Категория: Интересно

Суммируются ли случайности?




  • Не нравится
  • +4
  • Нравится





  • Суммируются ли случайности?Математики не склонны фантазировать. Это люди рациональные, для разгадки тайн они предпочитают пользоваться числами. И там, где другие воспринимают совпадения как свидетельство чуда или вмешательства высших сил, эти трезвые люди усматривают действие вероятностных законов.
    Так насколько невероятным должно быть то или иное событие, насколько должны быть малы шансы его наступления, чтобы этот старый пень, погрязший в вычислениях, согласился признать, что имеет дело с чем-то выходящим за рамки случайного совпадения, с чем-то действительно странным и непонятным?

    Какое самое невероятное событие могли бы вы представить себе? Скажем, выиграть в лотерею миллион, причем дважды? Или, например, дважды испытать удар молнии? Но все это уже происходило, и мы в этом убедились. Такое не встречается сплошь и рядом, это правда, но ведь бывает же время от времени! Математики утверждают, что если некое событие может произойти, то рано или поздно оно непременно произойдет. Не случаются только невозможные события — в Сахаре не найдешь айсберг, а в дождливую погоду не поймаешь такси.

    Но как обстоит дело с суммированием случайных совпадений? Что на этот счет говорит математика? Вот, скажем, какова вероятность получить удар метеорита по голове через пять минут после завершения дискуссии о невозможности такого события? А если такое произойдет, останется ли математик в убеждении, что это — случайное совпадение? Мы еще ответим на этот вопрос.

    А пока рассмотрим событие не столь поразительное. Сильно ли вы удивитесь, если на какой-нибудь вечеринке встретите человека, чей день рождения совпадает с вашим?
    Учитывая, что в году 365 дней, такое не должно происходить слишком часто. Подобную встречу мы воспринимаем как нечто особенное. Подумать только, мы родились в один день! Какое совпадение!

    Но, как это ни удивительно, математическая формула (довольно сложная) говорит нам, что в компании из двадцати трех гостей вероятность найти человека, родившегося с вами в один день, превышает 50 процентов.
    Всего двадцать три... Число кажется нам настолько незначительным, что возникает желание подвергнуть его проверке. С этой целью мы опрашивали людей, ожидавших автобус на остановке Клапем-Хай-стрит. Нас интересовало, окажутся ли справедливыми выводы теории вероятностей.

    В этом эксперименте нам пришлось опросить 29 человек, прежде чем мы нашли нужную пару. Двадцать девятая — девушка, ожидавшая автобус, — родилась 24 июля, и в этот же день родился шестой человек — мужчина, — с которым мы уже переговорили ранее. Девушка отнюдь не удивилась, что мы так быстро достигли успеха. Напротив, она сочла странным, что нам пришлось опросить так много людей — целых 29 человек. Ее парень и еще четыре подруги — все они родились 24 июля!

    Известный математик Уоррен Уивер однажды объяснил этот феномен на обеде, где присутствовали высшие офицеры, а затем начал по кругу опрашивать сидевших за столом. Не обнаружив ни одного совпадения, ученый был весьма разочарован. Выручил его двадцать третий человек, присутствовавший в том же помещении: официантка, случайно подслушав, о чем говорили за столом, заявила, что родилась в тот же день, что и один из генералов.

    Математические истины нередко вступают в противоречие с интуицией. Действительность может удивлять, может восхищать — а временами и сбивать с толку. Люди склонны либо переоценивать, либо недооценивать вероятность событий. Наша переоценка возможности выигрыша заставляет нас покупать лотерейные билеты, а недооценка вероятности дорожно-транспортного происшествия — садиться за руль автомобиля.

    Рассмотрим другие невероятные события. Если при игре в бридж вам сдали 13 карт одной масти, вы будете поражены. И все же это событие вероятно в той же степени, что и иная комбинация карт. Другое дело — вероятность получить заранее предсказанную комбинацию. Для случая с 13 картами, скажем, пиковой масти такая вероятность составляет 1 к 635 013 559600.

    Так что среднестатистическому игроку в бридж не следует ожидать частого повторения такого везения в его жизни — если только жизнь эта не протекает на планете, описанной биологом Ричардом Докинсом в книге «Слепой часовщик»:
    «Если на некой планете обитают существа, чей срок жизни равен миллиону столетий, граница приемлемого риска расширяется в той же степени и сдвигается в сторону правой части континуума. Время от времени они могут рассчитывать на идеальную раздачу при игре в покер, а получив такую комбинацию, даже не подумают сообщать об этом событии своим домашним».

    Говоря об «идеальной раздаче», Докинс имеет в виду как раз 13 карт одной масти. Вообще же под «идеальной комбинацией» в бридже понимают такую, которую нельзя побить, и вероятность ее рассчитывается иначе. В нашем случае она равна 1 к 169066442.
    Так или иначе, но даже на планете, где люди живут многие тысячелетия, перспектива получить идеальные комбинации для всех четырех игроков выглядит нереальной. По оценке Докинса, эта вероятность составляет 1 к 2 235 197 406 895 366 368 301 559999.

    Но и при такой ничтожной вероятности это потрясающее событие произошло — в вист-клубе города Баклзем, графство Суффолк, в январе 1998 года. Вот что пишет «Дейли мейл»:
    «Первой взяла свои карты Хильда Голдинг, 87 лет. У нее на руках оказалось тринадцать карт трефовой масти. «Я была поражена. Играю больше сорока лет, а такого еще не видела», — сказала Хильда. У Хейзел Раффлз оказались все бубны, а у Элисон Чиверс — черви. Пики достались «болвану». Элисон Чиверс утверждает, что карты тщательно тасовались. «У нас была самая обычная колода. Перед тем как она появилась на столе, карты тасовали, а перед сдачей Хейзел перетасовала их еще раз».

    Это событие совершилось вопреки исчезающе малой вероятности. Более вероятным было бы сочетание самых крупных выигрышей в национальной лотерее и футбольном тотализаторе в течение одной недели. Однако на сей раз удача не принесла игрокам ни гроша.
    Но какое изумление вызывает известие о подобном событии! То, что мы вообще узнали о нем, есть результат «выборочного подхода к информации». Газеты напечатали эту историю, решив, что произошло нечто неординарное. «Идеальная раздача» в бридже скорее привлечет внимание читателей, чем раздача, далекая от идеала. Вряд ли, открыв газету, вы натолкнетесь на заголовок «Игроки в вист из Суффолка получили на руки совершенно бессмысленную хаотическую комбинацию карт».

    Автор «Книги чисел» Уильям Хартстон полагает, что мы испытываем излишне сильное волнение по поводу совпадений. Так, например, его оставила равнодушным история двух игроков в гольф, которые друг за другом загнали мяч в лунку с одного удара, при этом у игроков были одинаковые фамилии, хотя они и не состояли в родстве. Разве это не удивительно?

    Отнюдь нет, утверждает Хартстон. «Прежде всего, оставим без внимания столь незначительную деталь, как одинаковые имена. Матч состоялся в Уэльсе, а фамилия Эванс — именно ее носили оба игрока — там весьма распространена».

    Но Ричард Эванс и Марк Эванс друг за другом попали с одного удара в третью лунку Какова вероятность такого события?
    Хартстон оценивает вероятность попадания в лунку с одного удара как 1 к 2780 для профессионала высшего класса и 1 к 43 000 для среднего любителя. В последнем случае он полагает, что шанс двух игроков друг за другом положить мяч в лунку с первого удара составляет 1 к 1 850 000 000 000.
    Но разве это не поражает воображение?

    Вовсе нет, говорит Хартстон: «В Англии играют в гольф около двух миллионов человек, каждый в среднем дважды в неделю. Это составляет в год более 200 миллионов игр, во время которых мячи попадают в 3,6 миллиарда лунок. На этом фоне вероятность 1 к 1 850 000 000 000 уже не кажется такой ничтожной». Действительно, если расчеты Хартстона справедливы, подобные события могут происходить в Англии примерно раз в году.

    По мнению Хартстона, подобные примеры и расчеты показывают, что, во-первых, мы плохо оцениваем величины вероятности, а во-вторых, склонны ошибаться в сторону оптимистической оценки. «Вдохновленные историями о попадании в лунку с одного удара, о королевских флешах в покере и выигрышах джекпотов, мы в напрасной надежде выходим на поля для гольфа и выворачиваем карманы для рискованных ставок, рассчитывая на благосклонность фортуны. В то же время мы играем в футбол, хотя каждый год полмиллиона игроков попадают в больницы с травмами; ездим в автомобилях, что ежедневно уносит жизни пятерых, и курим, забыв, что табак убивает девяносто человек в день».

    За пятьдесят лет, прошедших с первого восхождения на Эверест сэра Эдмунда Хиллари и шерпа Тенцинга в мае 1953 года, высочайшую горную вершину штурмовали восемьсот человек Из них сто восемьдесят погибли. Соотношение успешных подъемов к смертельным случаям, отмечает Уильям Хартстон, приблизительно составляет пять к одному — такое же, как в русской рулетке.

    Мы предпочитаем думать, что несчастные случаи происходят с другими, и в то же время льстим себя надеждой, что нам самим небывало повезет. И наша общая неспособность понять и усвоить тонкости законов теории вероятностей могут привести к весьма странному отношению к риску.

    В исследовании одной из бизнес-школ отмечается, что все мы постоянно подвергаемся опасности погибнуть в дорожной катастрофе. Каждый сотый мужчина умирает от этой причины (правда, женщины — в значительно меньшей степени). Сколько же нам нужно заплатить за средства безопасности — такие как воздушные подушки и прочее, — что-бы вдвое уменьшить этот риск? Тысячу фунтов? Или даже две тысячи? А какую плату вы потребовали бы сами, прежде чем дать согласие пройти по минному полю, на котором ваш шанс подорваться составляет 1 к 100? Наверняка больше двух тысяч фунтов, утверждают авторы исследования.

    Любому человеку, который намерен всерьез разобраться в природе совпадений и желает получить более ясное представление об относительном риске в жизни, могут помочь следующие статистические данные:
    вероятность выиграть главный приз национальной лотереи на один билет равна 1 к 13 983 815;
    выиграть что-либо на один билет лотереи «Лотто» — 1 к 53;
    во время игры в покер получить при раздаче флеш-рояль— 1 к 649 739;
    при игре в гольф попасть в лунку с одного удара — 1 к 42 952;
    во время игры в вист всем четверым участникам получить при раздаче «идеальную комбинацию» — 1 к 2 235 197 406 895 366 368 301 559 999;
    быть убитым в следующем году — 1 к 80 000;
    получить удар молнии — 1 к 600 000;
    умереть, играя в футбол, — 1 к 25 000;
    погибнуть в железнодорожной катастрофе — 1 к 500 000;
    погибнуть под колесами автобуса — 1 к 1 000 000;
    погибнуть в авиакатастрофе — 1 к 10 000 000;
    умереть, подавившись пищей, — 1 к 250 000.
    А вероятность для двух уроженцев Уэльса иметь одинаковую фамилию равна 1 к 15.

    Какова вероятность того, что сбудется сон? За многие века со времен древних ассирийцев и вавилонян в хрониках и летописях разных народов накопилось немало сообщений о пророческих сновидениях. Во множестве они упоминаются в Библии. Вот и в наше время такое случается.

    Шарон Мартене из Милуоки, штат Висконсин, было 14 лет, когда она познакомилась и подружилась с мальчиком по имени Майкл. Спустя год девушке приснился тревожный сон — будто они с Майклом смотрели баскетбол, и он сказал ей, что в ближайший вторник собирается уехать из города. Не прошло и недели, как Майкл, подойдя к Шарон в школе, сообщил о внезапном решении его родителей переехать в Колорадо. «И когда вы уезжаете?>> — спросила Шарон. «В следующий вторник», — ответил Майкл.

    Обладала ли Шарон особым даром предчувствия, или мы имеем дело со случайным совпадением? А если это совпадение, то какова вероятность такого события? В статье, которая появилась в «Вашингтон пост» в 1995 году, Чип Денман, преподаватель статистики из Мэрилендского университета, дал ответ на этот вопрос.

    Денман проделал серию сложных математических расчетов, сделав ряд допущений касательно частоты сновидений и вероятности того, что любой сон индивида сбывается. Он пришел к заключению, что средний человек в результате случайности и без помощи особых экстрасенсорных сил может раз в 19 лет видеть сон, который в точности предвосхищает будущее событие. «Неудивительно, что столь многие мои студенты говорят мне о сбывшихся снах», — писал Чип Денман.

    Профессор Иен Стюарт, один из самых известных и уважаемых английских математиков, изучал феномен совпадений. Стюарт убежден, что объяснение кажущихся невероятными случайных совпадений не выходит за рамки законов теории вероятностей. По мнению ученого, те люди, которые верят в паранормальные явления, просто не способны воспринимать истинные факты.

    Возможно ли в таком случае вообще найти совпадение, которое Иен Стюарт не смог бы объяснить чисто математически? Профессор Стюарт готов принять вызов. Игра началась.

    Мартин Плиммер с женой и детьми развлекался на отдыхе: они подбрасывали монету и угадывали, какой стороной та упадет на землю. Жена Мартина угадала 17 раз подряд. Что это — случайное совпадение?
    Профессор Стюарт освободил нас от сомнений. «Подумайте об этом событии в математическом ключе. Мы принимаем, что выпадения орла и решки равновероятны... Одну вторую умножаем на одну вторую и делаем это семнадцать раз... Вероятность события составляет примерно 1 к 250 000. Довольно необычно. Впрочем, однажды со мной случилось нечто подобное. Да, это всего-навсего один шанс на двести пятьдесят тысяч. Иногда людям везет».

    Слова профессора неутешительны. Жена Мартина никаким чудесным образом не влияла на поведение монеты, не «читала», какой стороной она падает на землю и, увы, не достигла высшей космической гармонии со своими детьми. Ей просто везло.
    Чтобы занять себя чем-нибудь не слишком утомительным до конца отпуска, ей нужно было бы бросать монету до тех пор, пока орел не выпадет 50 раз подряд. Для достижения такого результата миллиону людей следовало бы подбрасывать монету по десять раз в минуту 40 часов в неделю, и тогда один раз в 900 лет можно было бы праздновать победу. Но это неминуемо свершилось бы — и все смогли бы спокойно разойтись по домам.

    Интересно, однако, как отнесся профессор Стюарт к следующему событию.
    На гонках «Формулы-1» в Испании в 1997 году три пилота — Михаэль Шумахер, Жак Вильнев и Хайнц-Харольд Френцен — показали абсолютно одинаковое время: 1 минута 21,072 секунды. Ну не было ли это — как и говорили пораженные комментаторы — из ряда вон выходящим совпадением?

    И снова Иен Стюарт не выказал удивления. «Все пилоты такого класса проходят дистанцию приблизительно с одинаковой скоростью, потому вполне логично предположить, что разница во времени трех самых быстрых участников гонки не превысит десятой доли секунды. При шаге в одну тысячную секунды мы получим для каждого гонщика 100 возможных результатов. Примем для удобства, что каждый результат в этом диапазоне равновероятен. Тогда с вероятностью 1 к 100 время второго гонщика совпадет с результатом первого и с такой же вероятностью время третьего гонщика совпадет с результатами первых двух, а потому вероятность описанного вами события составит 1 к 10 000. Вероятность действительно невелика, но удивляться тут особенно нечему. В сущности, она того же порядка, что и вероятность для игрока в гольф попасть в лунку с одного удара».

    Некий человек на Бермудах ехал на мопеде и погиб при столкновении с такси ровно через год после того, как его брат ехал на том же мопеде по той же улице и столкнулся с такси, за рулем которого сидел тот же водитель и вез того же пассажира. Брат тоже погиб.

    «Вероятность этого события тоже мала, но так уж сложились обстоятельства, — говорит Стюарт. — Человек ехал на мопеде погибшего брата — очевидно, он не был суеверным. Улица, видимо, была довольно опасна. Таксист, похоже, был неважным водителем. Подобные столкновения происходят миллионы раз каждый год. Вам не рассказывают о тех случаях, когда кого-то сбивает другой водитель такси. Данный случай довольно редкий, но время от времени и такое бывает».

    Настала пора Мартину Плиммеру обрушить на голову профессора самую эффектную историю.
    Мартин отвез своего шестилетнего сына в больницу — ребенок нуждался в пустяковой операции. Когда сестра сделала мальчику укол, Мартин упал в обморок и при этом ударился головой. Врач сказал, что следует сделать рентген. У рентгеновского кабинета Мартина попросили немного подождать. На столике перед ним оказался журнал четырехлетней давности, открытый на его собственной статье. В этой статье Мартин писал о головной боли.

    «Очень хороший пример, — одобрил профессор Стюарт. — Вызывает удивление своей необычностью. Такое и в самом деле происходит исключительно редко, потому-то совпадения и поражают воображение. Учитывая все обстоятельства, вероятность подобного события, по приблизительным оценкам, составляет 1 к 1 000 000. Но прикиньте, сколько событий случается с вами ежедневно. Тысяча? Никак не меньше. А за три года... то есть за тысячу дней при тысяче событий в день с вами как раз случится миллион событий. И среди них — одно, шансы которого и составляют один на миллион. Так что раз в три года нечто подобное должно произойти в вашей жизни. А вот если такие совпадения случаются чаще, то это может представить определенный математический интерес».

    По мнению профессора Стюарта, подобные совпадения поражают нас не столько потому, что они просто происходят, сколько потому, что они происходят именно с нами. «Представляете, такое могло случиться с кем угодно в мире, а случилось с вами. Вселенная остановила свой выбор на вас, и объяснить это невозможно».

    Стюарт считает, что наша интуиция совершенно бесполезна, более того — вредна, когда мы размышляем о совпадениях. «Мы поражаемся, столкнувшись с приятелем в необычном месте, поскольку изначально предполагаем, что случайные события имеют равномерное распределение — статистические сгущения нас удивляют. Мы думаем, что «типичная» выигрышная комбинация в национальной лотерее похожа на 5, 14, 27, 36, 39, 45 — а вот последовательность 1, 2, 3, 19, 20, 21 представляется нам куда более редкой. На самом же деле эти два набора чисел имеют одинаковые вероятности — 1 к 13 983 815».

    Посмотрим теперь, как профессор Стюарт отнесся к одной из самых известных историй о совпадениях. В ней прослеживается связь между судьбами президентов Соединенных Штатов Авраама Линкольна и Джона Кеннеди.

    Авраам Линкольн был избран в конгресс в 1846 году, Джон Кеннеди — в 194б-м. Линкольна избрали президентом в I860 году, Кеннеди — в 1960-м. В их фамилиях по семь букв (Lincoln, Kennedy). Оба президента уделяли большое внимание гражданским правам. Обоих президентов убили в пятницу, обоим пули попали в голову. Имена обоих убийц состоят из трех слов, и в каждом из этих имен в сумме пятнадцать букв (John Wilkes Booth, Lee Harvey Osvald). Джон Уилкс Бут, застреливший Линкольна, родился в 1839 году Ли Харви Освальд, убийца Кеннеди, родился в 1939 году И так далее, и так далее...

    «Если просто перечислять эти факты, — говорит Иен Стюарт, — цепочка событий кажется очень маловероятной. Но это просто гадание по числам, придание им магического значения. Людям свойственно замечать сходство и игнорировать различия. Вы обращаете внимание на то, что некоторые имена состоят из одинакового числа букв, но проходите мимо того факта, что другие имена этому правилу не подчиняются. Далее: тройные имена в США дело довольно обычное, так что это обстоятельство я вообще не рассматриваю. А из скольких букв в среднем состоит тройное имя? Думаю, что 15 — весьма близко к среднему значению. Тот факт, что даты рождения президентов отстоят друг от друга на сто лет, определяет и вероятность повторения определенных событий в их жизни приблизительно через такой же период, то есть сто лет. Оба были застрелены в пятницу — вероятность такого события 1 к 7.

    Если искать только сходство и давать при этом волю своей фантазии, если принимать в расчет только найденные вами совпадения, то, боюсь, вы можете взять двух любых жителей нашей планеты и обнаружить в них немало похожего. Оба они — люди, и уже это говорит о том, что у них много общего. Вам остается только найти, что именно».

    А вот и свидетельство, иллюстрирующее правоту ученого. Некоторое время тому назад «Скептикал инкуайерер» объявил конкурс, участникам которого предлагалось найти «поразительные совпадения» между разными мировыми лидерами. Победитель раскопал 16 невероятных совпадений между Кеннеди и президентом Мексики Альваро Обрегоном.
    Артур Кестлер предположил, что сходные явления и предметы во Вселенной тяготеют друг к другу, чем и объясняются совпадения. Согласен ли Иен Стюарт с такой точкой зрения?

    «В каком-то смысле это правда. И причины тому очевидны. Скажем, люди, которые часто летают на самолетах, «притягиваются» друг к другу в аэропортах. Не будет ничего удивительного, если именно в аэропортах со мной будут часто происходить совпадения — ведь я провожу там довольно много времени. Что же касается взаимного тяготения подобных друг другу предметов в более мистическом смысле, то в этом я совершенно не уверен. Некоторые полагают, что во Вселенной властвует некий тайный скрытый порядок, разгадка которого и составляет долг ученых. Такого рода единство Вселенной лежит на столь глубоком уровне (а именно на уровне элементарных частиц, повинующихся одним и тем же законам), что не допускает внятного толкования в рамках человеческой логики с ее представлениями о подобии... — И тут, совершенно неожиданно, в непробиваемом скептицизме математика по поводу существования некоей силы, порождающей совпадения, обозначилась трещина. — Но, с другой стороны, я бы не стал утверждать, что предположение Кестлера совершенно лишено смысла. Вселенная — престранное место, и мы очень далеки от понимания, как и что в ней происходит».
    Значит ли это, что все же можно представить себе совпадение, которое профессор Стюарт не сумел бы зачислить по ведомству совершенно случайных событий? Которое оказалось бы «вне случайности»?

    «Я теряю уверенность в своей интерпретации события там, где перестаю объяснять по существу, а начинаю искать отговорки», — сказал Иен Стюарт.
    Что если, к примеру, мы говорили бы о метеоритах и в этот момент шальной метеорит брякнулся бы о крышу соседнего дома? Смог бы профессор «отговориться»?

    «Похоже, что нет. Это было бы очень непросто. Во всяком случае, такое событие можно назвать поразительным. Вероятность для человека попасть под удар метеорита в любое конкретное время составляет примерно один к квадрильону. Однажды метеорит попал в корову. Кроме того, известен случай попадания метеорита в автомобиль в Соединенных Штатах... Так что вполне возможно, что в последующие десять тысяч лет кто-нибудь получит метеоритом по голове».

    Так что — опасно ли, по мнению профессора, сейчас взять да и выйти на улицу?
    «Беда в том, что мы в полном неведении: вы куда-нибудь пойдете, а это место и окажется тем, которое выберет метеорит».
    Читатель ни за что не догадается, что же произошло, когда мы вышли на улицу...
    Ровным счетом ничего.

    Комментарии

    
    Имя:*
    • bowtiesmilelaughingblushsmileyrelaxedsmirk
      heart_eyeskissing_heartkissing_closed_eyesflushedrelievedsatisfiedgrin
      winkstuck_out_tongue_winking_eyestuck_out_tongue_closed_eyesgrinningkissingstuck_out_tonguesleeping
      worriedfrowninganguishedopen_mouthgrimacingconfusedhushed
      expressionlessunamusedsweat_smilesweatdisappointed_relievedwearypensive
      disappointedconfoundedfearfulcold_sweatperseverecrysob
      joyastonishedscreamtired_faceangryragetriumph
      sleepyyummasksunglassesdizzy_faceimpsmiling_imp
      neutral_faceno_mouthinnocent
    *