов. Вот как ценили арабы греческую науку! В дальних городах, вроде Хивы и Самарканда, выросли новые ученые, которые изучали геометрию Евклида, арифметику Диофанта и под влиянием индийских ученых начали строить новую науку - алгебру. В девятом веке арабский ученый Альхваризми уже формулировал элементарные положения этой науки. Его творения затем через сотни лет переводили в Европе. Арабское имя этого автора очень странно звучало для полуграмотных переписчиков книг, и они переименовали его в Алгорифм. Это слово и по сию пору осталось в математике как термин, подобно тому, как именем известного физика Вольты называют физическую единицу, которой измеряется напряжение электрического тока. (Математики называют алгорифмом некоторую твердо определенную последовательность действий с буквами или числами, которая должна нас привести в конце концов к цели, поставленной нами в данном случае. Мы, например, можем говорить об алгорифме деления многозначных чисел, об алгорифме извлечения квадратного корня, об алгорифме Евклида для нахождения общего наибольшего делителя - способе последовательного деления. В более общем смысле мы называем алгорифмом целую систему правил для вычислений, которая применяется для решения ряда связанных между собой вопросов. Вот в этом смысле мы и говорим об "алгорифме десятичных дробей" и понимаем под этим выражением все те правила, которые относятся к действиям над этими дробями.)

- 249 -

Только уже после крестовых походов Западная Европа наконец ознакомилась вплотную с математикой. А после того как турки взяли Византию и совершенно разрушили это государство, греческие беженцы привезли европейцам древние рукописи, уцелевшие в Византии, где они переписывались, комментировались, даже изучались, но на практике применялись только разве что для нужд лженауки астрологии, то есть гадания по звездам. Так вообще было и на Востоке. Но после появления в Европе византийских рукописей (а это уже было в пятнадцатом веке) и начинается истинное возрождение математики в Европе, хотя почва для этого уже была подготовлена учеными двенадцатого века, которые узнали наконец греческие сочинения. Но это развернулось во всю силу только тогда, когда после долгих времен мрака и суеверия люди снова начали изучать природу опытами и когда ученые показали, что наша наука нужна не для разных детских глупостей, вроде гадания по звездам, а для развития техники. Вот как это было, если сказать вкратце. Надо еще добавить и то, что церковь долгое время боролась с наукой, уверяя, что старые легенды древних евреев, нравоучительные басни необразованных людей были гораздо более совершенной истиной по сравнению с тем, что может открыть наука.

- Как так? - спросил Илюша.

- Сейчас даже трудно понять, как мыслили люди, которые защищали древние сказки против научных истин. В старых сказках, например, говорилось, что Солнце ходит вокруг Земли, и естественно, что необразованный человек так и должен думать. Когда же ученые пытались доказывать, что это не так, то церковь сперва начала их убеждать, что так думать грешно, а потом, когда это не подействовало, она стала их сажать в тюрьмы, мучить и казнить самым жестоким образом. Джордано Бруно умер, сожженный живым на костре в Риме. Вот какие убедительные доказательства приводила церковь, оспаривая положение, что центром Солнечной системы является не Солнце, а Земля! Когда ученые говорили, что Луна не планета, что планет всего не семь, а больше семи или меньше и что Солнце нельзя называть планетой, то им отвечали, что это невозможно по той причине, что семь - священное число. В доказательство этого удивительного соображения церковники говорили, что ведь и голова человека имеет семь отверстий, но не больше и не меньше. А отсюда для них было очевидно, что и планет может быть как раз не больше и не меньше семи. Коротко и ясно. Один из старинных математиков с большой опаской говорил об умножении дробей, боясь впасть в противоречие с библией, ибо там слово "умножить" употребляется только в смысле "увеличить"! Вот в каких условиях должны были люди бороться за науку. Но они не падали духом, боролись и победили. Вот почему ты уже сейчас знаешь больше того, что знали средневековые грамотеи.

Не забывай об этом!

- 250 -

- Нет! - отвечал мальчик. - Я узнал здесь много удивительных вещей, но, пожалуй, всего удивительнее - это то, с каким самоотвержением и с какой энергией ученые боролись с невежеством и каким замечательным мужеством они обладали. Даже подумать страшно, как же это можно рассуждать о том, что такое бесконечность, когда за число семь тебя могут казнить!

- Ты совершенно прав, - сказал Радикс. - В сущности, с великим Галилеем так и было. Он умер, находясь под домашним арестом и окруженный шпионами церковников еще и потому, что смеялся над разговорами о священных числах.

Самое жуткое во всей этой истории было то, что когда его привели на "суд" этих бесчеловечных невежд, он, опасаясь их раздражить, даже не стал спорить с ними. Именно это-то и возбудило в них самые черные подозрения. Они решили, что этот человек опасный "еретик" и сам прекрасно понимает, как он прегрешил против их "истины", а теперь при помощи притворного признания своей "вины" просто пытается увернуться от справедливого наказания. Вот какое это было страшное время!

- Да, - произнес задумчиво Илюша, - правда, страшное.

Но мне хотелось бы узнать подробно, как потом работали ученые и как возродили они математику.

- Хорошо, - сказал Асимптотос, - мы все это можем рассказать, если у тебя хватит терпения слушать, но кое над чем придется и голову поломать, иначе ничего не узнаешь. Раньше всего ты должен запомнить вот что: возрождение математики в Европе было не только воскрешением старой науки - нет, это было возрождение на совершенно новой основе. Наука наша перестала быть забавой великих калифов и достоянием немногих, она стала всеобщим достоянием и начала помогать людям строить здания, корабли, ходить в дальние странствия по морям и океанам, делать могучие машины, слышать голос человека за многие тысячи стадий, носиться по дорогам так быстро, как не может бегать ни одно самое быстроногое животное, сделать небесную молнию своей рабыней, перевозить из страны в страну тяжести, которые не под силу ни слону, ни киту, летать по воздуху быстрее стрекозы, обращать пустыни в цветущие нивы и так далее. Вот почему она стала дорога людям.

- Это я понимаю, - отвечал Илюша. - А в каком веке жили хозяева вашей прекрасной сыроварни?

- Аполлоний родился в царствование Птолемея Эвергета, а отошел в мир теней в царствование Птолемея Филопатора, который царствовал с двести двадцать второго по двести пятый год до вашей эры. Он происходил из города Перш.

- 251 -

А Папп родился в Александрии около трехсот сорокового года вашей эры, то есть в четвертом веке. Он моложе Аполлония на каких-нибудь полтысячи лет.

Илюшу вдруг кто-то тронул за плечо, и, обернувшись, он, к крайнему своему неудовольствию, снова увидел дорогого Уникурсала Уникурсалыча собственной персоной.

- Не морщитесь, любезное дитя! - важно произнес Доктор Четных и Нечетных, заметив, что Илюша не очень-то ему обрадовался. - У меня к вам есть важное дело. Я, во-первых, полагаю, что нечего рассказывать маленьким детям эти арабские параболические сказки. Надо, во-вторых, работать, а не сказочки слушать. Так вот изволь-ка мне немедля решить нижеследующую в высшей степени полезную задачку. Внимание! Однажды шел в направлении с запада на юг скорый поезд. Машинист, обер-кондуктор и проводник очень мягкого вагона - все были молодые люди и отчаянные спортсмены. Звали их Коля, Боря и Сережа, но... кого из них как звали, я и сам до сих пор разобраться не могу. Надеюсь, что ты мне поможешь. Дело в том, что мне известны некоторые подробности насчет этого удивительного скорого поезда, с помощью которых сообразительный молодой человек быстро догадается, как кого зовут. Представь себе, что в мягком вагоне, где проводником был тот самый юноша, имя которого и представляет для нас, так сказать, камень преткновения, ехали три почтенных путейских инженера из управления этой дороги, люди пожилые и относившиеся к спорту с величайшим равнодушием. А звали их Сергей Николаевич, Николай Леонидович и Борис Павлович. В остальном мне известны следующие очень важные подробности. Николай Леонидович жил в Тамбове, а проводник мягкого вагона жил на полпути из Москвы в Тамбов. Сергей Николаевич получал хорошую зарплату, и вместе с премиями он за этот год выработал две с половиной тысячи рублей девятнадцать копеек. Проводник мягкого вагона зарабатывал в год одну треть того, что зарабатывал один из пассажиров, тот именно, по соседству с которым он живет, то есть тот из них, кто ему приходится земляком. А тезка проводника живет в городе Москве, на Лермонтовской площади. Один из этих шестерых людей, тот самый, которого зовут Борисом, обогнал в прошлом году на озере Сенеж брассом обер-кондуктора, так что тот с горя даже плавать бросил и перешел на шахматы и городки. Ну, я надеюсь, что ты все понял? Так вот ты мне скажи, пожалуйста: как звали машиниста?

- Хорошее озеро Сенеж! - мечтательно произнес Радикс.

- Самая симпатичная станция Московского метро - это "Лермонтовская"! - поддержал его Коникос.

- 252 -

- Да-а! - заметил Асимптотос. - Две с половиной тысячи рублей и девятнадцать копеек - это, что ни говори, хорошие деньги!

- Постой! - сказал вдруг Илюша. - Я понял: машиниста звали Борей.

- Враки! Ничего подобного! Ошибка! Переделать задачу наново! Безобразие! - заорал не своим голосом взбешенный Уникурсал Уникурсалыч.

- Задача решена правильно, - сказал сердито Радикс. - Зачем ты его путаешь? Как тебе не стыдно!

- Вранье! - еще громче закричал Доктор Нечетных.

Тут поднялся такой страшный крик, что ничего понять было невозможно, и как автор ни старался прислушаться, он не мог разобрать, кто тут прав, а кто виноват. Так что уж придется читателю самому разобраться, как звали этого молодчагу машиниста. Я уверен, что он с этим справится. Ясно, ясно, что справится!

- 253 -

Схолия Четырнадцатая,

 Сделать закладку на этом месте книги

посвященная самым возвышенным чудесам и до крайности загадочная, ибо хотя в ней снова толкуется о сырах, но сыры эти до такой степени замысловаты, что тех, кто их придумал, неоднократно и совершенно всерьез обзывали безумцами, а так как это делалось печатно, то отчасти напоминало ругань.

Речь идет всего лишь о том, как купить себе полчасика сыру, да кстати еще и о том, как поступил бы король Альфонс Кастильский, если бы он присутствовал при сотворении мира.

Затем вслед за таинственным появлением дивных древних теней мы видим одну забавную веревочку двухтысячелетней давности, одну особу весьма несложного устройства и аппарат, который понимает положительное и отрицательное совершенно по-своему и в особом смысле, хотя речь идет всего лишь о фисташковой скорлупе и самых обыкновенных кавалерийских седлах, а также о том, каким именно гигиенически-геометрическим телом надлежит пользоваться по утрам благонравным малюткам, и о некоем мире, где нет надобности в мерах длины.

Справедливость, однако, заставляет старательного автора этой правдивой книжки сообщить читателю еще следующее: дело в том, что - внимание! внимание! внимание! говорит ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ! - необыкновенные, неслыханные чудеса этой ослепительной схолии суть чудеса не простые, а особые.

- 254 -

А особенность их заключается в том, что их сразу трудно разглядеть, они сперва кажутся совершенно неуловимыми! По этой причине всякий из наших прилежных и усидчивых читателей, кто столкнется с этим странным явлением, должен поступить очень просто: прочесть эту трогательную схолию еще раз и еще раз, дабы наконец разобраться, как идут дела в том самом удивительном мире, где никогда ничего подобного не бывает!

Илюшины приятели и наставники так громко спорили друг с другом, с таким жаром доказывали, что врать не должно, но ставить в тупик в высшей степени похвально, что Илюше стало скучно, и он потихоньку выбрался из домика Асимптотоса. Пахучий воздух, красивые купы вечнозеленых растений и тишина словно обступили его со всех сторон. Неподалеку снова раздались знакомые звуки флейты, и козлоногий Фавн выскочил из-за кустов. Наконец он опустил свои флейточки и оглянулся на домик Асимптотоса, откуда в то время донесся крик доктора У. У. Уникурсальяна: "А я, напротив того, буду утверждать, что то, что не невозможно, тем самым и является основным и даже единственным прототипом общеобязательного!.." Фавн поманил Илюшу немного подальше и, нагнувшись к самому его уху, торопливо начал шептать:

- У них еще есть! Что есть - боюсь сказать. Но то же... вроде... Тесс! Молчок! Дело в том, что у них, видишь ли, есть еще... особые сорта голландского. Один называется альмагестическим сыром. Это давнишний сыр, традиционный, легендарный, многозвездный, покровитель мореходов, любимый сыр звездочетов, пока, разумеется, они еще не знали того, шотландского сыра. А сверх того еще один сыр, необыкновенный, якобы круглый... Называется - казанский.

- Казанский? - переспросил Илюша с удивлением.

- В этом городе сварили такой сыр, что самые серьезные люди называли этого дивного сыровара Коперником геометрии!

Это был второй Евклид. И представь себе, что эти сыры измеряют не на килограммы, потому что это и устарелый и неостроумный способ. На километры тоже неудобно - очень длинно! Долго они думали над этим вопросом. Пробовали мерить мегомами, атмосферами, люксами, кулонами, лошадиными силами, грамм-молекулами, большими калориями - и все как-то не получалось.

Но когда Коникос умножил одну секунду на шестьдесят в квадрате, то вышло в самый раз.

- Шестьдесят в квадрате секунд? - сказал Илюша. - Да это ведь час? Как же это так? Приходишь в магазин и говоришь: "Будьте так добры, дайте-ка мне полчасика сырку!"

- 255 -

- Ну почему час? - возразил козлоногий его собеседник. - Не час, а градус! Даже и градус-то не особенно удобная мера для сыров. Они меряют сыр, умножая градус еще на девяносто, то есть, попросту сказать, меряют его прямыми углами.

Когда ты попросишь: "Отпустите мне альмагестического сыру три прямых", тут уже все ясно и никаких недоразумений быть не может.

Илюша никак не мог сообразить, как это можно измерять сыр прямыми углами, однако он заинтересовался этим, потому что только что убедился, что все, что в прошлой схолии ему рассказывали о различных сырах Фавн, Дриада и громкоговоритель, хотя на первый взгляд это и была чушь непролазная, в дальнейшем получило вполне понятное объяснение.

Поэтому он и сейчас подумал, что, наверно, Фавн, рассказывая ему об альмагестическом и казанском сырах и отвешивании оных при помощи прямых углов, имеет в виду что-то необыкновенно интересное. В это время занавесь домика Асимптотоса широко распахнулась, оттуда выскочил покрасневший, как свекла, Коникос и крикнул:

- Молодой человек! Куда ты девался?

Илюша, недовольный тем, что его оторвали от такого интересного разговора, вышел потихоньку из-за кустов. А из домика показался очень взволнованный Асимптотос.

- Справедливые боги! - воскликнул он, воздевая руки ввысь. - Вот благодарность за мои красноречивые рассказы!

Убежать от меня в лес и там начать болтовню с какой-то бессловесной скотиной! Клянусь плавающим параболоидом Архимеда, ведь ты же неведомо чего от него можешь набраться!

Идем скорей!

- Я не знал, - сказал смущенный Илюша. - Но у вас там такой крик стоял...

- Не крик, а чисто принципиальное недоумение! - строго ответил ему Магистр Деревьев, высунувшись из-за занавеси.

Илюша не осмелился вступать с ними в пререкания и снова вошел в домик.

Стоявший в уголке Радикс досадливо погрозил ему пальцем. Илюша поспешно подошел к нему.

- Послушай, Радикс, - сказал он еле слышным шепотом, - я просто вышел на минутку. А этот Фавн, тот самый - помнишь?..

Но не успел Илюша докончить этой фразы, как около него словно из-под земли вырос всепроницающий Командор О. С. М.

- Это что такое? - строго вопросил он. - Кто это тебе позволил, гадкий мальчик?

- 256 -

А не хочешь ли, я прикоснусь к тебе при помощи касательной так, что ты у меня улетишь на такую бесконечно удаленную точку, что тебе оттуда архимедово число с квадриллионами нулей с единичку покажется?

И не успел еще Илюша рта раскрыть, как Доктор Четных и Нечетных воскликнул гневно, мрачно и торжественно:

- Молчание!

И вдруг лопнул, рассыпавшись разноцветными искрами.

Радикс, Асимптотос и Коникос стояли озадаченные, оторопевшие.

- Н-н-ну-с... - произнес слегка вздрагивающим голосом Коникос, - кажется, обошлось... Но, пожалуйста, не шали больше! Приступим к дальнейшему.

И в тот же миг перед нашими друзьями вырос громадный шар, метров трех в диаметре. Коникос снова взял в руки свой широченный нож, подошел к громадному шару и начал:

- Если взять поверхность обыкновенного шара, то есть сферу, то из нее возможно получить некоторый своеобразный треугольник.

Тут Коникос разрезал сферу своим широченным ножом ровно пополам, по экватору, и толкнул нижнюю половинку; она сдвинулась, откатилась и исчезла, а верхняя половина медленно опустилась на пол. Коникос снова разрезал ее пополам. А затем получившуюся четвертинку сферы он рассек еще раз надвое.

- Ну, вот-с! - сказал он, поглядывая на эту восьмую часть сферы. - Я утверждаю, что я получил треугольник. И я попрошу тебя, Илюша, выяснить, чему равняется сумма его углов.

- Мне кажется, - отвечал Илюша, - что вот этот угол, который поближе, очень похож на прямой... Но только я не уверен, что его можно называть прямым, просто потому, что не знаю, как измеряется угол между двумя кривыми.

- Измеряется он довольно просто, - отвечал Коникос. - Мы в таком случае меряем угол не между самыми кривыми, а между двумя их касательными, касающимися наших кривых как раз в той точке, которая есть вершина нашего угла. Ясно?

- Да, как будто ясно, - отвечал мальчик.



Илюша внимательно осмотрел получившийся у Коникоса кусок сферы, но сперва не обнаружил во всем этом ничего интересного. Разрезали шар на восемь частей - что же тут особенного? Иной раз так и арбузы режут...

- 257 -

- Я думаю, - заявил Илюша приглядевшись, - что этот кусок сферы образует с плоскостью, на которой он лежит, только прямые углы. Угол А прямой (смотри на картинку!), угол В прямой, и угол С тоже прямой! Следовательно, поверхность шара- сфера, - разрезанная таким образом, дает треугольник, сумма углов которого равняется трем прямым углам. Но как же это может быть? Ведь в настоящем треугольнике сумма углов равна двум прямым углам!.. Впрочем, это треугольник кривой, а если его растянуть на плоскости...



- А ну попробуй растяни! - сказал Асимптотос, приподняв свой треугольник и подавая его Илюше. - Только не рвать!

Илюша начал растягивать, но оказалось, что этот странный треугольник не хочет растягиваться. Когда Илюша нажал на него покрепче, он выгнулся в другую сторону, как зонтик под сильным ветром, но растягиваться не соглашался.

- Вот как, Илюша! - сказал Радикс. - Учил ты, учил планиметрию, а как до трех прямых дошло, так и запутался!

Ты прими во внимание: все, что ты учил о треугольниках, правильно, пока они на плоскости. И там все евклидовы теоремы правильны. Так и говорится: "евклидова геометрия".

А на шаре мы получаем не-евклидову геометрию. Если взять огромный шар и рассматривать маленькие треугольники, то чем шар больше, тем ближе их геометрия приближалась бы к евклидовой. Если бы радиус шара был безгранично велик, тогда бы и на его поверхности Евклид оказался прав. А на данной сфере в таком треугольнике сумма углов зависит от его площади, тогда как на плоскости это величина постоянная и равна 2d. А это сферический треугольник, но не плоский.

- И существует, - добавил Коникос, - особая сферическая тригонометрия, которая весьма необходима мореплавателям и астрономам. Она даже появилась на свет ранее обычной в одном астрономическом сочинении Клавдия Птолемея, так называемом "Альмагесте", написанном около сто тридцатого года вашей эры в Александрии.

"Так, так, так! - подумал Илюша. - Вот почему Фавн говорил об альмагестическом сыре и прямых углах!"

- До Коперника, - продолжал Коникос, - это было самое серьезное и самое авторитетное сочинение по астрономии.

- 258 -

Европейцы узнали его в арабском переводе, и под этим арабским названием "Альмагест" оно и стало известно. Именно там и изложена геоцентрическая теория Птолемея. Настоящее заглавие этого сочинения - "Великое построение математическое". Оно несомненно заслуживает такого названия, ибо долгое время служило на пользу людям.

- Но ведь это же было неверно, - сказал Илюша, - раз он считал, что в центре нашей системы находится Земля, а не Солнце? Мне вспоминается, что у Ломоносова есть даже стихи по этому поводу...

- Какие такие стихи? - спросил Гадикс.

- Постой-ка, сейчас вспомню, - отвечал мальчик. - Ага... вот как:



Случились вместе два астронома в пиру
И спорили весьма между собой в жару.

Один твердил: Земля, вертясь, круг Солнца ходит;
Другой - что Солнце все с собой планеты водит.
Один Коперник был, другой слыл Птолемей.
Тут повар спор решил усмешкою своей.

Хозяин спрашивал: "Ты звезд теченье знаешь?
Скажи, как ты о сем сомненье рассуждаешь?"
Он дал такой ответ: "Что в том Коперник прав,
Я правду докажу, на Солнце не бывав.

Кто видел простака из поваров такого,
Который бы вертел очаг кругом жаркого!"


- Возможно, это и так, - отвечал Асимптотос, - в том смысле, что с физической точки зрения естественней считать центром системы Солнце, а все-таки службу "Альмагест" сослужил немалую. И без него было бы не так-то просто построить современную систему. Но система "Альмагеста" уже тем нехороша, что она чересчур сложна. Планета двигалась у Птолемея вокруг Земли не просто по кругу, а по некоторому небольшому кругу, а центр этого круга, в свою очередь, катился по другому, большому кругу, в центре которого находилась Земля. Круги вертелись в разные стороны, да еще с переменной скоростью. Если составить карту звездного неба и нарисовать на ней путь движения какой-нибудь планеты на фоне неподвижных звезд ("планета" ведь и значит "блуждающая звезда"), то окажется, что он представляет собой кривую, которая образует петли. Планета двигается в определенном направлении, затем начинает опускаться, потом как бы идет назад, в "обратном направлении", снова поворачивает и, описав таким образом петлю, вновь начинает двигаться в том же примерно направлении, с которого мы начали.

- 259 -

- Можно сказать еще, - добавил Коникос, - что греческим ученым казалось, что все планетные движения можно объяснить равномерными движениями по кругам. Но это не удавалось. Поэтому и была создана система Птолемея, то есть сложная система кругов (так называемых эпициклов и деферентов), которая имела в виду воссоздать теоретически эти петли планетных движений, что ей и удалось. Это придумал Аполлоний Пергейский, наш великий покровитель. Однако даже и эта сложная система не всегда давала правильные решения при отыскании места планеты на небе в тот или иной момент, и приходилось иногда вводить еще и третий круг. Рассказывают, что король Кастилии Альфонс Мудрый (XIII век нашей эры), твердо веривший, что еврейский бог некогда из ничего "сотворил" мир в шесть дней, ознакомившись с системой Птолемея, воскликнул: "Если бы я присутствовал при сотворении мира, я бы посоветовал господу богу устроить его как-нибудь попроще!" Александрийские астрономы, впрочем, не задавались целью определить, как двигаются планеты в трехмерном пространстве. Эта мысль пришла людям в голову много позже. Александрийцы были довольны и тем, что с календарем у них на небесном своде выходит все правильно. Коперник, однако, подошел ко всей задаче с точки зрения пространственной. И тогда ему не так уж было трудно объяснить, что на самом деле планета никаких Птолемеевых петель не описывает, а мы их видим потому, что смотрим на планету из различных точек в мировом пространстве. Если же смотреть на планету не с Земли, а с Солнца, то никаких петель мы не заметим.

- Понял? - спросил Радикс.

- Не-не... очень... - признался Илюша.

- 260 -



- А мы сейчас тебе расскажем. Ты смотришь с Земли на Солнце и на планету. Солнце за год обойдет окружность вокруг тебя, - тут все просто. Но ведь планета ходит не вокруг тебя, а вокруг Солнца. Следовательно, когда ты смотришь с Земли, ты видишь, как планета, двигаясь вокруг Солнца, вместе с ним двигается вокруг тебя. И выходит, что она совершает вокруг тебя нечто вроде винтовой линии. Ты смотришь на нее сбоку - вот и получаются петли. Ну как? Дошло?

- Как будто дошло, - отвечал Илюша. - Но ведь мы считаем, что не Солнце ходит вокруг Земли, а Земля вокруг Солнца...

- Чтобы понять, что ты будешь "видеть", нет нужды становиться на эту "точку зрения".

- Ведь дело-то не так уж хитро, - добавил Коникос, - если исходить из движения Земли по орбите. И все это легко выяснить на опыте.

- 261 -

Он махнул рукой, и в домике стало темно. Перед стеноп повис в воздухе небольшой еле светящийся шарик, а в руке у Коникоса оказался другой, испускавший довольно яркий свет, так что слабо светящийся шарик отбрасывал тень на стену.

- Допусти, - сказал Коникос, - что я наблюдаю с Земли за этим светящимся шариком, который есть не что иное, как планета. А стена у нас будет тем самым фоном неподвижных звезд, который виден с Земли и по которому мы и судим о д


убрать рекламу




убрать рекламу



вижении планеты.

Коникос поднял свой ярко светящийся шарик и пошел справа от Илюши, затем назад к нему, а потом снова от него и снова к нему, изображая движение Земли по орбите. Тень слабо светящегося шарика, висевшего в воздухе, ровно ходила по стене туда и сюда как раз в противоположную сторону тому, куда двигался Коникос.

- Я, - сказал Коникос, - двигаюсь в пространстве, а планета моя не двигается. Ты видишь, что делается с тенью ее?

- Вижу, - отвечал Илюша.

- Теперь пусть наш слабо светящийся шарик идет вперед, параллельно стене.

Слабо светящийся шарик двинулся медленно вперед, а Коникос по-прежнему продолжал ходить из стороны в сторону.

Теперь тень светящейся точки сперва пошла назад, потом повернула и бросилась вперед, но спустя некоторое время снова повернула назад, а потом опять бросилась вперед.

- Ну, теперь я понял, - сказал Илюша.

- Надо еще не забывать о том, - добавил Радикс, - что наука о звездном небе с самых древних времен была необходима человеку в его путешествиях. Мореход в открытом море определяет свое положение по звездам. Так же поступает и кочевник в пустыне, где тоже нет ориентиров. Знания о звездах накапливаются и постепенно превращаются в науку. Наш русский путешественник-естествоиспытатель В. К. Арсеньев рассказывает[18], как зимой в тундре, среди необозримых снегов он кочевал с одним племенем тунгусов. Однажды ему сказали, что дня через два они сойдутся с другим кочующим народом. Наконец кочевники выбрали себе какое-то место, которое, по мнению Арсеньева, ничем не отличалось от других.

К вечеру старики стали наблюдать небо, но жаловались, что густая облачность не дает рассмотреть то, что им надо, и из-за этого они не совсем уверены, так ли выбрали место стоянки, ибо их родичи придут на определенное место. Прошло два дня, и утром, проснувшись, Арсеньев с изумлением обнаружил, что другие кочевники пришли на то же место. A в дальнейшем ему неохотно и не очень толково объяснили, что старики определили место по звездам, причем очевидно, что старики в обеих группах кочевников руководствовались одними и теми же признаками. Значит, астрономии человека учила сама жизненная необходимость!

- 262 -

- Ну теперь, - сказал Асимптотос, - вернемся еще к нашему сферическому треугольнику. Лучше сказать - к геометрии на сфере. Выясним, какие линии играют на сферической поверхности роль прямых. Архимед в сочинении "О шаре и цилиндре" вводит допущение, что прямая есть кратчайшее расстояние между двумя точками, откуда мы приходим к заключению, что "прямой" на сфере будет дуга большого круга, то есть такого круга, который получится при сечении сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Если это так, то очевидно, что на сфере не может быть параллельных "прямых", ибо две "прямые" обязательно пересекаются в. двух точках (как меридианы на полюсах). Площадь треугольника на сфере тем больше, чем более превышает сумма его углов плоскостную меру, то есть два прямых угла. Что касается до "прямых" на сфере, то это очень просто можно проверить на глобусе при помощи резиновой нитки. Попробуй-ка на глобусе поехать по тридцать девятой параллели из Лиссабона в Нью-Йорк или из Иокогамы в Сан-Франциско.

- Обязательно попробую! - сказал Илюша.

- И хорошо сделаешь, - отвечал Радикс. - Знай, что это обстоятельство крайне затрудняет черчение географических карт на плоскости и что над разрешением вопроса о том, как начертить карту, чтобы искажение масштабов было наименьшим, работал крупнейший русский математик Пафнутий Львович Чебышев, живший в девятнадцатом веке, а также и ученики его. Я тебя вот еще о чем спрошу: если мы начертим какую-нибудь геометрическую фигуру на плоском листе бумаги, а потом изогнем этот кусок бумаги как-нибудь, то что сделается с теми линиями, которые у нас на плоскости были прямыми?

- Они уже не будут прямыми, - отвечал Илюша.

- Правильно, - согласился Коникос. - Но кратчайшими расстояниями среди линий, соединяющих две точки на поверхности и целиком лежащих на поверхности, они останутся. Такие линии называются геодезическими. Геодезическими на сфере, очевидно, являются большие круги.

- Самое интересное, - добавил Радикс, - это то, что на сфере совсем не может быть параллельных линий.

- 263 -

- Н-да, разумеется... - задумчиво и неопределенно протянул Асимптотос. - Однако ведь у нас есть еще один необычайнейший треугольник. Сумма его углов не больше 2d и не равна 2d, а меньше двух прямых углов.

- Это уж что-то совсем непонятное! - сокрушенно заявил Илюша.

- Разумеется, - промолвил Радикс, - геометрия, в которой можно построить такой треугольник, есть тоже не-евклидова геометрия. Ее открыл и разработал великий русский геометр Николай Иванович Лобачевский, профессор Казанского университета. Он жил с тысяча семьсот девяносто третьего года по тысяча восемьсот пятьдесят шестой год. Его труды, опубликованные в тридцатых годах девятнадцатого столетия, были настолько поразительны и вели к таким необычным и неожиданным последствиям, что лишь немногие его современники могли понять и оценить эти труды.

- Надо тебе сказать, - продолжал вслед за другом Коникос, - что теорему Евклида, которая гласит, что сумма углов плоского треугольника равна двум прямым, можно вывести на основании одного из двух положений:

1) из одной точки можно провести только одну параллельную линию к данной линии или 2) всегда можно построить фигуру, подобную данной, но больше ее.

Таким образом, все эти положения тесно связаны друг с другом, так что если справедливо одно из них, то оправдываются и два других.

- Как это? - спросил Илюша.

- Слушай дальше: положение, или постулат, о параллельных принимается у Евклида за аксиому, однако, так как оно не кажется столь же очевидным и столь же простым, как другие аксиомы Евклида, то на протяжении долгих веков не прекращались попытки доказать этот постулат так, как доказывают теорему. Между прочим, одна из этих попыток - разумеется, не более удачная, чем все остальные - принадлежит автору "Альмагеста", Птолемею, который был незаурядным математиком. Однако теперь мы знаем, что большинство этих попыток свелось к тому, что допущение Евклида о параллельных бессознательно заменялось либо допущением о возможности построить подобную фигуру, либо допущением о том, что сумма углов треугольника есть величина постоянная и равна двум прямым. Существует, правда, кроме этих, еще несколько равнозначных положений, но их уж я касаться не буду. Наконец, все эти работы повели к тому, что геометры заметили (после работ Лобачевского) связь этих положений друг с другом и убедились, что "доказать" этот постулат Евклида невозможно. Однако этот постулат - или одно из перечисленных мной допущений - является необходимым, без него нельзя построить евклидову геометрию.

- 264 -

До Лобачевского очень многие полагали, что никакой другой геометрии, кроме евклидовой, не только нет, но и не может существовать. Мнение это было общепринятым. Иные утверждали, что евклидова геометрия есть наша "естественная" геометрия, которую человек всасывает чуть ли не с молоком матери. Но крупнейший немецкий математик Карл Гаусс на это возразил: "Мы не имеем права путать то, что нам кажется странным, с тем, что и на самом деле невозможно". Лобачевского на его труды натолкнули такие соображения: чтобы убедиться в том, что нет возможности доказать постулат Евклида о параллельных, следует попробовать построить геометрию, где бы этот важный постулат был вообще отброшен. Ход размышлений Лобачевского ты легко можешь усвоить, вспомнив, как доказываются геометрические теоремы "от противного". Мы, вместо того чтобы искать прямое доказательство, делаем противное допущение, и тогда, если в конце наших рассуждений мы сталкиваемся с противоречием, это опровергает наше противное допущение, тем самым подтверждая и доказывая то прямое положение, доказать которое нам и было нужно. Если постулат о параллельных необходим, то (так рассуждал наш великий геометр), мы, отбросив его, не сможем получить строгой системы геометрии и неминуемо придем к логическим противоречиям.

И таким образом мы проверим и необходимость и справедливость пятого (таков его порядковый номер в "Началах" Евклида) постулата. И вот Лобачевский строит новую геометрию,"воображаемую" геометрию, как он сам ее называл, где вместо постулата Евклида вводится иной, утверждающий, что из одной точки можно провести не одну, а две параллельные линии к данной.

Наконец он получает результаты своего изумительного прилежания и труда, и решение этой задачи пятого постулата. Но решение это оказалось таким, которого не ожидал и к которому не был готов почти никто из современных математиков, не говоря уже о философах, а еще менее о людях, не имевших специальных математических или философских знаний. Первое, к чему пришел Лобачевский, было утверждение, что пятый постулат никоим образом из всех иных положений геометрии выведен быть не может, а следовательно, его невозможно доказать как теорему, опираясь на иные, ранее доказанные положения или допущения.

Однако гораздо более важным оказалось то, что Лобачевский, развив свою новую геометрию до тех же пределов, до которых развил свою геометрию Евклид, нигде ни с какими противоречиями не встретился. Дальнейшие работы очень крупных математиков в конце прошлого века раскрыли этот вопрос до конца и полностью подтвердили выводы Лобачевского. А важнейший вывод "воображаемой" геометрии гласит следующее: потому-то и невозможно доказать пятый постулат Евклида, что наряду с евклидовой геометрией может существовать иная, где этот постулат не имеет силы!

- 265 -

- Ну, а как же люди примирились с этой странной геометрией, которая сначала всем не нравилась?

- Сперва, - отвечал Радикс, - работы Лобачевского не только не нашли признания, но даже были встречены насмешками. Гаусс писал об одном из таких отзывов своему другу Герлингу (в 1844 году), что он видел "весьма отрицательный" отзыв о работе Лобачевского, но по словам Гаусса, для каждого сколько-нибудь осведомленного читателя ясно, что писал это "совершенно невежественный человек". Гаусс сам работал над этой темой, но не решился опубликовать свои результаты именно из-за страха перед неосведомленной критикой... Однако нашлись математики, которые дали себе труд подумать и разобраться в "воображаемой" геометрии. Одним из таких людей был итальянский математик Бельтрами, который в конце шестидесятых годов прошлого века выпустил в свет сочинение, где дал такое наглядное истолкование не-евклидовой геометрии Лобачевского, что всем стало ясно, что эти построения действительно представляют собой геометрическую систему, в известном смысле равноправную с обычной, а не только "воображаемую" геометрию. Бельтрами показал, что в обычном трехмерном евклидовом пространстве можно построить такое тело, на частях поверхности которого будет осуществляться планиметрия Лобачевского, откуда ясно, что геометрия его не может заключать в себе внутренних противоречий.

- Как же так? - с удивлением спросил Илюша. - или это вроде этих сферических треугольников, не похожих на наши обыкновенные, плоскостные?

- Да, это в некотором смысле то же самое. На сфере тоже осуществляется не-евклидова геометрия, но это будет геометрия Римана, для которой, в отличие от геометрии Лобачевского, сумма углов треугольника больше двух прямых, а кроме того, там прямая линия безгранична, но не бесконечна...

- Что это значит? - спросил Илюша.

- Припомни, что такое экватор на глобусе. Ведь он границы не имеет, но он и не бесконечен. Не правда ли?

- Ах да, совершенно верно! - спохватился Илюша.

- Итак, - продолжал Радикс, - Бельтрами нашел такую поверхность, на которой "воображаемая" геометрия Лобачевского, по крайней мере в части планиметрической, осуществлялась, хотя и не совсем полностью. Эта поверхность напоминает стеклянную воронку и называется псевдосферой, или, если сказать более по-русски, это будет якобы сфера.

- 266 -

Ее можно легко построить, и мы ее сейчас тебе покажем при помощи нашей Центрифуги. Таким образом Бельтрами, а за ним и многие другие ученые доказали, что "воображаемая" геометрия занимается вещами вполне реальными. Изучение и развитие неевклидовых геометрий оказало нашей науке громадные услуги, о которых ты, если будешь учиться дальше, узнаешь очень много. А если коснуться просто повседневной жизни, то и тут стоит сказать: то, что люди называли "естественной" геометрией, - это просто геометрия на плоскости. А когда землемер меряет поверхность горы или оврага, когда портниха шьет платье, то им нередко приходится иметь дело с "неестественными" геометриями, ибо оба они встречаются с седлообразными поверхностями, напоминающими ту же псевдосферу. Недаром замечательный русский математик Пафнутий Львович Чебышев занимался портняжьей проблемой кройки платьев и сделал в тысяча восемьсот семьдесят восьмом году доклад на эту тему в одном французском ученом обществе и даже представил при этом собравшимся его слушать ученым мяч, обтянутый двумя кусками материи в некотором, совершенно точном, смысле слова "наилучшим" образом.

- Вот странно! - воскликнул Илья, - вот уж я никогда бы не подумал, что землемер или портниха занимаются не-евклидовой геометрией! Впрочем... я и о фонтанах китов тоже не догадался бы.

- Вот то-то и оно! - сердито возразил Радикс. - Имей в виду, кстати, что сам Бельтрами был геодезист, то есть именно землемер. Есть основания думать даже, что и великий Гаусс, который много занимался задачами практического землемерия, натолкнулся на неевклидову геометрию Лобачевского, именно размышляя о своеобразии геодезических задач. Кстати тебе сказать, все споры О "воображаемой" геометрии только тогда и закончились, когда была опубликована наконец переписка Гаусса, где он откровенно говорит своим друзьям о своих открытиях в области геометрии Лобачевского. Это случилось уже в шестидесятых годах прошлого века, а работы Лобачевского начались с двадцатых годов.



Египетский мерный шнур для построения прямого угла. В точках В и С вбиваются колышки. Получается прямой угол в точке с при одновременном натяжении ВА и СА.

- 267 -

Илюша посмотрел на Радикса и подумал: "Псевдосфера!

Вот почему Фавн говорил о псевдокруглом сыре. Понятно".

- Ну, а теперь, - сказал, усмехаясь, Асимптотос, - надо нам вспомнить еще Илюшиного друга - Пифагора.

- Кстати, - подхватил Коникос, - слышал ли ты легенду о "египетском мерном шнуре" с двенадцатью узлами? Греки даже называли египетских землемеров "арпедонапты", то есть "вервиетягатели".

- Нет, - отвечал мальчик.

- Двенадцать, - продолжал Асимптотос, - легко разбить на три слагаемых: три, четыре и пять...

- Пифагоровы числа! - воскликнул Илюша.

- Они самые! Вот поэтому-то при помощи шнура с двенадцатью узлами очень легко построить прямой угол, который нужен и землемеру и строителю. Египтяне знали это правило чуть не за три тысячи лет до вашей эры. У нас здесь есть тоже треугольник - некий волшебно-математический аппарат, который показывает, куда мы попали - в знакомую страну или в незнакомую, где евклидовы и пифагоровы правила не годятся.

- Я как будто догадываюсь. Этот аппарат проверяет, плоская эта поверхность или нет?



Эллипсоид вращения 

- Он не только это проверяет, он еще указывает, далеко ли отклоняется от плоскости данная поверхность и как именно она это делает. А стоит тебе это узнать, и ты сейчас же сообразишь, какая там геометрия годится. Вот и все.

- 268 -

Илюша осмотрел аппарат, который представлял собой прямоугольный треугольник, сделанный из оловянного листа, а сбоку был циферблат со стрелкой. В середине стояла большая буква "Е", и на нее указывала стрелка. С одной стороны было написано "Положительная кривизна", а с другой - "Отрицательная кривизна".



Однополостный гиперболоид вращения 

Когда Илюша приложил аппаратик к сфере, тот немедленно ответил: "Положительная кривизна". Когда же он приложил аппаратик к стене, то стрелка осталась стоять против буквы "Е", а буква "Е", конечно, напомнила об Евклиде.

- А это что значит? - спросил Илюша. - Ты, Радикс, ведь говорил, что если взять очень большой шар, то там геометрия будет почти такая же, как евклидова.

Значит, чем меньше я буду брать шар, тем будет "более кривая" поверхность с точки зрения этого аппаратика?

- Правильно! - отвечал Радикс. - Если, например, ты на поверхности земного шара будешь брать треугольник со сторонами менее ста километров, ты можешь смело считать его совершенно плоским.

- Ну, а что может значить "отрицательная" кривизна?

Асимптотос с сомнением покачал головой и принес две кривые: одна была эллипсом, другая гиперболой.

- Наша Центрифуга есть поистине дивный аппарат для получения поверхностей вращения.

Затем он взял эллипс и прикрепил его вдоль и посредине (то есть по его большой оси - смотри на картинке!) к стержню, пустил в ход Центрифугу, а потом сиял получившееся тело со стержня.

- Это эллипсоид вращения, - объяснил он.

Однополостный гиперболоид вращения.

- 269 -



Центры кругов кривизны находятся по одну сторону поверхности - положительная кривизна. 

Тут он взял две ветви гиперболы и повесил их симметрично в воздухе на равных расстояниях от стержня.

- Простите, пожалуйста! - взмолился Илюша. - Вот когда вы снимаете с Центрифуги конус или эллипсоид, которые, собственно, состоят из ничего, и ставите на пол, ведь это волшебство?

- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА! - отвечал Асимптотос, торжественно подняв ввысь палец.

- А когда вы вешаете эти кривые в воздухе, это тоже волшебство?

- Не совсем! Я прикрепляю гиперболу к стержню при помощи со мнимой оси. Ну, а так как она мнимая, то ее, разумеется, довольно плохо видно. Вот и все! Если мы рассекаем два конуса с общей вершиной, мы получаем две ветви гиперболы.



Центры кругов кривизны находятся с разных сторон поверхности - отрицательная кривизна. 

Они симметричны в двух направлениях. Во-первых, они симметричны относительно действительной, или вещественной, оси гиперболы, параллельной оси нашего конуса. А во-вторых, они симметричны относительно воображаемой линии, перпендикулярной к оси конуса. Эта линия называется мнимой осью гиперболы. Вот я ее и надел на стержень.

- 270 -

Затем Асимптотос пустил в ход быстролетную Центрифугу. Вскоре из двух ветвей гиперболы образовалась поверхность вращения, средняя часть которой представляла собой кольцо с загибающимися краями.

- Это однополостный гиперболоид вращения.



Трехосный эллипсоид. 

Если бы мы вращали гиперболу по вещественной оси, мы получили бы двуполостный гиперболоид, то есть две отдельные чаши. Ну, теперь все.

Он поставил гиперболоид на пол рядом с эллипсоидом.

- Начнем с эллипсоида. Замечаешь ли ты, что в длину он согнут не так, как в ширину? Ясно, что и в ширину он в сечении даст круг, но дело в том, что в длину, то есть по своей большой оси, если мы будем рассматривать точку над самой ее серединой, он гнется не так сильно, как гнется в том же месте по направлению малой оси.

- Конечно! - отвечал Илюша.

- Следовательно, в одном направлении у него одна кривизна, в другом - другая. Теперь я разрежу эллипсоид пополам и возьму два круга - один побольше, другой поменьше.

Асимптотос разрезал эллипсоид вдоль. Оказалось, что он внутри совершенно пустой. Получилось такое эллиптическое корытце, вроде половинки скорлупы фисташкового ореха, если бы, конечно, орех был в точности симметричен.

- Смотри! - сказал Коникос. - Маленький круг я могу в него вставить и по направлению малой оси и по направлению большой. Маленький круг совпадает с сечением эллипсоида по малой оси и измеряет его кривизну в этом направлении.

А большой круг по малой оси в это эллиптическое корытце не влезает, но зато он очень хорошо входит в корытце по большой оси. Конечно, круг не совпадает с сечением по большой оси, ибо это сечение есть эллипс, а не круг, но он соприкасается с этим сечением как только возможно тесно. Этот круг измеряет кривизну эллипсоида по большой оси, однако только в данной точке. Ясно, что круги становятся друг к другу перпендикулярно, потому что ведь и сами оси перпендикулярны.

Самое важное в этом случае то, что центры обоих кругов находятся с одной и той же вогнутой стороны эллипсоида. Понял? Вот когда центры кругов, измеряющих кривизну, оказываются с одной стороны поверхности, то такая кривизна называется положительной.

- 271 -

Откуда идут эти названия, сразу не расскажешь, и на этих тонкостях я останавливаться не буду. А теперь перейдем к гиперболоиду.

Асимптотос разрезал и гиперболоид вдоль.

Получились две седлообразные поверхности, похожие на горный перевал.

- Смотри внимательно! - сказал Асимптотос. - Я беру снова среднюю точку и буду измерять кривизну опять теми же кругами и по таким же Двум взаимно перпендикулярным осям.

Когда Асимптотос начал приставлять круги к этой седлообразной поверхности, то оказалось, что эта поверхность в продольном направлении вогнутая, а в поперечном - выпуклая.

Поэтому центр большого круга оказался вне гиперболоида, а центр маленького - по другую сторону поверхности гиперболоида. Центры кругов оказались с разных сторон поверхности.

- Ну вот! - сказал Асимптотос. - Когда центры кругов кривизны оказываются с разных сторон поверхности, то это и называется отрицательной кривизной. Геометрия Лобачевского осуществима только на поверхности с отрицательной кривизной. Однако слушай далее внимательно, ибо это еще не все.

Сфера имеет во всех своих точках одну и ту же кривизну. Мы говорим, что эта поверхность постоянной положительной кривизны. Ясно, что хотя эллипсоид имеет тоже положительную кривизну, но она отнюдь не постоянна. Однополостный гиперболоид, наоборот, имеет отрицательную, но тоже непостоянную кривизну. Спрашивается: имеются ли поверхности постоянной отрицательной кривизны? Такие поверхности были открыты еще до Бельтрами. Отличительной особенностью поверхностей постоянной кривизны является то, что кусок такой поверхности может скользить по ней самой без разрывов и сжатий, как футляр шара по поверхности шара или кусочек бумаги по гладкой поверхности стола либо цилиндрической колонны. Важнейшее открытие Бельтрами состояло вот в чем: он обнаружил, что треугольники, сторонами которых являются кратчайшие линии на поверхности постоянной отрицательной кривизны, подчиняются "воображаемой" геометрии Лобачевского. Таким образом, выяснилось, что плоская геометрия Лобачевского осуществляется на одной из простейших поверхностей с постоянной отрицательной кривизной (именно такой поверхностью и является псевдосфера), и тогда уже не оставалось больше никаких сомнений в том, что в этой геометрии, как и в геометрии Евклида, нам нечего бояться противоречий.



- 272 -

- Ну, как Илюша? - сочувственно спросил Радикс. - Способен ли ты после этого соображать дальше или нет?

- Сейчас! - ответил Илюша. - Я только еще попробую.

Мальчик взял волшебно-математический аппаратик, измеряющий кривизну, и как только он приложил оловянный листик к поверхности гиперболоида, немедленно стрелка аппаратика пошла от буквы "Е" в другую сторону - это была самая настоящая отрицательная кривизна.

- Ясно? - спросил Коникос.

Илюша кивнул и сказал:

- Трудновато. Но мне кажется, я все-таки кое-что понял.

А теперь я хочу наконец про Архимеда послушать!

- Ну что ж! - раздумчиво промолвил Коникос. - Теперь-то, пожалуй, уж можно... Да, постой-ка! Я вот еще что хотел тебе сказать, чтобы ты не забыл. Дело в том, что наш эллипсоид вращения можно еще сжать сверху вниз так, чтобы его круглое сечение тоже обратилось из круга в эллипс. И тогда из эллипсоида вращения получится трехосный эллипсоид, у которого все три оси но всем трем измерениям, то есть и в длину, и в ширину, и в вышину, разные или по крайней мере могут быть разные. Ясно, что как ни рассекай его по всем этим трем перпендикулярным направлениям, в сечении получишь эллипс. Например, кусочек туалетного мыла, который в просторечии нередко называют обмылочком, обычно как раз и имеет форму трехосного эллипсоида! Или морские камушки, обкатанные морскими волнами...

- Как хорошо, - сказал Илюша, - что все эти ваши математические чудеса так легко встретить! Подумаешь, какое чудо обмылочек, а оказывается, он родственник самим коническим сечениям! (А про себя подумал: "Вот, значит, почему этот козлоногий человечек с флейтами говорил о морских камушках!") Постойте-ка, - продолжал он, - вы мне обещали показать, как делается псевдосфера.

- Совсем из головы вон! - сокрушенно сказал Асимптотос. - А ведь и вправду обещали! Поди-ка, Коникос, поищи-ка, где у нас там трактриса завалилась.

Не прошло и минуты, как Коникос вернулся весьма смущенный и раздосадованный.

- Пропала, скажи на милость! Истинное наказание!

- Ничего, - успокоил Асимптотос. - Подумаешь, какое горе! Возьмем да и новую сделаем.

Коникос принес довольно большую цепь с тяжелыми звеньями, вроде корабельной, и повесил ее за два конца на стену.

Цепь угрюмо повисла, образуя почти дугу, открытую сверху.

- 273 -

- Похоже на параболу, - шепнул Илюша Радиксу.

- Неверно. Впрочем, подобную ошибку в свое время сделал даже сам Галилей, так что тебе и подавно простительно.

Однако все же ты должен запомнить, что это вовсе не парабола, а так называемая цепная линия. Она только на маленьком участке у вершины очень похожа на параболу.

- К этой цепи у нас, - сказал Асимптотос, - прилажена особая ниточка, гибкая, нерастяжимая. Сейчас я ее отделю от цепи. Это особый способ чертить кривые - при помощи такой ниточки. Ты умеешь чертить по линейке, умеешь чертить циркулем, а это еще один способ чертить. Смотри внимательно!

Я отщипну эту ниточку в самой точке вершины цепи, то есть цепной линии, и буду, крепко все время натягивать нить, следить за тем, какую кривую опишет конец нити в той плоскости, в которой находится кривая. Так вот эту кривую, которую опишет конец нити, мы называем эвольвентой данной исходной, начальной кривой. А кривая, с которой надо сматывать нить, чтобы получить некую требуемую кривую, называется эволютой этой последней.

При этих словах Асимптотос отщипнул что-то от цепи в самой нижней ее точке. В руках его оказалась тонкая блестящая нить, которую наш ученый старичок начал как бы сматывать с цепи, все время крепко натягивая нить вниз и направо.



- 274 -

И конец нити послушно начертил новую своеобразную кривую, совершенно непохожую на ценную линию.

- Ну вот тебе и трактриса! - радостно воскликнул Коникос. - Сам Лейбниц дал ей это имя.

- Так что трактриса есть эвольвента цепной линии? - спросил Илюша.

- Точно! - отвечал Коникос. - Оказывается, ты кое-что соображаешь!

- Но если, - снова начал Илюша, - это особый способ чертить кривые, то должен ведь быть какой-нибудь общий прием, чтобы начертить так любую кривую?

- Это не так уж сложно, - вмешался Асимптотос. - Ты вот посмотри на перпендикуляры к касательным, которые именуются нормалями данной кривой.

- Радиус окружности и есть ее нормаль? - спросил Илюша.

- Справедливо! - отвечал Асимптотос. - Посмотри и заметишь, что касательные эволюты суть не что иное, как нормали эвольвенты. Поэтому, если тебе задана эвольвента, то построй к ней побольше нормалей: все они будут касательными к эволюте, которую эти касательные очень ясно обозначат на чертеже. Это будет кривая, плавно огибающая все эти прямые, касаясь их.

- Эволют у нас девать некуда, - заметил Коникос, - целая кладовая. Но можно еще и по-другому все это проделать.

Возьми отрезок прямой, приложи его в одной точке к шаблону эволюты и кати его по кривой, только чтобы он не скользил.

Вот ты и получишь эвольвенту безо всякой нити, потому что какая-нибудь заранее отмеченная точка на катящемся отрезке вычертит эвольвенту.

Радикс сейчас же объяснил Илюше, что он на досуге и сам все это может проделать. Надо взять топкую и нежесткую нитку примерно в сорок сантиметров длиной, намочить ее и мокрую повесить на стену на два гвоздика, которые вбиваются на расстоянии около пятнадцати сантиметров друг от друга.

А на то место, куда мы повесим нить, надо заранее прикрепить кнопками лист белой бумаги. Затем следует аккуратно начертить кривую, которую образует мокрая нитка, - это и будет приблизительно цепная линия. По этому чертежу надо изготовить картонный или фанерный шаблончик. В верхнем его углу следует закрепить нитку, обвести се по краю шаблона, а у вершины сделать петельку. Если теперь взять карандаш (сделав предварительно маленькую зарубку на графите) и вставить в эту петельку, то карандаш - если осторожно сматывать нитку - вычертит трактрису.

Коникос взял кривую и приладил ее, кряхтя и ворча, к диаграмме с картезианскими осями, повернув ее на девяносто градусов.

- 275 -

- Трактриса, - сказал он, передохнув после


убрать рекламу




убрать рекламу



своей нелегкой работы, - это кривая весьма древнего происхождения.



Псевдосфера 

Одно из замечательных свойств ее заключается в том, что если к ней провести касательную в любой точке, то расстояние по касательной от точки касания до некоторой прямой будет постоянным (удаляясь от своей вершины, трактриса неограниченно приближается к этой прямой, и на нашем чертеже эта прямая будет перпендикулярна к оси цепной линии). Если поместить конец нити на расстоянии а от горизонтальной прямой, а потом другой ее конец тянуть вдоль этой прямой, то первый конец и опишет трактрису. Отсюда и название ее (от латинского слова "тянуть"). Если же теперь мы прикрепим трактрису по ее горизонтальной оси к Центрифуге, то мы и получим искомую поверхность вращения, то есть именно псевдосферу.

И действительно, как только прикрепили трактрису к Центрифуге и пустили последнюю в ход, получилась псевдосфера, каковую Асимптотос спокойно снял со станка и разрезал пополам, затем добыл откуда-то резиновую нитку и влез внутрь того вогнутого конуса, похожего на опрокинутый бокал, который представляла собой полупсевдосфера.

- 276 -



На выпуклой поверхности два перпендикуляра сходятся 



На плоскости два перпендикуляра не сходятся и не расходятся 

Поверхность была довольно прозрачная, и Асимптотоса было отлично видно. Намазав резиновую нитку сажей, он натянул ее на поверхность полупсевдосферы и, щелкнув ниткой, получил одно ребро треугольника снизу вверх, направо от основания к вершине - ровную темную черту. Затем он так же обозначил другое ребро треугольника сверху, от вершины вниз направо, подмигнул Илюше и сказал:

- Так как я имею дело с поверхностью отрицательной кривизны, то, для того чтобы провести основание треугольника, я должен, очевидно, выбраться из-под псевдосферы снова наружу.

Илюша внимательно поглядел на псевдосферу и сообразил, что если натянуть резиновую нитку горизонтально, стоя внутри седлообразной псевдосферы, то нить окажется в воздухе, а не будет вся целиком лежать на поверхности, как полагается лежать геодезической линии.

Асимптотос выбрался наружу и, лихо щелкнув начерненной ниткой, провел основание треугольника.

- Ну, Илюша, - сказал Коникос, - если ты внимательно посмотришь на этот треугольник, ты и сам заметишь, что углы его много меньше, чем им полагалось быть, если бы это был плоскостной треугольник.

Коникос вырезал псевдосферический седлообразный треугольник и положил на стол, а потом прикрепил три крепко натянутые нитки к его вершинам. Рассматривая углы, которые были образованы нитками, и собственные не-евклидовы углы треугольника, Илюша мог убедиться, что последние меньше, нежели плоскостные.

- Ясно? - спросил Радикс.

- Как будто ясно, - отвечал мальчик. - Ну, а как получается с параллельными? Я все-таки никак не пойму, как через одну точку провести две параллельные к третьей прямой?

- 277 -



На седлообразной поверхности два перпендикуляра расходятся. 

- С параллельными, - отвечал Радикс, - не так-то просто. Давай сравним, как ведут себя два перпендикуляра к одной и той же секущей на выпуклой, плоской и седлообразной поверхности. На плоскости они идут на одном расстоянии друг от друга, то есть не сходятся и не расходятся. Но на выпуклой поверхности, как, например, на Земле, они будут вести себя так, как два меридиана, перпендикулярных к экватору, то есть будут приближаться друг к другу по обе стороны секущей и пересекутся на полюсах. На седлообразной поверхности наоборот: два перпендикуляра к одной и той же секущей будут расходиться по обе стороны, удаляясь друг от друга. Поэтому можно уменьшить углы их наклона к секущей, и полученные наклонные все еще не будут пересекаться. Если продолжать уменьшать угол наклона, то в конце концов мы дойдем до такого крайнего положения, при котором дальнейшее уменьшение угла наклона вызовет появление точки пересечения. В этом крайнем положении две прямые и называются, по Лобачевскому, параллельными друг другу "в ту сторону", в какую они образуют острые углы с секущей. Наши прямые "в сторону параллельности" еще не пересекаются и уже не расходятся, а сходятся друг с другом, так сказать, "в бесконечности", как обычные параллельные. На полупсевдосфере можно это очень хорошо представить себе, если взять два уходящих в бесконечность меридиана этой поверхности. Ты, может быть, возразишь, что это два перпендикуляра к параллели полусферы, но не забудь, что параллель (то есть сечение псевдосферы плоскостью, перпендикулярной к оси) не будет линией кратчайшего расстояния (геодезической) на этой поверхности и потому не может нами рассматриваться как "прямая".



На полупсевдосфере два "параллельных" мередиана образуют острые углы с секущей геодезической. 

- 278 -

- Я понимаю, - сказал Илюша. - Если я представлю себе, что полупсевдосфера лежит передо мной узкой частью вправо, то концы натягиваемой поперек поверхности нити придется оттягивать влево, иначе нить будет соскальзывать вправо.

- Поэтому, - продолжал Радикс, - два меридиана будут образовывать с пересекающей их геодезической острые углы (с параллелью они образуют прямые), как видно на чертеже.

Несмотря на это, они не будут справа пересекаться, как бы далеко ты их ни продолжал на полупсевдосфере. Но отклони один из них чуть-чуть внутрь, по направлению к другому, и наверху появится точка пересечения. Это и означает, что два меридиана, по Лобачевскому, параллельны "в правую сторону" (нашей полупсевдосферы).

- А как же будут вести себя перпендикуляры к этой поперечной геодезической? Куда они денутся на псевдосфере? - спросил Илюша.

- Видишь ли, - ответил Радикс, - на небольшом участке псевдосферы хорошо видно, что два перпендикуляра расходятся, но дальше они начнут даже огибать поверхность снизу и где-то с нижней стороны пересекутся. Но не оттого, что они сходятся, а, наоборот, оттого, что они расходятся. Вообще надо иметь в виду, что только геометрия "куска" поверхности псевдосферы отвечает геометрии соответственного "куска" подлинной "плоскости Лобачевского"; вдобавок еще мешает "ребро" псевдосферы с нижней стороны. "Плоскость" же Лобачевского, как и наша обычная, простирается неограниченно во все стороны, и все направления на ней равноправны. Поэтому на плоскости Лобачевского получается такая картина.

Если взять секущую MN и в точке N провести к ней перпендикуляр АВ, а в точке М наклонять второй перпендикуляр, уменьшая его угол с секущей со стороны точки В, то наклонная, проходящая через точку М, начнет пересекать прямую АВ, только когда угол наклона станет меньше некоторого острого угла ф. Этот острый угол (он тем ближе к прямому, чем меньше расстояние MN) Лобачевский назвал углом параллельности, а наклонную в том крайнем положении, когда она еще не пересекается с перпендикуляром АВ, он назвал проходящей через точку М параллельной к АВ в сторону В. С другой стороны секущей получается та же самая картина. Крайнее положение наклонной, при котором точки пересечения еще нет, и будет второй "параллельной"

- 279 -



Лобачевского- параллельной в "другую сторону". Поэтому на нашем чертеже все прямые Лобачевского, проходящие через точку М, разделяются двумя параллельными - "в сторону Л" и "в сторону В" - на две категории. Одни, образующие с перпендикуляром NM угол, меньший "угла параллельности" φ, пересекают прямую АВ. Другие, образующие с перпендикуляром прямой или хотя и острый, но больший угла параллельности угол, проходят между двумя "параллельными" и не пересекают прямой АВ ни с той, ни с другой стороны. Они называются расходящимися с прямой АВ. Параллельные, конечно, тоже не пересекаются с АВ, но они выделяются из числа всех не пересекающихся с АВ прямых, проходящих через точку М, как раз тем, что положение параллельности - крайнее, при котором нет точки пересечения: две параллельные отделяют, таким образом, все пересекающие прямые от расходящихся. В отличие от геометрии Евклида, сумма внутренних односторонних углов, образованных параллельной в данную сторону с секущей, меньше двух прямых, так как угол параллельности φ острый. Величина этого угла зависит от расстояния MN. Еще греки, по всей вероятности, догадывались о таких возможностях.

- Значит, - решил Илюша, - это гораздо хитрее того, что мы учим в школе о параллельных?

- Ну еще бы! - отвечал Радикс. - Если бы это было то же самое, так ведь тогда и говорить было бы не о чем.

- Какая же она, однако, удивительная, эта геометрия! - задумчиво произнес Илюша.

- 280 -

- Если хочешь знать, - отозвался Радикс, - сферическая геометрия еще удивительнее "воображаемой", только мы к ней более привыкли благодаря тому, что глобус стал нам приятелем со школьной скамьи, если не раньше. А если подумать, то нетрудно убедиться в этом. Сравни хотя бы такие обстоятельства. Прямая у Евклида безгранична, у Лобачевского тоже, а на сфере она (например меридиан) не только не безгранична, но еще и замкнута.

- Да! - отвечал Илюша. - А ведь действительно так!

- Насчет же всяких неожиданностей в "воображаемой" геометрии, так я могу тебе подарить на память еще один такой случай. Если ты возьмешь на плоскости Лобачевского окружность, разделишь ее на несколько равных частей и в точках деления проведешь касательные к этой окружности, то они образуют многоугольник только в том случае, если радиус окружности очень невелик, а в противном случае они вовсе не встретятся и не пересекутся.

- Мы можем, - добавил Асимптотос, - показать тебе еще кое-что по поводу треугольников Лобачевского, но только это будет потруднее. И нам кое в чем придется с тобой условиться.

- Как это условиться? - спросил Илюша.

- Вот как. Мы знаем, что роль "прямых" на сфере играют дуги больших кругов. А теперь мы условимся считать "прямыми"" на сфере не дуги больших кругов, а дуги некоторых других кругов. Мы начнем с того, что рассечем сферу пополам.

Положим полусферу на плоскость сечением вниз. А далее согласимся считать дуги кругов, плоскость которых перпендикулярна к той плоскости, на которой лежит наша полусфера, прямыми. Надеюсь, что ты понял меня?

- Но ведь можно "условиться" о чем угодно! - сказал в недоумении Илюша. - Захочу и "условлюсь", что у меня семь равняется нулю. Так что ж, так и будет?

- Мне кажется, - отвечал Радикс, - что не так уж трудно придумать случай, когда такое равенство будет иметь смысл. Например, допустим, что ты будешь различать числа только по остаткам, которые они дают при делении на семь.

Ясно, что в этом смысле 1, 8, 15 и так далее будут равны между собой; 2, 9, 16 и так далее будут также равны между собой, а 7 окажется равным числам 0, 14, 21 и прочим. Тебе может показаться, что это бессмыслица. Но допусти, что некоторый месяц начинается в воскресенье и мы обозначим этот день нулем, понедельник - единицей, вторник - двойкой и так далее. Тогда, если мы интересуемся только днями недели, а "нуль", "семь" и "четырнадцать" - все будут обозначать воскресенья, то в этом смысле ты можешь не делать между ними различия. Так что уже не столь бессмысленно "условиться", что семерка равна нулю. Имей в виду, что при изучении известных вопросов вполне возможно поставить некоторое особое условие, и это может даже сделать для нас доступными такие вопросы, которые без этого трудно было бы исследовать[19].

- 281 -

- Пожалуй, - сказал Илюша, - я с таким рассуждением готов согласиться, но вот чего я боюсь: если мы условимся считать какие-то линии на сфере "прямыми", смогут ли эти "прямые" сохранить свои обычные свойства? А если не сохранят, то разве это будут "прямые"?

- Видишь ли, - отвечал Асимптотос, - все свои свойства наши "прямые", разумеется, сохранить не смогут, но ведь мы как раз и хотим рассмотреть на примере такую геометрию, в которой некоторые свойства прямых таковы же, что и на плоскости (например, две "прямые" пересекаются только в одной точке, через две точки проходит одна и только одна "прямая" и так далее). Однако в отношении свойств параллельности или величины суммы углов треугольника наши новые линии должны подчиняться не обычным законам геометрии, а законам геометрии Лобачевского. А если это так, то совершенно очевидно, что такие "прямые", поскольку мы их рассматриваем в нашем обычном евклидовом пространстве, должны и по внешнему виду отличаться от обыкновенных прямых. Сейчас нам даже придется отказаться и от того свойства, которое мы сохраняем на сфере при пояснении римановой геометрии:

"прямые" уже не будут линиями кратчайшего расстояния на полусфере. Однако, чтобы ты не очень уж задумывался над смыслом таких "условий", мы сейчас придумаем самый животрепещущий пример...

- Я бы полагал... - перебил нашего оратора Коникос.

- А именно? - вопросил Радикс.

Коникос задумчиво сказал:

- Необходимо соорудить при помощи волшебства...

- Да что именно? - спросил Асимптотос. - Уж не томи ты нас, говори прямо!

- Начнем с полусферы, - уклончиво ответствовал загадочный Коникос, - ну, а потом... посмотрим.

Действительно, тотчас перед Коникосом выросла громадная, трехметровая полусфера тонкого, прозрачного синеватого стекла, под колокол которой он немедля и забрался. Из-под своего халата Коникос тут же извлек громаднейшую кремневую пистолю, самую старозаветную, у которой один только курок весил до полукилограмма, и с торжеством показал свое удивительное оружие Илюше.

- Вот мое восхитительное изобретение! - сказал он. - Эта волшебно-не-евклидова пистоля имеет изумительные свойства.

- 282 -

Пуля этой пистоли и будет описывать не-евклидовы "прямые"! Я буду стрелять, но не прямо, а так, чтобы ее круглая нуля скользила точно, "в притирку" но внутренней стороне моей полусферы. Стекло это очень крепкое, и пробить его пуля не может, она только его поцарапает. Ясно?

- Ясно! - отвечал Илюша.

- Но только вот что! - добавил наставительно Асимптотос. - Запомни раз и навсегда: пуля этой казанской - или, что то же, не-евклидовой - пистоли, скользя по внутренней поверхности полусферы, все время остается в той же вертикальной плоскости, в каковой находился и пребывал ствол этой пистоли в момент выстрела.

Затем Коникос начертил внутри полусферы, на полу, равносторонний треугольник, почти вписанный в круг, который образовывал на полу край полусферы, как нарисовано на следующей странице.

- Ну, уж в этом-то треугольнике никак не может быть больше или меньше двух прямых! - торжествующе заявил Илюша.

Асимптотос и Радикс только чуточку усмехнулись в ответ на это заявление Илюши, а Копикос сказал:

- Ты, юноша, не спорь, а следи как можно внимательнее за тем, что я буду делать.



С этими словами Коникос стал в левом углу при оснований начерченного на полу треугольника (угол С) и обернулся лицом прямо к углу при вершине его. Он поднял над головой свою пистолю, вплотную прижал ее почти совершенно вертикально к внутренней стороне сферы и выпалил.

- 283 -

Раздался страшный грохот, целое облако дыма вырвалось из широкого дула пистоли, по, несмотря на все эти пиротехнические эффекты, пуля летела так медленно, что Илюша видел, как она мелькнула по внутренней стороне полусферы, оставив за собой тонкий след в виде царапины по стеклу.



Вот такой треугольник начертил на полу Коникос, стоя под полусферой. 

- Попал! - крикнул Коникос. - Какая меткость! С первого раза!

Илюша удостоверился, что пуля, обогнув полусферу, прошла как раз над вершиной треугольника (В) и ушла в пол.

Затем Коникос снова зарядил пистолю, подсыпал пороху на полку, стал опять на то же место, но повернулся теперь лицом в сторону другого угла (А), который был с правой стороны основания треугольника. Снова бах! Пуля прошла как раз над вершиной справа у основания.

Затем Коникос перешел в тот самый угол, над вершиной которого только что прошла пуля. Теперь он стал в этот правый угол (А) и лицом обратился снова к углу в вершине (В).

Снова он поднял пистолю над головой, так что она стояла почти вертикально, то есть почти перпендикулярно к полу, а затем опять трах! Снова целое извержение порохового дыма, и опять мелькнула пуля, царапая стекло.

- Вот выстрел! Поищи-ка, где пересекаются оба следа.

Илюша обошел сферу, подошел к углу при вершине и убедился, что оба следа пересеклись в точке, лежащей как раз над вершиной В треугольника.

Затем Коникос выполз из-под полусферы и сказал:

- Я полагаю, что пули летели "совершенно прямо", в неевклидовом смысле слова, как это им и свойственно. Они бы, разумеется, летели иначе, если бы им стекло не мешало и они не были бы обязаны сохранять вертикальную плоскость полета, но тут уж им при всей их любви к прямолинейности и краткопутности ничего другого не оставалось! Теперь я попрошу полусферу уменьшиться до полуметра в диаметре, дабы мы имели возможность обозреть результаты моей неподражаемой стрельбы в цель.

- 284 -

Полусфера сейчас же послушалась, и Илюша увидел, что пули начертили на стекле своеобразный треугольник. Тогда Асимптотос взял свой широченный нож и сказал мальчику:



Срез полусферы (экватор) 

- Смотри: плоскость моего ножа, то есть секущая плоскость, стоит сейчас перпендикулярно к той плоскости, на которой лежит половина сферы.

Ясно?

- Ясно.

- Я сделаю три сечения. Каждый раз нож будет стоять перпендикулярно к плоскости, на которой лежит полушар.



Затем Асимптотос аккуратно провел разрез так, что линия его шла от точки А к точке В. Второй разрез соединил точки В и С, а третий - точки С и А. И все разрезы шли в точности по царапинам, оставленным пулями. Затем он вынул из середины сферы получившийся кусок и дал его Илюше.



- Заметь, - сказал Асимптотос, - что если вершины треугольника будут лежать на самом срезе полусферы, то есть на ее экваторе, то все дуги "прямых", то есть вертикальных сечений сферы, проходящие через эту точку, будут иметь общую касательную вертикаль, а угол, образованный этими дугами, поэтому будет равен нулю.

- 285 -

(Вспомни, как Коникос учил тебя измерять угол между кривыми!) Но если немного сдвинуть вершину треугольника вверх по полусфере, как мы это сделали, то касательные наклонятся и разойдутся: это и даст нам возможность применять нашу пистолю. Но так как мы сдвинулись немного вверх, то и угол между двумя положениями ствола пистоли Коникоса, то есть угол треугольника, будет очень мал, и он будет тем меньше, чем ближе вершина к экватору. Я вырежу еще такой же треугольник, только расположенный повыше и площадью поменьше.

Снова Асимптотос начертил круг, затем снова вписал в него равносторонний треугольник ABC, а затем начертил внутри этого треугольника еще один - А1В1С1, поменьше, подобный первому и симметрично расположенный. (Смотри на картинке, стр. 284.)

После этого он взял нож и вырезал еще один треугольник, уложив, разумеется, предварительно на чертеж еще одну половину сферы.

- А теперь, - заявил Коникос, - мы будем утверждать, что данные два треугольника по своим свойствам суть не что иное, как треугольники Лобачевского! Доказать тебе, наш юный друг, это обстоятельство было бы хлопотливо, однако это так. Поверь на слово. Был один француз-математик в истекшем столетии, который нашел это и доказал довольно-таки точно и неоспоримо.

Нахмуренная физиономия доктора У. У. Уникурсальяна немедленно появилась среди почтенной компании.

- Не следует, - сказал он, - утверждать того, чего ты не можешь доказать.

- Докажи, что я неправ! - предложил Коникос.

Но в ответ на это Доктор Четных и Нечетных почему-то отвернулся да и растаял втихомолку.

- Теперь далее! - наставительно произнес Асимптотос. - Слушай-ка хорошенько да мотай на ус. Тебе, я думаю, совершенно ясно, что эти два плоскостных треугольника, которые у меня были чем-то вроде выкроек для не-евклидовых треугольников, подобны друг другу?

- Абсолютно ясно! - заявил Илюша.

- А ну-ка, - продолжал словоохотливый старичок, - проверим-ка, подобны ли эти два удивительных не-евклидовых треугольника.

Сперва Илюша не мог сообразить, как ему взяться за эту проверку подобия, но затем придумал. Он положил оба треугольника на половинку сферы. Большой треугольник кое-как закрепил (кажется, кнопками), а малый стал передвигать так, что он скользил по сфере и по большому треугольнику.

- 286 -

Он рассуждал: если эти треугольники подобны, то углы у них равны, а следовательно, можно вдвинуть один из углов малого треугольника в один из углов большого, а если углы равны, то две стороны малого должны совпасть с двумя сторонами большого. Сказано - сделано! И вот, представьте себе, когда он пододвинул один из углов малого треугольника к одному из углов большого, то стороны малого не только не пошли по сторонам большого, не только не совпали с ними, а даже закрыли стороны большого, так что Илюша должен был заключить, что углы малого треугольника больше - и заметно больше! - углов большого треугольника.

- Вот тебе и раз! - сказал Илюша. - Не подобны, нет...

И, честное слово, я не понимаю, как это выходит!

- Дело вот в чем, - серьезным тоном проговорил Коникос. - Мы уже тебе говорили, что сумма углов в не-евклидовых треугольниках не есть величина постоянная, в противоположность евклидовым треугольникам, где сумма углов всегда постоянна и равна, как тебе известно, ста восьмидесяти градусам. Мало этого, в не-евклидовых треугольниках сумма углов связана с их площадью. Причем если ты имеешь дело со сферическими треугольниками, то там чем больше площадь треугольника, тем больше и сумма его углов, и ты сам видел треугольник, сумма углов которого доходила до трех прямых углов. В треугольнике Лобачевского дело обстоит в некотором отношении так же, а в некотором - как раз наоборот. Там тоже сумма углов треугольника связана с площадью, но в обратном отношении, то есть чем больше сумма углов треугольника, тем меньше его площадь, и обратно, пока сумма углов не дойдет до своего естественного предела, то есть станет равной нулю для треугольников, все вершины которых лежат на экваторе сферы. Но уж это в геометрии Лобачевского, собственно, не треугольники, а фигуры, образованные тремя попарно параллельными прямыми. В силу именно этих обстоятельств ты и видишь сейчас, что каждый из взаимно равных углов равностороннего малого не-евклидова треугольника больше любого угла такого же большого треугольника, и так должно быть! А отсюда следует вывод чрезвычайно в данном случае значительный: никаких подобных фигур в не-евклидовых геометриях не существует, и там невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую иные размеры.

Если нам с тобой повстречаются два треугольника с соответственно равными углами, то нетрудно будет убедиться, что эти треугольники равны. Любопытно еще и то, что площадь такого треугольника ограничена и не может превысить некоторой определенной величины, как бы мы ни увеличивали его стороны, ибо площадь эта прямо пропорциональна разности [180°- (α + β+γ)]. где α, β и -γ суть углы треугольника.

- 287 -

А наше выражение в квадратных скобках, очевидно, не может быть больше ста восьмидесяти градусов. Однако и этого еще мало, и этим не исчерпываются необычайные чудеса этой геометрии.

В ней мы имеем возможность определить отрезок через угол. Ибо коль скоро треугольник вполне определяется своими тремя углами, то я могу точно определить отрезок, указав, что он является стороной равностороннего треугольника с заданным углом (меньшим, разумеется, нежели две трети прямого угла). Отсюда можно сделать один удивительный вывод.

Тогда как в обычном мире необходим эталон (то есть образчик) меры длины - метр, ярд, сажень, - в мире "воображаемой" геометрии в таковом эталоне нет надобности. Там с помощью геометрического построения, как бы исходя из свойств самого пространства, мы строим единицу длины наподобие того, как в евклидовой геометрии строится прямой угол (то, что мы потом его делим на девяносто градусов, к его величине касательства не имеет.)

- Сумма углов равностороннего треугольника Лобачевского, - промолвил Асимптотос, - поистине меньше двух прямых, ибо каждый из них меньше чем шестьдесят градусов. Мы можем тебе показать это.

Снова перед Илюшей выросла полусфера высотой в один метр. Линии, которые провели по стеклу круглые пули Коникоса, были прекрасно видны. Асимптотос подошел к полусфере и лёгонько толкнул ее пальцем. Полусфера закачалась, перевернулась своим срезом (основанием) вверх.

Асимптотос взял ниточку и, нагнувшись над опрокинутой полюсом вниз полусферой, закрепил один конец нитки в одной из трех точек внутри полусферы, где пересекались два следа пуль. Илюша внимательно следил за всеми этими приготовлениями. Затем Асимптотос, туго натянув нитку, повел ее к другой точке пересечения следов не-евклидовой пальбы и закрепил во второй точке, а затем и в третьей точке. Наконец он потянул ниточку из третьей точки снова в первую и закрепил ее там, где она вся и кончилась. Таким образом, внутри полусферы в воздухе повис туго натянутый ниточный равносторонний треугольник. Он висел, разумеется, так, что плоскость его была параллельна полу.

- Теперь это будет тот самый треугольник, который Коникос чертил на полу и о котором ты еще высказал такое авторитетное мнение... насчет суммы его углов, помнишь?

- 288 -

Илюша очень хорошо помнил свое "авторитетное мнение", только ему совсем не хотелось, чтобы и другие об этом вспоминали...



Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса - южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.

- Смотри хорошенько! - произнес Коникос. - Видишь, как легли на полу тени тех следов, которые нацарапали на стекле полусферы пульки.

Это, конечно, и было самое интересное в этом волшебном опыте! Илюша заметил без особого труда, что следы пуль Коникоса рисуются на полу, как дуги кругов, перпендикулярных к тени экватора. Они и образовывали на полу своеобразный треугольник с вогнутыми внутрь сторонами. А треугольник этот был как бы "вписан" в самый обыкновенный евклидов равносторонний треугольник, который был тенью ниточного треугольника.

- Ну-с? - произнес Радикс.

И в тот же миг стало опять совершенно светло, а сфера и сияющая полярная точка исчезли. На полу остался лежать очень четкий чертеж круга и двух треугольников внутри его.

Теперь уж не было никаких сомнений в том, что эти не-евклидовы углы много меньше евклидовых. Сумма углов равнялась 110°.

- Хорошо! - сказал Илюша. - На этом-то чертеже совершенно ясно, что углы не-евклидова треугольника гораздо меньше. Но разве тени следов пуль образуют те же углы, как и самые следы?

- 289 -

- Видишь ли, - терпеливо отвечал ему Радикс, - вообще, разумеется, не те же. Однако, если по отношению к лучу света плоскость угла отклонить в одну сторону, а плоскость, на которую ложится тень, - в другую, так, чтобы обе эти плоскости образовали с лучом светящейся точки равные углы, то тени дадут тот же самый угол, который и был у тебя. Попробуй-ка начерти сечение нашей сферы по меридиану и выясни, какие получатся углы. Ты без особого труда, я полагаю, убедишься, что в нашем случае углы будут в точности одинаковые...

Следует еще помнить о том, что, имея дело с геометрией сферы, необходимо принимать во внимание ее размеры: именно это и определяет ее кривизну, как и для псевдосферы, то есть и для "воображаемой" геометрии. Сам Лобачевский полагал, что только физико-астрономические опыты могут дать нам материал для суждения о том, какая именно геометрия свойственна нашему пространству, в котором мы существуем. Поэтому тот, кто скажет, что великий русский геометр подходил к геометрии "как естествоиспытатель", будет очень близок к истине. Современные ученые полагают, что Лобачевский был прав в своих догадках: действительно, в некотором смысле геометрия нашего мирового пространства - это не-евклидова геометрия, хотя она и не совсем такая, как геометрия Лобачевского.

А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления


убрать рекламу




убрать рекламу



геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были - на плоскости, сфере или псевдосфере.

- Конечно, - отвечал мальчик, - небольшой кусочек сферы или псевдосферы трудно было бы отличить от плоскости.

- Вот, - продолжал Радикс, - если ты сообразишь, что измеряемые нами обычно расстояния слишком малы и не дают вообще возможности отличить свойственную нашему миру геометрию от евклидовой, то тебе станет ясной идея Лобачевского - решить вопрос о нашей геометрии с помощью астрономических опытов. Это раз. А затем скажи мне: сумеешь ли ты отличить дугу окружности от прямой?

- Еще бы! - отвечал, улыбаясь, Илюша. - Дуга имеет кривизну, а прямая нет.

- Ясно. Но вот представь себе: я начерчу на протяжении тридцати сантиметров дугу окружности радиусом длиной в несколько километров. Что ты тогда скажешь?

- На таком маленьком участке, пожалуй, никак не отличишь, - согласился Илюша. - Но ведь если дугу эту сделать не в тридцать сантиметров, а побольше, то сразу станет видно.

- Постой! - прервал его Радикс. - Именно этого мы сейчас делать и не станем. Будем рассматривать геометрию на небольшом участке плоскости, но вместо прямых будем проводить окружности очень больших радиусов.

- 290 -

Для примера пусть радиусы будут длиной около пяти километров, а мы будем при помощи таких радиусов чертить фигуры на обыкновенной классной доске. Вряд ли ты заподозришь, что они не проведены с помощью самой обыкновенной линейки.

- Наверно, нет! - усмехнулся Илюша.

- Сверх этого, мы будем все эти окружности чертить не как-нибудь, а с соблюдением некоторого особого условия: возьмем какую-нибудь очень далеко отстоящую от нас прямую и будем все центры окружностей выбирать на этой прямой.

- Очень далеко, - сказал Илюша, - то есть около пяти километров?

- Пусть так, - согласился Радикс. - А потом вот еще что. Чтобы подчеркнуть, что эти окружности заменяют нам прямые (они у нас так и будут называться "прямые", в кавычках), будем называть линию их центров "бесконечно удаленной" в нашей геометрии.

- Ну да, - подхватил Илюша, - ведь, вероятно, потому, что дуга окружности тем больше похожа на прямую, чем больше ее радиус, иногда и говорят, что прямая - это окружность бесконечного радиуса?

- Именно поэтому! - отвечал Радикс. - А теперь давай рассмотрим, какая геометрия получится на большом расстоянии от нашей "бесконечно удаленной" прямой. Начнем с того, что выясним, можно ли в таких условиях провести через две данные точки одну "прямую", и только одну.

- Да ведь это сводится к задаче провести через две данные точки окружность, центр которой лежал бы на данной прямой? Это очень просто сделать.

- Ну, а будет ли в нашей геометрии "прямых" правильно, что две прямые пересекаются в одной точке?

- Если, - сказал, подумав, Илюша, - мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту "бесконечно удаленную" прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.

- Видишь, ты и сам замечаешь, что наши "прямые" этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее.

Однако если спросить, сколько "прямых", не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой, то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши "прямые" подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.

- 291 -



Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, "прямую". 



Две "прямые" могут пересекаться только в одной точке. 

- Как же это так получается? - спросил удивленный Илюша.

- Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом "бесконечно удаленных" точек нашей геометрии. Если дана "прямая" АВ, то есть полуокружность с центром в точке С "бесконечно удаленной" линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество "прямых", не пересекающихся с "прямой"

АВ, слегка смещая центр из точки С по горизонтали и соответственно изменяя радиус.

- Хорошо, - сказал Илюша, - это я теперь понимаю.

А какие же "прямые", проходящие через точку М, будут параллельными по геометрии Лобачевского к "прямой" АВ?

- Припомни, что параллельные отделяют непересекающиеся, то есть "расходящиеся" с данной, "прямые" от пересекающих ее. Такими, очевидно, и будут "прямые", изображаемые теми двумя полуокружностями, которые встречают данную полуокружность именно на "бесконечно удаленной" прямой.

То есть это будут те именно полуокружности, которые касаются данной полуокружности слева и справа на линии центров, образуя с ней в точках касания нулевые углы. Если ты построишь два перпендикуляра к какой-нибудь "прямой" АС, то легко убедишься, что они будут "расходящимися".

- 292 -



Прямоугольный треугольник ABC. 

- Так, - сказал Илюша. - Действительно не очень-то все это просто! А как же насчет суммы углов треугольника?

- Возьми чертеж, на котором две полуокружности равных радиусов почти касаются друг друга. Угол, образуемый ими в их невысоко расположенной точке пересечения, будет невелик, хотя и больше нуля. В остальных же двух точках пересечения, образованных третьей полуокружностью, получаются углы, близкие к шестидесяти градусам. Таким образом, сумма углов будет немногим больше ста двадцати градусов вместо ста восьмидесяти градусов. На маленьком треугольнике этого нельзя заметить так отчетливо.



Через точку М проведено несколько "прямых", не пересекающих "прямую" АВ. 

- 293 -



"Прямая" АВ параллельна АВ, в сторону А; "прямая" А"В" параллельна АВ в сторону В. "Прямые", проходящие внутри углов АМА" и ВМВ", "расходятся" с АВ. "Прямые", проходящие внутри углов АМВ" и ВМА", пересекают АВ. 

- Потому что они похожи на евклидовы и в них сумма углов почти равна ста восьмидесяти градусам! - воскликнул Илюша. - Кажется, я начинаю наконец разбираться понемногу...

Тут Илюша снова откуда-то услыхал звуки флейты Фавна.

Обернувшись, он увидел, что его хитрая рожица выглядывает из-за уголка цветной занавеси домика. Он протягивал Илюше правую руку и манил его к себе левой.



Два перпендикуляра - АВ и CD - к одной "прямой" "расходятся" - угол параллельности φ острый 

- 294 -

- Ты только попробуй! - произнес Фавн шепотом. - Никогда никто не кушал ничего вкуснее!

- Может быть, это и стыдно, - сказал Илюша, отломив втихомолку добрый кусочек казанского сыра и делая вид, что он никакого Фавна и в глаза не видел, - но я должен сознаться, что я тоже до сих пор думал, что геометрия Евклида единственная.

- Стыдного тут ничего нет, - отвечал Асимптотос. - Ты просто не знал, вот и все. Но спорить с построенной системой - это уже совсем другое дело.

- Значит, я уже узнал здесь, кроме евклидовой, три новые Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам. геометрии: геометрию лабиринтов, потом геометрию Лобачевского и геометрию Птолемея...



Угол между двумя окружностями одного радиуса, из которых каждая проходит через центр другой, равен 60 градусам. 

- То есть сферическую, - заметил Копикос. - Однако я могу тебе показать еще одну геометрию. Это будет геометрия теней. Ты увидишь сейчас удивительные тени. Слышал ли ты такой стишок:

Вот пройдут любые тени По стене,

Странных очерки видений При огне...

Неужели ты его не знаешь? Почитай, голубчик! Его написал прекрасный русский поэт Александр Блок. Это почти эти самые тени и есть.

- 295 -



В треугольнике ABC углы А и В близки к 60 градусам, а угол С очень мал, поэтому сумма углов этого треугольника немногим больше 120 градусов. 

Асимптотос притащил откуда-то лампочку очень странной и красивой формы, немножко похожую на чайник, в носик которого был вставлен фитиль. Лампа горела не очень ярко, но все-таки светила. В ней было налито нечто вроде оливкового масла. Говорят, будто это была та самая лампа, из-за которой начались несчастья бедной Душеньки в той самой поэме Богдановича, которую так любил юный Пушкин, потому что Aпyлей (сочинивший книгу "Золотой осел", где изложена история Душеньки) ему нравился гораздо больше рассудительного Цицерона[20]. Масло для этой лампы Коникос зачерпнул из фонтана. Затем Коникос сделал какой-то странный жест, и в светлице стемнело. Только и было света, что от масляной лампы.

Асимптотос поставил ее на стол и вырезал круглый кусочек плоскости.

- Смотри теперь на тень этого кружка. Если я поставлю мой диск вертикально параллельно стене на одном уровне с источником света, то и тень на стене получится...

- Круглая, - отвечал Илюша.

- Справедливо. Теперь смотри, что будет с тенью, если я буду поворачивать кружок вокруг его вертикального диаметра. Если я поверну кружок на некоторый угол так, чтобы диск у меня стоял наклонно к плоскости стены, то тень будет...

- 296 -

- Эллипсом! -отвечал Илюша.

- А теперь, - продолжал Коникос, - смотри, какие тени будут получаться от кружка на столе. Если я опущу диск ниже пламени, то на столе получится... На-ка, возьми диск, попробуй сам!

Илюша взял диск, опустил его немного ниже пламени лампы и получил две тени: эллиптическую и круговую, которые он уже видел на стене.

- Теперь, - сказал Асимптотос, - слушай мою команду! Поставь диск вертикально так, чтобы самая высокая его точка находилась на уровне пламени.



Илюша поставил. Тень от кружка стала с одной стороны овальной, а с другой - уходила прямо по столу, и казалось, что две стороны тени уходят вдаль, стремясь сделаться все более и более параллельными.

- Эта тень похожа, - сказал Илюша, - пожалуй, опять на кривую квадратного уравнения.

- Справедливо, - отвечал Коникос. - Ты получил параболу. А теперь подними кружок еще немного повыше, так, чтобы его горизонтальный диаметр был на уровне пламени.

Илюша приподнял кружок. Теперь на стол падала тень только от нижней части кружка. С одной стороны она тоже была похожа на овал, но с другой стороны тень уходила до самого края стола. Однако ее стороны не стремились к параллельности, а шли почти прямо в разные стороны.

- А это что такое?

- Н-не знаю, - сказал Илюша. - Но так как мы видели все конические сечения, кроме гиперболы, это, наверное, она и есть?

- Она самая. А скажи, пожалуйста, не встречал ли ты гиперболу вечером на улице?

- На улице? - удивился Илюша. - Нет, кажется, не встречал.

- А видал ли ты вечером на улице такую картину: у подъезда дома стоит автомобиль с одной зажженной фарой, и свет от фары падает на мостовую?



- 297 -

-Это я, конечно, видал, - ответил Илюша.

- Так вот имей в виду, что освещенный кусок мостовой и рисует на асфальте самую настоящую гиперболу, то есть одну из ее ветвей. Почему? Потому что световой пучок выходит из фары конусом, а мостовая в данном случае является секущей плоскостью по отношению к этому конусу. Когда увидишь эту гиперболу в следующий раз, кланяйся ей от меня... Эта геометрия теней называется проективной геометрией. Вот тебе и пятая геометрия! Учи только, не ленись, у нас геометрий хватит!



- Хорошо, - сказал скромно Илюша, - постараюсь.

- Эта геометрия, - пояснил Радикс, - имеет самое непосредственное отношение к искусству живописи, ибо только она может научить нас, как нарисовать некий предмет на плоскости так, чтобы зрителю казалось, что он видит перед собой настоящий предмет в трехмерном пространстве. Во времена Возрождения эта наука развивалась в трудах крупнейших живописцев того времени: таковы были знаменитый Аьбрехт Дюрер, живший в начале шестнадцатого века, крупнейший архитектор-итальянец Альберти (конец пятнадцатого века) и один из величайших художников всех времен, разносторонний гений Леонардо да Винчи (родился в тысяча четыреста пятьдесят втором году, скончался в тысяча пятьсот девятнадцатом), тоже итальянец по происхождению, который недаром сказал, что глаз человеческий - это "князь математики". Далее ее разрабатывал Паскаль (о нем ты уже слышал), а также и другой француз, Понселе, который был офицером наполеоновской армии, участвовал в походе на Россию, был тяжело ранен в сражении под Красным и подобран русскими войсками на поле боя. После этого он попал в плен к русским и почти целый год прожил в Саратове: там-то он и написал свое знаменитое сочинение по геометрии. Кстати сказать, развитие этой ветви геометрии способствовало правильному истолкованию математиками геометрии Лобачевского.



- 298 -

- Конечно, - заметил Илюша, - эта проективная геометрия теней очень красива, но геометрия Лобачевского мне как-то больше нравится.

- С тобой можно согласиться, - ответил Радикс. - Открытие Лобачевского вызвало сначала полное непонимание...

И при этом не только со стороны людей, которые были заведомо невеждами, а даже со стороны тех, которые, казалось бы, могли разобраться... Но слишком для них все это было неожиданно и непонятно. У себя на родине Лобачевский подвергался жестоким издевательствам в продажной печати времени императора Николая Первого. В то время как великий Гаусс учился русскому языку, чтобы прочесть сочинения Лобачевского в подлиннике, русские журналы, руководимые известным гонителем Пушкина, царским шпионом - Булгариным, глумились над Лобачевским, уверяя, что такую геометрию может выдумать только человек, поставивший себе цель - издевательство над наукой. Даже угрюмый реакционер, тогдашний министр народного просвещения, Уваров пытался защитить Лобачевского, но безуспешно. Булгарин спрятал его возражения "под сукно". Все, что мог сделать Уваров для Лобачевского, который был все-таки ректором Казанского университета, - это напечатать в официальном ученом "Журнале министерства народного просвещения" в ежегодном списке трудов русских ученых против имени Лобачевского: "Ректор Казанского университета, занимался сочинением статьи для журнала Крелле". Это кое-что значило для людей понимающих, ибо в то время математический немецкий журнал, издаваемый Крелле, был самым авторитетным журналом в мире.

В дальнейшем выяснилось, что Уваров рассчитал не так плохо, ибо статью Лобачевского в журнале Крелле заметил и похвалил сам Гаусс! А гордость родины, математик Лобачевский, так и умер, даже не удостоенный звания доктора наук за свои труды, ставшие краеугольным камнем для всей новой математики девятнадцатого века[21].

- Страшно слушать!.. Но мне все-таки хотелось бы узнать, в чем самая суть этих удивительных трудов Лобачевского?

- Видишь ли, - задумчиво произнес Радикс, - попросту и коротко рассказать все это трудно. Но попробуем все-таки!

- 299 -

Древняя математика оставила нам замечательные достижения.

Недаром некоторые историки науки говорили о "греческом чуде". Но кроме того, от древности нам в наследство осталось немало нерешенных вопросов, научных загадок. И некоторые из них были трудности непомерной. С квадратичными иррациональностями греки сами справились. Удивительные труды Архимеда и Аполлония затронули более сложные вопросы, которые дождались своего разрешения только уж в Европе в шестнадцатом и семнадцатом веках. Но вопросы, связанные с самыми основаниями евклидовой геометрии, смущавшие ученых еще в древности (как это видно из трудов Птолемея), получили свое разрешение только в девятнадцатом веке в работах Лобачевского. Когда это наконец было сделано, осознано и разработано, наша наука вступила в новую стадию. Это уже не было прямой разработкой творений Архимеда, а чем-то совершенно своеобразным, что дало науке новые великие силы.

Ибо наука получила после Лобачевского возможность не только исследовать те или иные задачи, но научилась изучать и понимать свою собственную сущность и все свое своеобразие.

- Собственную сущность... - повторил Илюша неуверенно, - то есть самую суть? Так я говорю?

- Да, в общем так. Но самое главное заключается в том, что великая система не-евклидовой геометрии, построенная Лобачевским, постепенно привела людей к полной уверенности, что математика есть